[FTC의 엄밀한 증명] ch16. 균등연속

김한결 2022. 3. 4. 11:01

17. 균등연속

본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.

17. 균등연속

우리는 연속함수에 대해 공부하였다. $f : A \to R$ 이 $c$ 에서 연속이라는 것은 치역의 점 $f (c)$ 의 아무리 좁은 근방 $B_{ϵ} (f (c))$ 을 선택해도 적절한 $c$ 의 근방 $B_{δ} (c)$ 가 존재하여 $f (B_{δ} (c))$ 가 $B_{ϵ} (f (c))$ 에 포함되도록 할 수 있다는 것을 의미한다. 정의역의 부분집합 $E \subset A$ 의 모든 점에서 $f$ 가 연속이면 $f$ 가 $E$ 에서 연속이라고 표현하는 방법도 있었다.

여기서 주의할 점은 연속에도 급이 있다는 것이다. 어떤 연속은 판별하기 조금 까다롭고, 어떤 연속은 모종의 방법으로 연속을 비교적 간단하게 보일 수 있다.

먼저 판별이 쉬운 연속의 예시를 보자.

▷ $f (x) = 2 x + 3$ 은 연속함수이다.

proof)

임의의 $c \in R$ 을 생각하자. $f$ 가 연속함수임을 보이기 위해서는 다음을 보여야 한다.

$(\forall ϵ > 0) (\exists δ > 0) (\forall x \in R)$

$| x - c | < δ \Rightarrow | f (x) - f (c) | < ϵ$

임의의 $ϵ > 0$ 을 생각하자. $δ = \frac{ϵ}{2}$ 이라고 한다면 $| x - c | < δ$ 일 때 다음이 성립한다.

$| f (x) - f (c) | = | (2 x + 3) - (2 c) + 3 | = 2 | x - c | < 2 δ = ϵ$

따라서 $f$ 는 임의의 $c \in R$ 에서 연속이므로, $f$ 는 연속함수이다. $◻$

다음으로 판별이 까다로운 연속의 예시를 보자.

▷ $f (x) = x^{2}$ 는 연속함수이다.

proof)

$x \in R$ 에 대해 다음이 성립한다.

$| f (x) - f (c) | = | x^{2} - c^{2} | = | x + c | | x - c |$

임의의 $ϵ > 0$ 을 생각하자. $| x - c | < δ$ 이면 $| x^{2} - c^{2} | < ϵ$ 이도록 하는 $δ$ 가 존재한다면 아마 다음을 만족해야 할 것이다.

$| x - c | < δ ⟹ | x^{2} - c^{2} | < | x + c | δ \leq ϵ$

$∴ δ \leq \frac{ϵ}{| x + c |}$

문제점은 $δ$ 를 고르는 조건에 $ϵ$ 는 물론 $c$ 도 고려되어야 한다는 점이다. 다행히도 점 $c$ 에서 $f$ 의 연속성을 검토할때는 $c$ 의 작은 근방에서 $f$ 의 형태만 고려하면 된다. $| x - c | < 1$ 에서 역삼각 부등식에 따라 다음이 성립한다.

$| x | - | c | \leq | x - c | < 1 ⟹ | x | < | c | + 1$

이때 다음도 성립한다.

$| x + c | \leq | x | + | c | < (| c | + 1) + | c | = 2 | c | + 1$

$| x - c | < 1$ 에 이어서 $| x - c | < \frac{ϵ}{2 | c | + 1}$ 조건을 추가하면 다음이 성립한다.

$ϵ > | x - c | (2 | c | + 1) > | x - c | | x + c | = | x^{2} - c^{2} |$

따라서 $| x - c | < δ$ 일때 $| x - c | < 1$ 와 $| x - c | < \frac{ϵ}{2 | c | + 1}$ 가 모두 성립하면 성공이다. 이를 위해선 다음과 같이 두면 된다.

$δ = min {1, \frac{ϵ}{2 | c | + 1}}$

앞선 논의에 따라 $| x - c | < δ$ 일때 $| f (x) - f (c) | < ϵ$ 이 성립한다. 따라서 $f$ 는 임의의 $c \in R$ 에서 연속이므로, $f$ 는 연속함수이다. $◻$

위의 두 예시에는 분명한 차이점이 있다. 첫 번째 예시는 주어진 $ϵ$ 에 대응하는 단 하나의 $δ$ 만으로 연속인 모든 점을 설명할 수 있었던 반면, 두 번째 예시는 주어진 $ϵ$ 과 연속을 설명할 점에 동시에 대응하는 $δ$ 가 필요했다.

주어진 $ϵ$ 에 대응하는 단 하나의 $δ$ 만으로 모든 점의 연속성을 설명할 수 있는 이 특별한 성질을 따로 정의해두면 언젠가 쓸모가 있으리라. 다음을 확인하자.

정의) 함수 $f : A \to R$ 과 $E \subset A$ 에 대해 다음이 성립하면 $f$ 가 $E$ 에서 균등연속(uniformly continuous)이라고 한다. $(\forall ϵ > 0) (\exists δ > 0) (\forall c \in E) (\forall x \in A)$ $| x - c | < δ \Rightarrow | f (x) - f (c) | < ϵ$ $f$ 가 $A$ 에서 균등연속이면 $f$ 를 균등연속함수(uniformly continuous function)라고 한다.

균등연속의 정의를 근방을 이용하여 서술하면 다음과 같다.

함수 $f : A \to R$ 과 $E \subset A$ 에 대해 다음이 성립하면 $f$ 가 $E$ 에서 균등연속이라고 한다. $(\forall ϵ > 0) (\exists δ > 0) (\forall c \in E)$ $f (B_{δ} (c)) \subset B_{ϵ} (f (c))$

비교를 위해 연속의 정의를 다시 쓰면 다음과 같다.

함수 $f : A \to R$ 과 $E \subset A$ 에 대해 다음이 성립하면 $f$ 가 $E$ 에서 연속이라고 한다. $(\forall c \in E) (\forall ϵ > 0) (\exists δ > 0) (\forall x \in A)$ $| x - c | < δ \Rightarrow | f (x) - f (c) | < ϵ$

함수 $f : A \to R$ 과 $E \subset A$ 에 대해 다음이 성립하면 $f$ 가 $E$ 에서 연속이라고 한다. $(\forall c \in E) (\forall ϵ > 0) (\exists δ > 0)$ $f (B_{δ} (c)) \subset B_{ϵ} (f (c))$

균등연속과 연속의 정의에서 양화사 $(\forall c \in E)$ 의 위치가 서로 다음에 유의하자.

균등연속의 정의를 풀어서 말하자면, 임의의 $ϵ > 0$ 에 대해 어떤 $δ > 0$ 가 존재하여 임의의 $c \in E$ 에 대해 $| x - c | < δ$ 인 모든 $x \in A$ 가 $| f (x) - f (c) | < ϵ$ 를 만족한다는 것이다. $f$ 가 $E$ 에서 균등연속이라면 $f$ 가 $E$ 에서 연속이나, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 균등연속은 연속보다 더 강한 개념이다.

균등연속과 연속의 정의가 구조적으로 다른 부분은, 점 하나에 대한 균등연속성은 정의하지 않는다는 것이다. 연속성은 점 하나에서도 판별할 수 있으므로 국소적인 성질이지만, 균등연속성은 항상 어떠한 집합에 정의되는 성질이므로 국소적인 성질이 아니다. 다시말해 ' $f$ 가 점 $c$ 에서 균등연속이다' 따위의 말은 비문(非文)이다.

우리는 $f (x) = x^{2}$ 의 연속성을 보이는 과정에서 임의의 $ϵ$ 에 대응하는 하나의 $δ$ 를 밝히는데 실패하였다. 그러나 우리의 실력이 부족하여 유일한 $δ$ 를 발견하지 못한 것이 아닌지 의심이 들 수도 있다. 다음의 정리에 따르면 다행히 우리의 실력 탓은 아니다.

균등연속에 대한 수열 판정법 (sequential criterion for uniform continuity)
함수 $f : A \to R$ 이 $E \subset A$ 에서 균등연속이 아닐 필요충분조건은 다음 명제가 성립하는 것이다. $(\exists ϵ_{0} > 0) (\exists (c_{n}) \subset E) (\exists (x_{n}) \subset A) (\forall m \in N)$ $(x_{n} - c_{n}) \to 0 \land | f (x_{m}) - f (c_{m}) | \geq ϵ_{0}$

proof)

( $\Rightarrow$ ) : 균등연속의 정의를 부정하면 다음과 같다.

$(\exists ϵ_{0} > 0) (\forall δ > 0) (\exists c_{0} \in E)$

$f (B_{δ} (c_{0})) ⊄ B_{ϵ_{0}} (f (c_{0}))$

위 명제가 의미하는 것은, 어떤 $ϵ_{0} > 0$ 이 존재하여 임의의 $δ > 0$ 에 대해 어떤 $c_{0} \in E$ 가 존재하여 $x_{0} \in B_{δ} (c_{0})$ 이며 $f (x_{0}) \notin B_{ϵ_{0}} (f (c_{0}))$ 를 만족하는 $x_{0} \in A$ 가 존재함을 의미한다. 임의의 $n \in N$ 에 대해 $δ_{n} := \frac{1}{n}$ 이라고 하면 위의 논의에 따라 어떤 $c_{n} \in E$ 가 존재하여 $x_{n} \in B_{δ_{n}} (c_{n})$ 이며 $f (x_{n}) \notin B_{ϵ_{0}} (f (c_{n}))$ 를 만족하는 $x_{n} \in A$ 가 존재한다. 이러한 방식으로 두 수열 $(c_{n}) \subset E$ , $(x_{n}) \subset A$ 를 얻을 수 있다.

$(x_{n} - c_{n}) \to 0$ 임을 보이자. 임의의 $ϵ > 0$ 에 대해 아르키메데스 성질에 따라 $\frac{1}{ϵ} < N$ 을 만족하는 $N \in N$ 이 존재한다. 임의의 $n \in N$ 에 대해 $n \geq N$ 이면 $\frac{1}{n} \leq \frac{1}{N}$ 이므로 다음이 성립한다.

$x_{n} \in B_{δ_{n}} (c_{n}) = B_{\frac{1}{n}} (c_{n}) \subset B_{\frac{1}{N}} (c_{n}) \subset B_{ϵ} (c_{n})$

$∴ | x_{n} - c_{n} | < ϵ ⟺ | (x_{n} - c_{n}) - 0 | < ϵ$

따라서 $(x_{n} - c_{n}) \to 0$ 을 얻는다. 또한 임의의 $m \in N$ 에 대해 다음이 성립한다.

$f (x_{n}) \notin B_{ϵ_{0}} (f (c_{n}))$

$∵ | f (x_{n}) - f (c_{n}) | \geq ϵ_{0}$

원하는 결과를 얻는다.

( $\Leftarrow$ ) : 모순을 보이기 위해 아래 명제가 성립하며 $f$ 는 $E$ 에서 고른 연속이라고 가정하자.

$(\exists ϵ_{0} > 0) (\exists (c_{n}) \subset E) (\exists (x_{n}) \subset A) (\forall m \in N)$

$(x_{n} - c_{n}) \to 0 \land | f (x_{m}) - f (c_{m}) | \geq ϵ_{0}$

$(x_{n} - c_{n}) \to 0$ 이므로, 임의의 $δ > 0$ 에 대해 어떤 $N \in N$ 이 존재하여 임의의 $m \in N$ 에 대해 $m \geq N$ 이면 $| x_{m} - c_{m} | < δ$ 가 성립한다. $f$ 는 $E$ 에서 균등연속이므로 다음이 성립한다.

$(\exists δ_{0} > 0) (\forall c \in E) (\forall x \in A)$

$| x - c | < δ_{0} \Rightarrow | f (x) - f (c) | < ϵ_{0}$

위의 논의에 따르면 $δ_{0}$ 에 대해 적절한 $N_{0} \in N$ 이 존재하여 임의의 $m \in N$ 에 대해 $m \geq N_{0}$ 이면 $| x_{m} - c_{m} | < δ_{0}$ 이 성립한다. 그러나 동시에 $| f (x_{m}) - f (c_{m}) | \geq ϵ_{0}$ 이 성립하므로 모순. 귀류법에 따라 원하는 결과를 얻는다. $◻$

함수 $f (x) = x^{2}$ 가 $R$ 에서 균등연속이 아님을 증명하자. 다음의 두 수열 $(x_{n}), (c_{n}) \subset R$ 을 생각하자.

$(x_{n}) = (n + \frac{1}{n}) (c_{n}) = (n)$

이때 $(x_{n} - c_{n}) = (\frac{1}{n})$ 이므로 $(x_{n} - c_{n}) \to 0$ 임은 자명하다. 임의의 $m \in N$ 에 대해 다음이 성립한다.

$\begin{aligned} | f (x_{m}) - f (c_{m}) | & = | (m + \frac{1}{m}) - m^{2} | \\ = | 2 + \frac{1}{m^{2}} | \geq 2 \end{aligned}$

$ϵ_{0} = 2$ 라고 하면 균등연속에 대한 수열 판정법에 따라 $f$ 가 $R$ 에서 균등연속이 아님을 알 수 있다.

그럼 $f (x) = x^{2}$ 는 그 어떤 집합에서도 균등 연속이 아닌 것일까? 이는 틀린 설명이다. $f (x) = x^{2}$ 가 균등연속이 아닌 근본적인 원인은 $c \in R$ 을 점점 더 큰 값으로 선택할수록 동일한 $ϵ$ 에 대해 점점 더 작은 $δ$ 를 강요받기 때문이다. (위 그림 참고) 구간 $[a, b] \subset R$ 을 생각해본다면 $c \in [a, b]$ 를 아무리 크게 선택하여도 그 한계가 있을 것이며, $δ$ 를 작게 선택해야 하는 것도 한계가 있을 것이다. 주어진 $ϵ$ 과 가장 큰 $| c |$ 에 대응하는 $δ$ 는 $[a, b]$ 의 모든 점의 연속성을 설명할 수 있을 것이다.

다음의 정리에 따르면 위의 추측을 증명할 수 있다. 이는 콤팩트 집합의 중요한 두 개의 존재 의의 중 나머지 하나이다.^[각주:1]

정리 17-1) 콤팩트 집합 $K \subset R$ 에서 연속인 함수는 $K$ 에서 균등연속이다.

proof)

모순을 보이기 위해 함수 $f : A \to R$ 이 콤팩트 집합 $K \subset A$ 에서 연속이며 $K$ 에서 균등연속이 아니라고 가정하자. 균등연속에 대한 수열 판정법에 따라 다음 명제가 성립한다.

$(\exists ϵ_{0} > 0) (\exists (c_{n}) \subset K) (\exists (x_{n}) \subset A) (\forall m \in N)$

$(x_{n} - c_{n}) \to 0 \land | f (x_{m}) - f (c_{m}) | \geq ϵ_{0}$

$K$ 는 콤팩트 집합이므로 정의에 따라 $(c_{n})$ 은 수렴하는 부분수열 $(c_{k_{n}}) \to c$ 를 가지며 $c \in K$ 가 성립한다. 부분수열 $(c_{k_{n}})$ 에 대응하는 $(x_{n})$ 의 부분수열 $(x_{k_{n}})$ 을 생각하자. $(x_{n} - c_{n}) \to 0$ 이므로 다음이 성립한다.

$(\forall ϵ > 0) (\exists N \in N) (\forall n \in N)$

$n \geq N \Rightarrow | x_{n} - c_{n} | < ϵ$

이때 $(k_{n})$ 은 증가하는 자연수 수열이므로 $k_{n} \geq n$ 이다. 따라서 다음도 성립한다.

$k_{n} \geq N ∵ | x_{k_{n}} - c_{k_{n}} | < ϵ$

따라서 $(x_{k_{n}} - c_{k_{n}}) \to 0$ 을 얻는다. 편의를 위해 $(x_{k_{n}} - c_{k_{n}}) = (a_{n})$ 이라고 하면 대수극한정리에 따라 다음이 성립한다.

$(a_{n} + c_{k_{n}}) \to 0 + c = c$

$(a_{n} + c_{k_{n}}) = ((x_{k_{n}} - c_{k_{n}}) + c_{k_{n}}) = (x_{k_{n}})$

$∴ (x_{k_{n}}) \to c$

정리하면 다음이 성립한다.

$\begin{aligned} (x_{k_{n}}) \subset A, & (x_{k_{n}}) \to c \\ (c_{k_{n}}) \subset K \subset A, & (c_{k_{n}}) \to c \end{aligned}$

$c \in K \subset A$

이때 $f$ 는 $K$ 에서 연속이므로 $c \in A$ 에서 연속이기도 하다. 정리 14-1에 따르면 다음이 성립한다.

$f (x_{k_{n}}) \to f (c) f (c_{k_{n}}) \to f (c)$

다시 대수극한정리에 따라 다음이 성립한다.

$(f (x_{k_{n}}) - f (c_{k_{n}})) \to f (c) - f (c) = 0$

따라서 다음이 성립한다.

$(\forall ϵ > 0) (\exists N \in N) (\forall n \in N)$

$n \geq N \Rightarrow | f (x_{k_{n}}) - f (c_{k_{n}}) | < ϵ$

그러나 가정에 따라 다음이 성립한다.

$(\forall m \in N)$

$| f (x_{m}) - f (c_{m}) | \geq ϵ_{0}$

이는 모순이므로 귀류법에 따라 원하는 결과를 얻는다. $◻$

위의 정리에 따르면 연속함수는 정의역에 포함되는 닫힌 구간에서 균등연속이다.

읽어주셔서 감사합니다.

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