[FTC의 엄밀한 증명] ch16. 균등연속

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  본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

17. 균등연속

 

  우리는 연속함수에 대해 공부하였다. $f:A\to\mathbb{R}$ 이 $c$ 에서 연속이라는 것은 치역의 점 $f(c)$ 의 아무리 좁은 근방 $B_\epsilon\big(f(c)\big)$ 을 선택해도 적절한 $c$ 의 근방 $B_\delta(c)$ 가 존재하여 $f\big(B_\delta(c)\big)$ 가 $B_\epsilon\big(f(c)\big)$ 에 포함되도록 할 수 있다는 것을 의미한다. 정의역의 부분집합 $E\subset A$ 의 모든 점에서 $f$ 가 연속이면 $f$ 가 $E$ 에서 연속이라고 표현하는 방법도 있었다.

 

  여기서 주의할 점은 연속에도 급이 있다는 것이다. 어떤 연속은 판별하기 조금 까다롭고, 어떤 연속은 모종의 방법으로 연속을 비교적 간단하게 보일 수 있다.

---

  먼저 판별이 쉬운 연속의 예시를 보자.

 

  ▷ $f(x)=2x+3$ 은 연속함수이다.

 

proof)

  임의의 $c\in\mathbb{R}$ 을 생각하자. $f$ 가 연속함수임을 보이기 위해서는 다음을 보여야 한다.

$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists\delta>0)\;(\forall x\in\mathbb{R})$$

$$|x-c|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(c)|<\epsilon$$

  임의의 $\epsilon>0$ 을 생각하자. $\delta=\frac{\epsilon}{2}$ 이라고 한다면 $|x-c|<\delta$ 일 때 다음이 성립한다.

$$|f(x)-f(c)|=|(2x+3)-(2c)+3|=2|x-c|<2\delta=\epsilon$$

  따라서 $f$ 는 임의의 $c\in\mathbb{R}$ 에서 연속이므로, $f$ 는 연속함수이다.   $\square$

 

 

  다음으로 판별이 까다로운 연속의 예시를 보자.

 

  ▷ $f(x)=x^2$ 는 연속함수이다.

 

proof)

  $x\in\mathbb{R}$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$|f(x)-f(c)|=|x^2-c^2|=|x+c||x-c|$$

  임의의 $\epsilon>0$ 을 생각하자. $|x-c|<\delta$ 이면 $|x^2-c^2|<\epsilon$ 이도록 하는 $\delta$ 가 존재한다면 아마 다음을 만족해야 할 것이다.

$$|x-c|<\delta\implies|x^2-c^2|<|x+c|\delta\le\epsilon$$

$$\therefore\delta\le\frac{\epsilon}{|x+c|}$$

  문제점은 $\delta$ 를 고르는 조건에 $\epsilon$ 는 물론 $c$ 도 고려되어야 한다는 점이다. 다행히도 점 $c$ 에서 $f$ 의 연속성을 검토할때는 $c$ 의 작은 근방에서 $f$ 의 형태만 고려하면 된다. $|x-c|<1$ 에서 역삼각 부등식에 따라 다음이 성립한다.

$$|x|-|c|\le|x-c|<1\implies|x|<|c|+1$$

  이때 다음도 성립한다.

$$|x+c|\le|x|+|c|<(|c|+1)+|c|=2|c|+1$$

  $|x-c|<1$ 에 이어서 $|x-c|<\frac{\epsilon}{2|c|+1}$ 조건을 추가하면 다음이 성립한다.

$$\epsilon>|x-c|(2|c|+1)>|x-c||x+c|=|x^2-c^2|$$

  따라서 $|x-c|<\delta$ 일때 $|x-c|<1$ 와 $|x-c|<\frac{\epsilon}{2|c|+1}$ 가 모두 성립하면 성공이다. 이를 위해선 다음과 같이 두면 된다.

$$\delta=\text{min}\left\{1,\frac{\epsilon}{2|c|+1}\right\}$$

  앞선 논의에 따라 $|x-c|<\delta$ 일때 $|f(x)-f(c)|<\epsilon$ 이 성립한다. 따라서 $f$ 는 임의의 $c\in\mathbb{R}$ 에서 연속이므로, $f$ 는 연속함수이다.   $\square$

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  위의 두 예시에는 분명한 차이점이 있다. 첫 번째 예시는 주어진 $\epsilon$ 에 대응하는 단 하나의 $\delta$ 만으로 연속인 모든 점을 설명할 수 있었던 반면, 두 번째 예시는 주어진 $\epsilon$ 과 연속을 설명할 점에 동시에 대응하는 $\delta$ 가 필요했다.

하나의 $\epsilon$ , 하나의 $\delta$

하나의 $\epsilon$ , 그러나 각각의 $\delta$

  주어진 $\epsilon$ 에 대응하는 단 하나의 $\delta$ 만으로 모든 점의 연속성을 설명할 수 있는 이 특별한 성질을 따로 정의해두면 언젠가 쓸모가 있으리라. 다음을 확인하자.

 

정의)  함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 과 $E\subset A$ 에 대해 다음이 성립하면 $f$ 가 $E$ 에서 균등연속(uniformly continuous)이라고 한다.$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists\delta>0)\;(\forall c\in E)\;(\forall x\in A)$$$$|x-c|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(c)|<\epsilon$$  $f$ 가 $A$ 에서 균등연속이면 $f$ 를 균등연속함수(uniformly continuous function)라고 한다.

 

  균등연속의 정의를 근방을 이용하여 서술하면 다음과 같다.

 

  함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 과 $E\subset A$ 에 대해 다음이 성립하면 $f$ 가 $E$ 에서 균등연속이라고 한다.$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists\delta>0)\;(\forall c\in E)$$$$f\big(B_\delta(c)\big)\subset B_\epsilon\big(f(c)\big)$$

 

  비교를 위해 연속의 정의를 다시 쓰면 다음과 같다.

 

  함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 과 $E\subset A$ 에 대해 다음이 성립하면 $f$ 가 $E$ 에서 연속이라고 한다.$$(\forall c\in E)\;(\forall\epsilon>0)\;(\exists\delta>0)\;(\forall x\in A)$$$$|x-c|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(c)|<\epsilon$$

 

  함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 과 $E\subset A$ 에 대해 다음이 성립하면 $f$ 가 $E$ 에서 연속이라고 한다.$$(\forall c\in E)\;(\forall\epsilon>0)\;(\exists\delta>0)$$$$f\big(B_\delta(c)\big)\subset B_\epsilon\big(f(c)\big)$$

 

  균등연속과 연속의 정의에서 양화사 $(\forall c\in E)$ 의 위치가 서로 다음에 유의하자.

 

  균등연속의 정의를 풀어서 말하자면, 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 $\delta>0$ 가 존재하여 임의의 $c\in E$ 에 대해 $|x-c|<\delta$ 인 모든 $x\in A$ 가 $|f(x)-f(c)|<\epsilon$ 를 만족한다는 것이다. $f$ 가 $E$ 에서 균등연속이라면 $f$ 가 $E$ 에서 연속이나, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 균등연속은 연속보다 더 강한 개념이다.

 

  균등연속과 연속의 정의가 구조적으로 다른 부분은, 점 하나에 대한 균등연속성은 정의하지 않는다는 것이다. 연속성은 점 하나에서도 판별할 수 있으므로 국소적인 성질이지만, 균등연속성은 항상 어떠한 집합에 정의되는 성질이므로 국소적인 성질이 아니다. 다시말해 ' $f$ 가 점 $c$ 에서 균등연속이다' 따위의 말은 비문(非文)이다.

 

  우리는 $f(x)=x^2$ 의 연속성을 보이는 과정에서 임의의 $\epsilon$ 에 대응하는 하나의 $\delta$ 를 밝히는데 실패하였다. 그러나 우리의 실력이 부족하여 유일한 $\delta$ 를 발견하지 못한 것이 아닌지 의심이 들 수도 있다. 다음의 정리에 따르면 다행히 우리의 실력 탓은 아니다.

 

균등연속에 대한 수열 판정법 (sequential criterion for uniform continuity)
  함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 이 $E\subset A$ 에서 균등연속이 아닐 필요충분조건은 다음 명제가 성립하는 것이다.$$(\exists\epsilon_0>0)\;(\exists(c_n)\subset E)\;(\exists(x_n)\subset A)\;(\forall m\in\mathbb{N})$$$$(x_n-c_n)\to 0\land|f(x_m)-f(c_m)|\ge\epsilon_0$$

 

proof)

  ($\Rightarrow$) : 균등연속의 정의를 부정하면 다음과 같다.

$$(\exists\epsilon_0>0)\;(\forall\delta>0)\;(\exists c_0\in E)$$

$$f\big(B_\delta(c_0)\big)\not\subset B_{\epsilon_0}\big(f(c_0)\big)$$

  위 명제가 의미하는 것은, 어떤 $\epsilon_0>0$ 이 존재하여 임의의 $\delta>0$ 에 대해 어떤 $c_0\in E$ 가 존재하여 $x_0\in B_\delta(c_0)$ 이며 $f(x_0)\notin B_{\epsilon_0}\big(f(c_0)\big)$ 를 만족하는 $x_0\in A$ 가 존재함을 의미한다. 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $\delta_n:=\frac{1}{n}$ 이라고 하면 위의 논의에 따라 어떤 $c_n\in E$ 가 존재하여 $\textcolor{red}{x_n\in B_{\delta_n}(c_n)}$ 이며 $\textcolor{red}{f(x_n)\notin B_{\epsilon_0}\big(f(c_n)\big)}$ 를 만족하는 $x_n\in A$ 가 존재한다. 이러한 방식으로 두 수열 $(c_n)\subset E$ , $(x_n)\subset A$ 를 얻을 수 있다.

 

  $(x_n-c_n)\to 0$ 임을 보이자. 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 아르키메데스 성질에 따라 $\frac{1}{\epsilon}<N$ 을 만족하는 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재한다. 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n\ge N$ 이면 $\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}$ 이므로 다음이 성립한다.

$$x_n\in B_{\delta_n}(c_n)=B_\frac{1}{n}(c_n)\subset B_\frac{1}{N}(c_n)\subset B_\epsilon(c_n)$$

$$\therefore|x_n-c_n|<\epsilon\iff|(x_n-c_n)-0|<\epsilon$$

  따라서 $(x_n-c_n)\to 0$ 을 얻는다. 또한 임의의 $m\in\mathbb{N}$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$f(x_n)\notin B_{\epsilon_0}\big(f(c_n)\big)$$

$$\because|f(x_n)-f(c_n)|\ge\epsilon_0$$

  원하는 결과를 얻는다.

 

  ($\Leftarrow$) : 모순을 보이기 위해 아래 명제가 성립하며 $f$ 는 $E$ 에서 고른 연속이라고 가정하자.

$$(\exists\epsilon_0>0)\;(\exists(c_n)\subset E)\;(\exists(x_n)\subset A)\;(\forall m\in\mathbb{N})$$

$$(x_n-c_n)\to 0\land|f(x_m)-f(c_m)|\ge\epsilon_0$$

  $(x_n-c_n)\to 0$ 이므로, 임의의 $\delta>0$ 에 대해 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 임의의 $m\in\mathbb{N}$ 에 대해 $m\ge N$ 이면 $|x_m-c_m|<\delta$ 가 성립한다. $f$ 는 $E$ 에서 균등연속이므로 다음이 성립한다.

$$(\exists\delta_0>0)\;(\forall c\in E)\;(\forall x\in A)$$

$$|x-c|<\delta_0\Rightarrow|f(x)-f(c)|<\epsilon_0$$

  위의 논의에 따르면 $\delta_0$ 에 대해 적절한 $N_0\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 임의의 $m\in\mathbb{N}$ 에 대해 $m\ge N_0$ 이면 $|x_m-c_m|<\delta_0$ 이 성립한다. 그러나 동시에 $|f(x_m)-f(c_m)|\ge\epsilon_0$ 이 성립하므로 모순. 귀류법에 따라 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

---

  함수 $f(x)=x^2$ 가 $\mathbb{R}$ 에서 균등연속이 아님을 증명하자. 다음의 두 수열 $(x_n),(c_n)\subset\mathbb{R}$ 을 생각하자.

$$(x_n)=\left(n+\frac{1}{n}\right)\qquad(c_n)=(n)$$

  이때 $(x_n-c_n)=\left(\frac{1}{n}\right)$ 이므로 $(x_n-c_n)\to 0$ 임은 자명하다. 임의의 $m\in\mathbb{N}$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\begin{align}|f(x_m)-f(c_m)|&=\left|\left(m+\frac{1}{m}\right)-m^2\right|\\&=\left|2+\frac{1}{m^2}\right|\ge 2\end{align}$$

  $\epsilon_0=2$ 라고 하면 균등연속에 대한 수열 판정법에 따라 $f$ 가 $\mathbb{R}$ 에서 균등연속이 아님을 알 수 있다.

---

  그럼 $f(x)=x^2$ 는 그 어떤 집합에서도 균등 연속이 아닌 것일까? 이는 틀린 설명이다. $f(x)=x^2$ 가 균등연속이 아닌 근본적인 원인은 $c\in\mathbb{R}$ 을 점점 더 큰 값으로 선택할수록 동일한 $\epsilon$ 에 대해 점점 더 작은 $\delta$ 를 강요받기 때문이다. (위 그림 참고) 구간 $[a,b]\subset\mathbb{R}$ 을 생각해본다면 $c\in[a,b]$ 를 아무리 크게 선택하여도 그 한계가 있을 것이며, $\delta$ 를 작게 선택해야 하는 것도 한계가 있을 것이다. 주어진 $\epsilon$ 과 가장 큰 $|c|$ 에 대응하는 $\delta$ 는 $[a,b]$ 의 모든 점의 연속성을 설명할 수 있을 것이다.

 

  다음의 정리에 따르면 위의 추측을 증명할 수 있다. 이는 콤팩트 집합의 중요한 두 개의 존재 의의 중 나머지 하나이다.^[각주:1]

 

정리 17-1)  콤팩트 집합 $K\subset\mathbb{R}$ 에서 연속인 함수는 $K$ 에서 균등연속이다.

 

proof)

  모순을 보이기 위해 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 이 콤팩트 집합 $K\subset A$ 에서 연속이며 $K$ 에서 균등연속이 아니라고 가정하자. 균등연속에 대한 수열 판정법에 따라 다음 명제가 성립한다.

$$\textcolor{red}{(\exists\epsilon_0>0)}\;(\exists(c_n)\subset K)\;(\exists(x_n)\subset A)\;\textcolor{red}{(\forall m\in\mathbb{N})}$$

$$(x_n-c_n)\to 0\land\textcolor{red}{|f(x_m)-f(c_m)|\ge\epsilon_0}$$

  $K$ 는 콤팩트 집합이므로 정의에 따라 $(c_n)$ 은 수렴하는 부분수열 $(c_{k_n})\to c$ 를 가지며 $c\in K$ 가 성립한다. 부분수열 $(c_{k_n})$ 에 대응하는 $(x_n)$ 의 부분수열 $(x_{k_n})$ 을 생각하자. $(x_n-c_n)\to 0$ 이므로 다음이 성립한다.

$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists N\in\mathbb{N})\;(\forall n\in\mathbb{N})$$

$$n\ge N\Rightarrow|x_n-c_n|<\epsilon$$

  이때 $(k_n)$ 은 증가하는 자연수 수열이므로 $k_n\ge n$ 이다. 따라서 다음도 성립한다.

$$k_n\ge N\qquad\because|x_{k_n}-c_{k_n}|<\epsilon$$

  따라서 $(x_{k_n}-c_{k_n})\to 0$ 을 얻는다. 편의를 위해 $(x_{k_n}-c_{k_n})=(a_n)$ 이라고 하면 대수극한정리에 따라 다음이 성립한다.

$$(a_n+c_{k_n})\to0+c=c$$

$$(a_n+c_{k_n})=\big((x_{k_n}-c_{k_n})+c_{k_n}\big)=(x_{k_n})$$

$$\therefore(x_{k_n})\to c$$

  정리하면 다음이 성립한다.

$$\begin{align}(x_{k_n})\subset A,&\;(x_{k_n})\to c\\(c_{k_n})\subset K\subset A,&\;(c_{k_n})\to c\end{align}$$

$$c\in K\subset A$$

  이때 $f$ 는 $K$ 에서 연속이므로 $c\in A$ 에서 연속이기도 하다. 정리 14-1에 따르면 다음이 성립한다.

$$f(x_{k_n})\to f(c)\qquad f(c_{k_n})\to f(c)$$

  다시 대수극한정리에 따라 다음이 성립한다.

$$\big(f(x_{k_n})-f(c_{k_n})\big)\to f(c)-f(c)=0$$

  따라서 다음이 성립한다.

$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists N\in\mathbb{N})\;(\forall n\in\mathbb{N})$$

$$n\ge N\Rightarrow|f(x_{k_n})-f(c_{k_n})|<\epsilon$$

  그러나 가정에 따라 다음이 성립한다.

$$(\forall m\in\mathbb{N})$$

$$|f(x_m)-f(c_m)|\ge\epsilon_0$$

  이는 모순이므로 귀류법에 따라 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

  위의 정리에 따르면 연속함수는 정의역에 포함되는 닫힌 구간에서 균등연속이다.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

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1. 다른 하나는 이전 포스팅의 최대-최소 정리이다. [본문으로]