[FTC의 엄밀한 증명] ch18. 미분가능성

  이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch17. 사잇값 정리

  다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch19. 연쇄법칙

 

 

  본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)' 및 'Munkres. Analysis on manifold'를 공부하며 작성하였습니다.

 

 

19. 미분가능성

 

  미분은 극한으로 정의된다. 극한의 정의를 다시 보자.

 

  함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 과 $A$ 의 극한점 $c$ 에 대해 다음 명제가 성립하면 $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$ 이라고 쓴다.$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists\delta>0)\;(\forall x\in A)$$$$0<|x-c|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\epsilon$$

 

  다음은 미분가능성의 정의이다.

 

미분가능성 (differentiability)
  함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 과 $A$ 의 극한점 $c\in A$ 에 대해 다음을 만족하는 $L\in\mathbb{R}$ 이 존재하면 $f$ 가 $c$ 에서 미분가능(differentiable)하다고 한다. 이때 $L$ 을 $c$ 에서 $f$ 의 미분계수(derivative)라고 하며 $L=Df(c)$ 라고 쓴다.$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)-\big(f(c)+L(x-c)\big)}{|x-c|}=0$$  ▶ $f$ 가 $E\subset A$ 의 모든 점에서 미분가능하면 $f$ 가 $E$ 에서 미분가능하다고 하며 다음의 함수 $Df$ 를 $f$ 의 도함수(derivative function)라고 한다.$$Df:E\to\mathbb{R},\;x\to Df(x)$$  ▶ $f$ 가 $A$ 에서 미분가능하면 $f$ 를 미분가능함수(differentiable function)라고 한다.

 

※ 함수가 어떤 집합에서 미분가능하기 위해서는 먼저 그 집합의 모든 점이 극한점이어야 한다. 그러므로 함수가 미분가능한 집합은 종종 열린 집합이나 연결집합(=구간)으로 제한된다. 참고로 모든 점이 극한점인 집합을 완전집합(perfect set)이라고 한다.

 

  미분가능성의 정의는 다음의 함수에 대한 극한을 말한다.

$$x\mapsto\frac{f(x)-\big(f(c)+L(x-c)\big)}{|x-c|}$$

  이 함수의 정의역은 $f$ 의 정의역이 $A$ 이면 $A\setminus\{c\}$ 임에 유의하자.

 

  위의 일반적인 미분가능성의 정의는 $\mathbb{R}$ 이외의 다른 공간에서도 정의되는 형태의 미분을 담고있다.^[각주:1] 다음의 정의에 따르면 위의 정의와 우리가 알고있는 미분의 정의는 동치이다.

 

정리 19-1)  함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 가 $c\in A$ 에서 미분가능한 필요충분조건은 어떤 $L\in\mathbb{R}$ 이 존재하여 다음이 성립하는 것이다.
$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=L$$  여기서 $L=Df(c)$ 이다.

 

proof)

  ($\Rightarrow$) : $f$ 가 $c$ 에서 미분가능하다고 하자. 다음이 성립한다.

$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)-\big(f(c)+Df(c)(x-c)\big)}{|x-c|}=0$$

  이는 다음을 의미한다.

$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists\delta>0)\;(\forall x\in A\setminus\{c\})$$

$$0<|x-c|<\delta\Rightarrow\left|\frac{f(x)-\big(f(c)+Df(c)(x-c)\big)}{|x-c|}\right|<\epsilon$$

  이때 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\;\left|\frac{f(x)-\big(f(c)+Df(c)(x-c)\big)}{|x-c|}\right|\\=&\;\left|\frac{f(x)-f(c)-Df(c)(x-c)}{x-c}\right|\\=&\;\left|\frac{f(x)-f(c)}{x-c}-Df(c)\right|\end{align}$$

  따라서 다음이 성립한다.

$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=Df(c)$$

 

  ($\Leftarrow$) : 어떤 $L\in\mathbb{R}$ 이 존재하여 다음이 성립한다고 하자.

$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=L$$

  이는 다음을 의미한다.

$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists\delta>0)\;(\forall x\in A\setminus\{c\})$$

$$0<|x-c|<\delta\Rightarrow\left|\frac{f(x)-f(c)}{x-c}-L\right|<\epsilon$$

  이때 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\;\left|\frac{f(x)-f(c)}{x-c}-L\right|\\=&\;\left|\frac{f(x)-f(c)-L(x-c)}{x-c}\right|\\=&\;\left|\frac{f(x)-\big(f(c)+L(x-c)\big)}{|x-c|}\right|\end{align}$$

  따라서 다음이 성립한다.

$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)-\big(f(c)+L(x-c)\big)}{|x-c|}=0$$

  정의에 따라 $f$ 는 $c$ 에서 미분가능하며 $L=Df(c)$ 이다.   $\square$

 

 

  다음의 두 정리를 이용하면 미분가능성의 정의에서 좋은 성질을 빠르게 유도할 수 있다.

 

정리 19-2)  함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 과 $A$ 의 극한점 $c$ 에 대해 다음이 성립한다.$$\lim_{x\to c}f(x)=L\iff\lim_{x\to c}\big(f(x)-L\big)=0$$

 

proof)

  다음이 성립한다고 하자.

$$\lim_{x\to c}f(x)=L$$

  이는 다음과 동치이다.

$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists\delta>0)\;(\forall x\in A)$$

$$0<|x-c|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\epsilon$$

  이때 다음이 자명하게 성립한다.

$$|f(x)-L|<\epsilon\iff\left|\big(f(x)-L\big)-0\right|<\epsilon$$

  따라서 다음이 동시에 성립한다.

$$\lim_{x\to c}\big(f(x)-L\big)=0\tag*{$\square$}$$

 

 

정리 19-3)  두 함수 $f,g:A\to\mathbb{R}$ 와 $A$ 의 극한점 $c$ 에 대해 다음이 성립한다고 가정하자.$$\lim_{x\to c}g(x)=0\qquad\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=L$$  이때 $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=0$ 가 성립한다.

 

proof)

  함수의 극한에 대한 대수극한정리에 따라 다음이 성립한다.

$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}g(x)=L\cdot 0=0$$

  이때 $\frac{f(x)}{g(x)}g(x)=f(x)$ 이므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

  다음의 정리에 따르면 미분가능성은 연속성을 함의한다.

 

정리 19-4)  함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 이 $c\in A$ 에서 미분가능하면 $c$ 에서 연속이다.

 

proof)

  $f$ 가 $c$ 에서 미분가능하면 다음이 성립한다.

$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)-\big(f(c)+Df(c)(x-c)\big)}{|x-c|}=0$$

  이때 $\displaystyle\lim_{x\to c}|x-c|=0$ 이므로 정리 19-3에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{align}0&=\lim_{x\to c}\big(f(x)-\big(f(c)+Df(c)(x-c)\big)\big)\\&=\lim_{x\to c}\big(f(x)-f(c)\big)\end{align}$$

  정리 19-3에 따르면 다음이 성립한다.

$$\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$$

  $c$ 는 $A$ 의 극한점이므로 정리 14-2에 따라 $f$ 는 $c$ 에서 연속이다.   $\square$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

  이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch17. 사잇값 정리

  다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch19. 연쇄법칙

1. 분모에 절댓값 함수가 있는 이유도 이것 때문이다. 벡터와 같은 대상은 크기를 재는 조작을 통해 분모에 위치할 수 있다. [본문으로]