[FTC의 엄밀한 증명] ch12. 극한의 성질 2

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  본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

13. 극한의 성질 2

 

  수렴하는 수열의 극한값은 유일하다. 다음의 정리에 따르면 함수의 극한에서도 유사한 성질이 성립한다.

 

정리 13-1)  함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 과 $A$ 의 극한점 $c$ 에 대해 다음이 성립하면 $L=M$ 이다.$$\lim_{x\to c}f(x)=L\qquad\lim_{x\to c}f(x)=M$$

 

proof)

  임의의 $\epsilon>0$ 을 생각하자. 정의에 따라 어떤 $\delta_1>0$ 이 존재하여 다음이 성립한다.

$$(\forall x\in\ A)$$

$$\textcolor{red}{0<|x-c|<\delta_1\Rightarrow|f(x)-L|<\frac{\epsilon}{2}}$$

  마찬가지로 어떤 $\delta_2>0$ 이 존재하여 다음이 성립한다.

$$(\forall x\in\ A)$$

$$\textcolor{blue}{0<|x-c|<\delta_2\Rightarrow|f(x)-M|<\frac{\epsilon}{2}}$$

  $\delta=\text{min}\{\delta_1,\delta_2\}$ 라고 하자. $\delta\le\delta_1,\delta_2$ 이므로 다음이 성립한다.

$$0<|x-c|<\delta\Rightarrow0<|x-c|<\delta_1$$

$$0<|x-c|<\delta\Rightarrow0<|x-c|<\delta_2$$

 

$$\therefore(\forall x\in A)$$

$$\textcolor{red}{0<|x-c|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\frac{\epsilon}{2}}$$

$$\textcolor{blue}{0<|x-c|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\frac{\epsilon}{2}}$$

  이때 다음이 성립한다. ($\because$ 삼각 부등식)

$$\begin{align}|L-M|&=|L-f(x)+f(x)-M|\\&\le|L+f(x)|+|f(x)-M|\\&<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\end{align}$$

  정리하면 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 $|L-M|<\epsilon$ 이 성립함을 알 수 있다. 만약 $L\neq M$ 이면 $0<|L-M|$ 이므로 실수의 조밀성에 따라 다음을 만족하는 $\epsilon_0\in\mathbb{R}$ 이 존재한다.

$$0<\epsilon_0<|L-M|$$

  이 경우 $|L-M|<\epsilon_0$ 이 성립하지 않으므로 모순. 따라서 $L=M$ 을 얻는다.   $\square$

 

 

  함수의 극한은 정의가 다소 어렵기때문에 발산을 직접 증명하기는 어렵지만, 수열의 힘을 빌리면 조금 쉬워진다.

 

함수의 극한에 대한 발산 판정법 (divergence criterion for functional limits)
  함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 과 $A$ 의 극한점 $c$ 를 생각하자. 다음을 모두 만족하는 두 수열 $(x_n),(y_n)\subset A$ 가 존재하면 $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ 는 존재하지 않는다.
  ▶ $c\notin(x_n)$ , $(x_n)\to c$
  ▶ $c\notin(y_n)$ , $(y_n)\to c$
  ▶ $f(x_n)\to L$ , $f(y_n)\to M$ , $L\neq M$

 

proof)

  모순을 보이기 위해 정리에 언급된 조건을 모두 만족하는 두 수열 $(x_n),(y_n)\subset A$ 가 존재하며 $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ 가 존재한다고 가정하자. 함수의 극한에 대한 수열 판정법에 따라 $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$ 과 $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=M$ 이 성립한다. 정리 13-1에 따르면 $L=M$ 이어야 하는데 이는 가정에 모순된다. 귀류법에 따라 원하는 결과를 얻는다.   $\square$ 

 

 

  이제 함수의 극한에 대한 좋은 성질을 보이자. 아래는 함수의 극한에 대한 수열 판정법과 대수극한정리로 쉽게 증명할 수 있다.

 

함수의 극한에 대한 대수극한정리 (algebraic limit theorem for functional limits)
  두 함수 $f,g:A\to\mathbb{R}$ 와 $A$ 의 극한점 $c$ 에 대해 $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$ , $\displaystyle\lim_{x\to c}g(x)=M$ 이라고 가정하자. 다음이 성립한다.
  (ⅰ) 모든 $k\in\mathbb{R}$ 에 대해, $\displaystyle\lim_{x\to c}(kf)(x)=kL$
  (ⅱ) $\displaystyle\lim_{x\to c}(f+g)(x)=L+M$
  (ⅲ) $\displaystyle\lim_{x\to c}(fg)(x)=LM$
  (ⅳ) $M\neq 0$ 이면 $\displaystyle\lim_{x\to c}$$\left(\frac{f}{g}\right)\!(x)=\frac{L}{M}$

 

※ 함수의 사칙연산 : $(kf)(x)=kf(x)$ , $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ , $(fg)(x)=f(x)g(x)$ , $\left(\frac{f}{g}\right)\!(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$

 

proof)

  $c\notin(x_n)$ 와 $(x_n)\to c$ 를 만족하는 임의의 $(x_n)\subset A$ 를 생각하자. 함수의 극한에 대한 수열 판정법에 따라 $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$ 이면  $f(x_n)\to L$ 이고 $\displaystyle\lim_{x\to c}g(x)=M$ 이면 $g(x_n)\to M$ 이다. 이 수열 $(x_n)$ 에 대해 다음의 증명을 확인하자.

 

  (ⅰ) : 대수극한정리에 따라 $f(x_n)\to L$ 이면 다음이 성립한다.

$$(kf)(x_n)=kf(x_n)\to kL$$

  함수의 극한에 대한 수열 판정법에 따라 다음이 성립한다.

$$\lim_{x\to c}(kf)(x)=kL$$

 

  (ⅱ) : 대수극한정리에 따라 $f(x_n)\to L$ 이고 $g(x_n)\to M$ 이면 다음이 성립한다.

$$(f+g)(x_n)=\big(f(x_n)+g(x_n)\big)\to L+M$$

  함수의 극한에 대한 수열 판정법에 따라 다음이 성립한다.

$$\lim_{x\to c}(f+g)(x)=L+M$$

 

  (ⅲ) : 대수극한정리에 따라 $f(x_n)\to L$ 이고 $g(x_n)\to M$ 이면 다음이 성립한다.

$$(fg)(x_n)=\big(f(x_n)g(x_n)\big)\to LM$$

  함수의 극한에 대한 수열 판정법에 따라 다음이 성립한다.

$$\lim_{x\to c}(fg)(x)=LM$$

 

  (ⅳ) : 대수극한정리에 따라 $f(x_n)\to L$ 이고 $g(x_n)\to M\neq0$ 이면 다음이 성립한다.

$$\left(\frac{f}{g}\right)\!(x_n)=\frac{f(x_n)}{g(x_n)}\to\frac{L}{M}$$

  함수의 극한에 대한 수열 판정법에 따라 다음이 성립한다.

$$\lim_{x\to c}\left(\frac{f}{g}\right)\!(x)=\frac{L}{M}\tag*{$\square$}$$

 

 

  함수의 극한에 대한 대수극한정리는 $c$ 에서 극한이 존재하는 두 함수 $f,g$ 에 대해 다음의 조작이 가능함을 이야기한다.

$$\lim_{x\to c}kf(x)=k\lim_{x\to c}f(x)$$

$$\lim_{x\to c}\big(f(x)+g(x)\big)=\lim_{x\to c}f(x)+\lim_{x\to c}g(x)$$

$$\lim_{x\to c}f(x)g(x)=\lim_{x\to c}f(x)\lim_{x\to c}g(x)$$

$$\lim_{x\to c}g(x)\neq 0:\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to c}g(x)}$$

 

  다음의 정의는 우리의 직관과 일치하는 성질을 갖고있다.

 

정리 13-1)  함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 과 $A$ 의 극한점 $c$ , 임의의 $k\in\mathbb{R}$ 에 대해 다음이 성립한다.$$\lim_{x\to c}f(x)=L\iff\lim_{x\to c+k}f(x-k)=L$$

 

※ 위에서 함수 $f(x-k)$ 는 정확히 다음의 함수를 의미한다.

$$A+k\to\mathbb{R},\;x\mapsto f(x-k)$$

  여기서 $A+k$ 란 다음의 집합을 의미한다.

$$A+k:=\{a+k:a\in A\}$$

 

proof)

  다음이 성립한다고 하자.

$$\lim_{x\to c}f(x)=L$$

  이는 다음과 동치이다.

$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists\delta>0)\;(\forall x\in A)$$

$$0<|x-c|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\epsilon$$

  이때 $x=t-k$ 라고 하면 $x\in A$ 일 때 $t-k\in A$ 이므로 $t\in A+k$ 이다. 따라서 다음을 얻는다.

$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists\delta>0)\;(\forall t\in A+k)$$

$$0<|t-(c+k)|<\delta\Rightarrow|f(t-k)-L|<\epsilon$$

$$\therefore\lim_{t\to c+k}f(t-k)=L$$

  위에서 $t$ 를 $x$ 로 표기하면 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

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