[FTC의 엄밀한 증명] ch12. 극한의 성질 2

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  본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

13. 극한의 성질 2

 

  수렴하는 수열의 극한값은 유일하다. 다음의 정리에 따르면 함수의 극한에서도 유사한 성질이 성립한다.

 

정리 13-1)  함수 $f:A\to \mathbb{R}$ 과 $A$ 의 극한점 $c$ 에 대해 다음이 성립하면 $L=M$ 이다.$$\underset{x\to c}{lim}f(x)=L\underset{x\to c}{lim}f(x)=M$$

 

proof)

  임의의 $ϵ>0$ 을 생각하자. 정의에 따라 어떤 ${\delta }_1>0$ 이 존재하여 다음이 성립한다.

$$(\mathrm{\forall }x\in A)$$

$$0<|x-c|<{\delta }_1\Rightarrow |f(x)-L|<\frac{ϵ}{2}$$

  마찬가지로 어떤 ${\delta }_2>0$ 이 존재하여 다음이 성립한다.

$$(\mathrm{\forall }x\in A)$$

$$0<|x-c|<{\delta }_2\Rightarrow |f(x)-M|<\frac{ϵ}{2}$$

  $\delta =\text{min}\{{\delta }_1,{\delta }_2\}$ 라고 하자. $\delta \le {\delta }_1,{\delta }_2$ 이므로 다음이 성립한다.

$$0<|x-c|<\delta \Rightarrow 0<|x-c|<{\delta }_1$$

$$0<|x-c|<\delta \Rightarrow 0<|x-c|<{\delta }_2$$

 

$$\therefore (\mathrm{\forall }x\in A)$$

$$0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\frac{ϵ}{2}$$

$$0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\frac{ϵ}{2}$$

  이때 다음이 성립한다. ($\because$ 삼각 부등식)

$$\begin{array}{rl}|L-M|& =|L-f(x)+f(x)-M|\\ & \le |L+f(x)|+|f(x)-M|\\ & <\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ\end{array}$$

  정리하면 임의의 $ϵ>0$ 에 대해 $|L-M|<ϵ$ 이 성립함을 알 수 있다. 만약 $L\ne M$ 이면 $0<|L-M|$ 이므로 실수의 조밀성에 따라 다음을 만족하는 ${ϵ}_0\in \mathbb{R}$ 이 존재한다.

$$0<{ϵ}_0<|L-M|$$

  이 경우 $|L-M|<{ϵ}_0$ 이 성립하지 않으므로 모순. 따라서 $L=M$ 을 얻는다.   $◻$

 

 

  함수의 극한은 정의가 다소 어렵기때문에 발산을 직접 증명하기는 어렵지만, 수열의 힘을 빌리면 조금 쉬워진다.

 

함수의 극한에 대한 발산 판정법 (divergence criterion for functional limits)
  함수 $f:A\to \mathbb{R}$ 과 $A$ 의 극한점 $c$ 를 생각하자. 다음을 모두 만족하는 두 수열 $(x_n),(y_n)\subset A$ 가 존재하면 ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}f(x)}$ 는 존재하지 않는다.
  ▶ $c\notin (x_n)$ , $(x_n)\to c$
  ▶ $c\notin (y_n)$ , $(y_n)\to c$
  ▶ $f(x_n)\to L$ , $f(y_n)\to M$ , $L\ne M$

 

proof)

  모순을 보이기 위해 정리에 언급된 조건을 모두 만족하는 두 수열 $(x_n),(y_n)\subset A$ 가 존재하며 ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}f(x)}$ 가 존재한다고 가정하자. 함수의 극한에 대한 수열 판정법에 따라 ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}f(x)=L}$ 과 ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}f(x)=M}$ 이 성립한다. 정리 13-1에 따르면 $L=M$ 이어야 하는데 이는 가정에 모순된다. 귀류법에 따라 원하는 결과를 얻는다.   $◻$ 

 

 

  이제 함수의 극한에 대한 좋은 성질을 보이자. 아래는 함수의 극한에 대한 수열 판정법과 대수극한정리로 쉽게 증명할 수 있다.

 

함수의 극한에 대한 대수극한정리 (algebraic limit theorem for functional limits)
  두 함수 $f,g:A\to \mathbb{R}$ 와 $A$ 의 극한점 $c$ 에 대해 ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}f(x)=L}$ , ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}g(x)=M}$ 이라고 가정하자. 다음이 성립한다.
  (ⅰ) 모든 $k\in \mathbb{R}$ 에 대해, ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}(kf)(x)=kL}$
  (ⅱ) ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}(f+g)(x)=L+M}$
  (ⅲ) ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}(fg)(x)=LM}$
  (ⅳ) $M\ne 0$ 이면 ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}}$$\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{L}{M}$

 

※ 함수의 사칙연산 : $(kf)(x)=kf(x)$ , $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ , $(fg)(x)=f(x)g(x)$ , $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$

 

proof)

  $c\notin (x_n)$ 와 $(x_n)\to c$ 를 만족하는 임의의 $(x_n)\subset A$ 를 생각하자. 함수의 극한에 대한 수열 판정법에 따라 ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}f(x)=L}$ 이면  $f(x_n)\to L$ 이고 ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}g(x)=M}$ 이면 $g(x_n)\to M$ 이다. 이 수열 $(x_n)$ 에 대해 다음의 증명을 확인하자.

 

  (ⅰ) : 대수극한정리에 따라 $f(x_n)\to L$ 이면 다음이 성립한다.

$$(kf)(x_n)=kf(x_n)\to kL$$

  함수의 극한에 대한 수열 판정법에 따라 다음이 성립한다.

$$\underset{x\to c}{lim}(kf)(x)=kL$$

 

  (ⅱ) : 대수극한정리에 따라 $f(x_n)\to L$ 이고 $g(x_n)\to M$ 이면 다음이 성립한다.

$$(f+g)(x_n)=(f(x_n)+g(x_n))\to L+M$$

  함수의 극한에 대한 수열 판정법에 따라 다음이 성립한다.

$$\underset{x\to c}{lim}(f+g)(x)=L+M$$

 

  (ⅲ) : 대수극한정리에 따라 $f(x_n)\to L$ 이고 $g(x_n)\to M$ 이면 다음이 성립한다.

$$(fg)(x_n)=(f(x_n)g(x_n))\to LM$$

  함수의 극한에 대한 수열 판정법에 따라 다음이 성립한다.

$$\underset{x\to c}{lim}(fg)(x)=LM$$

 

  (ⅳ) : 대수극한정리에 따라 $f(x_n)\to L$ 이고 $g(x_n)\to M\ne 0$ 이면 다음이 성립한다.

$$\left(\frac{f}{g}\right)(x_n)=\frac{f(x_n)}{g(x_n)}\to \frac{L}{M}$$

  함수의 극한에 대한 수열 판정법에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{}◻& \underset{x\to c}{lim}\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{L}{M}\end{array}$$

 

 

  함수의 극한에 대한 대수극한정리는 $c$ 에서 극한이 존재하는 두 함수 $f,g$ 에 대해 다음의 조작이 가능함을 이야기한다.

$$\underset{x\to c}{lim}kf(x)=k\underset{x\to c}{lim}f(x)$$

$$\underset{x\to c}{lim}(f(x)+g(x))=\underset{x\to c}{lim}f(x)+\underset{x\to c}{lim}g(x)$$

$$\underset{x\to c}{lim}f(x)g(x)=\underset{x\to c}{lim}f(x)\underset{x\to c}{lim}g(x)$$

$$\underset{x\to c}{lim}g(x)\ne 0:\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{{\displaystyle \underset{x\to c}{lim}f(x)}}{{\displaystyle \underset{x\to c}{lim}g(x)}}$$

 

  다음의 정의는 우리의 직관과 일치하는 성질을 갖고있다.

 

정리 13-1)  함수 $f:A\to \mathbb{R}$ 과 $A$ 의 극한점 $c$ , 임의의 $k\in \mathbb{R}$ 에 대해 다음이 성립한다.$$\underset{x\to c}{lim}f(x)=L⟺\underset{x\to c+k}{lim}f(x-k)=L$$

 

※ 위에서 함수 $f(x-k)$ 는 정확히 다음의 함수를 의미한다.

$$A+k\to \mathbb{R},x\mapsto f(x-k)$$

  여기서 $A+k$ 란 다음의 집합을 의미한다.

$$A+k:=\{a+k:a\in A\}$$

 

proof)

  다음이 성립한다고 하자.

$$\underset{x\to c}{lim}f(x)=L$$

  이는 다음과 동치이다.

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in A)$$

$$0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

  이때 $x=t-k$ 라고 하면 $x\in A$ 일 때 $t-k\in A$ 이므로 $t\in A+k$ 이다. 따라서 다음을 얻는다.

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }t\in A+k)$$

$$0<|t-(c+k)|<\delta \Rightarrow |f(t-k)-L|<ϵ$$

$$\therefore \underset{t\to c+k}{lim}f(t-k)=L$$

  위에서 $t$ 를 $x$ 로 표기하면 원하는 결과를 얻는다.   $◻$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

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