[FTC의 엄밀한 증명] ch9. 연결집합

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  본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

10. 연결집합

 

  지난 포스팅에서 열린 집합과 닫힌 집합에 대해 알아보았다. 이 두 집합으로도 할 수 있는 작업이 충분히 많지만, 아직 우리에게 필요한 집합이 더 남아있다. 함수를 공부하기에 앞서, 임의의 두 점 사이가 끊기지 않고 쭉 연결되어있는 성질을 가진 집합이 필요하다. 이는 열린 집합이나 닫힌 집합으로는 불충분하다. 지난 포스팅에서 언급한 다음의 집합을 보자.

$$\{0\}\cup \{\frac{1}{n}:n\in \mathbb{N}\}$$

  위 집합은 정의에 충실하면 닫힌 집합이지만, $0$ 을 제외한 모든 점이 고립점이므로 상당히 뚝뚝 끊겨있는 집합이다. 열린 집합도 사정이 크게 다르지 않다. 예를 들자면 집합 $(-2,0)\cup (0,2)$ 은 열린 집합이지만 $-1$ 과 $1$ 사이에는 $0$ 으로 인해 끊겨있는 점이 존재한다.

 

  끊기지 않고 연결되어있다는 것을 차근차근 정의해보자.

 

 

10.1. 폐포

 

정의)  집합 $A\subset \mathbb{R}$ 의 모든 극한점의 집합 $A^{\prime }$ 에 대해 집합 $A\cup A^{\prime }$ 을 $A$ 의 폐포(closure)라고 하며 $\bar{A}$ 라고 쓴다.

 

  즉, $A$ 의 폐포 $\bar{A}$ 는 $A$ 의 극한점을 모두 보강해준 집합인 것이다. 직관적인 예시를 들자면, $(a,b)$ 의 폐포는 $[a,b]$ 이다. 다음의 정리에 따르면 폐포란 어떤 집합을 최소한으로 확장하여 닫힌 집합을 만드는 방법이다.

 

정리 10.1-1)  임의의 집합 $A\subset \mathbb{R}$ 에 대해 $\bar{A}$ 는 $A$ 를 포함하는 가장 작은 닫힌 집합이다.

 

proof)

  $A$ 가 공집합인 경우에는 $\bar{\varnothing }=\varnothing$ 이며 $\varnothing$ 은 닫힌 집합이므로 정리가 자명하게 성립한다. $A$ 가 공집합이 아닐 때를 생각하자.

 

  만약 $\bar{A}$ 의 임의의 극한점 $x$ 가 동시에 $A$ 의 극한점이라면, 폐포의 정의에 따라 $x\in \bar{A}$ 가 성립하게 된다. 따라서 $\bar{A}$ 가 닫힌 집합임을 보이기 위해서는 $\bar{A}$ 의 임의의 극한점이 $A$ 의 극한점임을 보이는 것으로 충분하다.

 

  모순을 보이기 위해 어떤 $x\in \mathbb{R}$ 가 존재하여 $\bar{A}$ 의 극한점이며 $A$ 의 극한점이 아니라고 가정하자. $x$ 가 $A$ 의 극한점이 아니라는 가정에 따르면 어떤 $B_{{ϵ}_0}(x)$ 가 존재하여 임의의 $a\in A$ 에 대해 $a=x$ 또는 $a\notin B_{{ϵ}_0}(x)$ 가 성립한다. 그리고 $x$ 가 $\bar{A}$ 의 극한점이라는 가정에 따르면 어떤 $b\in \bar{A}$ 가 존재하여 $b\ne x$ 와 $b\in B_{{ϵ}_0}(x)$ 가 성립한다. 이때 $b\in \bar{A}$ 라는 것은 $b$ 가 $A$ 의 원소이거나 $A$ 의 극한점임을 의미하는데, 위의 논의에 따르면 $b$ 는 $A$ 의 원소가 될 수 없다. 따라서 $b$ 는 $A$ 의 극한점이다.

 

  $b\ne x$ 이며 $b\in B_{{ϵ}_0}(x)$ 이므로 $(x-{ϵ}_0,x)$ , $(x,x+{ϵ}_0)$ 둘 중 하나는 $b$ 를 포함한다. 그 열린 구간을 $I$ 라고 하자. 여기서 $I$ 는 열린 구간이므로 열린 집합이다. ($\because$ 정리 9.1-1) 열린 집합의 정의에 따라 어떤 $B_{{ϵ}_1}(b)$ 가 존재하여 $B_{{ϵ}_1}(b)\subset I\subset B_{{ϵ}_0}(x)$ 가 성립한다. $b$ 는 $A$ 의 극한점이므로 어떤 $c\in A$ 가 존재하여 $c\in B_{{ϵ}_1}(b)$ 를 만족하며, $c\in B_{{ϵ}_0}(x)$ 도 만족하게 된다. 다시 위의 논의에 따르면 적어도 $c=x$ 가 성립해야 하는데, $I$ 는 $x$ 를 포함하지 않으므로 $c\ne x$ 이다. 이는 모순이므로 귀납법에 따라 $\bar{A}$ 의 임의의 극한점은 $A$ 의 극한점이다.

 

  $\bar{A}$ 가 $A$ 를 포함하는 가장 작은 닫힌 집합이라는 것은 임의의 닫힌 집합 $F$ 에 대해 $A\subset F$ 이면 $\bar{A}\subset F$ 가 성립한다는 것이다. $A$ 의 임의의 극한점 $x$ 를 생각하자. 임의의 $B_{ϵ}(x)$ 에 대해 어떤 $a\in A$ 가 존재하여 $a\ne x$ 이며 $a\in B_{ϵ}(x)$ 가 성립한다. $A\subset F$ 를 만족하는 임의의 닫힌 집합 $F$ 에 대해 $a\in F$ 도 성립하므로 $x$ 는 $F$ 의 극한점이기도 하다. 따라서 $A$ 의 모든 극한점은 $F$ 에 포함되므로 $\bar{A}\subset F$ 도 성립한다. 따라서 원하는 결과를 얻는다.   $◻$

 

 

  중요한 정리를 증명하기 위해 아래를 해결해두자.

 

정리 10.1-2)  임의의 두 집합 $A,B\subset \mathbb{R}$ 에 대해 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $A\subset B$ 이면 $\bar{A}\subset \bar{B}$ 이다.
  (ⅱ) $\overline{A\cap B}\subset \bar{A}\cap \bar{B}$
  (ⅲ) $A$ 가 공집합이 아니고 위로 유계이면 $\text{sup}A\in \bar{A}$ 이다.

                     

proof)

  먼저 $A\subset B$ 이면 $A$ 의 극한점은 $B$ 의 극한점임을 보이자. $A$ 의 극한점 $x$ 의 임의의 $ϵ$-근방  $B_{ϵ}(x)$ 를 생각하자. 정의에 따르면 어떤 $a\in A$ 가 존재하여 $a\ne x$ 이며 $a\in B_{ϵ}(x)$ 가 성립한다. 이때 $a\in B$ 이기도 하므로 $x$ 는 $B$ 의 극한점이기도 하다. 따라서 원하는 결과를 얻는다.

 

  (ⅰ) : 임의의 $x\in \bar{A}$ 를 생각하자. $x$ 는 $A$ 의 원소이거나 $A$ 의 극한점이다. $x$ 가 $A$ 의 원소이면 $x\in A\subset B\subset \bar{B}$ 이므로 $x\in \bar{B}$ 이다. $x$ 가 $A$ 의 극한점이면 위의 논의에 따라 $B$ 의 극한점이므로 $x\in \bar{B}$ 이다. 정리하면 $\bar{A}\subset \bar{B}$ 를 얻는다.

 

  (ⅱ) : 임의의 $x\in \overline{A\cap B}$ 를 생각하자. $x$ 는 $A\cap B$ 의 원소이거나 $A\cap B$ 의 극한점이다.

 

  $x$ 가 $A\cap B$ 의 원소라고 가정하자. $x\in A$ 이며 $x\in B$ 이다. 이때 $A\subset \bar{A}$ 및 $B\subset \bar{B}$ 이므로 $x\in \bar{A}$ 와 $x\in \bar{B}$ 가 성립한다. 따라서 $x\in \bar{A}\cap \bar{B}$ 를 얻는다.

 

  $x$ 가 $A\cap B$ 의 극한점이라고 가정하자. $A\cap B\subset A$ 이고 $A\cap B\subset B$ 이므로 앞선 논의에 따르면 $x$ 는 $A$ 의 극한점이며 $B$ 의 극한점이다. 따라서 $x\in \bar{A}\cap \bar{B}$ 를 얻는다.

 

  (ⅲ) : $A$ 가 공집합이 아니고 위로 유계이면 $A$ 의 상한 $s=\text{sup}A$ 가 존재한다. 임의의 $B_{ϵ}(s)$ 에 대해 $s-ϵ$ 은 $A$ 의 상계가 아니므로 $s-ϵ<a$ 이도록 하는 $a\in A$ 가 존재한다. 이때 다음이 성립한다.

$$s-ϵ<a<s<s+ϵ$$

$$\therefore a\in B_{ϵ}(s)$$

  정의에 따라 $s$ 는 $A$ 의 극한점이므로 $\text{sup}A\in \bar{A}$ 를 얻는다.   $◻$

 

 

10.2. 연결집합의 정의

 

  폐포의 도움을 받으면 어떤 집합에 대한 연결성을 정의할 수 있다. 다음을 참고하자.

 

정의)  공집합이 아닌 두 집합 $A,B$ 에 대해 $\bar{A}\cap B$ 와 $A\cap \bar{B}$ 가 모두 공집합이면 $A$ 와 $B$ 가 분리되었다(separated)고 한다.

 

  예를 들자면 $(-2,0)$ 와 $(0,2)$ 는 분리되었으며, $(-2,0]$ 과 $(0,2)$ 는 분리되지 않았다.

 

  아래의 정리에 따르면 분리는 서로소보다 더욱 강한 조건이다.

 

정리 10.2-1)  분리된 두 집합은 서로소이다.

 

proof)

  임의의 분리된 두 집합 $A,B$ 를 생각하자. 정의에 따라 $\bar{A}\cap B=\varnothing$ 가 성립한다. 이때 $A\subset \bar{A}$ 이므로 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{}◻& A\cap B\subset \bar{A}\cap B=\varnothing \end{array}$$

 

 

  연결집합을 정의하기 위해 다음의 보조정의를 확인하자.

 

정의)  집합 $E$ 에 대해 공집합이 아닌 어떤 두 집합 $A,B$ 가 존재하여 $A$ 와 $B$ 가 분리되었으며 $E=A\cup B$ 를 만족하면 $E$ 를 비연결집합(disconnected set)이라고 한다.

 

※ 위와 같이 비연결집합을 정의하는 방식은 'Stephen Abbott, Understanding Analysis' 를 따름.

 

  비연결집합의 정의를 논리기호로 표현하면 다음과 같다. (논리기호 읽는 방법은 링크의 초반부 참고)

$$(\mathrm{\exists }A,B\in \mathbb{R})$$

$$\begin{array}{c}(E=A\cup B)\wedge (A\ne \varnothing )\wedge (B\ne \varnothing )\\ \wedge (\bar{A}\cap B=A\cap \bar{B}=\varnothing )\end{array}$$

  다시말해 비연결집합은 분리된 두 집합의 합집합으로 표현할 수 있는 집합을 말한다.

 

  연결집합은 비연결집합의 정의에 부정을 취하여 얻을 수 있다.

 

정의)  비연결집합이 아닌 집합을 연결집합(connected set)이라고 한다.

 

※ 정의에 따르면 원소를 0~1개만 갖는 집합도 공허참에 따라 연결집합이지만, 흥미있는 대상은 아니다.

 

  연결집합을 부정문이 아닌 긍정문으로 서술하려면 다소 복잡하며 여러 방법이 존재한다. 집합 $E$ 가 연결집합이라는 것과 다음은 모두 동치이다. (술어논리의 연산은 부록 참조)

 

  ▷ $E=A\cup B$ 를 만족하는 공집합이 아닌 임의의 두 집합 $A,B$ 에 대해 $A$ 와 $B$ 는 분리되지 않아야 한다. ($A$ 와 $B$ 가 분리되지 않았다는 말은 $\bar{A}\cup B$ 와 $A\cup \bar{B}$ 중 적어도 하나는 공집합이 아니라는 뜻이다)

 

proof)

  비연결집합의 정의에 부정을 취하면 다음과 같다.

$$(\mathrm{\forall }A,B\in \mathbb{R})$$

$$\mathrm{\neg }\left(\begin{array}{c}(E=A\cup B)\wedge (A\ne \varnothing )\wedge (B\ne \varnothing )\\ \wedge (\bar{A}\cap B=A\cap \bar{B}=\varnothing )\end{array}\right)$$

$$\iff \left(\begin{array}{c}\mathrm{\neg }((E=A\cup B)\wedge (A\ne \varnothing )\wedge (B\ne \varnothing ))\\ \vee \mathrm{\neg }(\bar{A}\cap B=A\cap \bar{B}=\varnothing )\end{array}\right)$$

$$\iff \left(\begin{array}{c}((E=A\cup B)\wedge (A\ne \varnothing )\wedge (B\ne \varnothing ))\\ \Rightarrow \mathrm{\neg }(\bar{A}\cap B=A\cap \bar{B}=\varnothing )\end{array}\right)$$

$$\iff \left(\begin{array}{c}((E=A\cup B)\wedge (A\ne \varnothing )\wedge (B\ne \varnothing ))\\ \Rightarrow ((\bar{A}\cap B\ne \varnothing )\vee (A\cap \bar{B}\ne \varnothing ))\end{array}\right)$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.   $◻$

 

 

  ▷ $E=A\cup B$ 를 만족하는 공집합이 아니고 서로소인 임의의 두 집합 $A,B$ 에 대해 $A$ 가 $B$ 의 극한점을 포함하거나 $B$ 가 $A$ 의 극한점을 포함한다.

 

proof)

  비연결집합의 정의에 부정을 취하면 다음과 같다.

$$(\mathrm{\forall }A,B\in \mathbb{R})$$

$$\mathrm{\neg }\left(\begin{array}{c}(E=A\cup B)\wedge (A\ne \varnothing )\wedge (B\ne \varnothing )\\ \wedge (\bar{A}\cap B=A\cap \bar{B}=\varnothing )\end{array}\right)$$

  이때 $A$ 의 극한점의 집합을 $A^{\prime }$ 라고 한다면 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}\bar{A}\cap B=\varnothing & ⟺(A\cup A^{\prime })\cap B=\varnothing \\ & ⟺(A\cap B)\cup (A^{\prime }\cap B)=\varnothing \\ & ⟺(A\cap B=\varnothing )\wedge (A^{\prime }\cap B=\varnothing )\end{array}$$

  따라서 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}& \bar{A}\cap B=A\cap \bar{B}=\varnothing \\ & ⟺(\bar{A}\cap B=\varnothing )\wedge (A\cap \bar{B}=\varnothing )\\ & ⟺\left(\begin{array}{c}(A\cap B=\varnothing )\wedge (A^{\prime }\cap B=\varnothing )\\ \wedge (A\cap B=\varnothing )\wedge (A\cap B^{\prime }=\varnothing )\end{array}\right)\\ & ⟺\left(\begin{array}{c}(A\cap B=\varnothing )\\ \wedge (A\cap B=\varnothing )\wedge (A\cap B^{\prime }=\varnothing )\end{array}\right)\end{array}$$

  정리하면 다음이 성립한다.

$$\mathrm{\neg }\left(\begin{array}{c}(E=A\cup B)\wedge (A\ne \varnothing )\wedge (B\ne \varnothing )\\ \wedge (\bar{A}\cap B=A\cap \bar{B}=\varnothing )\end{array}\right)$$

$$\iff \mathrm{\neg }\left(\begin{array}{c}(E=A\cup B)\wedge (A\ne \varnothing )\wedge (B\ne \varnothing )\\ \wedge (A\cap B=\varnothing )\\ \wedge (A\cap B=\varnothing )\wedge (A\cap B^{\prime }=\varnothing )\end{array}\right)$$

$$\iff \left(\begin{array}{c}\mathrm{\neg }\left(\begin{array}{c}(E=A\cup B)\wedge (A\cap B=\varnothing )\\ \wedge (A\ne \varnothing )\wedge (B\ne \varnothing )\end{array}\right)\\ \vee \mathrm{\neg }(A^{\prime }\cap B=A\cap B^{\prime }=\varnothing )\end{array}\right)$$

$$\iff \left(\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}(E=A\cup B)\wedge (A\cap B=\varnothing )\\ \wedge (A\ne \varnothing )\wedge (B\ne \varnothing )\end{array}\right)\\ \Rightarrow \mathrm{\neg }(A^{\prime }\cap B=A\cap B^{\prime }=\varnothing )\end{array}\right)$$

$$\iff \left(\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}(E=A\cup B)\wedge (A\cap B=\varnothing )\\ \wedge (A\ne \varnothing )\wedge (B\ne \varnothing )\end{array}\right)\\ \Rightarrow ((A^{\prime }\cap B\ne \varnothing )\vee (A\cap B^{\prime }=\varnothing ))\end{array}\right)$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.   $◻$

 

 

  위의 두 번째 동치정의를 이용하면 수열을 이용하여 연결집합을 판별할 수 있다.

 

정리10.2-2)  집합 $E\subset \mathbb{R}$ 이 연결집합일 필요충분조건은 $E=A\cup B$ 를 만족하는 공집합이 아니고 서로소인 임의의 두 집합 $A,B$ 에 대해 다음의 두 명제 중 적어도 하나를 만족하는 수열 $(x_n)$ 이 존재하는 것이다.$$\begin{array}{c}A\supset (x_n)\to x\in B\\ B\supset (x_n)\to x\in A\end{array}$$

 

proof)

  ($\Rightarrow$) : $E$ 가 연결집합이라고 하자. 위의 논의에 따르면 $E=A\cup B$ 를 만족하는 공집합이 아니고 서로소인 임의의 두 집합 $A,B$ 에 대해 $A$ 가 $B$ 의 극한점을 포함하거나 $B$ 가 $A$ 의 극한점을 포함한다.

 

  $A$ 가 $B$ 의 극한점을 포함한다고 가정하자. $A$ 의 극한점 $x$ 에 대해 $x\in B$ 가 성립한다. 정리 9.2-1에 따르면 어떤 수열 $(x_n)\subset A$ 가 존재하여 $x\notin (x_n)$ 이며 $(x_n)\to x$ 가 성립한다. 정리하면 다음이 성립한다.

$$A\supset (x_n)\to x\in B$$

  $B$ 가 $A$ 의 극한점을 포함한다고 가정할때도 비슷하게 다음이 성립함을 보일 수 있다.

$$B\supset (x_n)\to x\in A$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.

 

  ($\Leftarrow$) : $E=A\cup B$ 를 만족하는 공집합이 아니고 서로소인 임의의 두 집합 $A,B$ 에 대해 다음을 만족하는 수열 $(x_n)$ 이 존재한다고 하자.

$$A\supset (x_n)\to x\in B\text{ or }B\supset (x_n)\to x\in A$$

  $A$ 가 $B$ 의 극한점을 포함하거나 $B$ 가 $A$ 의 극한점을 포함하는 것을 보이면 충분하다.

 

  다음을 만족하는 수열 $(x_n)$ 이 존재한다고 가정하자.

$$A\supset (x_n)\to x\in B$$

  $(x_n)\subset A$ 이며 $x\in B$ 인데, $A$ 와 $B$ 는 서로소이므로 $x\notin A$ 이다. 정리 9.2-1에 따라 $x$ 는 $A$ 의 극한점이며 $x\in B$ 이므로 $B$ 는 $A$ 의 극한점을 포함함을 알 수 있다. 역으로 다음을 만족하는 수열 $(x_n)$ 이 존재한다고 가정하면 비슷하게 $A$ 가 $B$ 의 극한점을 포함함을 알 수 있다.

$$B\supset (x_n)\to x\in A$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.   $◻$

 

 

10.3. 연결집합과 구간

 

  보다시피 연결집합의 정의는 다소 복잡하다. 하지만 이는 $\mathbb{R}$ 외의 다양한 공간에서 연결집합을 한번에 정의하기 위한 아이디어이며, $\mathbb{R}$ 에서는 연결집합이란 그저 구간에 불과하다. 우선 구간이 무엇인지 명확히 하자. 임의의 두 실수  $a<b$ 에 대해 실수의 조밀성에 따라 $a<c<b$ 를 만족하는 실수 $c$ 가 존재한다는 것을 기억하자.

 

정의)  집합 $I\subset \mathbb{R}$ 을 생각하자. 임의의 $a,b\in I$ 에 대해 $[a,b]\subset I$ (또는 $[b,a]\subset I$) 가 성립하는 경우 $I$ 를 구간(interval)이라고 한다.

 

※ 마찬가지로 원소를 0~1개만 갖는 집합도 공허참에 따라 구간이지만, 흥미는 없다.

 

  구간의 정의를 보면 그 집합에 속하는 두 점 사이의 모든 점을 포함하도록 한다. 다음의 정리에 따르면 구간과 연결집합은 같은 의미임을 알 수 있다.

 

정리 10.3-1)  집합 $E\subset \mathbb{R}$ 이 연결집합일 필요충분조건은 $E$ 가 구간인 것이다.

 

proof)

  원소를 0~1개만 갖는 집합 $E$ 는 연결집합이자 구간이므로 위 정리는 자명하게 성립한다. 적어도 원소를 두 개 이상 갖는 집합 $E$ 를 생각하자.

 

  ($\Rightarrow$) : 집합 $E$ 가 구간이 아니라고 하자. $E$ 가 연결집합이 아님을 보이면 된다. 구간의 정의에 따라 어떤 $a,b\in E$ 가 존재하여 (일반성을 잃지 않고 $a\le b$ 라고 가정하자) $[a,b]\not\subset E$ 가성립한다. 이는 $c\notin E$ 인 어떤 $c\in [a,b]$ 가 존재한다는 뜻이며, 이 $a,b,c$ 에 대해 다음의 두 집합을 정의하자.

$$A=(-\mathrm{\infty },c)\cap EB=(c,\mathrm{\infty })\cap E$$

  $c\notin E$ 이므로 $A\cup B=E$ 임을 알 수 있다. 정리 10.1-2(ⅱ)에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{c}\bar{A}\subset (-\mathrm{\infty },c]\cap \bar{E}\\ \bar{B}\subset [c,\mathrm{\infty })\cap \bar{E}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\bar{A}\cap B& \subset ((-\mathrm{\infty },c]\cap \bar{E})\cap ((c,\mathrm{\infty })\cap E)\\ & =((-\mathrm{\infty },c]\cap (c,\mathrm{\infty }))\cap (\bar{E}\cap E)\\ & =\varnothing \cap (\bar{E}\cap E)=\varnothing \end{array}$$

$$\begin{array}{rl}A\cap \bar{B}& \subset ((-\mathrm{\infty },c)\cap E)\cap ([c,\mathrm{\infty })\cap \bar{E})\\ & =((-\mathrm{\infty },c)\cap [c,\mathrm{\infty }))\cap (E\cap \bar{E})\\ & =\varnothing \cap (E\cap \bar{E})=\varnothing \end{array}$$

  $\bar{A}\cap B$ 와 $A\cap \bar{B}$ 둘 다 공집합이므로 $E$ 는 비연결집합이다. 따라서 원하는 결과를 얻는다.

 

  ($\Leftarrow$) : $E$ 가 구간이라고 하자. $E=A\cup B$ 를 만족하는 공집합이 아니고 서로소인 임의의 두 집합 $A,B$ 를 생각하자. 임의의 $a_0\in A$ , $b_0\in B$ 를 생각하자. $A$ 와 $B$ 는 서로소이므로 $a_0\ne b_0$ 이다. 일반성을 잃지 않고 $a_0<b_0$ 이라고 가정하자. $a_0,b_0\in E$ 이므로 구간의 정의에 따라 $[a_0,b_0]\in E$ 가 성립한다. $[a_0,b_0]=I_0$ 이라고 하자.

 

  닫힌 구간 $I_0$ 의 중점은 $E=A\cup B$ 에 속하므로 반드시 $A$ 또는 $B$ 에 속한다. 따라서 $I_0$ 을 이등분하여 얻을 수 있는 두 닫힌 구간 중에서 왼쪽과 오른쪽 끝점이 각각 $A$ 와 $B$ 의 원소인 구간이 존재한다. 이 구간을 $I_1=[a_1,b_1]$ 이라고 하자. $I_1\subset I_0\subset E$ 가 성립한다.

 

  수학적 귀납법을 이용하자. 어떤 $m\in \mathbb{N}$ 에 대해 닫힌 구간 $[a_m,b_m]=I_m\subset E$ 가 $a_m\in A$ , $b_m\in B$ 를 만족한다고 하자. 위의 논의와 비슷하게 $I_m$ 을 이등분하여 얻을 수 있는 두 닫힌 구간중에서 왼쪽과 오른쪽 끝점이 각각 $A$ 와 $B$ 의 원소인 구간이 존재한다. 이 구간을 $I_{m+1}=[a_{m+1},b_{m+1}]$ 이라고 하자. 이때 $I_{m+1}\subset I_m\subset E$ 이며 $a_{m+1}\in A$ , $b_{m+1}\in B$ 이다.

 

  수학적 귀납법에 따라 임의의 $n\in \mathbb{N}$ 에 대해 닫힌 구간 $[a_n,b_n]=I_n\subset E$ 가 $a_n\in A$ , $b_n\in B$ 를 만족하며, 다음의 축소구간열을 이룬다.

$$I_1\supset I_2\supset I_3\supset I_4\supset \cdots$$

  축소구간성질에 따르면 모든 $I_n$ 에 속하는 원소 $x\in R$ 이 적어도 하나 존재한다. 위 축소구간열의 왼쪽과 오른쪽 끝점으로 이루어진 각 수열 $(a_n)$ , $(b_n)$ 을 생각하자. $(a_n)$ 은 증가수열이고 $(b_n)$ 은 감소수열이며, 임의의 $n\in \mathbb{N}$ 에 대해 $x\in I_n=[a_n,b_n]$ 이므로 $a_m\le x\le b_n$ 이 성립한다. 따라서 $(a_n)$ 과 $(b_n)$ 은 유계이고 단조인 수열이므로 단조수렴정리에 따라 두 수열은 수렴한다. $(a_n)\to a$ , $(b_n)\to b$ 라고 하자. 순서극한정리에 따라 $a\le x$ , $x\le b$ 가 성립한다.

 

  구간 $I_0$ 의 양 끝점 사이의 거리는 $b_0-a_0$ 이며 차례로 절반씩 줄어드므로, 구간 $I_n$ 의 양 끝점 사이의 거리 $b_n-a_n$ 는 $(b_0-a_0){\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$ 이다. 정리 6-1에 따르면 $\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)\to 0$ 이므로 대수극한정리에 따라 다음이 성립한다.

$$((b_0-a_0){\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1})\to 0$$

$$\therefore (b_n-a_n)\to 0$$

  대수극한정리에 따르면 $(b_n-a_n)\to b-a$ 이므로 $a=b$ 를 얻는다. 이때 $a\le x\le b$ 이므로 다음이 성립한다.

$$A\supset (a_n)\to x$$

$$B\supset (b_n)\to x$$

  이때 $x\in I_1\subset E=A\cup B$ 이므로 $x$ 는 $A$ 또는 $B$ 의 원소이다. 따라서 다음의 두 명제 중 하나가 성립한다.

$$A\supset (a_n)\to x\in B$$

$$B\supset (b_n)\to x\in A$$

  정리10.2-2에 따르면 $E$ 는 연결집합이다.   $◻$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

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