[FTC의 엄밀한 증명] ch7. 무한급수

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  본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

8. 무한급수

 

  지난 포스팅에서 조화급수로서 살짝 맛 보았던 개념을 본격적으로 소개한다.

 

정의)  다음의 수열을 수열 $(b_n)$ 의 무한급수(infinite series)라고 하며, 간단히 $(\sum b_n)$ 이라고 쓴다.
$$\left(\sum_{k=1}^nb_k\right)=\left(b_1\,,\,b_1\!+\!b_2\,,\,b_1\!+\!b_2\!+\!b_3\,,\,\ldots\right)$$  무한급수의 각 항은 특별히 부분합(partial sum)이라고 부른다.

 

  무한급수도 하나의 수열이므로, 지금까지 전개한 수열에 대한 이론을 모두 적용할 수 있다. 그러나 $(b_n)$ 에서 성립하는 성질이 $(\sum b_n)$ 에서 성립하리라는 보장은 없다. 그 역도 마찬가지이다. 무한급수에 대한 성질을 이끌어낼 때는 $(\sum b_n)$ 를 하나의 수열로 취급하고 이론을 전개해야 한다.

 

정의)  실수열 $(b_n)$ 에 대해 $(\sum b_n)$ 이 $B$ 로 수렴하면 다음과 같이 쓴다.
$$\left(\sum b_n\right)\to B\qquad\left(\sum_{k=1}^nb_k\right)\to B$$

 

※ 위의 표기는 실수열에만 국한한다. 각 항이 함수인 '함수열'은 위의 표기를 함부로 사용할 수 없다.

 

  이 밖에도 무한급수의 수렴을 표기하는 방법이 많다. 사실 무한급수의 수렴을 표기하는 방법은 다음이 가장 유명하다.

$$\sum_{n=1}^\infty b_n=B$$

  이는 간결하긴 하지만 필자는 이 표기법을 별로 좋아하지 않는다. 위의 표기법을 남용하면 나중에 멱급수를 공부할 때 혼란을 겪게 될 것이다. 본 시리즈에서는 주로 $\left(\sum_{k=1}^nb_k\right)\to B$ 와 같이 표기할 것이다.

 

  다음의 정리는 대수극한정리와 비슷한데, 곱셈과 나눗셈에 대한 성질은 빠져있음에 유의하자.

 

무한급수의 대수극한정리 (algebraic limit theorem for series)
  $(\sum a_n)\to A$ , $(\sum b_n)\to B$ 라고 하자. 다음이 성립한다.
  (ⅰ) 모든 $c\in\mathbb{R}$ 에 대해, $(\sum ca_n)\to cA$
  (ⅱ) $\big(\sum(a_n+b_n)\big)\to A+B$

 

proof)

  (ⅰ) : $(\sum_{k=1}^na_k)=(r_n)$ 이라고 하자. 다음이 성립한다.

$$\left(\sum_{k=1}^nca_k\right)=\left(c\sum_{k=1}^na_k\right)=\left(cr_n\right)$$

  $(r_n)\to A$ 이므로 대수극한정리에 따라 다음을 얻는다.

$$(\sum ca_n)=(cr_n)\to cA$$

 

  (ⅱ) : $(\sum_{k=1}^na_k)=(r_n)$ , $(\sum_{k=1}^nb_k)=(s_n)$ 이라고 하자. 다음이 성립한다.

$$\left(\sum_{k=1}^n(a_k+b_k)\right)=\left(\sum_{k=1}^na_k+\sum_{k=1}^nb_k\right)=(r_n+s_n)$$

  $(r_n)\to A$ 이고 $(s_n)\to B$ 이므로 대수극한정리에 따라 다음을 얻는다.

$$\left(\sum(a_n+b_n)\right)=(r_n+s_n)\to A+B\tag*{$\square$}$$

 

 

8.1. 무한급수의 수렴 판정

 

  코시 수렴 판정법을 무한급수에 그대로 적용하면 다음의 정리를 얻을 수 있다.

 

무한급수의 코시 수렴 판정법 (Cauchy criterion for series)
  무한급수 $(\sum a_n)$ 이 수렴하기 위한 필요충분조건은 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 임의의 $n,m\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n>m\ge N$ 이면 다음이 성립하는 것이다.
$$|a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots+a_n|<\epsilon$$

 

proof)

  코시 수렴 판정법에 따르면 무한급수 $(\sum a_n)$ 이 수렴하기 위한 필요충분조건은 $(\sum a_n)$ 이 코시 수열인 것이며, 이는 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 임의의 $n,m\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n>m\ge N$ 이면 다음이 성립하는 것이다.

$$\left|\sum_{k=1}^na_k-\sum_{k=1}^ma_k\right|<\epsilon$$

  이때 다음과 같다.

$$\begin{align}\sum_{k=1}^na_k-\sum_{k=1}^ma_k&=\sum_{k=m+1}^na_k\\&=a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots+a_n\end{align}$$

$$\therefore|a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots+a_n|<\epsilon$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

  무한급수의 코시 수렴 판정법의 따름정리로서 다음의 성질이 성립한다.

 

정리 8.1-1)  무한급수 $(\sum a_n)$ 이 수렴하면 $(a_n)\to 0$ 이다.

 

proof)

  무한급수 $(\sum a_n)$ 이 수렴하면 무한급수의 코시 수렴 판정법에 따라 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 임의의 $n,m\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n>m\ge N$ 이면 다음이 성립한다.

$$|a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots+a_n|<\epsilon$$

  특히 $n=m+1$ 인 경우 $|a_{m+1}|<\epsilon$ 을 얻으므로 $(a_{n+1})\to 0$ 이 성립한다. 정리 6-2에 따르면 $(a_n)\to 0$ 을 얻는다.   $\square$

 

 

  위 정리의 역은 성립하지 않음에 주의하자. 우리는 이미 조화급수가 발산함을 보였다.

 

비교판정법 (comparison test)
  수열 $(a_n)$ , $(b_n)$ 이 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $0\le a_n\le b_n$ 을 만족한다고 하자. 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $(\sum b_n)$ 이 수렴하면 $(\sum a_n)$ 도 수렴한다.
  (ⅱ) $(\sum a_n)$ 이 발산하면 $(\sum b_n)$ 도 발산한다.

 

proof)

  전제로부터 수학적 귀납법을 이용하면 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 다음이 성립함을 쉽게 알 수 있다.

$$0\le\sum_{k=1}^na_k\le\sum_{k=1}^nb_k$$

 

  (ⅰ) : $(\sum b_n)$ 이 수렴한다고 하자. 무한급수의 코시 수렴 판정법에 따르면 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 임의의 $n,m\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n>m\ge N$ 이면 다음이 성립한다.

$$|b_{m+1}+b_{m+2}+\cdots+b_n|<\epsilon$$

  이때 전제에 따라 다음이 성립한다.

$$|a_{m+1}\!+\!a_{m+2}\!+\!\cdots\!+\!a_n|\le|b_{m+1}\!+\!b_{m+2}\!+\!\cdots\!+\!b_n|$$

$$\therefore|a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots+a_n|<\epsilon$$

  다시 무한급수의 코시 수렴 판정법에 따라 $(\sum a_n)$ 도 수렴한다.

    

  (ⅱ) : $(\sum a_n)$ 이 발산한다고 하자. 전제에 따라 $(\sum a_n)$ 는 증가수열이므로 단조수열이다. 단조수렴정리에 따르면 유계이고 단조인 수열은 수렴한다. 즉, 발산하는 수열은 유계가 아니거나 단조가 아니다. 따라서 $(\sum a_n)$ 는 발산하는 수열이며 단조이므로 유계가 아님을 알 수 있다. 임의의 $M>0$ 에 대해 어떤 $n\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 다음이 성립한다.

$$\left|\sum_{k=1}^na_k\right|>M$$

  이때 전제에 따라 다음이 성립한다.

$$\left|\sum_{k=1}^nb_k\right|\ge\left|\sum_{k=1}^na_k\right|$$

$$\therefore\left|\sum_{k=1}^nb_k\right|>M$$

  따라서 $(\sum b_n)$ 도 유계가 아니다. 수렴하는 수열은 유계이므로 유계가 아닌 수열은 발산한다. 따라서 $(\sum b_n)$ 는 발산한다.   $\square$

 

 

  비교판정법은 그 자체로 상당히 강력한 정리이지만, 모든 항이 양수인 수열의 무한급수라는 가정이 필요하다. 만약 음수를 포함하는 수열의 무한급수가 수렴함을 증명하고 싶다면 비교판정법과 다음의 정리를 같이 이용하는 전략이 유효하다.

 

절대수렴 판정법 (absolute convergence test)
  무한급수 $(\sum|a_n|)$ 이 수렴하면 $(\sum a_n)$ 도 수렴한다.

 

proof)

  $(\sum|a_n|)$ 이 수렴한다고 하자. 무한급수의 코시 수렴 판정법에 따라 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 임의의 $n,m\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n>m\ge N$ 이면 다음이 성립한다.

$$\big||a_{m+1}|+|a_{m+2}|+\cdots+|a_n|\big|<\epsilon$$

  삼각 부등식에 따르면 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\quad\big||a_{m+1}|+|a_{m+2}|+\cdots+|a_n|\big|\\&=|a_{m+1}|+|a_{m+2}|+\cdots+|a_n|\\&\ge|a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots+a_n|\end{align}$$

$$\therefore|a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots+a_n|<\epsilon$$

  다시 무한급수의 코시 수렴 판정법에 따라 $(\sum a_n)$ 도 수렴한다.   $\square$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

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