[FTC의 엄밀한 증명] ch6. 코시 수열

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  본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

7. 코시 수열

                   

  수열 $(a_n)$ 이 수렴한다는 것은 정의에 따르면 다음과 같다.

 

주어진 $a\in\mathbb{R}$ 에 대해, 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n\ge N$ 이면 $|a_n-a|<\epsilon$ 이 성립한다.

 

  그러나 어떤 수열이 수렴함을 증명하기 위해서 그 수렴값이 필요하다는 것은 순환에 빠진 느낌을 준다. 비록 단조수렴정리가 있어 유계인 단조수열은 그 수렴값을 몰라도 수렴함을 알 수 있었지만, 유계가 아니거나 단조수열이 아닌 수많은 수열에는 단조수렴정리를 적용할 수 없다.

 

  불편한 순환의 구덩이에도 빠져나갈 구멍은 있다. 다음을 확인하자.

 

정의)  임의의 $\epsilon$ 에 대해 $n,m\ge N$ 이면 $|a_n-a_m|<\epsilon$ 이 되게 하는 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재할 때, 수열 $(a_n)$ 을 코시 수열(Cauchy sequence)이라고 한다.

 

※ 좀 더 정확하게 기술하자면 :

  임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 임의의 $n,m\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n,m\ge N$ 이면 $|a_n-a_m|<\epsilon$ 이 성립하는 경우 $(a_n)$ 을 코시 수열이라고 한다.

 

  코시수열의 정의에서 $n=m$ 인 경우 어떤 수열이든 자명하게 $|a_n-a_m|=0$ 이 참이므로, 이를 제외하기 위해 $n,m\ge N$ 의 조건을 $n>m\ge N$ 으로 고쳐서 사용하여도 된다.

 

  코시수열의 정의를 유심히 살펴보면, 특정 항 $a_N$ 이후의 모든 항들은 무작위로 두개를 택하여도 $\epsilon$ 으로 만들어진 아주 작은 열린구간에 포함된다는걸 알 수 있다. 비약적으로 말하자면 $a_N$ 이후의 항들은 하나의 아주 작은 열린구간 안에 모두 포함된다고 할 수도 있을 것 같다. 근방을 이용한 수렴의 정의를 다시 보자.

 

주어진 $a\in\mathbb{R}$ 의 임의의 $\epsilon$-근방 $B_\epsilon(a)$ 에 대해 $(a_n)$ 의 어떤 항 이후의 모든 항이 $B_\epsilon(a)$ 에 모두 포함되면 $(a_n)$ 은 $a$ 로 수렴한다.

 

  이쯤 되면 모든 코시수열이 수렴할 것 만 같은데, 이는 사실이다. 심지어 모든 수렴하는 수열도 코시수열임이 알려져있다.

 

 

7.1. 유사코시수열

 

  수렴하는 수열과 코시수열이 같은 의미임을 증명하기 이전에, 사소한 의문을 해결하자. 코시수열의 정의를 보면 특정 항 이후의 '임의의 두 항' 사이의 거리가 $\epsilon$ 보다 작아야 한다는 조건이 있다. 해석학을 처음 공부하다보면 이것이 과한 조건으로 느껴질 수도 있다. 왜냐하면, 특정 항 이후 임의의 두 항이 아닌, 연속된 두 항의 거리가 작기만 해도 수렴할 것 처럼 느껴지기 때문이다. 연속된 두 항의 거리가 작다는 것은 수열이 움직이는 거리가 점점 짧아진다는 것이고, 수열의 변동이 점점 줄어들다가 수렴할 것이라고 예상할 법 하다. 다음의 정의를 확인하자.

 

정의)  임의의 $\epsilon$ 에 대해 $n\ge N$ 이면 $|a_{n+1}-a_n|<\epsilon$ 이게 하는 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재할 때, 수열 $(a_n)$ 을 유사 코시 수열(pseudo-Cauchy sequence)이라고 한다.

 

※ 유사 코시 수열은 Stephen Abbott의 저술 해석학 첫걸음에 소개된 개념이다.

 

  만약 모든 유사 코시 수열이 수렴하는 것을 증명한다면, 굳이 코시 수열까지 갈 것도 없을 것이다. 그러나 불행하게도 수렴하지 않는 '매우 유명한' 유사 코시 수열이 잘 알려져있다. 다음을 확인하자.

 

정의)  다음의 수열을 조화급수(harmonic series)라고 한다.
$$\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\right)$$

 

정리 7.1-1)  조화급수는 유사 코시 수열이다.

 

proof)

  조화급수의 $n$ 번째 항을 $h_n$ 이라고 하자. 즉 다음과 같다.

$$\begin{align}(h_n)&=\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\right)\\&=\left(1,1\!+\!\frac{1}{2},1\!+\!\frac{1}{2}\!+\!\frac{1}{3},\ldots\right)\end{align}$$

  임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$h_{n+1}-h_n=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\frac{1}{n+1}$$

  따라서 작은 양수 $\epsilon$ 에 대해 다음 부등식이 성립함을 보이면 충분하다.

$$\frac{1}{1+n}<\epsilon\iff\frac{1}{\epsilon}-1<n$$

 

  임의의 $\epsilon>0$ 을 생각하자. 아르키메데스 성질에 따르면 다음을 만족하는 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재한다.

$$\frac{1}{\epsilon}-1<N$$

  임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n\ge N$ 이면 다음이 성립한다.

$$\begin{align}|h_{n+1}-h_n|&=\left|\frac{1}{n+1}\right|\\&=\frac{1}{n+1}\\&\le\frac{1}{N+1}<\epsilon\end{align}$$

  따라서 조화수열은 유사 코시 수열이다.   $\square$

 

 

  이제 조화급수는 $n$ 이 커짐에 따라 수열의 변화가 점점 작아지는 수열임을 알았다. 그러나 불행히도 조화급수는 수렴하지 않는다.

 

정리 7.1-2)  조화급수는 수렴하지 않는다.

 

proof)

  임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 다음이 성립함을 기억하자.

$$2^n-2^{n-1}=2^{n-1}(2-1)=2^{n-1}$$

$$\therefore\sum_{k=2^{n-1}+1}^{2^n}\!\!\!a=2^{n-1}a$$

조화급수 $\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\right)$ 의 $2^n$ 번째 항 $\sum_{k=1}^{2^n}\frac{1}{k}$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\quad\sum_{k=1}^{2^n}\frac{1}{k}\\&=1+\frac{1}{2}+\!\sum_{k=2+1}^{2^2}\frac{1}{k}+\!\sum_{k=2^2+1}^{2^3}\!\frac{1}{k}+\cdots+\!\!\!\sum_{k=2^{n-1}+1}^{2^n}\!\!\frac{1}{k}\\&>1+\frac{1}{2}+\!\sum_{k=2+1}^{2^2}\!\!\frac{1}{2^2}+\!\!\sum_{k=2^2+1}^{2^3}\!\!\frac{1}{2^3}+\cdots+\!\!\!\!\sum_{k=2^{n-1}+1}^{2^n}\!\!\frac{1}{2^n}\\&=1+\frac{1}{2}+2\frac{1}{2^2}+2^2\frac{1}{2^3}+\cdots+2^{n-1}\frac{1}{2^n}\\&=1+\underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2}}_{n\text{-times}}\\&=1+\frac{n}{2}\end{align}$$

  이때 어떤 수열 $(a_n)$ 이 유계가 아니기 위한 필요충분조건은 임의의 $M>0$ 에 대해 어떤 $n\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 $|a_n|>M$ 이 성립하는 것이다. 임의의 $M>0$ 에 대해 아르키메데스 성질에 따르면 $2(M-1)<n$ 이도록 하는 자연수 $n\in\mathbb{N}$ 이 존재하며, 이때 다음이 성립한다.

$$\left|\sum_{k=1}^{2^n}\frac{1}{k}\right|=\sum_{k=1}^{2^n}\frac{1}{k}>1+\frac{n}{2}>M$$

  따라서 조화급수는 유계가 아니다.

 

  수렴하는 수열은 유계이므로, 유계가 아닌 수열은 수렴하지 않는다. 따라서 조화급수는 수렴하지 않는다.   $\square$

 

 

  조화급수의 예시에서, 수열의 변화가 아무리 느려져도 발산할 수 있다는 교훈을 얻을 수 있다. 이러한 맥락에서 코시 수열의 정의에 어떤 항 이후 임의의 두 항이라는 조건이 필요했던 것이다.

 

 

7.2. 코시 수렴 판정법

 

  다음의 정리를 이용하면 극한값을 몰라도 수열의 수렴을 밝혀낼 수 있다. 이는 굉장히 놀라운 결과이며, 특히 미분에 관련된 증명에서 강력한 힘을 발휘한다.

 

코시 수렴 판정법 (Cauchy criterion)
  수열이 수렴하기 위한 필요충분조건은 그 수열이 코시 수열인 것이다.

 

proof)

  수열 $(a_n)\to a$ 를 생각하자. 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 임의의 $n,m\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n,m\ge N$ 이면 다음이 성립한다.

$$|a_n-a|<\frac{\epsilon}{2}\qquad|a_m-a|<\frac{\epsilon}{2}$$

  이때 삼각 부등식에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{align}|a_n-a_m|&=|a_n-a+a-a_m|\\&\le|a_n-a|+|a-a_m|\\&<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\end{align}$$

  따라서 $(a_n)$ 은 코시수열이다.

 

  코시 수열 $(a_n)$ 을 생각하자. 먼저 $(a_n)$ 이 유계임을 보이자. 양수 $1$ 에 대해 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 임의의 $n,m\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n,m\ge N$ 이면 $|a_n-a_m|<1$ 이다. 특히 $m=N$ 일때 $|a_n-a_N|<1$ 이며, 역삼각 부등식에 따라 다음이 성립한다.

$$|a_n|-|a_N|\le|a_n-a_N|<1$$

  모든 $n\ge N$ 에 대해 $|a_n|<|a_N|+1$ 이므로, 수열 $(a_n)$ 의 $N$ 번째 이후의 항은 $|a_N|+1$ 에 의해 유계임을 알 수 있다. 양수 $M$ 을 다음과 같이 정의하자.

$$M=\text{max}\{|a_1|,|a_2|,\ldots,|a_{N-1}|,|a_N|+1\}$$

  $n<N$ 이면 $|a_n|\le M$ 임이 자명하고, $n\ge N$ 이면 $|a_n|<|a_N|+1\le M$ 이므로 $(a_n)$ 는 $M$ 에 의해 유계이다. 볼차노-바이어슈트라스 정리에 따르면 $(a_n)$ 의 수렴하는 부분수열 $(a_{k_n})$ 이 존재한다. 다음과 같이 두자.

$$\lim_{n\to\infty}a_{k_n}=a$$

  임의의 $\epsilon>0$ 을 생각하자. $(a_n)$ 은 코시수열이므로 어떤 $N_1\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 임의의 $n,m\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n,m\ge N_1$ 이면 다음이 성립한다.

$$|a_n-a_m|<\frac{\epsilon}{2}\tag{1}$$

  또한 $(a_{k_n})\to a$ 이므로 어떤 $N_2\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 임의의 $s\in\mathbb{N}$ 에 대해 $s\ge N_2$ 이면 다음이 성립한다.

$$|a_{k_s}-a|<\frac{\epsilon}{2}\tag{2}$$

  $N=\text{max}\{N_1,N_2\}$ 라고 하고, $S\ge N$ 인 임의의 $S\in\mathbb{N}$ 을 고정하자. 여전히 $S\ge N_2$ 가 성립하므로 식 (2)가 계속 성립하며, $k_S\ge S\ge N_1$ 이므로 ($\because (k_n)$ 은 증가하는 자연수 수열) 식 (1)에서 $m=k_S$ 라고 하여도 된다. 다음이 성립한다.

$$\begin{align}|a_n-a|&=|a_n-a_{k_S}+a_{k_S}-a|\\&\le|a_n-a_{k_S}|+|a_{k_S}-a|\\&<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\end{align}$$

  따라서 $(a_n)\to a$ 를 얻으므로 $(a_n)$ 은 수렴한다.   $\square$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

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