[FTC의 엄밀한 증명] ch0. 수학 기초

  다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch1. 실수의 정의

 

  본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

0. 수학 기초

 

  아름다운 해석학의 세계로 들어가기에 앞서 몇 가지 준비운동이 필요하다. 전혀 어려운 내용이 아니지만, 이들 없이는 한 발자국도 나아갈 수 없다. 익숙하지 않은 내용이 있다면 반드시 숙지하자.

 

 

0.1. 집합

 

정의)  집합(set)이란 원소(element)라고 불리는 대상의 모임이다.

 

  위는 집합을 정의하는 가장 명료한 방법이다.

 

  "어떤 $x$ 가 집합 $A$ 에 속한다." 또는 "집합 $A$ 의 원소 $x$ "라고 말하고 싶을때는 다음과 같이 쓴다.

$$x\in A$$

 

정의)  두 집합 $A,B$ 에 대하여 다음과 같이 정의한다.
  ▶ 합집합 $A\cup B$ 이란 $A$ 와 $B$ 중 적어도 한 집합에 속하는 (모든) 원소들의 집합이다.
  ▶ 교집합 $A\cap B$ 이란 $A$ 와 $B$ 모든 집합에 속하는 (모든) 원소들의 집합이다.

 

  위의 정의에 따르면, $x\in A\cup B$ , $y\in A\cap B$ 일때 다음과 같이 말할 수 있다.

 

$x$ 는 $A$ 에 속하거나 $B$ 에 속하거나, $A$ 와 $B$ 모두에 속할수도 있다.

$y$ 는 $A$ 에도 속하고 $B$ 에도 속한다.

 

  합집합과 교집합을 진정으로 이해하고자 할 때 벤다이어그램은 사치이다. 그대신 위와 같이 원소의 포함 조건을 논리적으로 따져보는 편이 좋다.

 

  합집합과 교집합의 정의를 살짝 응용해보자. 집합 $A,B$ 를 다음과 같이 정의하자.

 

$A$ 는 조건 $p$ 를 만족하는 수의 집합이다.

$B$ 는 조건 $q$ 를 만족하는 수의 집합이다.

 

  $x\in A\cup B$ , $y\in A\cap B$ 인 두 수 $x,y$ 에 대하여 다음과 같이 말할 수 있다.

 

$x$ 는 조건 $p$ 를 만족하거나 $q$ 를 만족하거나, 둘 다 만족할수도 있는 수이다.

$y$ 는 조건 $p$ 와 $q$ 모두를 만족하는 수이다.

 

  해석학을 공부하는 대부분의 상황에서는 집합을 어떠한 조건으로 정의하는 경우가 대부분이다. 위와 같은 유형의 문제를 매우 빈번하게 찾아볼 수 있을 것이다.

 

  자연수를 생각하자. 맨 처음엔 1이 있다. 그 다음엔 2가 있고, 그 다음엔 3이 있다. 어떤 자연수 $n$ 다음에는 $n+1$ 이 있다. 이와 같이 자연수 집합 $\mathbb{N}$ 은 크기가 유한하지 않은 집합, 즉 무한집합이다. 자연수 집합의 이러한 성질로부터 유용한 표기법을 만들어낼 수 있다.

 

정의)  무한개의^[각주:1] 집합 $A_1,A_2,A_3,\dots$ 에 대하여 다음과 같이 정의한다.
  ▶ $A_1,A_2,A_3,\dots$ 중 적어도 한 집합에 속하는 (모든) 원소의 집합을 다음과 같이 쓴다.
$$\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n{A}_1\cup A_2\cup A_3\cup \cdots$$  ▶ $A_1,A_2,A_3,\dots$ 모든 집합에 속하는 (모든) 원소의 집합을 다음과 같이 쓴다.
$$\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{A}_n{A}_1\cap A_2\cap A_3\cap \cdots$$

 

  위의 정의에서 무수히 많은 집합의 합집합과 교집합을 정의하는데 자연수 집합 $\mathbb{N}$ 을 사용하는 이유는, 무언가의 갯수를 셀 때 우리가 자연수를 사용하기 때문이다. "하나, 둘, 셋, ..."

 

※ 자연수보다 실수의 갯수가 더 많다는 기묘한 사실로부터 $\mathbb{N}$ 대신에 $\mathbb{R}$ 을 사용함으로써 더욱 거대하고 밀도있는 연산을 정의할 수도 있다. 그러나 해석학을 자연스럽게 공부하는 과정에서 그럴 일은 없을것이다.

 

  위의 정의를 이해하는 더 실용적인 방법이 있다. 집합 $A_1,A_2,A_3,\dots$ 에 대해 $x\in \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$ , $y\in \bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$ 이라고 하자. 다음과 같이 말할 수 있다.

 

어떤 자연수 $n$ 에 대해 $x\in A_n$ 이 성립한다.

$x\in A_n$ 이도록 하는 어떤 자연수 $n$ 이 존재한다.

$$\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}\text{ s.t. }x\in A_n$$

 

모든 자연수 $n$ 에 대해 $y\in A_n$ 이 성립한다.

임의의 자연수 $n$ 에 대해 $y\in A_n$ 이 성립한다.

$$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},y\in A_n$$

 

  위와 같이 말해도 원래의 정의와 다르지 않음 뿐만 아니라, 각각 세 가지의 명제가 모두 같은 뜻임에 집중하자. 앞으로도 편의에 따라 똑같은 논리를 위처럼 여러가지 형태의 문장으로 말할 것이다.

 

 

0.2. 삼각 부등식

 

  해석학에서 볼 수 있는 정리의 99%는 증명에서 절댓값함수가 사용된다. 절댓값함수의 성질을 모르면 정말 아무것도 할 수가 없다.

 

정의)  $\mathbb{R}$ 에서 정의되는 절댓값함수(absolute value function)는 다음과 같이 정의된다.
$$|x|=\{\begin{array}{ll}x& (x\ge 0)\\ -x& (x<0)\end{array}$$

 

  절댓값함수는 어떤 수가 원점으로부터 얼마나 멀리 떨어져있는가를 보일 수 있다. 이를 좀 더 응용하면 $f(x)=|x-c|$ 와 같이 점 $c$ 로부터 $x$ 가 떨어진 크기를 표현할 수도 있다.

 

  절댓값함수는 다음의 기본적인 성질을 만족한다.

 

정리 0.2-1)  임의의 두 실수 $a,b\in \mathbb{R}$ 에 대하여 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $|a|=|-a|$
  (ⅱ) $|ab|=|a||b|$
  (ⅲ) $-|a|\le a\le |a|$
  (ⅳ) $\sqrt{a^2}=|a|$
  (ⅴ) 임의의 양수 $r>0$ 에 대해, $|a|<r$ 일 필요충분조건은 $-r<a<r$ 인 것이다.

 

proof)

  (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)은 $a,b$ 가 양수일 때와 음수일 때 여러 경우를 각각 확인하는 것으로 알 수 있다.

  (ⅴ) : 임의의 양수 $r>0$ 에 대해 $|a|<r$ 일 때를 생각하자. $-r<-|a|$ 임이 자명하며, (ⅲ)에 따라 다음이 성립한다.

$$-r<-|a|\le x\le |a|<r$$

  그러므로 $-r<a<r$ 가 성립한다.

  역으로 $-r<a<r$ 일 때를 생각하자. $a$ 가 양수라면 $|a|=a$ 이므로 $|a|<r$ 이 성립한다. $a$ 가 음수라면 $|a|=-a$ 이므로 $-r<-|a|$ , 즉 $|a|<r$ 이 성립한다. 따라서 $-r<a<r$ 를 만족하는 임의의 실수 $a$ 에 대하여 $|a|<r$ 이 성립한다.   $◻$

 

 

  추가적으로 다음의 중요한 성질이 성립한다.

 

정리 0.2-2) 임의의 두 실수 $a,b\in \mathbb{R}$ 에 대하여 다음이 성립한다.
$$|a+b|\le |a|+|b|$$  이를 삼각 부등식(triangle inequality)이라고 한다.

 

proof)

  임의의 두 실수 $a,b$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}(a+b{)}^2& =a^2+b^2+2ab\\ & =|a{|}^2+|b{|}^2+2ab\end{array}$$

  이때 다음이 성립한다.

$$2ab\le 2|a||b|$$

  등식이 성립하는 조건은 $ab$ 와 $|a||b|$ 의 부호가 같을 조건, 즉 $a$ 와 $b$ 의 부호가 같을 때이다. 또는 둘 중에 적어도 하나가 0이면 된다. 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$(a+b{)}^2\le |a{|}^2+|b{|}^2+2|a||b|=(|a|+|b|{)}^2$$

  양변에 제곱근을 취하면 다음과 같다.

$$|a+b|\le ||a|+|b||=|a|+|b|$$

  따라서 삼각 부등식이 성립한다.   $◻$

 

 

  삼각 부등식에서 등식이 성립하는 조건은 두 실수 중 적어도 하나가 0이거나, 두 실수의 부호가 같은 경우임을 기억하자.

 

※ 삼각 부등식이 이러한 이름을 갖게 된 이유는 삼각형과 관계가 있다. 삼각 부등식은 본래 절댓값함수 뿐만 아니라 '거리'를 나타내는 모든 함수에서 성립하는 부등식을 가리킨다. 이때 삼각 부등식은 '삼각형의 두 변의 길이의 합은 나머지 변의 길이보다 짧을 수 없다'라는 삼각형의 중요한 기하적 특성을 직접 가리키므로, '삼각 부등식'이라는 이름이 붙을 만 하다.

 

  삼각 부등식으로부터 간단하게 다음의 결론을 얻을 수 있다.

 

정리 0.2-3)  임의의 두 실수 $a,b\in \mathbb{R}$ 에 대하여 다음이 성립한다.
$$|a|-|b|\le |a-b|$$  이를 역삼각 부등식(reverse triangle inequality)이라고 한다.

 

proof)

  삼각 부등식에 의해 다음이 성립한다.

$$|a|=|a-b+b|\le |a-b|+|b|$$

$$\therefore |a|-|b|\le |a-b|$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.   $◻$

 

 

  사실 역삼각 부등식의 정확한 정의는 아래와 같다.

$$||a|-|b||\le |a-b|$$

  하지만 본 포스팅에서 소개한 역삼각 부등식의 약한 정의로도 원래의 정의를 쉽게 이끌어낼 수 있다.

$$\begin{array}{c}|a|-|b|\le |a-b|\\ |b|-|a|\le |b-a|\end{array}$$

$$⟹|a|-|b|,-(|a|-|b|)\le |a-b|$$

$$\therefore ||a|-|b||\le |a-b|$$

  활용도 측면에서 필자가 소개한 역삼각 부등식의 약한 정의가 더욱 유용할 것이다.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

  다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch1. 실수의 정의

1. 정확히는, 자연수의 갯수와 같은 갯수의 [본문으로]