[직선과 실수] ch1. 순서체의 엄밀한 정의

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  본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)' 및 '박예은, 역사발생적 원리에 따른 수직선 의미와 지도방안 고찰(석사학위논문)'을 참고하여 작성하였습니다.

 

 

  본 시리즈에서는 실수와 직선이 모습만 다르고 서로 동일한 대상임을 보인다. 즉, 실수계에서 하는 모든 수학적 행위는 직선 위에서 동일하게 재현할 수 있다는 확실한 증거를 보일 것이다.

 

 

1. 순서체의 엄밀한 정의

 

  실수란 완비성 공리를 만족하는 순서체이다. 일반적으로 완비성 공리에 대한 설명은 차고 넘치지만, 순서체에 대한 설명은 은근슬쩍 넘어가기 일쑤이다. 사실 순서체라는 개념은 우리에게 너무 익숙하기에 굳이 설명하지 않아도 해석학을 공부하기에 전혀 어려움이 없다. 하지만 본 포스팅에서는 실수의 정체를 낱낱이 분석하여 실수와 직선이 동일하다는 것을 보일 것이므로, 실수의 성질인 순서체의 정의를 정확하게 알고 넘어갈 필요가 있다.

 

  순서체란 잘 알다시피 모든 원소들이 서로 비교가능한 체(field)를 말한다. 그리고 이러한 사실은 순서체에 양수집합이 존재함을 시사한다. 순서체를 '정의'하기에 앞서 다음을 확인하자.

 

정의)  임의의 체 $F$ 의 부분집합 $S\subset F$ 에 대하여 집합 $-S$ 를 다음과 같이 정의한다.
$$-S:=\{-x:x\in S\}$$

 

  다시말해 $-S$ 란 $S$ 의 모든 원소 각각의 덧셈에 대한 역원^[각주:1]의 집합이다. 다음은 실수체의 정의이다.

 

정의)  임의의 체 $F$ 를 생각하자. 다음의 세 성질을 만족하는 공집합이 아닌 부분집합 $P\subset F$ 가 존재하면 $F$ 를 순서체(ordered field)라 하고 $P$ 의 원소를 양수(positive elements), $-P$ 의 원소를 음수(negative elements)라고 한다.
  (O1) 임의의 원소 $a,b\in P$ 에 대하여 $a+b\in P$ 와 $ab\in P$ 가 성립한다.
  (O2) $-P\cup\{0\}\cup P=F$
  (O3) $-P\cap\{0\}\cap P=\varnothing$

 

※ 순서체 $F$ 의 양수집합이라는 점을 강조하기 위해 $P_F$ 라고 표기하기도 한다. 혼동의 여지가 없다면 그냥 $P$ 라고 쓰자.

 

  순서체의 정의중 (O3)은 세 집합 $-P,\;\{0\},\;P$ 가 서로소라는 뜻이다. 또한 (O2) 와 (O3)을 종합하면, 순서체 $F$ 의 임의의 원소 $a\in F$ 에 대하여 다음 중 반드시 하나만 참이라는 것을 알 수 있다.

$$a\in P\quad a=0\quad -a\in P$$

 

  잘 정의된 순서체 위에서 다음과 같은 이항관계를 정의할 수 있다.

 

정의)  순서체 $F$ 의 두 원소 $a,b\in F$ 에 대하여 $b-a\in P$ 이면 $a$ 가 $b$ 보다 크다고 말하며 $a<b$ 또는 $b>a$ 로 쓴다.

 

  순서체의 정의에서 다음의 결론을 바로 이끌어낼 수 있다.

 

정리 1-1)  순서체 $F$ 의 임의의 원소 $a,b\in F$ 에 대하여 다음 중 한 가지만 참이다.
$$a<b\quad a=b\quad a>b$$

 

proof)

  $b-a=c$ 라고 하자. 순서체의 정의 (O2) 및 (O3)에 따라 아래의 세 가지 명제중 하나만 참이다.

$$c\in P\quad c=0\quad c\in-P$$

  위의 세 명제는 각각 $a<b$ , $a=b$ , $a>b$ 를 의미하므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

  기본적으로 아래의 정리가 성립하며, 이는 순서체에서 관계 '$<$' 를 이해하는데 기초적인 도움을 준다.

 

정리 1-2)  순서체 $F$ 의 임의의 원소 $a,b,c\in F$ 에 대하여 다음이 성립한다.
  (ⅰ) : $a<a$ 는 성립하지 않는다.
  (ⅱ) : $a<b$ 이고 $b<c$ 이면 $a<c$ 이다.
  (ⅲ) : $0<a$ 일 필요충분조건은 $a\in P$ 인 것이다.
  (ⅳ) : $a<0$ 일 필요충분조건은 $a\in-P$ 인 것이다.

 

proof)

  (ⅰ) : $a<a$ 이면 $a-a=0\in P$ 이다. 순서체의 정의 (O3)에 따라 $P$ 는 $0$ 을 포함하지 않으므로 $a<a$ 이도록 하는 원소 $a\in F$ 는 존재하지 않는다.

 

  (ⅱ) : $a<b$ 이면 $b-a\in P$ 이며 $a>b$ 이면 $a-b\in P$ 이다. $b-a=c$ 라고 하면 $c\in P$ 이다. 또한 $a-b=-c$ 이므로 $-c\in P$ , 즉 $c\in-P$ 이다. 따라서 $c$ 는 $P$ 와 $-P$ 의 원소이다. 순서체의 정의 (O3)에 따라 $P$ 와 $-P$ 는 서로소이므로 $a<b$ 이며 $a>b$ 를 만족하는 원소 $a,b$ 는 $F$ 에 존재하지 않는다.

 

  (ⅲ) : $a<b$ 이면 $b-a\in P$ 이며 $b<c$ 이면 $c-b\in P$ 이다. 순서체의 정의 (O1)에 따라 다음이 성립한다.
$$(b-a)+(c-b)=c-a\in P$$

  따라서 $a<c$ 가 성립한다.

 

  (ⅳ) :$0<a$ 이면 $a-0=a\in P$ 이며, $a=a-0\in P$ 이면 $0<a$ 이다.

 

  (ⅴ) : $a<0$ 이면 $0-a=-a\in P$ 이므로 $-(-a)=a\in-P$ 이며, $a\in-P$ 이면 $-a=0-a\in P$ 이므로 $a<0$ 이다.   $\square$

 

 

  정리 1-2(ⅲ), (ⅳ) 덕분에 우리는 $a$ 가 양수라는 말 대신에 $a>0$ , $a$ 가 음수라는 말 대신에 $a<0$ 이라고 말할 수 있다.

 

  순서체의 정의는 얼핏보면, $0$ 을 기준으로 대칭이라서 $P$ 와 $-P$ 의 원소를 얼마든지 바꾸어 생각해볼 수 있을 것 처럼 보인다. 그러나 다음의 정리에 따르면 $1$ 을 포함하는 쪽만이 양수집합이 될 수 있다. $1$ 은 곱셈에 대한 항등원으로, 임의의 체에서 $1$ 은 유일하게 존재한다. 따라서 $1$ 을 양수집합의 방향으로 생각하여도 좋다.

 

정리 1-3)  임의의 순서체에 대하여 $1$ 은 양수이다.

 

proof)

  모순을 보이기 위해 $1\in-P$ 라고 가정하자. $-1\in P$ 이므로 순서체의 정의 (O1)에 따라 $(-1)(-1)=1\in P$ 가 성립한다. 이때 $1$ 은 $P$ 와 $-P$ 의 원소인데, 순서체의 정의 (O3)에 따라 $P$ 와 $-P$ 는 서로소이므로 모순. 따라서 $1$ 은 $-P$ 의 원소가 아니다. $0\neq1$ 이므로 $1\in P$ 이다.   $\square$

 

 

※ (읽지 않아도 됨) $0\neq1$ 인 이유는, 체가 가환환이며 나눗셈환인 대수구조로 정의되기 때문이다. 나눗셈환에서는 0이 곱셈에 대한 역원을 갖지 않는데, 이러한 대수구조에서는 $0\neq1$ 이 성립함이 알려져있다. $0=1$ 이 성립하는 대수구조를 자명환이라고 하며, 이 대수구조는 원소를 단 하나만 갖는다. 자세한 것은 다음 링크를 참조.

  [대수구조부터 체까지] ch4. 환(Ring)

  [대수구조부터 체까지] ch5. 체(Field)

 

  좀더 나아가, 관계 '$<$' 는 다음의 성질도 만족한다.

 

정리 1-4)  순서체 $F$ 의 임의의 원소 $a,b,c\in F$ 에 대하여 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $a+c<b+c$ 일 필요충분조건은 $a<b$ 인 것이다.
  (ⅱ) $a<b$ 이고 $c>0$ 이면 $ac<bc$ 가 성립한다.
  (ⅲ) $a<b$ 이고 $c<0$ 이면 $ac>bc$ 가 성립한다.
  (ⅳ) $0<a<b$ 이면 $0<\frac{1}{b}<\frac{1}{a}$ 가 성립한다.
  (ⅴ) $a,b>0$ 일 때, $a^2<b^2$ 일 필요충분조건은 $a<b$ 인 것이다.

 

proof)

  (ⅰ) : $a+c<b+c$ 이면 $(b+c)-(a+c)=b-a\in P$ 이므로 $a<b$ 이다. 역으로 $a<b$ 이면 $b-a=(b+c)-(a+c)\in P$ 이므로 $a+c<b+c$ 이다.

 

  (ⅱ) : $a<b$ 이면 $b-a\in P$ 이고, $c>0$ 이면 $c\in P$ 이다. 순서체의 정의 (O1)에 따라 $(b-a)c=bc-ac\in P$ 이므로 $ac<bc$ 가 성립한다.

 

  (ⅲ) : $a<b$ 이면 $b-a\in P$ 이고, $c<0$ 이면 $c\in-P$ 이다. 순서체의 정의 (O1)에 따라 다음이 성립한다.

$$(b-a)(-c)=(-b+a)c=-bc+ac=ac-bc$$

$$\therefore ac-bc\in P$$

  따라서 $bc<ac$ 가 성립한다.

 

  (ⅳ) : $0<a<b$ 라는 것은 $0<a$ 와 $a<b$ 라는 것이다. 정리 1-2(ⅱ)에 따라 $0<b$ 도 성립한다. 모순을 보이기 위해 $\frac{1}{a}\in-P$ 라고 가정하자. $-\frac{1}{a}\in P$ 이므로 순서체의 정의 (O1)에 따라 $-\frac{1}{a}a=-1\in P$ 가 성립한다. 그러나 $-1\in P$ 라는 것은 정리 1-3에 모순된다. 따라서 $\frac{1}{a}\notin-P$ 이며 정리 1-2(ⅰ)에 따라 $\frac{1}{a}\neq0$ 이므로 $\frac{1}{a}\in P$ 이다. 일반성을 잃지 않고 마찬가지로 $\frac{1}{b}\in P$ 임을 알 수 있다. 본 정리의 (ⅱ)에 따라 다음이 성립한다.

$$0<a\implies0\frac{1}{a}\frac{1}{b}<a\frac{1}{a}\frac{1}{b}\equiv0<\frac{1}{b}$$

$$a<b\implies a\frac{1}{a}\frac{1}{b}<b\frac{1}{a}\frac{1}{b}\equiv\frac{1}{b}<\frac{1}{a}$$

  따라서 $0<\frac{1}{b}<\frac{1}{a}$ 가 성립한다.

 

  (ⅴ) : $a^2<b^2$ 일 때를 생각하자. 본 정리의 (ⅰ)에 따라 다음이 성립한다.

$$0<b^2-a^2=(b-a)(b+a)$$

  만약 $b=a$ 이면 $0<0$ 이며, 이는 정리 1-2(ⅰ)에 따라 모순이므로 $b\neq a$ 이다. $a,b\in P$ 이므로 순서체의 정의 (O1)에 따라 $0<b+a$ 이다. 만약 $b-a\in-P$ 이면 본 정리의 (ⅲ)에 따라 $0>(b-a)(b+a)$ 이므로 정리 1-1에 따라 모순이다. 따라서 $b-a\in P$ 이므로 $a<b$ 가 성립한다.

 

  역으로 $a<b$ 일 때를 생각하자. 본 정리의 (ⅰ)과 (ⅱ) 에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&0<b-a\\\implies&0<(b-a)(b+a)=b^2-a^2\\\implies&a^2<b^2\end{align}$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

  마지막으로 우리에게 익숙한 이항관계를 하나 더 정의하자.

 

정의)  순서체 $F$ 의 임의의 원소 $a,b\in F$ 에 대하여 $b-a\in P$ 이거나 $a=b$ 이면 $a\le b$ 라고 정의한다.

 

  관계 '$\le$' 에 대하여 다음의 자명한 성질들이 성립한다.

 

정리 1-5)  순서체 $F$ 의 임의의 원소 $a,b,c\in F$ 에 대하여 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $a\le b$ 또는 $b\le a$ 중 적어도 하나는 참이다.
  (ⅱ) $a\le b$ 이고 $b\le a$ 이면 $a=b$ 이다.
  (ⅲ) $a\le b$ 이고 $b\le c$ 이면 $a\le c$ 이다.

 

proof)

  (ⅰ) : 정리 1-1에 따르면 $a<b$ , $a=b$ , $a>b$ 중 한 가지만 참이다. $a<b$ 이면 $b-a\in P$ 이므로 $a\le b$ 가 참이며, $a=b$ 이면 $a\le b$ 와 $b\le a$ 모두 참이며, $a>b$ 이면 $a-b\in P$ 이므로 $b\le a$ 가 참이다. 따라서 $a\le b$ 또는 $b\le a$ 중 적어도 하나는 참이다.

 

  (ⅱ) : 정리 1-1에 따르면 $a<b$ , $a=b$ , $a>b$ 중 한 가지만 참이다. $a\le b$ 와 $b\le a$ 둘 다 참일 경우, $a<b$ 이면 $b-a\in P$ 이므로 $b\le a$ 임에 모순이고, $a>b$ 이면 $a-b\in P$ 이므로 $a\le b$ 임에 모순이다. $a=b$ 이면 $a\le b$ 와 $b\le a$ 모두에 모순되지 않으므로 가능한 명제는 $a=b$ 뿐이다.

 

  (ⅲ) : 모든 경우를 다 따져보면 된다.

  1. $b-a\in P$ 이고 $c-b\in P$ 이면 $(b-a)+(c-b)=c-a\in P$ 이다.

  2. $b-a\in P$ 이고 $b=c$ 이면 $c-a\in P$ 이다.

  3. $a=b$ 이고 $c-b\in P$ 이면 $c-a\in P$ 이다.

  4. $a=b$ 이고 $b=c$ 이면 $a=c$ 이다.

  따라서 $a\le b$ 이고 $b\le c$ 이면 $c-a\in P$ 이거나 $a=c$ 이므로 $a\le c$ 이다.   $\square$

 

 

  추가적으로 다음의 성질이 성립한다.

 

정리 1-6)  순서체 $F$ 의 임의의 원소 $a\in F$ 에 대하여 $0\le a^2$ 가 성립한다.

 

proof)

  만약 $a=0$ 이라면 $a^2=0$ 이므로 $0\le a^2$ 가 자명하게 성립한다. $a\in P$ 이면 순서체의 정의 (O1)에 따라 $a^2=aa\in P$ 가 성립하므로 $0\le a^2$ 가 성립한다. $a\in-P$ 이면 $-a\in P$ 이며 순서체의 정의 (O1)에 따라 $a^2=(-a)(-a)\in P$ 가 성립하므로 $0\le a^2$ 가 성립한다.   $\square$

 

 

1.1. 실수집합의 양수?

 

  위의 논의에서 우리는 적절한 양수집합을 선택하는 것으로 체에 순서관계를 정의할 수 있음을 확인하였다. 그렇다면 실수집합 $\mathbb{R}$ 도 마찬가지로 양수집합 $P_\mathbb{R}$ 을 선택함으로써 실수의 순서에 대한 논의로부터 자유로워질 수 있다. 자, 그러면 실수집합에서 양수가 뭔지 정의해보자!

 

  ... 사실 이는 매우 깐깐한 과정이다. 이 점을 생각해보자, 순서관계는 양수집합이 정해진 뒤에야 사용할 수 있다. 이는 우리가 실수집합에서 양수가 무엇인지 정의하는 과정에서 $<$ , $\le$ 와 같은 기호를 사용할 수 없다는 것이다. 이를테면 0보다 큰 실수를 양수라고 하자는 주장은 궤변이다. 양수가 정해지지 않은 상태에서 '~보다 큰' 이라는 말을 사용하게 되면 순환논리에 빠지게 된다.

 

  그러나 다행히도 수학자들은 이러한 오류에 빠지지 않도록 장치를 마련해두었다. 바로 집합을 이용하여 실수를 구체적으로 구성하는 것이다. 이 방법은 유리수에 그 뿌리를 두고 있다. $\mathbb{N}$ 을 확장하면 $\mathbb{Z}$ 가 되고, $\mathbb{Z}$ 를 확장하면 $\mathbb{Q}$ 가 된다. 이때 분자와 분모 둘다 자연수로 표현할 수 있는 유리수의 집합을 $P_\mathbb{Q}$ 라고하면 순서관계를 사용하지 않고 유리수체에 양수집합을 정의할 수 있다.

 

  바로 이 지점에서 유리수를 원소로 갖는 집합들을 이용해 실수를 구성한다. 집합 하나하나가 $\mathbb{R}$ 의 원소가 되고, 집합 사이의 덧셈과 곱셈을 잘 정의하면 체의 조건을 만족시킬 수 있다. 여기서 유리수에 정의된 순서관계의 힘을 빌리면 집합의 포함관계 $\subseteq$ 를 이용하여 양수집합을 정의할 수 있다. 이러한 방법에서는 집합의 포함관계로 실수의 순서관계를 정의하는 과정을 목도하게 되는데, $\subseteq$ 와 $\le$ 두 기호를 동일한 의미로 사용하는 순간에는 수학적인 아름다움이 느껴지기도 한다.

 

  본 포스팅에서는 실수를 구성하는 방법을 직접 다루지는 않겠다. 다만, 우리가 느끼고 있는 $\mathbb{R}$ 의 양수와 수학자들이 집합으로 구성한 $\mathbb{R}$ 의 양수는 동일하다는 것만 알고 넘어가자. 중요한건 실수집합에서 양수집합을 잘 선택할 수 있다는 것이다. 만약 실수의 구성적 정의에 대해 더 알고싶다면 데데킨트 절단(Dedekind cut)에 대해 알아보시라.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

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