[대수구조부터 체까지] ch2. 기본 대수구조

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  본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 및 'Fraleigh. A first course in abstract algebra'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

2. 마그마의 파생

 

  군(group)은 어떤 '세 가지 조건'을 만족하는 이항구조로 정의한다. 그 조건들을 하나씩만 만족하는 특별한 마그마를 살펴보자.

 

 

2.1. 단위마그마

 

  항등원은 빈번하게 사용되는 개념이다. 항등원의 유일성에 대한 혼란을 없애기 위해 다음의 기초적인 정의부터 시작한다.

 

정의)  임의의 마그마 $\left<S,*\right>$ 를 생각하자. $S$ 의 임의의 원소 $a\in S$ 에 대하여 $e_L*a=a$ 가 성립하는 $e_L\in S$ 를 $\left<S,*\right>$ 의 좌항등원(left identity), $a*e_R=a$ 가 성립하는 $e_R\in S$ 를 $\left<S,*\right>$ 의 우항등원(right identity)라고 정의한다.

 

  좌항등원 및 우항등원은 모두 존재할 수도, 모두 존재하지 않을수도 있으며 심지어 하나만 존재할 수도 있다.^[각주:1] 또한 좌항등원 또는 우항등원이 존재할 때 각각 하나만 존재해야 함이 보장되지 않는다. 즉, 여러개의 좌항등원 또는 여러개의 우항등원이 존재할 수도 있다는 것이다.

 

  조금 혼란스러워졌지만, 다음의 정리는 우리가 자주 사용하는 대수구조가 그렇듯이 좌&우항등원이 모두 존재하는 상황에 대하여 말한다. 이는 우리의 경험과 일치하는 결론을 갖고있다.

 

정리 2.1-1)  (항등원의 유일성) 어떤 마그마에 좌항등원과 우항등원이 모두 존재한다면 그 둘은 동일하며 유일하다.

 

proof)

  임의의 마그마 $\left<S,*\right>$ 를 생각하자. 이 이항구조에서 임의의 원소 $a\in S$ 에 대하여 $e_L*a=a$ 를 만족하는 좌항등원 $e_L\in S$ 와 $a*e_R=a$ 를 만족하는 우항등원 $e_R\in S$ 가 모두 존재한다고 가정하자. 다음이 성립한다.

$$e_L=e_L*e_R=e_R$$

  따라서 $e_L=e_R$ 이 성립한다.

  임의의 좌항등원 $e_L'$ 를 생각하자. 위의 식과 동일한 과정을 거치면 $e_L'=e_R$ 을 얻으므로 $e_L'=e_L$ 이 성립한다. 즉 좌항등원은 유일하다. 우항등원의 경우에도 비슷하게 유일성을 증명할 수 있다.   $\square$

 

  위의 정리에 따르면, 어떤 이항구조에 좌항등원과 우항등원이 모두 존재할 때 그 대수구조에서 '항등원'이라고 부를 수 있는 대상은 단 하나이다. 따라서 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

정의)  임의의 마그마 $\left<S,*\right>$ 를 생각하자. 임의의 원소 $a\in S$ 에 대하여 다음을 만족하는 원소 $e\in S$ 가 존재하면 $\left<S,*\right>$ 를 단위마그마(unital magma)라고 한다.$$e*a=a*e=a$$  이때 좌항등원이며 우항등원인 유일한 원소 $e$ 를 항등원(identity)이라고 한다.

 

  위 정의는 다시말해 항등원이 존재하는 마그마를 단위마그마라고 부르자는 것이다.

 

  단위마그마의 예시로, 성분이 실수인 $n\times n$ 행렬의 집합 $\mathbb{M_{n\times n}}(R)$ 에 행렬 곱 $\cdot$ 이 정의된 이항구조 $\left<\mathbb{M_{n\times n}}(R),\cdot\right>$ 이 있다. 이 이항구조에는 항등원이 단위행렬 $I_n$ 으로서 존재한다.

 

 

2.2. 반군

 

  반군의 정의는 마치 이항구조에서 마그마를 정의하던 때처럼 할 말이 많지 않다. 다음의 정의를 확인하자.

 

정의)  임의의 마그마 $\left<S,*\right>$ 를 생각하자. 임의의 세 원소 $a,\;b,\;c\in S$ 에 대하여 다음이 성립하면 $\left<S,*\right>$ 를 반군(semigroup)이라고 한다.$$a*(b*c)=(a*b)*c$$

 

  위 정의는 다시말해 결합법칙(associative property)이 성립하는 마그마를 반군이라고 부르자는 것이다. 반군에 속하는 이항구조의 연산은 연산을 시행하는 순서가 연산 결과와 무관하므로, 특별히 강조하려는 것이 아니라면 수식에서 괄호를 쓰지 않는다.

 

  반군의 예시로는, 공집합이 아닌 임의의 두 집합 $A,\;B$ 에 대하여 $A$ 에서 $B$ 로 가는 모든 함수의 집합 $F$ 에 함수의 합성 $\circ$ 가 정의된 이항구조 $\left<F,\circ\right>$ 가 있다. 함수의 합성이 결합법칙을 만족함에 대한 증명은 [선형변환부터 동형사상까지] 0.3.합성함수 참고.

 

 

2.3. 유사군

 

  단위마그마, 반군, 유사군 중에서 가장 낮선 형태로 정의되는 것은 바로 유사군일 것이다. 하지만 안심하시라. 유사군의 정의는 단위마그마 또는 반군의 특성과 함께할 때 우리에게 친숙한 정의로 변모한다.

 

정의)  임의의 마그마 $\left<S,*\right>$ 를 생각하자. 각 원소 $a,\;b\in S$ 에 대하여 다음을 만족하는 원소 $p,\;q\in S$ 가 각각 유일하게 존재하면^[각주:2] $\left<S,*\right>$ 를 유사군(quasigroup)이라고 한다.$$a*p=b$$$$q*a=b$$

 

  위의 정의에서 $p,\;q$ 의 존재성 외에 유일성이 필요한 이유는 가장 원시적인 구조의 나눗셈^[각주:3]을 하고자 함이다. 하지만 그 외에도 단위마그마 및 반군의 정의를 곁들여, 유사군의 정의를 '역원이 존재하는 이항구조'로 단숨에 바꿔버릴 수 있다는 실용적인 명분도 있다.

 

  유사군의 예시로는, 정수 집합에 합이 정의된 이항구조 $\left<\mathbb{Z},+\right>$ 가 있다.

 

  만약 어떤 이항구조가 유사군의 정의에 부합한다면, 다음의 유용한 정리가 성립함을 확인할 수 있다.

 

정리 2.3-1)  임의의 유사군 $\left<S,*\right>$ 은 소거법칙(cancellation)이 성립한다. 즉, 임의의 세 원소 $a,\;b,\;c\in S$ 에 대하여 다음의 두 명제가 참이다.
  (ⅰ) 왼쪽 소거법칙 : $a*b=a*c\iff b=c$
  (ⅱ) 오른쪽 소거법칙 : $b*a=c*a\iff b=c$

 

proof)

  (ⅰ) : $a*b=a*c=d$ 라고 하자. $\left<S,*\right>$ 는 유사군이므로 두 원소 $a,\;d$ 에 대하여 $a*b=d$ 를 만족하는 $b$ 가 유일하게 존재한다. 따라서 $b=c$ 이다.

  (ⅱ) : $b*a=c*a=d$ 라고 하자. $\left<S,*\right>$ 는 유사군이므로 두 원소 $a,\;d$ 에 대하여 $b*a=d$ 를 만족하는 $b$ 가 유일하게 존재한다. 따라서 $b=c$ 이다.   $\square$

 

 

2.4. 그 외

 

  위에서 소개한 세 개의 특별한 마그마는 기본적인 특성 세 가지를 각각 하나씩 만족하는 마그마이다. 여기서 더 나아가, 이항구조에서 정의된 연산이 두 가지 이상의 특성을 동시에 만족하는 것도 생각해볼 수 있다. 세 가지 특성을 모두 만족하지 못하는 '그냥 마그마'부터 세 가지 특성을 모두 만족하는 마그마까지 분류해보자.

정의)  어떤 이항구조 $\left<S,*\right>$ 가 두 대수구조 A와 B의 정의에 모두 부합하는 경우, $\left<S,*\right>$ 는 A이며 B라고 하자. 다음과 같이 정의한다.
  ▶ 유사군이며 단위마그마인 이항구조를 고리(loop)라고 한다.
  ▶ 유사군이며 반군인 이항구조를 역반군(inverse semigroup)이라고 한다.
  ▶ 단위마그마이며 반군인 이항구조를 모노이드(monoid)라고 한다.

 

  위 그림이 의미하는 것은, 어떤 이항구조를 분류하며 빨간색 화살표를 건너면 유사군, 파란색 화살표를 건너면 단위마그마, 초록색 화살표를 건너면 반군의 조건에 부합한다는 것이다. 아래로 갈수록 부분집합이므로 화살표 건너에 있는 것은 건너기 이전에 포함된다. 가령, 모노이드는 단위마그마와 반군에 포함된다.

 

  세 가지 색깔의 화살표를 모두 건너는 대수구조, 즉 유사군이며 단위마그마이며 반군인 대수구조는 다음에 살펴보게 될 군(group)이다.

 

  (나중에 보아도 되는 내용) 유사군이면서 반군인 역반군의 명칭에 'inverse'가 포함되는 이유는, 실제로 역반군에서 역원이 잘 정의되기 때문이다. 원래 역원(inverse)이란 군 또는 그보다 더 구체적인 대수구조에서 항등원을 기준으로 정의되는 것이 일반적이다. 그러나 항등원의 존재가 보장되지 않는 대수구조에서도 역원이 잘 정의되는 것은 조금 흥미로운 이야기이다. (참고 : nLab. Inverse semigroup)

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

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1. 연산이 교환법칙을 만족하지 못하는 경우 [본문으로]
2. p=q일 필요는 없다. [본문으로]
3. 역원이 없는 나눗셈 [본문으로]