[FTC의 엄밀한 증명] ch5. 부분수열

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  본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

6. 부분수열

 

  어떤 수열 위를 껑충껑충 건너뛰어다니는 수열을 정의해두면 재밌는 작업을 할 수 있다.

 

정의)  수열 $(a_n)$ 과 다음의 증가하는 자연수 수열을 생각하자.
$$k_1<k_2<k_3<k_4<k_5<\cdots$$  아래와 같은 수열을 $(a_n)$ 의 부분수열(subsequence)이라 하고 $(a_{k_n})$ 로 쓴다.
$$(a_{k_1},a_{k_2},a_{k_3},a_{k_4},a_{k_5},\ldots)$$

 

  부분수열의 나열은 원래 수열의 반복이나 역순이 허용되지 않는다.

 

  예를 들어 다음의 수열을 생각하자.

$$(a_n)=\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots\right)$$

  다음은 $(a_n)$ 의 부분수열이다.

$$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{6},\frac{1}{8},\cdots\right),\quad\left(\frac{1}{10},\frac{1}{100},\frac{1}{1000},\ldots\right)$$

  다음은 $(a_n)$ 의 부분수열이 아니다.

$$\left(\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\ldots\right),\quad\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{6},\frac{1}{6},\ldots\right)$$

 

  부분수열은 원래 수열 위를 건너뛰어 다니므로, 원래 수열과 같은 목적지를 향해야 한다.

 

정리 6-1)  수렴하는 수열의 부분수열은 원래 수열과 같은 극한값으로 수렴한다.

 

proof)

  수열 $(a_n)\to a$ 의 부분수열 $(a_{k_n})$ 을 생각하자. 수렴의 정의에 따라, 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 이 $n\ge N$ 이면 $|a_n-a|<\epsilon$ 이 성립한다. 이때 자연수 수열 $(k_n)$ 은 증가하므로 모든 $n$ 에 대해 $k_n\ge n$ 이 성립한다. 따라서 $n\ge N$ 이면 $k_n\ge N$ 이기도 하므로 $|a_{k_n}-a|<\epsilon$ 이 성립한다. 따라서 $(a_{k_n})\to a$ 를 얻는다.   $\square$

 

 

  위 정리의 따름정리로서, 수열의 수렴성은 그 시작점에 무관함을 보일 수 있다.

 

정리 6-2)  수열 $(a_n)$ 에 대해 $(a_n)\to a$ 이기 위한 필요충분조건은 임의의 $m\in\mathbb{N}$ 에 대해 $(a_{m+n})\to a$ 인 것이다.

 

proof)

  $(a_n)\to a$ 라고 하자. 임의의 $m\in\mathbb{N}$ 에 대해 수열 $(a_{m+n})$ 은 $(a_n)$ 의 부분수열이므로 정리 6-1에 따라 $(a_{m+n})\to a$ 를 얻는다.

 

  임의의 $m\in\mathbb{N}$ 에 대해 $(a_{m+n})\to a$ 라고 하자. $(a_{m+n})\to a$ 일때, 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n\ge N$ 이면 $|a_{m+n}-a|<\epsilon$ 이 성립한다. $m+N\in\mathbb{N}$ 을 생각하면 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n\ge m+N$ 이면 $|a_n-a|<\epsilon$ 이 성립하므로 $(a_n)\to a$ 를 얻는다.   $\square$

 

 

6.1. 수렴하는 등비수열

 

  수열 $(0.9^n)$ 의 초기 몇 개 항을 계산하면 다음과 같다.

$$(0.9,0.81,0.729,0.6561,0.59049,\ldots)$$

  이 수열은 점점 작아지는 값을 가지는데, 아무리 봐도 수렴할 것 만 같다. 다음을 확인하자.

 

정의)  수열 $(a_n)$ 이 모든 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해
  (ⅰ) $a_n\le a_{n+1}$ 이면 증가수열(increasing sequence)이라 한다.
  (ⅱ) $a_n\ge a_{n+1}$ 이면 감소수열(decreasing sequence)이라 한다.
  증가수열이거나 감소수열인 수열을 단조수열(monotone sequence)이라 한다.

 

단조수렴정리 (monotone convergence Theorem)
  유계이고 단조인 수열은 수렴한다.

 

proof)

  유계인 증가수열 $(a_n)$ 을 생각하자. 집합 $(a_n)$ 은 유계이므로, 완비성 공리에 따라 상한 $s=\mbox{sup}(a_n)$ 이 존재한다. $(a_n)\to s$ 임을 보이자.

 

  임의의 $\epsilon>0$ 을 생각하자. $\alpha$ 는 $(a_n)$ 의 최소상계이므로 $s-\epsilon$ 은 $(a_n)$ 의 상계가 아니다. 따라서 $s-\epsilon<a_N$ 을 만족하는 항 $a_N$ 이 존재한다. 이때 $(a_n)$ 은 증가수열이므로 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n\ge N$ 이면 $a_N\le a_n$ 이므로 다음이 성립한다.

$$s-\epsilon<a_N\le a_n<s<s+\epsilon$$

  정리하면 $|a_n-s|<\epsilon$ 이 성립하므로, $(a_n)\to s$ 를 얻는다.

 

  유계인 감소수열의 경우에도 비슷하게 증명할 수 있다.   $\square$

 

 

  단조수렴정리의 강점은 특정 상황에서는 극한값을 몰라도 수렴함을 보일 수 있다는 것이다. 예를 들면 다음이 그렇다.

 

정리 6-1)  수열 $(b^n)$ 이 0으로 수렴하기 위한 필요충분조건은 $|b|<1$ 이다.

 

proof)

  먼저 수열 $(a_n)\to 0$ 에 대해 $(|a_n|)\to 0$ 이 성립함을 보이자. $(a_n)\to 0$ 이면 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n\ge N$ 이면 $|a_n|<\epsilon$ 이 성립한다. 이때 $\big||a_n|\big|=|a_n|<\epsilon$ 도 성립하므로 $(|a_n|)\to 0$ 이 성립한다.

 

  $(b^n)\to 0$ 이라고 하자. 위의 논의에 따르면 $(|b^n|)\to 0$ 도 성립한다. 모순을 보이기 위해 $|b|\ge 1$ 이라고 가정하자. 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $1^n\le|b|^n=|b^n|$ 이 성립하므로 순서극한정리에 따라 $1\le\lim|b^n|$ 이 성립한다. 그러나 $\lim|b^n|=0$ 이므로 모순. 귀류법에 따라 $|b|<1$ 이 성립한다.

 

  $|b|<1$ 이라고 하자. 다음이 성립한다.

$$1>|b|>|b|^2>|b|^3>\cdots>0$$

  따라서 수열 $(|b|^n)$ 은 유계이며 감소수열이다. 단조수렴정리에 따라 $(|b|^n)$ 은 수렴한다. $(|b|^n)\to l$ 이라고 하자. $(|b|^n)$ 의 부분수열 $(|b|^{2n})$ 을 생각하자. $(|b|^{2n})=(|b|^n|b|^n)$ 이므로 대수극한정리에 따라 $(|b|^{2n})\to l^2$ 이다. 정리 6-1에 따르면 수렴하는 수열의 부분수열은 원래 수열의 극한값으로 수렴하므로, $l=l^2$ 이다. 따라서 $l$ 은 0 또는 1이다. $(|b|^n)\to 1$ 이라고 가정하자. 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n\ge N$ 이면 $||b|^n-1|<1-|b|$ 가 성립한다. 이때 다음이 성립한다.

$$|1-|b|^n|\ge|1|-||b|^n|=1-|b|^n$$

$$\implies1-|b|^n<1-|b|\iff|b|<|b|^n$$

$$\therefore1<|b|$$

  이는 $|b|<1$ 에 모순되므로 $(|b|^n)\to 1$ 가 아니다. 따라서 $(|b|^n)\to 0$ 을 얻는다. 대수극한정리에 따르면 $(-|b|^n)\to 0$ 임을 쉽게 알 수 있다. 이때 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$-|b|^n=-|b^n|\le b^n\le|b^n|=|b|^n$$

  조임정리에 따르면 $(b^n)\to 0$ 이다.   $\square$

 

 

6.2. 볼차노-바이어슈트라스 정리

 

  위의 증명 과정에서는 유계인 등비감소수열에 대해 수렴하는 부분수열을 쉽게 찾아낼 수 있었다. 이보다는 조금 더 일반적인 상황에서도 수렴하는 부분수열을 항상 찾을 수 있다.

 

볼차노-바이어슈트라스 정리 (Bolzano-Werestrass Theorem)
  모든 유계수열은 수렴하는 부분수열을 가진다.

proof)

  유계수열 $(a_n)$ 을 생각하자. 어떤 $M>0$ 이 존재하여 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $|a_n|\le M$ 이 성립한다. 즉, $(a_n)\subset[-M,M]$ 이다.

 

  닫힌구간 $[-M,M]$ 을 2개의 닫힌구간 $[-M,0]$ 과 $[0,M]$ 으로 2등분하자. (중점 0은 양 구간 모두에 포함된다) $[-M,0]$ 과 $[0,M]$ 모두 $(a_n)$ 의 유한개의 항만 포함한다고 가정하면 $[-M,0]\cup[0,M]=[-M,M]$ 도 유한개의 항만 포함하므로 모순. 따라서 $[-M,0]$ 과 $[0,M]$ 둘 중에 적어도 한 구간은 $(a_n)$ 의 항을 무한히 포함한다. 그 구간을 $I_1$ 이라고 하며, $I_1$ 에 속하는 $(a_n)$ 의 임의의 항을 $a_{k_1}$ 이라고 하자. $[-M,M]=I_0$ 이라고 한다면 $I_1\subset I_0$ 이다.

 

  수학적 귀납법을 이용하자. 어떤 $m\in\mathbb{N}$ 에 대해 $a_{k_m}$ 을 포함하는 닫힌구간 $I_m$ 이 $(a_n)$ 의 항을 무한히 포함한다고 하자. 위와 같이 구간 $I_m$ 을 2등분 하였을 때, 두 닫힌 구간 중 적어도 하나는 $(a_n)$ 의 항을 무한히 포함한다. 그 구간을 $I_{m+1}$ 이라고 하며, $I_{m+1}$ 에 속하는 $(a_n)$ 의 임의의 항을 $a_{k_{m+1}}$ 이라고 하자. 이때 $I_{m+1}\subset I_m$ 이다.

 

  수학적 귀납법에 따라 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $a_{k_n}$ 을 포함하는 닫힌구간 $I_n$ 이 존재하며, 이는 다음의 축소구간열을 이룬다.

$$I_1\supset I_2\supset I_3\supset I_4\supset\cdots$$

  축소구간성질에 따르면 모든 $I_n$ 에 속하는 원소 $x\in\mathbb{R}$ 이 적어도 하나 존재한다. $(a_{k_n})\to x$ 임을 보이자. 구간 $I_0$ 의 양 끝점 사이의 거리는 $2M$ 이며 차례로 절반씩 줄어드므로, 구간 $I_n$ 의 양 끝점 사이의 거리는 $M\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ 이다. $a_{k_n}$ 과 $x$ 는 모두 구간 $I_n$ 에 포함되므로 두 점 사이의 거리는 구간의 양 끝점 사이의 거리보다 작다. 따라서 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$|a_{k_n}-x|<M\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$

  정리 6-1에 따르면 $\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)\to 0$ 이 성립하므로, 대수극한정리에 따라 다음이 성립한다.

$$\left(M\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right)\to 0$$

  그러므로 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n\ge N$ 이면 다음이 성립한다.

$$\left|M\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right|=M\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}<\epsilon$$

  이때 $|a_{k_n}-x|<M\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ 이므로 $|a_{k_n}-x|<\epsilon$ 도 성립한다. 그러므로 $(a_{k_n})\to x$ 를 얻는다. $(a_{k_n})$ 은 $(a_n)$ 의 부분수열이므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

  이 오묘한 정리는 바로 다음장의 매우 중요한 증명에 쓰인다.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

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