[FTC의 엄밀한 증명] 부록

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[FTC의 엄밀한 증명] ch3. 수열의 극한

[FTC의 엄밀한 증명] ch6. 코시 수열

 

 

1. 명제논리

 

 

1.1. 동치와 부정

 

정의)  두 명제 $P$ , $Q$ 를 생각하자. 다음의 두 성질이 모두 성립하면 $Q$ 는 $P$ 의 동치(logical equivalence) 라고 하며 $P\equiv Q$ 라고 쓴다.
  (ⅰ) $P$ 가 참이면 $Q$ 도 참이다.
  (ⅱ) $P$ 가 거짓이면 $Q$ 도 거짓이다.

 

  예시로, $x-2=0$ 은 $x=2$ 의 동치이다.

 

  다음의 성질에 따르면 $Q$ 가 $P$ 의 논리적 동치라고 하든, $P$ 가 $Q$ 의 논리적 동치라고 하든 상관없다. 그저 $P$ 와 $Q$ 는 논리적 동치인 것이다.

 

정리 1.1-1)  임의의 세 명제 $P$ , $Q$ , $R$ 에 대하여 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $P\equiv P$
  (ⅱ) $P\equiv Q$ 이면 $Q\equiv P$ 이다.
  (ⅲ) $P\equiv Q$ 이고 $Q\equiv R$ 이면 $P\equiv R$ 이다.

 

proof)

  (ⅰ) : $P$ 가 참이면 $P$ 가 참이고, $P$ 가 거짓이면 $P$ 가 거짓인 것은 자명하므로 $P\equiv P$ 가 성립한다.

 

  (ⅱ) : $P\equiv Q$ 라고 가정하자. $P$ 가 참이면 $Q$ 가 참이고, $P$ 가 거짓이면 $Q$ 도 거짓이다. 각 문장에 대우를 취하면 $Q$ 가 거짓이면 $P$ 가 거짓이고, $Q$ 가 참이면 $P$ 가 참이라는 결론을 얻는다. 따라서 $Q\equiv P$ 가 성립한다.

 

  (ⅲ) : $P\equiv Q$ 이고 $Q\equiv R$ 라고 가정하자. $P$ 가 참이면 $Q$ 도 참이고, $R$ 도 참이다. $P$ 가 거짓이면 $Q$ 도 거짓이고, $R$ 도 거짓이다. 따라서 $P\equiv R$ 이 성립한다.   $\square$

 

 

정의)  두 명제 $P$ , $Q$ 를 생각하자. 다음의 두 성질이 모두 성립하면 $Q$ 는 $P$ 의 부정(negation)이라고 하며, 이때 $Q$ 를 $\lnot P$ 라고 쓴다.
  (ⅰ) $P$ 가 참이면 $Q$ 가 거짓이다.
  (ⅱ) $P$ 가 거짓이면 $Q$ 가 참이다.

 

  두 명제 중 하나가 참이면 나머지는 반드시 거짓인 경우 두 명제는 서로 부정인 것이다.

 

  예를 들면 다음과 같다. '민수는 내 친구다' 라는 주장이 참이면 '민수는 내 친구가 아니다' 라는 주장이 거짓이고, '민수는 내 친구다' 라는 주장이 거짓이면 '민수는 내 친구가 아니다' 라는 주장이 참이므로 두 명제는 서로 부정이다.

 

  당연한 사실이지만, ' $P$ 가 참이다' 의 부정은 ' $P$ 가 거짓이다' 이다.

 

정리 1.1-2)  임의의 두 명제 $P$ , $Q$ 에 대하여 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $P\equiv\lnot(\lnot P)$
  (ⅱ) $P\equiv Q$ 이면 $\lnot P\equiv\lnot Q$ 이다.

 

proof)

  (ⅰ) : $P$ 가 참이면 $\lnot P$ 가 거짓이며, $\lnot(\lnot P)$ 가 참이다. $P$ 가 거짓이면 $\lnot P$ 가 참이며, $\lnot(\lnot P)$ 가 거짓이다. 따라서 $P\equiv\lnot(\lnot P)$ 가 성립한다.

 

  (ⅱ) : $P\equiv Q$ 라고 가정하자.

 

  1. $\lnot P$ 가 참이면 $\lnot(\lnot P)$ 가 거짓이다. 본 정리의 (ⅰ)에 따르면 $P$ 가 거짓이므로 $Q$ 도 거짓이며, $\lnot Q$ 가 참이다.

  2. $\lnot P$ 가 거짓이면 $\lnot(\lnot P)$ 가 참이다. $P$ 가 참이므로 $Q$ 도 참이며, $\lnot Q$ 가 거짓이다.

 

  $\lnot P$ 가 참이면 $\lnot Q$ 가 참이고, $\lnot P$ 가 거짓이면 $\lnot Q$ 가 거짓이므로 $\lnot P\equiv\lnot Q$ 가 성립한다.   $\square$

 

 

  위의 두 성질을 잘 응용하면 $P\equiv\lnot Q$ 이면 $\lnot P\equiv Q$ 를 얻을 수 있다. 이는 $P$ 가 $Q$ 의 부정이면 $Q$ 도 $P$ 의 부정이라는 뜻이며, 우리의 직관과 잘 일치한다.

 

 

1.2. 몇가지 명제 논리

 

  이 아래부터는 따로 자세하게 증명하지는 않을 것이다.

 

 

1. ' $P$ 와 $Q$ 이다' 의 부정은 ' $\lnot P$ 또는 $\lnot Q$ 이다' 이다.

 

  예를 들면 다음과 같다. '나는 명절에 친가와 외가를 모두 간다' 가 참이라면 '나는 명절에 친가를 가지 않거나 외가를 가지 않는다' 가 거짓이다. 반대로 전자가 거짓이면 후자가 참이다.

 

 

2. ' $P$ 이면 $Q$ 이다' 는 ' $\lnot P$ 또는 $Q$ 이다' 와 동치이다.

 

  예를 들면, '물은 100도 이상이면 끓는다' 는 '물은 100도 미만이거나 끓는다' 와 동치이다.

      

 

3. ' $x\le y$ ' 의 부정은 ' $x>y$ ' 이다. 비슷하게 ' $x\ge y$ ' 의 부정은 ' $x<y$ ' 이다.

 

  이는 $x>y$ , $x=y$ , $x<y$ 셋 중 반드시 하나는 참이어야 한다는 성질로부터 기원한다. 자세한건 순서체의 엄밀한 정의 참조. 예를 들면 다음과 같다. $x\le 0$ 이 참이면 $x>0$ 이 거짓이다. 반대로 전자가 거짓이면 후자가 참이다.

 

 

4. '어떤 $a\in A$ 가 존재하여 $P(a)$ 가 참이다' 의 부정은 '임의의 $a\in A$ 에 대해 $\lnot P(a)$ 가 참이다' 이다.

 

  예를 들면 다음과 같다. '내 반의 어떤 사람은 내 친구이다' 라는 주장이 참이면 '내 반의 모든 사람은 내 친구가 아니다' 라는 주장이 거짓이다. 반대로 전자가 거짓이면 후자가 참이다.

 

 

5. '임의의 $x\in X$ 에 대해 어떤 $a\in A$ 가 존재하여 $P(x,a)$ 가 참이다' 의 부정은 '어떤 $x\in X$ 가 존재하여 임의의 $a\in A$ 에 대해 $\lnot P(x,a)$ 가 참이다' 이다.

 

  '2021년의 그 어느 날에도 누군가는 수학공부를 했다' 라는 주장이 참이면 '2021년의 어떤 날에 모두가 수학공부를 하지 않았다' 라는 주장이 거짓이다. 반대로 전자가 거짓이면 후자가 참이다.

 

  추가로 '임의의 $x\in\mathbb{R}$ 에 대해 어떤 $y\in\mathbb{R}$ 이 존재하여 $x+y=0$ 이 참이다' 의 부정은 '어떤 $x\in\mathbb{R}$ 이 존재하여 임의의 $y\in\mathbb{R}$ 에 대해 $x+y\neq0$ 이 참이다' 인데, 전자는 항상 참인 '항진명제'이므로 후자의 명제는 항상 거짓인 '모순명제'이다.

 

 

2. 수열의 발산

 

  수열 $(a_n)$ 이 $a$ 로 수렴하는 것은 다음과 동치이다.

 

임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 다음 명제가 참이다.

임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n\ge N$ 이면 $|a_n-a|<\epsilon$ 이 참이다.

 

  위의 명제를 조각내어보자. 다음과 같이 정의하자.

 

  ▶ $P_1(\epsilon,n)\equiv|a_n-a|<\epsilon$ 이다.

 

  ▶ $P_2(\epsilon,N,n)\equiv$ $n\ge N$ 이면 $P_1(\epsilon,n)$ 이다.

 

  이때 다음과 같다. 

 

  $P_2(\epsilon,N,n)\equiv$ $n<N$ 또는 $P_1(\epsilon,n)$ 이다.

 

  ▶ $P_3(\epsilon,N)\equiv$ 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $P_2(\epsilon,N,n)$ 이 참이다.

 

  ▶ $P_4\equiv$ 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 가 존재하여 $P_3(\epsilon,N)$ 이 참이다.

 

  이제 수열 $(a_n)$ 이 수렴하는 것은 $P_4$ 와 동치라고 할 수 있다. 이때 수열 $(a_n)$ 이 $a$ 로 수렴하지 않는 것은 $\lnot P_4$ 와 동치이다. ( 정리 1.1-2(ⅱ) )

 

  차근차근 $\lnot P_4$ 를 해석해보자.

 

  $\lnot P_4\equiv$ 어떤 $\epsilon>0$ 가 존재하여 임의의 $N\in\mathbb{N}$ 에 대해 $\lnot P_3(\epsilon,N)$ 이 참이다.

 

  $\lnot P_3(\epsilon,N)\equiv$ 어떤 $n\in\mathbb{N}$ 가 존재하여 $\lnot P_2(\epsilon,N,n)$ 이 참이다.

 

  $\lnot P_2(\epsilon,N,n)\equiv$ $n\ge N$ 과 $\lnot P_1(\epsilon,n)$ 이다.

 

  $\lnot P_1(\epsilon,n)\equiv|a_n-a|\ge\epsilon$ 이다.

 

  정리하면 수열 $(a_n)$ 이 $a$ 로 수렴하지 않는 것은 다음과 동치라는 결론을 얻는다.

 

어떤 $\epsilon>0$ 이 존재하여 임의의 $N\in\mathbb{N}$ 에 대해 다음 명제가 참이다.

어떤 $n\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 $n\ge N$ 과 $|a_n-a|\ge\epsilon$ 이 참이다.

 

  임의의 $a\in\mathbb{R}$ 에 대해 위 명제가 성립한다면 수열 $(a_n)$ 이 발산한다고 할 수 있다.

 

  수열이 발산함을 보이는 조금 더 좋은 방법이 있다. 코시 수렴 판정법에 따르면 수열 $(a_n)$ 이 수렴하기 위한 필요충분조건은 $(a_n)$ 이 코시 수열인 것이다. 이때 코시수열의 정의는 다음과 같다.

 

임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 에 대해 다음 명제가 참이다.

임의의 $n,m\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n\ge N$ 이고 $m\ge N$ 이면 $|a_n-a_m|<\epsilon$ 이 참이다.

 

  위 명제에 부정을 취하면 코시 수열이 아닌 수열의 정의, 즉 발산하는 수열의 정의를 얻을 수 있다. 이는 다음과 같다.

 

어떤 $\epsilon>0$ 이 존재하여 임의의 $N\in\mathbb{N}$ 에 대해 다음 명제가 참이다.

어떤 $n,m\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 $n\ge N$ 과 $m\ge N$ 및 $|a_n-a_m|\ge\epsilon$ 이 참이다.

 

  이쯤 되면 왜 발산 판정법 따위가 필요했는지 알 것 같다. 발산을 직접 증명하는 것은 너무 어렵기 때문이다. 사실 발산하는 수열 전체의 모임에 별로 관심이 없기 때문이기도 하다. 해석학은 수렴을 이용하는 학문이다.