[직선과 실수] ch5. 직선과 실수는 같다

  이전 읽을거리 : [직선과 실수] ch4. 직선에 새겨진 유리수

 

  본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)', '계승혁 교수님, 2002년 1학기 - 집합과 수리논리 강의록 제2장'을 참고하여 작성하였습니다.

 

 

6. 몇가지 도움정리

 

  이전의 논의에서 우리는 직선 위에 유리수의 구조를 '그대로' 재현할 수 있음을 확인하였다. (심지어 유일한 방법으로!) 이를 이용하면 직선에 실수의 구조가 '그대로' 담겨있고, 실수에도 직선의 구조가 '그대로' 담겨있다는 사실을 보일 수 있다.

 

  먼저 다음의 정리들을 해결해놓으면 도움이 된다.

 

정리 6-1)  완비순서체 $F$ 와 공집합이 아니고 위로 유계인 집합 $S\subset F$ 에 대해 $\alpha$ 가 $S$ 의 상한이기 위한 필요충분조건은 다음의 두 조건이 성립하는것이다.
  (ⅰ) $\alpha$ 는 $S$ 의 상계이다.
  (ⅱ) $\beta<\alpha$ 인 임의의 $\beta\in F$ 에 대하여 $\beta<s$ 를 만족하는 $s\in S$ 가 존재한다.

 

proof)

  $\alpha$ 가 $S$ 의 최소상계일 때를 생각하자. 상한의 정의로부터 (ⅰ)이 자명하게 성립한다. $\beta<\alpha$ 인 $\beta\in F$ 는 $S$ 의 상계가 아니므로 $\beta<s$ 를 만족하는 $s\in S$ 가 존재하여 (ⅱ)가 성립한다.

 

  역으로 $\alpha$ 가 조건 (ⅰ), (ⅱ)를 만족할 때를 생각하자. (ⅱ)에 따르면 $\alpha$ 보다 작은 $\beta$ 는 $S$ 의 상계가 아니다. 이 명제에 대우를 취하면, 만약 $\beta$ 가 $S$ 의 상계라면 $\alpha\le\beta$ 임을 알 수 있다. 따라서 $\alpha$ 는 $S$ 의 최소상계이다.   $\square$

 

 

정리 6-2)  완비순서체 $F$ 와 공집합이 아니고 위로 유계인 집합 $S\subset F$ 에 대해 $S\cap P_F\neq\varnothing$ 이면 다음이 성립한다.
$$\mbox{sup}(S\cap P_F)=\mbox{sup}S$$

 

proof)

  $S\cap P_F$ 의 임의의 원소 $r$ 에 대하여 $r\in S$ 이므로 $r\le\mbox{sup}S$ 가 성립한다. 즉, $S\cap P_F$ 는 공집합이 아니며 위로 유계인 집합이다. 따라서 $\mbox{sup}(S\cap P_F)$ 가 존재하며 $\mbox{sup}S$ 는 $S\cap P_F$ 의 상계이므로 $\mbox{sup}(S\cap P_F)\le\mbox{sup}S$ 가 성립한다. 또한 $S\cap P_F$ 의 임의의 원소 $r$ 에 대해 $0<r\le\mbox{sup}(S\cap P_F)$ 이므로 $0<\mbox{sup}(S\cap P_F)$ 가 성립한다. 모순을 보이기 위해 $\mbox{sup}(S\cap P_F)<\mbox{sup}S$ 라고 가정하자. 다음을 만족하는 실수 $\epsilon$ 이 존재한다.

$$0<\epsilon<\mbox{sup}S-\mbox{sup}(S\cap P_F)$$

  $\mbox{sup}S-\frac{\epsilon}{2}$ 는 $S$ 의 상계가 아니므로 $\mbox{sup}S-\frac{\epsilon}{2}<s$ 를 만족하는 원소 $s\in S$ 가 존재한다. 위의 식에 따라 다음이 성립한다.

$$\mbox{sup}(S\cap P_F)+\frac{\epsilon}{2}<\mbox{sup}S-\frac{\epsilon}{2}<s$$

  이때 $0<\mbox{sup}(S\cap P_F)+\frac{\epsilon}{2}$ 이므로 $0<s$ 이다. 따라서 $s$ 는 $S\cap P_F$ 의 원소인데, 위의 식에 따르면 $\mbox{sup}(S\cap P_F)<s$ 이므로 모순. 따라서 $\mbox{sup}(S\cap P_F)=-\mbox{sup}S$ 가 성립한다.   $\square$

 

 

정의)  임의의 체 $F$ 의 두 부분집합 $A,B\subset F$ 에 대하여 다음과 같이 정의하자.
$$A+B:=\{a+b:a\in A,\;b\in B\}$$$$AB:=\{ab:a\in A,\;b\in B\}$$

 

정리 6-3)  완비순서체 $F$ 의 공집합이 아니고 위로 유계인 두 부분집합 $A,B\subset F$ 에 대하여 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $\mbox{sup}(A+B)=\mbox{sup}A+\mbox{sup}B$
  (ⅱ) $A,B\subset P_F$ 일때, $\mbox{sup}(AB)=\mbox{sup}A\;\mbox{sup}B$

 

proof)

  (ⅰ) : 먼저 $A+B$ 가 위로 유계임을 확인하자. 임의의 $a\in A$ , $b\in B$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$a\le\mbox{sup}A\quad b\le\mbox{sup}B$$

  $A+B$ 의 임의의 원소 $c$ 에 대하여 $c=a+b$ 이도록 하는 원소 $a\in A$ 와 $b\in B$ 가 존재한다. 이때 다음이 성립한다.

$$a+b\le a+\mbox{sup}B\le\mbox{sup}A+\mbox{sup}B$$

$$\therefore c\le\mbox{sup}A+\mbox{sup}B$$

  그러므로 $\mbox{sup}A+\mbox{sup}B$ 는 $A+B$ 의 상계이며 $A+B$ 는 위로 유계이다. 완비성 공리에 따라 $A+B$ 의 상한 $\mbox{sup}(A+B)$ 가 존재하며, $\mbox{sup}A+\mbox{sup}B$ 는 $A+B$ 의 상계이므로 다음이 성립한다.

$$\mbox{sup}(A+B)\le\mbox{sup}A+\mbox{sup}B$$

  모순을 보이기 위해 다음을 가정하자.

$$\mbox{sup}(A+B)<\mbox{sup}A+\mbox{sup}B$$

$$\iff0<\mbox{sup}A+\mbox{sup}B-\mbox{sup}(A+B)$$

  실수의 조밀성에 따라 다음을 만족하는 실수 $\epsilon\in\mathbb{R}$ 이 존재한다.

$$0<\epsilon<\mbox{sup}A+\mbox{sup}B-\mbox{sup}(A+B)$$

  이때 $\mbox{sup}A-\frac{\epsilon}{2}$ 는 $A$ 의 상계가 아니므로 $\mbox{sup}A-\frac{\epsilon}{2}<a$ 를 만족하는 $a\in A$ 가 존재하며, 비슷하게 $\mbox{sup}B-\frac{\epsilon}{2}<b$ 를 만족하는 $b\in B$ 가 존재함을 알 수 있다. 다음이 성립한다.

$$\begin{align}a+b>&\mbox{sup}A+\mbox{sup}B-\epsilon\\>&\mbox{sup}A+\mbox{sup}B\\&-(\mbox{sup}A+\mbox{sup}B-\mbox{sup}(A+B))\\=&\mbox{sup}(A+B)\end{align}$$

  $a+b>\mbox{sup}(A+B)$ 는 $\mbox{sup}(A+B)$ 가 $A+B$ 의 상계라는 사실에 모순되므로 귀류법에 따라 다음이 성립한다.

$$\mbox{sup}(A+B)=\mbox{sup}A+\mbox{sup}B$$

 

  (ⅱ) : 본 정리는 $A,\;B$ 가 양수만 포함하는 집합에 대해 성립함에 유의하자. 먼저 $AB$ 가 위로 유계임을 확인하자. $AB$ 의 임의의 원소 $c$ 에 대하여 $c=ab$ 이도록 하는 원소 $a\in A$ 와 $b\in B$ 가 존재한다. 이때 다음이 성립한다.

$$ab\le a\;\mbox{sup}B\le\mbox{sup}A\;\mbox{sup}B$$

$$\therefore c\le\mbox{sup}A\;\mbox{sup}B$$

  그러므로 $\mbox{sup}A\;\mbox{sup}B$ 는 $AB$ 의 상계이며 $AB$ 는 위로 유계이다. 완비성 공리에 따라 $AB$ 의 상한 $\mbox{sup}(AB)$ 가 존재하며, $\mbox{sup}A\;\mbox{sup}B$ 는 $AB$ 의 상계이므로 다음이 성립한다.

$$\mbox{sup}(AB)\le\mbox{sup}A\;\mbox{sup}B$$

모순을 보이기 위해 다음을 가정하자.
$$\mbox{sup}(AB)<\mbox{sup}A\;\mbox{sup}B$$

$$\iff1<\frac{\mbox{sup}A\;\mbox{sup}B}{\mbox{sup}(AB)}$$

  실수의 조밀성에 따라 다음을 만족하는 실수 $\epsilon$ 이 존재한다.

$$1<\epsilon<\frac{\mbox{sup}A\;\mbox{sup}B}{\mbox{sup}(AB)}$$

$$\implies\frac{1}{\sqrt{\epsilon}}<1$$

  이때 $\frac{\mbox{sup}A}{\sqrt{\epsilon}}$ 은 $A$ 의 상계가 아니므로 $\frac{\mbox{sup}A}{\sqrt{\epsilon}}<a$ 를 만족하는 $a\in A$ 가 존재하며, 비슷하게 $\frac{\mbox{sup}B}{\sqrt{\epsilon}}<b$ 를 만족하는 $b\in B$ 가 존재함을 알 수 있다. 다음이 성립한다.

$$\begin{align}ab&>\mbox{sup}A\;\mbox{sup}B\;\frac{1}{\epsilon}\\&>\mbox{sup}A\;\mbox{sup}B\frac{\mbox{sup}(AB)}{\mbox{sup}A\;\mbox{sup}B}\\&=\mbox{sup}(AB)\end{align}$$

  $ab>\mbox{sup}(AB)$ 는 $\mbox{sup}(AB)$ 가 $AB$ 의 상계라는 사실에 모순되므로 귀류법에 따라 다음이 성립한다.

$$\mbox{sup}(AB)=\mbox{sup}A\;\mbox{sup}B\tag*{$\square$}$$

 

 

7. 직선과 실수는 같다

 

  이제 $\mathbb{R}$ 과 $\mathbb{E}$ 가 동일한 구조라는 것을 증명하기 위한 준비가 모두 끝났다. 다음의 정리는 실수의 연산과 점의 연산이 완벽하게 동일하며, 양의 실수와 양의 점이 똑같기에 $\mathbb{R}$ 과 $\mathbb{E}$ 각각에 정의된 순서관계가 똑같다는 것을 의미한다. 즉, 실수에서 하고싶은 무언가가 있다면 직선 위에서 해도 다를 것이 없다. 그 반대도 마찬가지다.

 

정리 7-1)  다음의 성질을 만족하는 함수 $f:\mathbb{R\to E}$ 는 전단사함수이며 유일하게 존재한다.
  (ⅰ) 임의의 $x,y\in\mathbb{R}$ 에 대하여 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ 가 성립한다.
  (ⅱ) 임의의 $x,y\in\mathbb{R}$ 에 대하여 $f(xy)=f(x)f(y)$ 가 성립한다.
  (ⅲ) $f(P_\mathbb{R})=P_\mathbb{E}$

 

※ 이 정리를 증명할때는 머릿속으로 직선 위에 유리수가 가지런히 놓여있는 모습을 상상하면 큰 도움이 된다.

 

증명 흐름

 

proof)

  정리 5-1에 따르면 다음을 만족하는 단사함수 $\gamma:\mathbb{Q\to E}$ 가 유일하게 존재한다.

$$\gamma(p+q)=\gamma(p)+\gamma(q)$$

$$\gamma(pq)=\gamma(p)\gamma(q)$$

$$\gamma(P_\mathbb{Q})=\gamma(Q)\cap P_\mathbb{E}$$

---

  ▷ 임의의 함수 $f:\mathbb{R\to E}$ 에 대해 다음의 성질을 보이자.

  (f1) 조건 (ⅰ)이 참이면 $f(0)=0_\mathbb{E}$ 이다.

  (f2) 조건 (ⅰ)이 참이면 임의의 $x\in\mathbb{R}$ 에 대해 $f(-x)=-f(x)$ 이다.

  (f3) 조건 (ⅲ)이 참이면 다음 식이 성립한다.

$$x\in P_\mathbb{R}\iff f(x)\in P_\mathbb{E}\tag{f3*}$$

  (f4) 조건 (ⅰ), (ⅱ) 및 식 (f3*)이 참이면 임의의 $p\in\mathbb{Q}$ 에 대하여 $f(p)=\gamma(p)$ 이다.

  (f5) 조건 (ⅰ), (ⅱ) 및 식 (f3*)이 참이면 공집합이 아니고 위로 유계인 집합 $S\subset\mathbb{R}$ 에 대해 $f(\mbox{sup}S)=\mbox{sup}f(S)$ 이다.

 

  (f1) : 조건 (ⅰ)에 따라 다음이 성립한다.

$$f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$$

$$\therefore f(0)=0_\mathbb{E}$$

  { (f1)   $\square$ }

 

  (f2) : (f1)에 따라 임의의 $x\in\mathbb{R}$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$0_\mathbb{E}=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)$$

$$\therefore f(-x)=-f(x)$$

  { (f2)   $\square$ }

 

  (f3) : 임의의 $x\in P_\mathbb{R}$ 에 대하여 조건 (ⅲ)에 따라 $f(x)\in P_\mathbb{E}$ 가 성립한다. 역으로 임의의 $f(x)\in P_\mathbb{E}$ 에 대하여 조건 (ⅲ)에 따라 $f(P_\mathbb{R})=P_\mathbb{E}$ 이므로 $f(x)\in f(P_\mathbb{R})$ 이다. 따라서 $x\in P_\mathbb{R}$ 이므로 원하는 결과를 얻는다.

  { (f3)   $\square$ }

 

※ 식 (f3*)은 조건 (ⅲ)의 약화된 버전으로, 조건 (ⅲ)이 참이면 식 (f3*)도 참이지만 그 역은 성립하지 않는다. 증명 과정에서 조건 (ⅲ) 대신 식 (f3*)을 이용함으로써 논리적 유연함을 확보할 것이다.

 

  (f4) : 함수 $f$ 의 정의역을 $\mathbb{Q}$ 로 제한한 함수 $f_\mathbb{Q}$ 를 다음과 같이 정의하자.

$$f_\mathbb{Q}:\mathbb{Q\to E},\;p\mapsto f(p)$$

  $f_\mathbb{Q}=\gamma$ 임을 보일 것이다. 임의의 $p,q\in\mathbb{Q}$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}f_\mathbb{Q}(p+q)&=f(p+q)\\&=f(p)+f(q)\\&=f_\mathbb{Q}(p)+f_\mathbb{Q}(q)\end{align}\tag{Q1}$$

$$\begin{align}f_\mathbb{Q}(pq)&=f(pq)\\&=f(p)f(q)\\&=f_\mathbb{Q}(p)f_\mathbb{Q}(q)\end{align}\tag{Q2}$$

  임의의 $f_\mathbb{Q}(p)\in f_\mathbb{Q}(P_\mathbb{Q})$ 에 대해 $p\in\mathbb{Q}$ 이므로 $f_\mathbb{Q}(p)\in f_\mathbb{Q}(\mathbb{Q})$ 임은 자명하다. $f_\mathbb{Q}(p)=f(p)$ 이며 $p\in P_\mathbb{Q}\subset P_\mathbb{R}$ 이므로 식 (f3*)에 따라 $f_\mathbb{Q}(p)=f(p)\in P_\mathbb{E}$ 이다. 따라서 다음이 성립한다.

$$f_\mathbb{Q}(P_\mathbb{Q})\subset f_\mathbb{Q}(\mathbb{Q})\cap P_\mathbb{E}$$

  임의의 $f_\mathbb{Q}(p)\in f_\mathbb{Q}(\mathbb{Q})\cap P_\mathbb{E}$ 에 대해 $f_\mathbb{Q}(p)\in f_\mathbb{Q}(\mathbb{Q})$ 이므로 $p\in\mathbb{Q}$ 이다. 따라서 $f_\mathbb{Q}(p)=f(p)$ 이며 $f(p)\in P_\mathbb{E}$ 이므로 식 (f3*)에 따라 $p\in P_\mathbb{R}$ 이다. 즉 $p\in P_\mathbb{Q}$ 이므로 $f_\mathbb{Q}(p)\in f_\mathbb{Q}(P_\mathbb{Q})$ 이다. 따라서 다음이 성립한다.

$$f_\mathbb{Q}(\mathbb{Q})\cap P_\mathbb{E} \subset f_\mathbb{Q}(P_\mathbb{Q})$$

$$\therefore f_\mathbb{Q}(\mathbb{Q})\cap P_\mathbb{E}=f_\mathbb{Q}(P_\mathbb{Q})\tag{Q3}$$

  정리 5-1에 따르면 (Q1)~(Q3)을 만족하는, $\mathbb{Q\to E}$ 인 함수는 $\gamma$ 가 유일하므로 $f_\mathbb{Q}=\gamma$ 이다. 이제 임의의 $p\in\mathbb{Q}$ 에 대하여 다음이 성립함을 보일 수 있다.

$$f(p)=f_\mathbb{Q}(p)=\gamma(p)$$

  { (f4)   $\square$ }

 

  (f5) : $f(S)$ 가 위로 유계임을 보이자. 임의의 $f(s)\in f(S)$ 에 대해, $S$ 가 위로 유계이므로 $s\le M$ 를 만족하는 $M\in\mathbb{R}$ 이 존재한다. $M-s\in P_\mathbb{R}$ 또는 $M-s=0$ 이므로, 식 (f3*)과 (f1)에 따라 $f(M-s)\in P_\mathbb{E}$ 또는 $f(M-s)=0_\mathbb{E}$ 이므로 $f(s)\le f(M)$ 이 성립한다. 따라서 $f(S)$ 는 위로 유계이므로 상한 $\mbox{sup}f(S)$ 가 존재한다.

 

  정리 6-1에 따르면 $f(\mbox{sup}S)=\mbox{sup}f(S)$ 이기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.

 

  1. $f(\mbox{sup}S)$ 는 $f(S)$ 의 상계이다.

  2. $a<f(\mbox{sup}S)$ 인 임의의 $a\in\mathbb{E}$ 에 대하여 $a<b$ 를 만족하는 $b\in f(S)$ 가 존재한다.

 

  1) 임의의 $f(s)\in f(S)$ 에 대해 $s\le\mbox{sup}S$ 이다. $\mbox{sup}S-s\in P_\mathbb{R}$ 또는 $\mbox{sup}S-s=0$ 이므로, 식 (f3*)과 (f1)에 따라 $f(\mbox{sup}S-s)\in P_\mathbb{E}$ 또는 $f(\mbox{sup}S-s)=0_\mathbb{E}$ 이므로 $f(s)\le f(\mbox{sup}S)$ 가 성립한다. 따라서 $f(\mbox{sup}S)$ 는 $f(S)$ 의 상계이다.

  2) $a<f(\mbox{sup}S)$ 인 임의의 $a\in\mathbb{E}$ 를 생각하자. 정리 5.1-4에 따라 $a<\gamma(p)<f(\mbox{sup}S)$ 이도록 하는 $p\in\mathbb{Q}$ 가 존재한다. (f4)에 따르면 $\gamma(p)=f(p)$ 이므로 $f(p)<f(\mbox{sup}S)$ 이다. $f(\mbox{sup}S-p)\in P_\mathbb{E}$ 이므로 식 (f3*)에 따라 $\mbox{sup}S-p\in P_\mathbb{R}$ 이다. 따라서 $p<\mbox{sup}S$ 가 성립하며, $p$ 는 $S$ 의 상계가 아니므로 $p<s$ 이도록 하는 $s\in S$ 가 존재한다. $s-p\in P_\mathbb{R}$ 이므로, 식 (f3*)에 따라 $f(s-p)\in P_\mathbb{E}$ 이므로 $f(p)<f(s)$ 가 성립한다. 이때 $a<f(p)$ 이므로 $a<f(s)$ 이며 $f(s)\in f(S)$ 이므로 원하는 결과를 얻는다.

 

  따라서 $f(\mbox{sup}S)=\mbox{sup}f(S)$ 가 성립한다.

  { (f5)   $\square$ }

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  [단사함수]

  조건 (ⅰ) 및 식 (f3*)을 만족하는 함수 $f:\mathbb{R\to E}$ 가 존재한다면 단사함수임을 보이자. $f$ 가 단사함수임은 다음을 의미한다.

$$f(x)=f(y)\implies x=y$$

  모순을 보이기 위해, 어떤 두 실수 $x<y$ 에 대하여 $f(x)=f(y)$ 라고 가정하자. 이때 $y-x\in P_\mathbb{R}$ 이며, $y-x=z$ 라고 하자. 다음이 성립한다.

$$f(y)=f(x+z)=f(x)+f(z)$$

  이때 $f(x)=f(y)$ 이므로 $f(z)=0_\mathbb{E}$ 이다. $z\in P_\mathbb{R}$ 이므로 식 (f3*)에 따라 $f(z)\in P_\mathbb{E}$ 이어야 하는데, 순서체의 정의에 따라 $0_\mathbb{E}\notin P_\mathbb{E}$ 이므로 모순. 그러므로 귀류법에 따라 $f$ 는 단사함수이다.

  { 단사함수   $\square$ }

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  [전사함수]

  조건 (ⅰ), (ⅱ) 및 식 (f3*)을 만족하는 함수 $f:\mathbb{R\to E}$ 가 존재한다면 전사함수임을 보이자. $f$ 가 전사함수임은 임의의 $a\in\mathbb{E}$ 에 대해 $a=f(x)$ 이도록 하는 $x\in\mathbb{R}$ 이 존재한다는 것이다.

 

  먼저, 각 점 $a\in\mathbb{E}$ 에 대하여 $a$ 보다 작은 점에 대응하는 유리수들의 집합 $B_a\subset\mathbb{R}$ 를 생각하자. 수식으로 표현하면 다음과 같다.

$$B_a:=\{p\in\mathbb{Q}:\gamma(p)<a\}$$

 

  $B_a$ 가 공집합이 아니며 위로 유계임을 보이자. 아르키메데스 성질에 따라 다음을 만족하는 $n\in\mathbb{N}$ 이 존재한다.

$$-a<\sum_{i=1}^n1_\mathbb{E}$$

  이때 정리 5.1-1에 따라 다음이 성립한다.

$$\sum_{i=1}^n1_\mathbb{E}=\sum_{i=1}^n\gamma(1)=\gamma\left(\sum_{i=1}^n1\right)=\gamma(n)$$

$$\therefore -a<\gamma(n)\implies\gamma(-n)<a$$

  따라서 $-n\in B_a$ 이므로 $B_a$ 는 공집합이 아니다. 다시 아르키메데스 성질에 따라 다음을 만족하는 $m\in\mathbb{N}$ 이 존재한다.

$$a<\sum_{i=1}^m1_\mathbb{E}=\gamma(m)$$

  임의의 $q\in B_a$ 에 대하여 $\gamma(q)<a<\gamma(m)$ 이므로 정리 5.1-2에 따라 $q<m$ 이 성립한다. 따라서 $m$ 은 $B_a$ 의 상계이므로 $B_a$ 는 위로 유계이며 완비성 공리에 따라 상한 $\mbox{sup}B_a$ 가 존재한다.

 

  다음이 성립한다.

$$\begin{align}\mbox{sup}f(B_a)&=\mbox{sup}f(\{p\in\mathbb{Q}:\gamma(p)<a\})\\&=\mbox{sup}\{f(p)\in f(\mathbb{Q}):\gamma(p)<a\}\end{align}$$

  이때 (f4)에 따르면 $\gamma(p)=f(p)$ 이므로 다음과 같다.

$$\mbox{sup}f(B_a)=\mbox{sup}\{f(p)\in f(\mathbb{Q}):f(p)<a\}$$

  이제 $a=\mbox{sup}f(B_a)$ 임을 보일 것이다. 정리 6-1에 따르면 $a$ 가 $f(B_a)$ 의 상한이기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.

 

  1. $a$ 는 $f(B_a)$ 의 상계이다.

  2. $b<a$ 인 임의의 $b\in\mathbb{E}$ 에 대하여 $b<c$ 를 만족하는 $c\in f(B_a)$ 가 존재한다.

 

  1) 임의의 $f(q)\in f(B_a)$ 에 대해 $q\in B_a$ 이므로 $\gamma(q)<a$ 이다. $\gamma(q)=f(q)$ 이므로 $f(q)<a$ 가 성립한다. 따라서 $a$ 는 $f(B_a)$ 의 상계이다.

  2) $b<a$ 인 임의의 $b\in\mathbb{E}$ 에 대해 정리 5.1-4에 따라 $b<\gamma(q)<a$ 이도록 하는 $q\in\mathbb{Q}$ 가 존재한다. 이때 $\gamma(q)<a$ 이므로 $q\in B_a$ 이다. 그러므로 $f(q)\in f(B_a)$ 이며 원하는 결과를 얻는다.

 

  따라서 $a=\mbox{sup}f(B_a)$ 가 성립한다. (f5)에 따르면 $\mbox{sup}f(B_a)=f(\mbox{sup}B_a)$ 이므로 $a=f(\mbox{sup}B_a)$ 이다. $\mbox{sup}B_a$ 의 존재성은 앞에서 밝혔으므로 임의의 $a\in\mathbb{E}$ 에 대해 $a=f(x)$ 이도록 하는 $x$ 는 $\mbox{sup}B_a$ 로서 존재한다. 그러므로 $f$ 는 전사함수이다.

  { 전사함수   $\square$ }

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  ▷ 임의의 함수 $f:\mathbb{R\to E}$ 에 대해 다음의 성질을 보이자.

  (f6) 조건 (ⅰ), (ⅱ) 및 식 (f3*)이 참이면 조건 (ⅲ)이 성립한다.

 

  (f6) : 조건 (ⅰ), (ⅱ) 및 식 (f3*)이 참이면 위의 논의에 따라 $f$ 는 전사함수이다. 따라서 임의의 $a\in P_\mathbb{E}$ 에 대하여 $a=f(x)$ 이도록 하는 $x\in\mathbb{R}$ 이 존재한다. 이때 $f(x)\in P_\mathbb{E}$ 이므로 식 (f3*)에 따라 $x\in P_\mathbb{R}$ 이 성립한다. 따라서 $a=f(x)\in f(P_\mathbb{R})$ 이므로 $P_\mathbb{E}\subset f(P_\mathbb{R})$ 이 성립한다.

 

  임의의 $f(x)\in f(P_\mathbb{R})$ 에 대해 $x\in P_\mathbb{R}$ 이므로 식 (f3*)에 따라 $f(x)\in P_\mathbb{E}$ 이다. 따라서 $f(P_\mathbb{R})\subset P_\mathbb{E}$ 이 성립한다.

 

  정리하면 $P_\mathbb{E}\subset f(P_\mathbb{R})$ 이며 $f(P_\mathbb{R})\subset P_\mathbb{E}$ 이므로 $f(P_\mathbb{R})=P_\mathbb{E}$ 이다.

  { (f6)   $\square$ }

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  [유일성]

  조건 (ⅰ), (ⅱ) 및 식 (f3*)을 만족하는 함수 $f:\mathbb{R\to E}$ 가 존재한다면 유일하게 존재함을 보이자. 우선 임의의 $x\in\mathbb{R}$ 에 대해 다음 식이 성립함을 보이자.

$$x=\mbox{sup}\{p\in\mathbb{Q}:p<x\}\tag{R1}$$

  증명의 편의성을 위해 다음과 같이 정의하자.

$$C_x:=\{p\in\mathbb{Q}:p<x\}$$

$$\implies x=\mbox{sup}C_x$$

 

  $C_x$ 가 공집합이 아니며 위로 유계임을 보이자. 아르키메데스 성질에 따르면 $-x<n$ 을 만족하는 $n\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 $-n<x$ 가 성립한다. $\gamma(-n)\in C_x$ 이므로 $C_x$ 는 공집합이 아니다. 다시 아르키메데스 성질에 따라 $x<m$ 을 만족하는 $m\in\mathbb{N}$ 이 존재한다. 임의의 $q\in C_x$ 에 대해 $q<x<m$ 이므로 $q<m$ 이 성립한다. 따라서 $m$ 은 $C_x$ 의 상계이며 $C_x$ 는 위로 유계이므로 완비성 공리에 따라 $\mbox{sup}C_x$ 가 존재한다.

 

  정리 6-1에 따르면 $x$ 가 $C_x$ 의 상한이기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.

 

  1. $x$ 는 $C_x$ 의 상계이다.

  2. $y<x$ 인 임의의 $y\in\mathbb{R}$ 에 대하여 $y<q$ 를 만족하는 $q\in C_x$ 가 존재한다.

 

  1) 임의의 $q\in C_x$ 에 대해 $q<x$ 이므로 $x$ 는 $C_x$ 의 상계이다.

  2) $y<x$ 인 임의의 $y\in\mathbb{R}$ 에 대하여 유리수의 조밀성에 따라 $y<q<x$ 인 $q\in\mathbb{Q}$ 가 존재한다. 이때 $y<q$ 가 성립하며 $q<x$ 이므로 $q\in C_x$ 도 성립하므로 원하는 결과를 얻는다.

 

  따라서 식 (R1)이 성립한다. 이제 조건 (ⅰ), (ⅱ) 및 식 (f3*)을 만족하는 두 함수 $f_1,f_2:\mathbb{R\to E}$ 가 존재한다고 가정하자. 임의의 $x\in\mathbb{R}$ 에 대하여 (f5)와 식 (R1)에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{align}f_1(x)&=f_1(\mbox{sup}\{p\in\mathbb{Q}:p<x\})\\&=f_1(\mbox{sup}C_x)\\&=\mbox{sup}f_1(C_x)\\&=\mbox{sup}f_1(\{p\in\mathbb{Q}:p<x\})\\&=\mbox{sup}\{f_1(p)\in f_1(\mathbb{Q}):p<x\}\end{align}$$

$$\begin{align}f_2(x)&=f_2(\mbox{sup}\{p\in\mathbb{Q}:p<x\})\\&=f_2(\mbox{sup}C_x)\\&=\mbox{sup}f_2(C_x)\\&=\mbox{sup}f_2(\{p\in\mathbb{Q}:p<x\})\\&=\mbox{sup}\{f_2(p)\in f_2(\mathbb{Q}):p<x\}\end{align}$$

  $f_1$ 은 조건 (ⅰ), (ⅱ) 및 식 (f3*)을 만족한다고 가정하였으므로 (f4)에 따르면 임의의 $p\in\mathbb{Q}$ 에 대해 $f_1(p)=\gamma(p)$ 이므로 $f_1(\mathbb{Q})=\gamma(\mathbb{Q})$ 이다. 마찬가지로 $f_2(p)=\gamma(p)$ 및 $f_2(\mathbb{Q})=\gamma(\mathbb{Q})$ 도 성립하므로 $f_1(p)=f_2(p)$ , $f_1(\mathbb{Q})=f_2(\mathbb{Q})$ 이다. 따라서 $f_1(x)=f_2(x)$ 임을 알 수 있다. 그러므로 $f_1=f_2$ 이며, 이는 조건 (ⅰ), (ⅱ) 및 식 (f3*)을 만족하는 함수 $f:\mathbb{R\to E}$ 가 유일하게 존재한다는 것을 의미한다.

  { 유일성   $\square$ }

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  [존재성]

  조건 (ⅰ)~(ⅲ)을 만족하는 $\mathbb{R\to E}$ 인 함수가 존재함을 보이자.

 

  먼저, 각 실수 $x\in\mathbb{R}$ 에 대하여 $x$ 보다 작은 유리수에 대응하는 $\mathbb{E}$ 의 점들의 집합 $A_x\subset\mathbb{E}$ 를 생각하자. 수식으로 표현하면 다음과 같다.

$$A_x:=\{\gamma(p)\in\gamma(\mathbb{Q}):p<x\}$$

 

  $A_x$ 가 공집합이 아니며 위로 유계임을 보이자. 아르키메데스 성질에 따라 $-x<n$ 을 만족하는 $n\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 $-n<x$ 가 성립한다. $\gamma(-n)\in A_x$ 이므로 $A_x$ 는 공집합이 아니다. 다시 아르키메데스 성질에 따라 $x<m$ 을 만족하는 $m\in\mathbb{N}$ 이 존재한다. 임의의 $\gamma(q)\in A_x$ 에 대하여 $q<x<m$ 이므로 정리 5.1-2에 따라 $\gamma(q)<\gamma(m)$ 이 성립한다. 따라서 $\gamma(m)$ 은 $A_x$ 의 상계이므로 $A_x$ 는 위로 유계이며 완비성 공리에 따라 상한 $\mbox{sup}A_x$ 가 존재한다. 다음과 같이 함수 $g$ 를 정의하자.

$$g:\mathbb{R\to E},\;x\mapsto\mbox{sup}A_x$$

 

  (ⅰ) : 함수 $g$ 가 임의의 $x,y\in\mathbb{R}$ 에 대하여 다음을 만족함을 보이자.

$$g(x+y)=g(x)+g(y)$$

  이 증명은 $A_x+A_y=A_{x+y}$ 임을 보이면 그 다음은 쉽다. $A_x+A_y$ 의 임의의 점 $a$ 에 대하여 $a=\gamma(p)+\gamma(q)$ 이도록 하는 $\gamma(p)\in A_x$ $\gamma(q)\in A_y$ 가 존재한다. 각 $p,\;q\in\mathbb{Q}$ 에 대하여 $A_x$ , $A_y$ 의 정의에 따르면 $p<x$ , $q<y$ 이므로 다음과 같다.

$$p+q<x+y$$

$$\gamma(p+q)=\gamma(p)+\gamma(q)=a$$

  따라서 $a\in A_{x+y}$ 가 성립하므로 $A_x+A_y\subset A_{x+y}$ 이다. 임의의 $\gamma(r)\in A_{x+y}$ 에 대하여 $r<x+y$ 이므로 유리수의 조밀성에 따라 $r-y<s<x$ 를 만족하는 $s\in\mathbb{Q}$ 가 존재한다. 이는 다음을 의미한다.

$$s<x,\quad r-s<y$$

  따라서 $\gamma(s)\in A_x$ , $\gamma(r-s)\in A_y$ 이므로 다음이 성립한다.

$$b=\gamma(r)=\gamma(s)+\gamma(r-s)\in A_x+A_y$$

  $A_{x+y}\subset A_x+A_y$ 도 성립하므로 $A_x+A_y=A_{x+y}$ 이며, 정리 6-3(ⅰ)에 따라 임의의 실수 $x,y\in\mathbb{R}$ 에 대하여 다음이 성립함을 보일 수 있다.

$$\begin{align}g(x+y)&=\mbox{sup}A_{x+y}\\&=\mbox{sup}(A_x+A_y)\\&=\mbox{sup}A_x+\mbox{sup}A_y\\&=g(x)+g(y)\end{align}$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.

  { (ⅰ)   $\square$ }

 

  함수 $g$ 에 대해 조건 (ⅰ)이 참이므로, (f1)과 (f2)에 따르면 임의의 $x\in\mathbb{R}$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$g(0)=0_\mathbb{E}\tag{g1}$$

$$g(-x)=-g(x)\tag{g2}$$

 

  (ⅱ) : 함수 $g$ 가 임의의 $x,y\in\mathbb{R}$ 에 대하여 다음을 만족함을 보이자.

$$g(xy)=g(x)g(y)$$

  이 증명은 임의의 $x,y\in P_\mathbb{R}$ 에 대하여 다음이 성립하는 것을 보이면 그 다음은 쉽다.

$$(A_x\cap P_\mathbb{E})(A_y\cap P_\mathbb{E})=A_{xy}\cap P_\mathbb{E}$$

  $0<x$ 이므로 유리수의 조밀성에 따라 $0<t<x$ 를 만족하는 $t\in\mathbb{Q}$ 가 존재한다. $t\in P_\mathbb{R}$ 이므로 $\gamma(t)\in P_\mathbb{E}$ 이며, $t<x$ 이므로 $\gamma(t)\in A_x$ 이다. 따라서 $A_x\cap P_\mathbb{E}$ 는 $\gamma(t)$ 를 원소로 가지므로 공집합이 아니다. 비슷하게 $A_x\cap P_\mathbb{E}$ 도 공집합이 아님을 알 수 있다. $A_{xy}$ 도 마찬가지로 $0<xy$ 이며 그 사이에 유리수가 존재하여 양의 점을 원소로 가짐을 쉽게 알 수 있다. 정리하면 다음과 같다.

$$A_x\cap P_\mathbb{E}\neq\varnothing,\quad A_y\cap P_\mathbb{E}\neq\varnothing,\quad A_{xy}\cap P_\mathbb{E}\neq\varnothing$$

 

  임의의 $a\in(A_x\cap P_\mathbb{E})(A_y\cap P_\mathbb{E})$ 에 대하여 $a=\gamma(p)\gamma(q)$ 이도록 하는 $\gamma(p)\in A_x\cap P_\mathbb{E}$ , $\gamma(q)\in A_y\cap P_\mathbb{E}$ 가 존재한다. 각 $p,q\in P_\mathbb{Q}$ 에 대하여 $A_x$ , $A_y$ 의 정의에 따르면 $p<x$ , $q<y$ 이므로 다음과 같다.

$$0<pq<xy$$

$$0_\mathbb{E}<\gamma(pq)=\gamma(p)\gamma(q)=a$$

  따라서 $a\in A_{xy}\cap P_\mathbb{E}$ 이므로 다음이 성립한다.

$$(A_x\cap P_\mathbb{E})(A_y\cap P_\mathbb{E})\subset A_{xy}\cap P_\mathbb{E}$$

  임의의 $\gamma(r)\in A_{xy}\cap P_\mathbb{E}$ 에 대하여 $r<xy$ 이므로 유리수의 조밀성에 따라 $\frac{r}{y}<s<x$ 를 만족하는 $s\in\mathbb{Q}$ 가 존재한다. 또한 $0<\frac{r}{y}$ 이므로 다음이 성립한다.

$$0<s<x,\quad 0<\frac{r}{s}<y$$

  따라서 $\gamma(s)\in A_x\cap P_\mathbb{E}$ , $\gamma\left(\frac{r}{s}\right)\in A_y\cap P_\mathbb{E}$ 이므로 다음이 성립한다.

$$b=\gamma(r)=\gamma(s)\gamma\left(\frac{r}{s}\right)\in (A_x\cap P_\mathbb{E})(A_y\cap P_\mathbb{E})$$

$$\implies A_{xy}\cap P_\mathbb{E}\subset (A_x\cap P_\mathbb{E})(A_y\cap P_\mathbb{E})$$

$$\therefore (A_x\cap P_\mathbb{E})(A_y\cap P_\mathbb{E})=A_{xy}\cap P_\mathbb{E}$$

  정리 6-2와 정리 6-3(ⅱ)에 따라 임의의 $x,y\in P_\mathbb{R}$ 에 대하여 다음이 성립함을 보일 수 있다.

$$\begin{align}g(xy)&=\mbox{sup}A_{xy}\\&=\mbox{sup}(A_{xy}\cap P_\mathbb{E})\\&=\mbox{sup}(A_x\cap P_\mathbb{E})(A_y\cap P_\mathbb{E})\\&=\mbox{sup}(A_x\cap P_\mathbb{E})\;\mbox{sup}(A_y\cap P_\mathbb{E})\\&=\mbox{sup}A_x\;\mbox{sup}A_y\\&=g(x)g(y)\end{align}$$

 

  식 (g1)에 따르면 임의의 $x\in\mathbb{R}$ 와 $y=0$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$g(xy)=g(x0)=g(0)=0_\mathbb{E}=g(x)0_\mathbb{E}=g(x)g(y)$$

  임의의 $x\in P_\mathbb{R}$ 와 $y\in-P_\mathbb{R}$ 에 대하여, $-y\in P_\mathbb{R}$ 이며 $z=-y$ 라고 하자. 식 (g2)에 따르면 다음이 성립한다.

$$\begin{align}g(xy)&=g(x(-z))=g(-xz)\\&=-g(xz)=-g(x)g(z)\\&=g(x)\left(-g(z)\right)=g(x)g(-z)\\&=g(x)g(y)\end{align}$$

  임의의 $x,y\in-P_\mathbb{R}$ 에 대하여, $-x,-y\in P_\mathbb{R}$ 이며 $\alpha=-x$ , $\beta=-y$ 라고 하자. 다음이 성립한다.

$$\begin{align}g(xy)&=g((-\alpha)(-\beta))=g(\alpha\beta)\\&=g(\alpha)g(\beta)=g(-x)g(-y)\\&=(-g(x))(-g(y))=g(x)g(y)\end{align}$$

  따라서 임의의 $x,y\in\mathbb{R}$ 에 대하여 $g(xy)=g(x)g(y)$ 가 성립한다.

  { (ⅱ)   $\square$ }

 

  (ⅲ) : 함수 $g$ 가 $g(P_\mathbb{R})=P_\mathbb{E}$ 를 만족함을 보이자. 먼저 다음을 증명하자

$$x\in P_\mathbb{R}\iff g(x)\in P_\mathbb{E}$$

  $x\in P_\mathbb{R}$ 일 때를 생각하자. $0<x$ 이므로 유리수의 조밀성에 따라 $0<q<x$ 이도록 하는 $q\in\mathbb{Q}$ 가 존재한다. $0<q$ 이므로 $0_\mathbb{E}<\gamma(q)$ 이며, $q<x$ 이므로 $\gamma(q)\in A_x$ 이다. 이때 $g(x)$ 는 $A_x$ 의 상계이므로 $\gamma(q)<g(x)$ 이며, $0_\mathbb{E}<\gamma(q)$ 이므로 $0_\mathbb{E}<g(x)$ 가 성립한다.

 

  역으로 $g(x)\in P_\mathbb{E}$ 일 때를 생각하자. $0_\mathbb{E}<g(x)$ 이며, $g(x)$ 는 $A_x$ 의 최소상계이므로 $0_\mathbb{E}$ 는 $A_x$ 의 상계가 아니다. 따라서 $0_\mathbb{E}<\gamma(q)$ 인 $\gamma(q)\in A_x$ 가 존재한다. $0_\mathbb{E}<\gamma(q)$ 이므로 $0<q$ 이며, $\gamma(q)\in A_x$ 이므로 $q<x$ 이다. 따라서 $0<q<x$ 이므로 $0<x$ , 즉 $x\in P_\mathbb{R}$ 이 성립한다.

 

  따라서 함수 $g$ 는 식 (f3*) 을 만족한다. 함수 $g$ 가 조건 (ⅰ)과 (ⅱ)를 만족함은 앞서 살펴보았으므로, (f6)에 따라 조건 (ⅲ)이 성립한다.

  { (ⅲ)   $\square$ }

 

  정리하면 조건 (ⅰ)~(ⅲ)을 만족하는 $\mathbb{R\to E}$ 인 함수가 존재한다.

  { 존재성   $\square$ }

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  위의 논의에 따라 조건 (ⅰ)~(ⅲ)을 만족하는 함수 $f:\mathbb{R\to E}$ 가 존재하며, (f3)에 따라 함수 $f$ 는 식 (f3*)도 만족한다. 따라서 $f$ 는 단사함수이고 전사함수이며, 유일하게 존재한다.   $\square$

 

 

  이제 해석학을 공부하며 직선위에 실수를 걱정없이 마음대로 그려보자.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

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