수학/해석학

[FTC의 엄밀한 증명] ch4. 극한의 성질 1

김한결 2022. 2. 23. 10:45

5. 극한의 성질 1

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본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.

5. 극한의 성질 1

다음의 정리에 따르면 (다행히도) 당연히 성립해야 할 성질이 성립한다.

정리 5-1) 수렴하는 수열의 극한값은 유일하다.

proof)

$(a_{n}) \to a$ , $(a_{n}) \to b$ 라고 가정하자. 임의의 $ϵ > 0$ 을 생각하자. 정의에 따라 어떤 $N_{1} \in N$ 이 존재하여 모든 자연수 $n \geq N_{1}$ 에서 다음이 성립한다.

$| a_{n} - a | < \frac{ϵ}{2}$

마찬가지로 어떤 $N_{2} \in N$ 이 존재하여 모든 자연수 $n \geq N_{2}$ 에서 다음이 성립한다.

$| a_{n} - b | < \frac{ϵ}{2}$

$N_{1}$ 과 $N_{2}$ 중에서 더 큰 것을 $N$ 이라고 하자. ( $N = max {N_{1}, N_{2}}$ ) 이때 모든 자연수 $n \geq N$ 에서 다음이 모두 성립함을 알 수 있다.

$| a_{n} - a | < \frac{ϵ_{0}}{2} | a_{n} - b | < \frac{ϵ_{0}}{2}$

이때 다음이 성립한다. ( $∵$ 삼각 부등식)

$\begin{aligned} | a - b | & = | (a - a_{n}) + (a_{n} - b) | \\ \leq | a - a_{n} | + | a_{n} - b | \\ < \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} = ϵ \end{aligned}$

정리하면 임의의 $ϵ > 0$ 에 대해 $| a - b | < ϵ$ 이 성립함을 알 수 있다. 만약 $a \neq b$ 이면 $0 < | a - b |$ 이므로 실수의 조밀성에 따라 다음을 만족하는 $ϵ_{0} \in R$ 이 존재한다.

$0 < ϵ_{0} < | a - b |$

이 경우 $| a - b | < ϵ_{0}$ 이 성립하지 않으므로 모순. 따라서 $a = b$ 를 얻는다. $◻$

위의 정리 외에도 수렴하는 수열이 더 만족해야 할 좋은 성질들이 많이 남아있다. 먼저 아래의 정의를 확인하자.

정의) 수열 $(a_{n})$ 을 생각하자. 어떤 실수 $M > 0$ 이 존재하여 임의의 $n \in N$ 에 대해 $| a_{n} | \leq M$ 이 성립하면 수열 $(a_{n})$ 은 유계(bounded)라고 한다.

$| a_{n} | \leq M$ 이면 $- M \leq a_{n} \leq M$ 이므로, 수열 $(a_{n})$ 이 닫힌구간 $[- M, M]$ 에 포함된다. 즉, 유계인 수열은 천장과 바닥이 존재하여 그 사이에만 놓이게 된다.

아래의 정리는 다양한 정리들을 증명할때 도움정리로서 유용하게 쓰인다.

정리 5-2) 수렴하는 수열은 유계이다.

※ 사실 정리 5-2는 굳이 증명하지 않아도 직관적으로 알 수 있는 성질이다. 근방의 개념으로 수열의 수렴을 정의하는 방법을 다시 살펴보자. $(a_{n}) \to a$ 라고 할 때, $a$ 의 임의의 $ϵ$ -근방은 초기 몇 개의 항을 제외한 모든 항을 포함하므로, 그 근방과 근방에 포함되지 않는 초기의 항을 모두 포함하도록 bound를 선택하면 그만이다.

proof)

수렴하는 수열 $(x_{n}) \to z$ 를 생각하자. 양수 $1$ 에 대해 어떤 $N \in N$ 이 존재하여 모든 $n \geq N$ 에서 $| x_{n} - z | < 1$ 이 성립한다. 이때 $| x_{n} | - | z | < | x_{n} - z |$ 이므로 ( $∵$ 역삼각 부등식) $| x_{n} | < | z | + 1$ 이다. 즉, 자연수 $N$ 에 대해 다음이 성립하는 것이다.

$\begin{aligned} | x_{N} | & < | z | + 1 \\ | x_{N + 1} | & < | z | + 1 \\ | x_{N + 2} | & < | z | + 1 \\ ⋮ \end{aligned}$

따라서 수열 $(x_{n})$ 의 $N$ 번째 이후의 항은 $| z | + 1$ 에 의해 유계이다. 그 외의 나머지 항은 기껏해야 $N - 1$ 개이므로, $| z | + 1$ 을 포함하여 이중에 가장 큰 값을 $M$ 이라고 하자.

$M = max {| x_{1} |, | x_{2} |, \dots, | x_{N - 1} |, | z | + 1}$

자연수 $n = 1, 2, \dots, N - 1$ 에 대해 $| x_{n} | \leq M$ 이며, $N$ 이상의 자연수 $n \geq N$ 에 대해서는 $| x_{n} | < | z | + 1 \leq M$ 이므로 임의의 자연수 $n \in N$ 에 대하여 $| x_{n} | \leq M$ 이 성립한다. 따라서 $(x_{n})$ 은 유계이다. $◻$

이제 수열의 좋은 성질을 보이자.

5.1. 대수극한정리

대수극한정리 (algebraic limit theorem)
$lim a_{n} = a$ , $lim b_{n} = b$ 라고 하자. 다음이 성립한다.
(ⅰ) 모든 $c \in R$ 에 대해, $lim (c a_{n}) = c a$
(ⅱ) $lim (a_{n} + b_{n}) = a + b$
(ⅲ) $lim (a_{n} b_{n}) = a b$
(ⅳ) $b \neq 0$ 이면 $lim (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b}$

※ (ⅳ)에서 수열 $(b_{n})$ 에 0이 포함되어 있는 경우 수열 $(\frac{a_{n}}{b_{n}})$ 의 몇 개의 항은 정의되지 않으나, 특정 자연수 $N$ 이 존재하여 모든 $n \geq N$ 에서 $\frac{a_{n}}{b_{n}}$ 가 모두 정의되므로 수렴성에는 지장이 없다. (ⅳ)의 증명 과정에서 이를 확인하자.

proof)

(ⅰ) : 먼저 $c = 0$ 인 경우를 생각하자. 수열 $(c a_{n})$ 는 모든 항이 0인 수열이다. 임의의 $ϵ > 0$ 에 대해 $| c a_{n} - 0 | = 0 < ϵ$ 이 자명하게 성립하므로 자연수 $N \in N$ 을 어느것을 선택하더라도 $n \geq N$ 에서 $| c a_{n} - 0 | < ϵ$ 이 성립한다. 따라서 $(c a_{n}) \to 0$ 이다.

$c \neq 0$ 인 경우를 생각하자. 양수 $ϵ$ 과 충분히 큰 $n$ 에 대해 다음이 성립함을 보여야 한다.

$| c a_{n} - c a | < ϵ$

이때 다음과 같다.

$| c a_{n} - c a | = | c | | a_{n} - a |$

따라서 다음 부등식을 보이면 된다.

$| c | | a_{n} - a | < ϵ ⟺ | a_{n} - a | < \frac{ϵ}{| c |}$

이로써 증명 준비가 끝났다.

$(a_{n}) \to a$ 이므로, 임의의 $ϵ > 0$ 과 어떤 $N \in N$ 에 대해 모든 $n \geq N$ 에서 다음이 성립한다.

$| a_{n} - a | < \frac{ϵ}{| c |}$

※ $ϵ / | c |$ 도 양수이므로, 위 식을 만족하도록 하는 $N \in N$ 이 반드시 존재한다.

이때 다음도 성립한다.

$| c | | a_{n} - a | = | c a_{n} - c a | < ϵ$

따라서 $(c a_{n}) \to c a$ 를 얻는다.

{ (ⅰ) $◻$ }

(ⅱ) : 양수 $ϵ$ 과 충분히 큰 $n$ 에 대해 다음이 성립함을 보여야 한다.

$| (a_{n} + b_{n}) - (a + b) | < ϵ$

이때 위 식의 좌변은 다음과 같다.

$\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} | (a_{n} + b_{n}) - (a + b) | & = | (a_{n} - a) + (b_{n} - b) | \\ \leq | a_{n} - a | + | b_{n} - b | \end{aligned} \end{matrix}$

따라서 아래의 부등식을 보이면 충분하다.

$| a_{n} - a | + | b_{n} - b | < ϵ$

이로써 증명 준비가 끝났다.

임의의 $ϵ > 0$ 을 생각하자. $(a_{n}) \to a$ 이므로 어떤 $N_{1} \in N$ 에 대해 모든 $n \geq N_{1}$ 에서 다음이 성립한다.

$\begin{matrix} (2) & | a_{n} - a | < \frac{ϵ}{2} \end{matrix}$

또한 $(b_{n}) \to b$ 이므로 어떤 $N_{2} \in N$ 에 대해 모든 $n \geq N_{2}$ 에서 다음이 성립한다.

$\begin{matrix} (3) & | b_{n} - b | < \frac{ϵ}{2} \end{matrix}$

$N = max {N_{1}, N_{2}}$ 라고 하자. 식 (2), (3)을 종합하면 모든 $n \geq N$ 에서 다음이 성립한다.

$| a_{n} - a | + | b_{n} - b | < \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} = ϵ$

식 (1)에 따르면 다음도 성립한다.

$| (a_{n} + b_{n}) - (a + b) | < | a_{n} - a | + | b_{n} - b | < ϵ$

따라서 $(a_{n} + b_{n}) \to a + b$ 를 얻는다.

{ (ⅱ) $◻$ }

(ⅲ) : 먼저 $a = 0$ 인 경우를 생각하자. $(a_{n} b_{n}) \to 0$ 을 보여야 하므로, 양수 $ϵ$ 과 충분히 큰 $n$ 에 대해 다음이 성립함을 보여야 한다.

$| a_{n} b_{n} - 0 | = | a_{n} b_{n} | = | a_{n} | | b_{n} | < ϵ$

이때 $(b_{n})$ 은 수렴하므로 유계이다. 따라서 모든 자연수 $m$ 에 대해 $| b_{m} | \leq M$ 이도록 하는 실수 $M > 0$ 이 존재한다. 다음이 성립한다.

$| a_{n} | | b_{n} | \leq | a_{n} | M$

따라서 아래의 부등식을 보이면 충분하다.

$| a_{n} | M < ϵ ⟺ | a_{n} | < \frac{ϵ}{M}$

이로써 증명 준비가 끝났다.

$(a_{n}) \to 0$ 이므로, 임의의 $ϵ > 0$ 과 어떤 $N \in N$ 에 대해 모든 $n \geq N$ 에서 다음이 성립한다.

$| a_{n} | < \frac{ϵ}{M}$

이때 $| b_{n} | \leq M$ 이므로 다음도 성립한다.

$ϵ > | a_{n} | M \geq | a_{n} | | b_{n} | = | a_{n} b_{n} |$

따라서 $(a_{n} b_{n}) \to 0$ 을 얻는다.

$a \neq 0$ 인 경우를 생각하자. $(a_{n} b_{n}) \to a b$ 를 보여야 하므로, 양수 $ϵ$ 과 충분히 큰 $n$ 에 대해 다음이 성립함을 보여야 한다.

$| a_{n} b_{n} - a b | < ϵ$

이때 위 식의 좌변은 다음과 같다.

$\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} | a_{n} b_{n} - a b | & = | (a_{n} b_{n} - a b_{n}) + (a b_{n} - a b) | \\ \leq | a_{n} b_{n} - a b_{n} | + | a b_{n} - a b | \\ = | b_{n} | | a_{n} - a | + | a | | b_{n} - b | \\ \leq M | a_{n} - a | + | a | | b_{n} - b | \end{aligned} \end{matrix}$

따라서 아래의 부등식을 보이면 충분하다.

$M | a_{n} - a | + | a | | b_{n} - b | < ϵ$

특히 아래의 부등식을 보이면 더욱 충분하다.

$\begin{matrix} M | a_{n} - a | < \frac{ϵ}{2} ⟺ | a_{n} - a | < \frac{ϵ}{2 M} \\ | a | | b_{n} - b | < \frac{ϵ}{2} ⟺ | b_{n} - b | < \frac{ϵ}{2 | a |} \end{matrix}$

이로써 증명 준비가 끝났다.

임의의 $ϵ > 0$ 을 생각하자. $(a_{n}) \to a$ 이므로 어떤 $N_{1} \in N$ 에 대해 모든 $n \geq N_{1}$ 에서 다음이 성립한다.

$\begin{matrix} (5) & | a_{n} - a | < \frac{ϵ}{2 M} \end{matrix}$

또한 $(b_{n}) \to b$ 이므로 어떤 $N_{2} \in N$ 에 대해 모든 $n \geq N_{2}$ 에서 다음이 성립한다.

$\begin{matrix} (6) & | b_{n} - b | < \frac{ϵ}{2 | a |} \end{matrix}$

$N = max {N_{1}, N_{2}}$ 라고 하자. 식 (5), (6)을 종합하면 모든 $n \geq N$ 에서 다음이 성립한다.

$M | a_{n} - a | + | a | | b_{n} - b | < \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} = ϵ$

식 (4)에 따르면 다음도 성립한다.

$| a_{n} b_{n} - a b | \leq M | a_{n} - a | + | a | | b_{n} - b | < ϵ$

따라서 $(a_{n} b_{n}) \to a b$ 를 얻는다.

{ (ⅲ) $◻$ }

(ⅳ) : 다음 명제가 성립함을 보이면, 나머지는 본 정리의 (ⅲ)에 의해 자명하게 성립한다.

$(b_{n}) \to b ⟹ (\frac{1}{b_{n}}) \to \frac{1}{b}$

양수 $ϵ$ 과 충분히 큰 $n$ 에 대해 다음이 성립함을 보여야 한다.

$| \frac{1}{b_{n}} - \frac{1}{b} | < ϵ$

이때 위 식의 좌변은 다음과 같다.

$\begin{matrix} (7) & | \frac{1}{b_{n}} - \frac{1}{b} | = \frac{| b_{n} - b |}{| b | | b_{n} |} \end{matrix}$

만약 어떤 $n \in N$ 에 대해 $b_{n} = 0$ 인 경우 $\frac{1}{b_{n}}$ 이 정의되지 않는다. 그러나 수열 $(b_{n})$ 은 $b$ 로 무한히 가까워지므로, $n$ 이 충분히 크면 $| b_{n} - b | < \frac{| b |}{2}$ 이며 다음이 성립한다.

$| b | - | b_{n} | \leq | b - b_{n} | < \frac{| b |}{2}$

$∴ \frac{| b |}{2} < | b_{n} |$

이 경우 $b_{n} \neq 0$ 이므로 $\frac{1}{b_{n}}$ 이 잘 정의된다. 여기서 아래의 두 부등식을 보이면 충분하다.

$\frac{| b |}{2} < | b_{n} |$

$\frac{2 | b_{n} - b |}{| b |^{2}} < ϵ ⟺ | b_{n} - b | < \frac{ϵ | b |^{2}}{2}$

이로써 증명 준비가 끝났다.

$(b_{n}) \to b$ 이므로, 어떤 $N_{1} \in N$ 에 대해 모든 $n \geq N_{1}$ 에서 다음이 성립한다.

$| b_{n} - b | < \frac{| b |}{2}$

이때 다음도 성립한다.

$\begin{matrix} (8) & | b | - | b_{n} | \leq | b - b_{n} | \end{matrix}$

$∴ | b_{n} | > \frac{| b |}{2}$

여기서 $0 < | b_{n} |$ 즉, $b_{n} \neq 0$ 이므로 모든 $n \geq N_{1}$ 에서 $\frac{1}{b_{n}}$ 이 잘 정의된다. 다시 $(b_{n}) \to b$ 이므로, 임의의 $ϵ > 0$ 과 어떤 $N_{2} \in N$ 에 대해 모든 $n \geq N_{2}$ 에서 다음이 성립한다.

$\begin{matrix} (9) & | b_{n} - b | < \frac{ϵ | b |^{2}}{2} \end{matrix}$

$N = max {N_{1}, N_{2}}$ 라고 하자. 식 (8), (9)을 종합하면 모든 $n \geq N$ 에서 다음이 성립한다.

$| b_{n} - b | \frac{1}{| b | | b_{n} |} < \frac{ϵ | b |^{2}}{2} \frac{1}{| b | | b_{n} |} < \frac{ϵ | b |^{2}}{2} \frac{2}{| b |^{2}} = ϵ$

식 (7)에 따르면 다음도 성립한다.

$| \frac{1}{b_{n}} - \frac{1}{b} | = \frac{| b_{n} - b |}{| b | | b_{n} |} < ϵ$

따라서 $(\frac{1}{b_{n}}) \to \frac{1}{b}$ 를 얻는다.

{ (ⅳ) $◻$ }

대수 극한 정리가 모두 성립한다. $◻$

대수극한정리는 수렴하는 두 수열 $(a_{n})$ , $(b_{n})$ 에 대해 다음의 조작이 가능함을 이야기한다.

$lim (c a_{n}) = c lim (a_{n})$

$lim (a_{n} + b_{n}) = lim (a_{n}) + lim (b_{n})$

$lim (a_{n} b_{n}) = lim (a_{n}) lim (b_{n})$

$lim (b_{n}) \neq 0 : lim (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{lim (a_{n})}{lim (b_{n})}$

5.2. 순서극한정리

극한의 또다른 좋은 성질을 보이기 전에 다음을 참고하자.

정의) $N$ 에서 정의된 명제 $P (n)$ 을 생각하자. 어떤 $N \in N$ 이 존재하여 임의의 $n \in N$ 에 대해 $n \geq N$ 이면 $P (n)$ 이 참일 경우 궁극적으로(eventually) $P$ 가 참이라고 한다.

다시말해 초기 유한개를 제외한 나머지 명제가 모두 참이면 그 명제는 궁극적으로 참인 것이다. 그리고 잘 생각해보면 첫 번째부터 모두 참이어도 궁극적으로 참이라고 할 수 있다.

이러한 표현을 빌리면 다음과 같이 수열의 수렴을 매우 간결하고 명료하게 정의할 수도 있다.

임의의 $ϵ > 0$ 에 대해 궁극적으로 $| a_{n} - a | < ϵ$ 이면 $(a_{n}) \to a$ 이다.

위 문장에서 느꼈다시피, 궁극성은 수열의 꼬리에서 일어나는 현상에 집중하기 위해 고안된 개념이다. 그리고 그 꼬리들의 대소관계에 대한 다음의 좋은 성질이 성립한다.

순서극한정리 (order limit theorem)
$lim a_{n} = a$ , $lim b_{n} = n$ 라고 하자. 다음이 성립한다.
(ⅰ) 궁극적으로 $0 \leq a_{n}$ 이면 $0 \leq a$ 이다.
(ⅱ) 궁극적으로 $a_{n} \leq b_{n}$ 이면 $a \leq b$ 이다.
(ⅲ) 어떤 $c \in R$ 에 대해 궁극적으로 $a_{n} \leq c$ 이면 $a \leq c$ 이고, 궁극적으로 $c \leq b_{n}$ 이면 $c \leq b$ 이다.

proof)

(ⅰ) : 모순을 보이기 위해 궁극적으로 $0 \leq a_{n}$ 이며 $a < 0$ 이라고 가정하자. $(a_{n}) \to a$ 이므로, 어떤 $N_{1} \in N$ 에 대해 모든 $n \geq N_{1}$ 에서 다음이 성립한다.

$| a_{n} - a | < | a |$

이때 다음이 성립한다.

$- | a | < a_{n} - a < | a |$

$| a | = - a$ 이므로 $a_{n} < 0$ 을 얻는다.

가정에서 궁극적으로 $0 \leq a_{n}$ 이 성립한다고 하였으므로, 어떤 $N_{2} \in N$ 에 대해 모든 $n \geq N$ 에서 $0 \leq a_{n}$ 가 성립한다. $N = max {N_{1}, N_{2}}$ 라고 하면 모든 $n \geq N$ 에서 다음이 동시에 성립해야 한다.

$a_{n} < 0 0 \leq a_{n}$

이는 모순이다. 귀류법에 의해 궁극적으로 $0 \leq a_{n}$ 이면 $0 \leq a$ 이 성립한다.

{ (ⅰ) $◻$ }

(ⅱ) : 대수 극한 정리 (ⅱ)에 따르면 $(b_{n} - a_{n}) \to b - a$ 이 성립한다. 궁극적으로 $0 \leq b_{n} - a_{n}$ 이면 본 정리의 (ⅰ)에 따라 $0 \leq b - a$ 이므로 원하는 결과를 얻는다.

{ (ⅱ) $◻$ }

(ⅲ) : $(b_{n}) = {c}$ 라고 가정하면 $(b_{n}) \to c$ 임이 자명하다. 본 정리의 (ⅱ)에 따라, 궁극적으로 $a_{n} \leq b_{n} = c$ 이면 $a \leq c$ 이다.

$(a_{n}) = {c}$ 라고 가정하면 $(a_{n}) \to c$ 임이 자명하다. 본 정리의 (ⅱ)에 따라, 궁극적으로 $c = a_{n} \leq b_{n}$ 이면 $c \leq b$ 이다.

{ (ⅲ) $◻$ }

순서 극한 정리가 모두 성립한다. $◻$

5.3. 조임정리

아래의 정리에 따르면 한 점으로 수렴하는 두 수열 사이에 끼어있는 수열은 어쩔 수 없이 똑같은 점으로 수렴한다.

조임정리 (squeeze theorem)
세 수열 $(x_{n})$ , $(y_{n})$ , $(z_{n})$ 에 대해 $lim x_{n} = lim z_{n} = l$ 이고 궁극적으로 $x_{n} \leq y_{n} \leq z_{n}$ 이면 $lim y_{n} = l$ 이다.

proof)

임의의 $ϵ > 0$ 을 생각하자. $(x_{n}) \to l$ 이므로 어떤 $N_{1} \in N$ 이 존재하여 모든 $n \in N$ 에 대해 $n \geq N_{1}$ 이면 $| x_{n} - l | < ϵ$ 이 성립한다. 또한 $(z_{n}) \to l$ 이므로 어떤 $N_{2} \in N$ 이 존재하여 모든 $n \in N$ 에 대해 $n \geq N_{2}$ 이면 $| z_{n} - l | < ϵ$ 이 성립한다. 궁극적으로 $x_{n} \leq y_{n} \leq z_{n}$ 이므로 어떤 $N_{3} \in N$ 이 존재하여 모든 $n \in N$ 에 대해 $n \geq N_{3}$ 이면 $x_{n} \leq y_{n} \leq z_{n}$ 이 성립한다.

$N = max {N_{1}, N_{2}, N_{3}}$ 이라고 하면 모든 $n \in N$ 에 대해 $n \geq N$ 이면 다음이 성립한다.

$| x_{n} - l | < ϵ | z_{n} - l | < ϵ x_{n} \leq y_{n} \leq z_{n}$

다음이 성립한다.

$- ϵ < x_{n} - l < ϵ$

$- ϵ < z_{n} - l < ϵ$

$x_{n} - l \leq y_{n} - l \leq z_{n} - l$

$\begin{array}{r} ⟹ - ϵ < x_{n} - l \leq y_{n} - l \leq z_{n} - l < ϵ \end{array}$

$∴ - ϵ < y_{n} - l < ϵ ⟺ | y_{n} - l | < ϵ$

따라서 $(y_{n}) \to l$ 을 얻는다. $◻$

읽어주셔서 감사합니다.

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[FTC의 엄밀한 증명] ch4. 극한의 성질 1

5. 극한의 성질 1

5.1. 대수극한정리

5.2. 순서극한정리

5.3. 조임정리

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