[FTC의 엄밀한 증명] ch4. 극한의 성질 1

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  본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

5. 극한의 성질 1

 

  다음의 정리에 따르면 (다행히도) 당연히 성립해야 할 성질이 성립한다.

 

정리 5-1)  수렴하는 수열의 극한값은 유일하다.

 

proof)

  $(a_n)\to a$ , $(a_n)\to b$ 라고 가정하자. 임의의 $\epsilon>0$ 을 생각하자. 정의에 따라 어떤 $N_1\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 모든 자연수 $n\ge N_1$ 에서 다음이 성립한다.

$$|a_n-a|<\frac{\epsilon}{2}$$

  마찬가지로 어떤 $N_2\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 모든 자연수 $n\ge N_2$ 에서 다음이 성립한다.

$$|a_n-b|<\frac{\epsilon}{2}$$

  $N_1$ 과 $N_2$ 중에서 더 큰 것을 $N$ 이라고 하자. ($N=\mbox{max}\{N_1,N_2\}$) 이때 모든 자연수 $n\ge N$ 에서 다음이 모두 성립함을 알 수 있다.

$$|a_n-a|<\frac{\epsilon_0}{2}\qquad|a_n-b|<\frac{\epsilon_0}{2}$$

  이때 다음이 성립한다. ($\because$ 삼각 부등식)

$$\begin{align}|a-b|&=|(a-a_n)+(a_n-b)|\\&\le|a-a_n|+|a_n-b|\\&<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\end{align}$$

  정리하면 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 $|a-b|<\epsilon$ 이 성립함을 알 수 있다. 만약 $a\neq b$ 이면 $0<|a-b|$ 이므로 실수의 조밀성에 따라 다음을 만족하는 $\epsilon_0\in\mathbb{R}$ 이 존재한다.

$$0<\epsilon_0<|a-b|$$

  이 경우 $|a-b|<\epsilon_0$ 이 성립하지 않으므로 모순. 따라서 $a=b$ 를 얻는다.   $\square$

 

 

  위의 정리 외에도 수렴하는 수열이 더 만족해야 할 좋은 성질들이 많이 남아있다. 먼저 아래의 정의를 확인하자.

 

정의)  수열 $(a_n)$ 을 생각하자. 어떤 실수 $M>0$ 이 존재하여 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $|a_n|\le M$ 이 성립하면 수열 $(a_n)$ 은 유계(bounded)라고 한다.

 

  $|a_n|\le M$ 이면 $-M\le a_n\le M$ 이므로, 수열 $(a_n)$ 이 닫힌구간 $[-M,M]$ 에 포함된다. 즉, 유계인 수열은 천장과 바닥이 존재하여 그 사이에만 놓이게 된다.

 

  아래의 정리는 다양한 정리들을 증명할때 도움정리로서 유용하게 쓰인다.

 

정리 5-2)  수렴하는 수열은 유계이다.

 

※ 사실 정리 5-2는 굳이 증명하지 않아도 직관적으로 알 수 있는 성질이다. 근방의 개념으로 수열의 수렴을 정의하는 방법을 다시 살펴보자. $(a_n)\to a$ 라고 할 때, $a$ 의 임의의 $\epsilon$-근방은 초기 몇 개의 항을 제외한 모든 항을 포함하므로, 그 근방과 근방에 포함되지 않는 초기의 항을 모두 포함하도록 bound를 선택하면 그만이다.

 

proof)

  수렴하는 수열 $(x_n)\to z$ 를 생각하자. 양수 $1$ 에 대해 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 모든 $n\ge N$ 에서 $|x_n-z|<1$ 이 성립한다. 이때 $|x_n|-|z|<|x_n-z|$ 이므로 ($\because$ 역삼각 부등식) $|x_n|<|z|+1$ 이다. 즉, 자연수 $N$ 에 대해 다음이 성립하는 것이다.

$$\begin{align}|x_N|&<|z|+1\\|x_{N+1}|&<|z|+1\\|x_{N+2}|&<|z|+1\\&\;\vdots\end{align}$$

  따라서 수열 $(x_n)$ 의 $N$ 번째 이후의 항은 $|z|+1$ 에 의해 유계이다. 그 외의 나머지 항은 기껏해야 $N-1$ 개이므로, $|z|+1$ 을 포함하여 이중에 가장 큰 값을 $M$ 이라고 하자.

$$M=\mbox{max}\{|x_1|,|x_2|,\ldots,|x_{N-1}|,|z|+1\}$$

  자연수 $n=1,2,\ldots,N-1$ 에 대해 $|x_n|\le M$ 이며, $N$ 이상의 자연수 $n\ge N$ 에 대해서는 $|x_n|<|z|+1\le M$ 이므로 임의의 자연수 $n\in\mathbb{N}$ 에 대하여 $|x_n|\le M$ 이 성립한다. 따라서 $(x_n)$ 은 유계이다.   $\square$

 

 

  이제 수열의 좋은 성질을 보이자.

 

 

5.1. 대수극한정리

 

대수극한정리 (algebraic limit theorem)
  $\lim a_n=a$ , $\lim b_n=b$ 라고 하자. 다음이 성립한다.
  (ⅰ) 모든 $c\in\mathbb{R}$ 에 대해, $\lim(ca_n)=ca$
  (ⅱ) $\lim(a_n+b_n)=a+b$
  (ⅲ) $\lim(a_nb_n)=ab$
  (ⅳ) $b\neq 0$ 이면 $\lim\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{a}{b}$

 

※ (ⅳ)에서 수열 $(b_n)$ 에 0이 포함되어 있는 경우 수열 $\left(\frac{a_n}{b_n}\right)$ 의 몇 개의 항은 정의되지 않으나, 특정 자연수 $N$ 이 존재하여 모든 $n\ge N$ 에서 $\frac{a_n}{b_n}$ 가 모두 정의되므로 수렴성에는 지장이 없다. (ⅳ)의 증명 과정에서 이를 확인하자.

 

proof)

  (ⅰ) : 먼저 $c=0$ 인 경우를 생각하자. 수열 $(ca_n)$ 는 모든 항이 0인 수열이다. 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 $|ca_n-0|=0<\epsilon$ 이 자명하게 성립하므로 자연수 $N\in\mathbb{N}$ 을 어느것을 선택하더라도 $n\ge N$ 에서 $|ca_n-0|<\epsilon$ 이 성립한다. 따라서 $(ca_n)\to0$ 이다.

 

  $c\neq 0$ 인 경우를 생각하자. 양수 $\epsilon$ 과 충분히 큰 $n$ 에 대해 다음이 성립함을 보여야 한다.

$$|ca_n-ca|<\epsilon$$

  이때 다음과 같다.

$$|ca_n-ca|=|c||a_n-a|$$

  따라서 다음 부등식을 보이면 된다.

$$|c||a_n-a|<\epsilon\iff|a_n-a|<\frac{\epsilon}{|c|}$$

  이로써 증명 준비가 끝났다.

 

  $(a_n)\to a$ 이므로, 임의의 $\epsilon>0$ 과 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 에 대해 모든 $n\ge N$ 에서 다음이 성립한다.

$$|a_n-a|<\frac{\epsilon}{|c|}$$

※ $\epsilon/|c|$ 도 양수이므로, 위 식을 만족하도록 하는 $N\in\mathbb{N}$ 이 반드시 존재한다.

  이때 다음도 성립한다.

$$|c||a_n-a|=|ca_n-ca|<\epsilon$$

  따라서 $(ca_n)\to ca$ 를 얻는다.

  { (ⅰ)   $\square$ }

 

  (ⅱ) : 양수 $\epsilon$ 과 충분히 큰 $n$ 에 대해 다음이 성립함을 보여야 한다.

$$|(a_n+b_n)-(a+b)|<\epsilon$$

  이때 위 식의 좌변은 다음과 같다.

$$\begin{align}|(a_n+b_n)-(a+b)|&=|(a_n-a)+(b_n-b)|\\&\le|a_n-a|+|b_n-b|\end{align}\tag{1}$$

  따라서 아래의 부등식을 보이면 충분하다.

$$|a_n-a|+|b_n-b|<\epsilon$$

  이로써 증명 준비가 끝났다.

 

  임의의 $\epsilon>0$ 을 생각하자. $(a_n)\to a$ 이므로 어떤 $N_1\in\mathbb{N}$ 에 대해 모든 $n\ge N_1$ 에서 다음이 성립한다.

$$|a_n-a|<\frac{\epsilon}{2}\tag{2}$$

  또한 $(b_n)\to b$ 이므로 어떤 $N_2\in\mathbb{N}$ 에 대해 모든 $n\ge N_2$ 에서 다음이 성립한다.

$$|b_n-b|<\frac{\epsilon}{2}\tag{3}$$

  $N=\mbox{max}\{N_1,N_2\}$ 라고 하자. 식 (2), (3)을 종합하면 모든 $n\ge N$ 에서 다음이 성립한다.

$$|a_n-a|+|b_n-b|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$

  식 (1)에 따르면 다음도 성립한다.

$$|(a_n+b_n)-(a+b)|<|a_n-a|+|b_n-b|<\epsilon$$

  따라서 $(a_n+b_n)\to a+b$ 를 얻는다.

  { (ⅱ)   $\square$ }

 

  (ⅲ) : 먼저 $a=0$ 인 경우를 생각하자. $(a_nb_n)\to 0$ 을 보여야 하므로, 양수 $\epsilon$ 과 충분히 큰 $n$ 에 대해 다음이 성립함을 보여야 한다.

$$|a_nb_n-0|=|a_nb_n|=|a_n||b_n|<\epsilon$$

  이때 $(b_n)$ 은 수렴하므로 유계이다. 따라서 모든 자연수 $m$ 에 대해 $|b_m|\le M$ 이도록 하는 실수 $M>0$ 이 존재한다. 다음이 성립한다.

$$|a_n||b_n|\le|a_n|M$$

  따라서 아래의 부등식을 보이면 충분하다.

$$|a_n|M<\epsilon\iff|a_n|<\frac{\epsilon}{M}$$

  이로써 증명 준비가 끝났다.

 

  $(a_n)\to 0$ 이므로, 임의의 $\epsilon>0$ 과 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 에 대해 모든 $n\ge N$ 에서 다음이 성립한다.

$$|a_n|<\frac{\epsilon}{M}$$

  이때 $|b_n|\le M$ 이므로 다음도 성립한다.

$$\epsilon>|a_n|M\ge|a_n||b_n|=|a_nb_n|$$

  따라서 $(a_nb_n)\to 0$ 을 얻는다.

 

  $a\neq 0$ 인 경우를 생각하자. $(a_nb_n)\to ab$ 를 보여야 하므로, 양수 $\epsilon$ 과 충분히 큰 $n$ 에 대해 다음이 성립함을 보여야 한다.

$$|a_nb_n-ab|<\epsilon$$

  이때 위 식의 좌변은 다음과 같다.

$$\begin{align}|a_nb_n-ab|&=|(a_nb_n-ab_n)+(ab_n-ab)|\\&\le|a_nb_n-ab_n|+|ab_n-ab|\\&=|b_n||a_n-a|+|a||b_n-b|\\&\le M|a_n-a|+|a||b_n-b|\end{align}\tag{4}$$

  따라서 아래의 부등식을 보이면 충분하다.

$$M|a_n-a|+|a||b_n-b|<\epsilon$$

  특히 아래의 부등식을 보이면 더욱 충분하다.

$$\begin{gather}M|a_n-a|<\frac{\epsilon}{2}\iff|a_n-a|<\frac{\epsilon}{2M}\\|a||b_n-b|<\frac{\epsilon}{2}\iff|b_n-b|<\frac{\epsilon}{2|a|}\end{gather}$$

  이로써 증명 준비가 끝났다.

 

  임의의 $\epsilon>0$ 을 생각하자. $(a_n)\to a$ 이므로 어떤 $N_1\in\mathbb{N}$ 에 대해 모든 $n\ge N_1$ 에서 다음이 성립한다.

$$|a_n-a|<\frac{\epsilon}{2M}\tag{5}$$

  또한 $(b_n)\to b$ 이므로 어떤 $N_2\in\mathbb{N}$ 에 대해 모든 $n\ge N_2$ 에서 다음이 성립한다.

$$|b_n-b|<\frac{\epsilon}{2|a|}\tag{6}$$

  $N=\mbox{max}\{N_1,N_2\}$ 라고 하자. 식 (5), (6)을 종합하면 모든 $n\ge N$ 에서 다음이 성립한다.

$$M|a_n-a|+|a||b_n-b|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$

  식 (4)에 따르면 다음도 성립한다.

$$|a_nb_n-ab|\le M|a_n-a|+|a||b_n-b|<\epsilon$$

  따라서 $(a_nb_n)\to ab$ 를 얻는다.

  { (ⅲ)   $\square$ }

 

  (ⅳ) : 다음 명제가 성립함을 보이면, 나머지는 본 정리의 (ⅲ)에 의해 자명하게 성립한다.

$$(b_n)\to b\implies\left(\frac{1}{b_n}\right)\to\frac{1}{b}$$

 

  양수 $\epsilon$ 과 충분히 큰 $n$ 에 대해 다음이 성립함을 보여야 한다.

$$\left|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b}\right|<\epsilon$$

  이때 위 식의 좌변은 다음과 같다.

$$\left|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b}\right|=\frac{|b_n-b|}{|b||b_n|}\tag{7}$$

  만약 어떤 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $b_n=0$ 인 경우 $\frac{1}{b_n}$ 이 정의되지 않는다. 그러나 수열 $(b_n)$ 은 $b$ 로 무한히 가까워지므로, $n$ 이 충분히 크면 $|b_n-b|<\frac{|b|}{2}$ 이며 다음이 성립한다.

$$|b|-|b_n|\le|b-b_n|<\frac{|b|}{2}$$

$$\therefore\frac{|b|}{2}<|b_n|$$

  이 경우 $b_n\neq0$ 이므로 $\frac{1}{b_n}$ 이 잘 정의된다. 여기서 아래의 두 부등식을 보이면 충분하다.

$$\frac{|b|}{2}<|b_n|$$

$$\frac{2|b_n-b|}{|b|^2}<\epsilon\iff|b_n-b|<\frac{\epsilon|b|^2}{2}$$

  이로써 증명 준비가 끝났다.

 

  $(b_n)\to b$ 이므로, 어떤 $N_1\in\mathbb{N}$ 에 대해 모든 $n\ge N_1$ 에서 다음이 성립한다.

$$|b_n-b|<\frac{|b|}{2}$$

  이때 다음도 성립한다.

$$|b|-|b_n|\le|b-b_n|\tag{8}$$

$$\therefore|b_n|>\frac{|b|}{2}$$

  여기서 $0<|b_n|$ 즉, $b_n\neq 0$ 이므로 모든 $n\ge N_1$ 에서 $\frac{1}{b_n}$ 이 잘 정의된다. 다시 $(b_n)\to b$ 이므로, 임의의 $\epsilon>0$ 과 어떤 $N_2\in\mathbb{N}$ 에 대해 모든 $n\ge N_2$ 에서 다음이 성립한다.

$$|b_n-b|<\frac{\epsilon|b|^2}{2}\tag{9}$$

  $N=\mbox{max}\{N_1,N_2\}$ 라고 하자. 식 (8), (9)을 종합하면 모든 $n\ge N$ 에서 다음이 성립한다.

$$|b_n-b|\frac{1}{|b||b_n|}<\frac{\epsilon|b|^2}{2}\frac{1}{|b||b_n|}<\frac{\epsilon|b|^2}{2}\frac{2}{|b|^2}=\epsilon$$

  식 (7)에 따르면 다음도 성립한다.

$$\left|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b}\right|=\frac{|b_n-b|}{|b||b_n|}<\epsilon$$

  따라서 $\left(\frac{1}{b_n}\right)\to\frac{1}{b}$ 를 얻는다.

  { (ⅳ)   $\square$ }

 

  대수 극한 정리가 모두 성립한다.   $\square$

 

 

  대수극한정리는 수렴하는 두 수열 $(a_n)$ , $(b_n)$ 에 대해 다음의 조작이 가능함을 이야기한다.

$$\lim(ca_n)=c\lim(a_n)$$

$$\lim(a_n+b_n)=\lim(a_n)+\lim(b_n)$$

$$\lim(a_nb_n)=\lim(a_n)\lim(b_n)$$

$$\lim(b_n)\neq 0:\lim\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{\lim(a_n)}{\lim(b_n)}$$

 

 

5.2. 순서극한정리

 

  극한의 또다른 좋은 성질을 보이기 전에 다음을 참고하자.

 

정의)  $\mathbb{N}$ 에서 정의된 명제 $P(n)$ 을 생각하자. 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n\ge N$ 이면 $P(n)$ 이 참일 경우 궁극적으로(eventually) $P$ 가 참이라고 한다.

 

  다시말해 초기 유한개를 제외한 나머지 명제가 모두 참이면 그 명제는 궁극적으로 참인 것이다. 그리고 잘 생각해보면 첫 번째부터 모두 참이어도 궁극적으로 참이라고 할 수 있다.

 

  이러한 표현을 빌리면 다음과 같이 수열의 수렴을 매우 간결하고 명료하게 정의할 수도 있다.

 

임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 궁극적으로 $|a_n-a|<\epsilon$ 이면 $(a_n)\to a$ 이다.

 

  위 문장에서 느꼈다시피, 궁극성은 수열의 꼬리에서 일어나는 현상에 집중하기 위해 고안된 개념이다. 그리고 그 꼬리들의 대소관계에 대한 다음의 좋은 성질이 성립한다.

 

순서극한정리 (order limit theorem)
  $\lim a_n=a$ , $\lim b_n=n$ 라고 하자. 다음이 성립한다.
  (ⅰ) 궁극적으로 $0\le a_n$ 이면 $0\le a$ 이다.
  (ⅱ) 궁극적으로 $a_n\le b_n$ 이면 $a\le b$ 이다.
  (ⅲ) 어떤 $c\in\mathbb{R}$ 에 대해 궁극적으로 $a_n\le c$ 이면 $a\le c$ 이고, 궁극적으로 $c\le b_n$ 이면 $c\le b$ 이다.

 

proof)

  (ⅰ) : 모순을 보이기 위해 궁극적으로 $0\le a_n$ 이며 $a<0$ 이라고 가정하자. $(a_n)\to a$ 이므로, 어떤 $N_1\in\mathbb{N}$ 에 대해 모든 $n\ge N_1$ 에서 다음이 성립한다.

$$|a_n-a|<|a|$$

  이때 다음이 성립한다.

$$-|a|<a_n-a<|a|$$

  $|a|=-a$ 이므로 $a_n<0$ 을 얻는다.

 

  가정에서 궁극적으로 $0\le a_n$ 이 성립한다고 하였으므로, 어떤 $N_2\in\mathbb{N}$ 에 대해 모든 $n\ge N$ 에서 $0\le a_n$ 가 성립한다. $N=\mbox{max}\{N_1,N_2\}$ 라고 하면 모든 $n\ge N$ 에서 다음이 동시에 성립해야 한다.

$$a_n<0\quad0\le a_n$$

  이는 모순이다. 귀류법에 의해 궁극적으로 $0\le a_n$ 이면 $0\le a$ 이 성립한다.

  { (ⅰ)   $\square$ }

 

  (ⅱ) : 대수 극한 정리 (ⅱ)에 따르면 $(b_n-a_n)\to b-a$ 이 성립한다. 궁극적으로 $0\le b_n-a_n$ 이면 본 정리의 (ⅰ)에 따라 $0\le b-a$ 이므로 원하는 결과를 얻는다.

  { (ⅱ)   $\square$ }

 

  (ⅲ) : $(b_n)=\{c\}$ 라고 가정하면 $(b_n)\to c$ 임이 자명하다. 본 정리의 (ⅱ)에 따라, 궁극적으로 $a_n\le b_n=c$ 이면 $a\le c$ 이다.

 

  $(a_n)=\{c\}$ 라고 가정하면 $(a_n)\to c$ 임이 자명하다. 본 정리의 (ⅱ)에 따라, 궁극적으로 $c=a_n\le b_n$ 이면 $c\le b$ 이다.

  { (ⅲ)   $\square$ }

 

  순서 극한 정리가 모두 성립한다.   $\square$

 

 

5.3. 조임정리

 

  아래의 정리에 따르면 한 점으로 수렴하는 두 수열 사이에 끼어있는 수열은 어쩔 수 없이 똑같은 점으로 수렴한다.

 

조임정리 (squeeze theorem)
  세 수열 $(x_n)$ , $(y_n)$ , $(z_n)$ 에 대해 $\lim x_n=\lim z_n=l$ 이고 궁극적으로 $x_n\le y_n\le z_n$ 이면 $\lim y_n=l$ 이다.

 

proof)

  임의의 $\epsilon>0$ 을 생각하자. $(x_n)\to l$ 이므로 어떤 $N_1\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 모든 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n\ge N_1$ 이면 $|x_n-l|<\epsilon$ 이 성립한다. 또한 $(z_n)\to l$ 이므로 어떤 $N_2\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 모든 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n\ge N_2$ 이면 $|z_n-l|<\epsilon$ 이 성립한다. 궁극적으로 $x_n\le y_n\le z_n$ 이므로 어떤 $N_3\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 모든 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n\ge N_3$ 이면 $x_n\le y_n\le z_n$ 이 성립한다.

 

  $N=\mbox{max}\{N_1,N_2,N_3\}$ 이라고 하면 모든 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n\ge N$ 이면 다음이 성립한다.

$$|x_n-l|<\epsilon\qquad|z_n-l|<\epsilon\qquad x_n\le y_n\le z_n$$

  다음이 성립한다.

$$-\epsilon<x_n-l<\epsilon$$

$$-\epsilon<z_n-l<\epsilon$$

$$x_n-l\le y_n-l\le z_n-l$$

$$\begin{align}\implies-\epsilon<x_n-l\le y_n-l\le z_n-l<\epsilon\end{align}$$

$$\therefore-\epsilon<y_n-l<\epsilon\iff|y_n-l|<\epsilon$$

  따라서 $(y_n)\to l$ 을 얻는다.   $\square$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

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