[직선과 실수] ch4. 직선에 새겨진 유리수

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  본 포스팅은 '계승혁 교수님, 2002년 1학기 - 집합과 수리논리 강의록 제2장'을 참고하여 작성하였습니다.

 

 

5. 유리수를 품은 직선

 

  다음의 정리에 따르면 직선은 '순서체인 유리수'의 구조를 포함한다. 다시말해 임의의 유리수에 대응하는 점이 존재하며, 그 대응은 유리수의 덧셈과 곱셈을 그대로 따라한다. 게다가 더 큰 유리수에는 더 큰 점이 대응한다.

 

정리 5-1)  다음의 성질을 만족하는 함수 $\gamma :\mathbb{Q}\to \mathbb{E}$ 는 단사함수이며 유일하게 존재한다.
  (ⅰ) 임의의 $p,q\in \mathbb{Q}$ 에 대하여 $\gamma (p+q)=\gamma (p)+\gamma (q)$ 가 성립한다.
  (ⅱ) 임의의 $p,q\in \mathbb{Q}$ 에 대하여 $\gamma (pq)=\gamma (p)\gamma (q)$ 가 성립한다.
  (ⅲ) $\gamma (P_{\mathbb{Q}})=\gamma (\mathbb{Q})\cap P_{\mathbb{E}}$

 

※ 위에서 조건 (ⅲ)은 양의 유리수에 대응하는 점의 집합과 유리수에 대응하는 양의 점의 집합이 동일하다는 것을 의미한다.

 

※ 함수 $\gamma$ 에 의해 유리수에 대응하는 점에 대하여, '유리수끼리 연산한 수에 대응하는 점'과 '유리수에 대응하는 점끼리 연산하는 것'은 동일하다. 이를 일컬어, $\gamma$ 가 $\mathbb{Q}$ 와 $\mathbb{E}$ 의 연산을 보존한다고 한다. 또한 양수인 유리수에 대응하는 점은 양수인 점이므로 $\gamma$ 는 양수집합도 보존한다. 추가적인 설명은 링크 의 초반부를 참조.

 

proof)

  [단사함수]

  만약 조건 (ⅰ)~(ⅲ)을 만족하는 함수 $\gamma :\mathbb{Q}\to \mathbb{E}$ 가 존재한다면 단사함수임을 보이자. $\gamma$ 가 단사함수라는것은 다음을 의미한다.

$$\gamma (x)=\gamma (y)⟹x=y$$

  모순을 보이기 위해, 어떤 두 유리수 $p<q$ 에 대하여 $\gamma (p)=\gamma (q)$ 라고 가정하자. 이때 $q-p\in P_{\mathbb{Q}}$ 이며, $q-p=z$ 라고 하자. 다음이 성립한다.

$$\gamma (q)=\gamma (z+p)=\gamma (z)+\gamma (p)$$

  이때 $\gamma (p)=\gamma (q)$ 이므로 $\gamma (z)=0_{\mathbb{E}}$ 이다. $z\in P_{\mathbb{Q}}$ 이므로 조건 (ⅲ)에 따라 $\gamma (z)\in P_{\mathbb{E}}$ 이어야 하는데, 순서체의 정의에 따라 $0_{\mathbb{E}}\notin P_{\mathbb{E}}$ 이므로 모순. 그러므로 귀류법에 따라 $\gamma$ 는 단사함수이다.

---

  [유일성]

  만약 조건 (ⅰ)~(ⅲ)을 만족하는 함수 $\gamma :\mathbb{Q}\to \mathbb{E}$ 가 존재한다면 유일하게 존재함을 보이자. 조건 (ⅰ)에 따라 다음이 성립한다.

$$\gamma (0)=\gamma (0+0)=\gamma (0)+\gamma (0)$$

$$\therefore \gamma (0)=0_{\mathbb{E}}$$

  그리고 조건 (ⅱ)에 따라 임의의 유리수 $p\in \mathbb{Q}$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\gamma (p)=\gamma (p1)=\gamma (p)\gamma (1)$$

  $\gamma$ 는 단사함수이므로, $p\ne 0$ 인 유리수에 대해 $\gamma (p)\ne 0_{\mathbb{E}}$ 이다. 따라서 $\gamma (1)$ 은 곱셈에 대한 항등원이므로 $\gamma (1)=1_{\mathbb{E}}$ 이다. 임의의 자연수 $n\in \mathbb{N}$ 와 유리수 $p\in \mathbb{Q}$ 에 대하여 다음이 성립함을 보이자.
$$\gamma (np)=\sum _{i=1}^n\gamma (p)$$

  $n=1$ 일때는 위 식이 자명하게 성립한다. $n=m$ 일때 위 식이 성립한다고 가정하자. 다음이 성립한다.
$$\begin{array}{rl}\gamma ((m+1)p)& =\gamma (mp+p)\\ & =\gamma (mp)+\gamma (p)\\ & =\sum _{i=1}^m\gamma (p)+\gamma (p)\\ & =\sum _{i=1}^{m+1}\gamma (p)\end{array}$$

  $n=m+1$ 일때도 위 식이 성립하므로, 귀납법에 따라 임의의 자연수 $n\in \mathbb{N}$ 에 대하여 위 식이 성립한다. 이를 이용하여 임의의 자연수 $n\in \mathbb{N}$ 와 유리수 $p\in \mathbb{Q}$ 에 대하여 다음의 식도 성립함을 알 수 있다.
$$\begin{array}{rl}\left(\sum _{i=1}^n\gamma \left(\frac{p}{n}\right)\right)\gamma (n)& =\sum _{i=1}^n(\gamma \left(\frac{p}{n}\right)\gamma (n))\\ & =\sum _{i=1}^n\gamma (p)=\sum _{i=1}^n\gamma (p1)\\ & =\sum _{i=1}^n(\gamma (p)\gamma (1))\\ & =\gamma (p)(\sum _{i=1}^n\gamma (1))\\ & =\gamma (p)\gamma (n)\end{array}$$

$$\therefore \sum _{i=1}^n\gamma \left(\frac{p}{n}\right)=\gamma (p)$$

  조건 (ⅰ)에 따라 임의의 유리수 $p\in \mathbb{Q}$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$0_{\mathbb{E}}=\gamma (0)=\gamma (p-p)=\gamma (p)+\gamma (-p)$$

$$\therefore \gamma (-p)=-\gamma (p)$$

  이제 조건 (ⅰ)~(ⅲ) 을 만족하는 두 단사함수 ${\gamma }_1,{\gamma }_2:\mathbb{Q}\to \mathbb{E}$ 가 존재한다고 가정하자. 임의의 양의 유리수 $p\in P_{\mathbb{Q}}$ 와 음의 유리수 $q\in -P_{\mathbb{Q}}$ 에 대해 $p=\frac{n}{m}$ , $q=-\frac{r}{s}$ 이도록 하는 자연수 $n,m,r,s\in \mathbb{N}$ 가 존재한다. 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^m{\gamma }_1(p)& =\sum _{i=1}^m{\gamma }_1\left(\frac{n}{m}\right)={\gamma }_1(n)\\ & =\sum _{i=1}^n{\gamma }_1(1)=\sum _{i=1}^n{1}_{\mathbb{E}}\\ & =\sum _{i=1}^n{\gamma }_2(1)={\gamma }_2(n)\\ & =\sum _{i=1}^m{\gamma }_2\left(\frac{n}{m}\right)=\sum _{i=1}^m{\gamma }_2(p)\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^s{\gamma }_1(-q)& =\sum _{i=1}^s{\gamma }_1\left(\frac{r}{s}\right)={\gamma }_1(r)\\ & =\sum _{i=1}^r{\gamma }_1(1)=\sum _{i=1}^r{1}_{\mathbb{E}}\\ & =\sum _{i=1}^r{\gamma }_2(1)={\gamma }_2(r)\\ & =\sum _{i=1}^s{\gamma }_2\left(\frac{r}{s}\right)=\sum _{i=1}^m{\gamma }_2(-q)\end{array}$$

  따라서 다음의 식을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^m({\gamma }_1(p)=\sum _{i=1}^m{\gamma }_2(p)\\ ⟹& 0=\sum _{i=1}^m({\gamma }_1(p)-{\gamma }_2(p))\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& -\sum _{i=1}^s{\gamma }_1(q)=-\sum _{i=1}^m{\gamma }_2(q)\\ ⟹& 0=\sum _{i=1}^m({\gamma }_1(q)-{\gamma }_2(q))\end{array}$$

  모순을 보이기 위해 ${\gamma }_1(p)\ne {\gamma }_2(p)$ 라고 가정하자. 일반성을 잃지 않고 ${\gamma }_1(p)-{\gamma }_2(p)\in P_{\mathbb{E}}$ 라고 하자. 순서체의 정의에 따르면 양수끼리 더한 것은 양수이다. 따라서 $\sum _{i=1}^m({\gamma }_1(p)-{\gamma }_2(p))\in P_{\mathbb{E}}$ 가 성립한다. 그러나 이는 $0_{\mathbb{E}}\notin P_{\mathbb{E}}$ 임에 모순되므로 귀류법에 따라 ${\gamma }_1(p)={\gamma }_2(p)$ 가 성립한다. 동일한 논리로 ${\gamma }_1(q)={\gamma }_2(q)$ 임을 보일 수 있으며, ${\gamma }_1(0)=0_{\mathbb{E}}={\gamma }_2(0)$ 이므로 ${\gamma }_1$ 과 ${\gamma }_2$ 는 $\mathbb{Q}$ 전체에서 동일한 함수값을 갖는다. 따라서 ${\gamma }_1={\gamma }_2$ 이며, 이는 조건 (ⅰ)~(ⅲ) 을 만족하는 단사함수 $\gamma :\mathbb{Q}\to \mathbb{E}$ 가 유일하게 존재한다는 것을 의미한다.

---

  [존재성]

  조건 (ⅰ)~(ⅲ)을 만족하는 함수가 존재함을 보이자. 어떤 함수 $\gamma :\mathbb{Q}\to \mathbb{E}$ 가 집합 ${\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$^[각주:1] 위에서 다음의 함수값을 가지도록 정의하자.

$$\gamma (0)=0_{\mathbb{E}}$$

$$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\gamma (n)=\sum _{i=1}^n{1}_{\mathbb{E}}$$

  다른건 몰라도 적어도 집합 ${\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$ 에서 조건 (ⅰ)과 (ⅱ)가 비슷하게 성립한다. 다음을 확인하자.

 

  (ⅰ)* : 임의의 $n\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$ 을 고정하자. 귀납법을 이용하기 위해 어떤 $k\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$ 에서 다음이 성립한다고 가정하자.

$$\gamma (n+k)=\gamma (n)+\gamma (k)$$

  다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}\gamma (n+(k+1))& =\gamma ((n+k)+1)\\ & =\gamma (n+k)+1_{\mathbb{E}}\\ & =(\gamma (n)+\gamma (k))+1_{\mathbb{E}}\\ & =\gamma (n)+(\gamma (k)+1_{\mathbb{E}})\\ & =\gamma (n)+\gamma (k+1)\end{array}$$

  수학적 귀납법에 따라, 임의의 $n,m\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$ 에서 다음이 성립한다.

$$\gamma (n+m)=\gamma (n)+\gamma (m)$$

  (ⅱ)* : 임의의 $n\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$ 을 고정하자. 귀납법을 이용하기 위해 어떤 $k\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$ 에서 다음이 성립한다고 가정하자.

$$\gamma (nk)=\gamma (n)\gamma (k)$$

  다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}\gamma (n(k+1))& =\gamma (nk+n)\\ & =\gamma (nk)+\gamma (n)\\ & =\gamma (n)\gamma (k)+\gamma (n)\\ & =\gamma (n)(\gamma (k)+1)\\ & =\gamma (n)\gamma (k+1)\end{array}$$

  수학적 귀납법에 따라, 임의의 $n,m\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$ 에서 다음이 성립한다.

$$\gamma (nm)=\gamma (n)\gamma (m)$$

 

  이 함수 $\gamma$ 가 집합 $\mathbb{Z}$ 위에서는 다음의 함수값을 가지도록 정의하자.

$$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\gamma (-n):=-\gamma (n)$$

  위의 정의로 충분한 이유는, $\mathbb{Z}$ 에서 이미 함수값이 정의된 ${\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$ 을 제외하면 자연수의 역원만 남기 때문이다. 유리수는 아직 모르지만 적어도 정수 집합에서 조건 (ⅰ)과 (ⅱ)가 비슷하게 성립한다. 다음을 확인하자.

 

  (ⅰ)**, (ⅱ)** : 임의의 정수 $n,m\in \mathbb{Z}$ 에 대하여 다음이 성립함을 보이자.

$$\gamma (n+m)=\gamma (n)+\gamma (m)$$

$$\gamma (nm)=\gamma (n)\gamma (m)$$

  만약 $n,m$ 둘다 ${\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$ 의 원소이면 본 증명의 (ⅰ)*과 (ⅱ)*에 따라 자명하게 성립한다. 일반성을 잃지 않고, $m$ 만 음의 정수일 때와 $n,m$ 모두 음의 정수일 때를 확인하자.

 

  1. $n$ 이 음의 정수, $m\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$ 라고 가정하자. $m=-s$ 이도록 하는 자연수 $s\in \mathbb{N}$ 이 존재한다. 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}\gamma (nm)& =\gamma (n(-s))\\ & =\gamma (-ns)\\ & =-\gamma (ns)\\ & =-\gamma (n)\gamma (s)\\ & =\gamma (n)(-\gamma (-m))\\ & =\gamma (n)\gamma (m)\end{array}$$

  $n-s\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$ 와 $s-n\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$ 둘 중에 적어도 하나는 참인데, 만약 $n-s\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$ 라면 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}\gamma (n)& =\gamma (n-s+s)\\ & =\gamma (n-s)+\gamma (s)\\ & =\gamma (n+m)-\gamma (m)\end{array}$$

$$\therefore \gamma (n+m)=\gamma (n)+\gamma (m)$$

  $s-n\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$ 이어도 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}\gamma (s)& =\gamma (s-n+n)\\ & =\gamma (s-n)+\gamma (n)\\ & =-\gamma (n-s)+\gamma (n)\\ & =-\gamma (n+m)+\gamma (n)\end{array}$$

$$\therefore \gamma (n+m)=\gamma (n)-\gamma (s)=\gamma (n)+\gamma (m)$$

  따라서 $n$ 이 음의 정수, $m\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$ 일때 $\gamma (n+m)=\gamma (n)+\gamma (m)$ 가 성립한다.

 

  2. $n,m$ 모두 음의 정수라고 가정하자. $n=-r$ , $m=-s$ 이도록 하는 자연수 $r,s\in \mathbb{N}$ 이 존재한다. 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}\gamma (nm)& =\gamma ((-r)(-s))\\ & =\gamma (rs)\\ & =\gamma (r)\gamma (s)\\ & =(-\gamma (n))(-\gamma (m))\\ & =\gamma (n)\gamma (m)\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\gamma (n+m)& =-\gamma (-n-m)\\ & =-\gamma (r+s)\\ & =-\gamma (r)-\gamma (s)\\ & =\gamma (n)+\gamma (m)\end{array}$$

  그러므로 임의의 정수 $n,m\in \mathbb{Z}$ 에 대하여 다음이 성립한다.
$$\gamma (n+m)=\gamma (n)+\gamma (m)$$

$$\gamma (nm)=\gamma (n)\gamma (m)$$

 

  임의의 자연수 $n\in \mathbb{N}$ 에 대하여 $\gamma (n)\ne 0_{\mathbb{E}}$ , $\gamma (-n)\ne 0_{\mathbb{E}}$ 이므로 집합 $\mathbb{Q}$ 위에서 다음의 함수값을 가지도록 정의하는 것이 가능하다.

$$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z},\mathrm{\forall }m\in \mathbb{Z}\setminus \{0\},\gamma \left(\frac{n}{m}\right):=\frac{\gamma (n)}{\gamma (m)}$$

  이렇게 정의한 함수 $\gamma$ 가 조건 (ⅰ)과 (ⅱ)를 만족하는지 확인하자. 임의의 두 정수 $p,q\in \mathbb{Q}$ 에 대하여 $p=\frac{n}{m}$ , $q=\frac{r}{s}$ 이도록 하는 정수 $n,m,r,s\in \mathbb{Z}$ 가 존재한다. 다음을 확인하자.

 

  (ⅰ) :

$$\begin{array}{rl}\gamma (p+q)& =\gamma (\frac{n}{m}+\frac{r}{s})\\ & =\gamma \left(\frac{ns+rm}{ms}\right)\\ & =\frac{\gamma (ns+rm)}{\gamma (ms)}\\ & =\frac{\gamma (n)\gamma (s)+\gamma (r)\gamma (m)}{\gamma (m)\gamma (s)}\\ & =\frac{\gamma (n)}{\gamma (m)}+\frac{\gamma (r)}{\gamma (s)}\\ & =\gamma \left(\frac{n}{m}\right)+\gamma \left(\frac{r}{s}\right)\\ & =\gamma (p)+\gamma (q)\end{array}$$

  (ⅱ) :

$$\begin{array}{rl}\gamma (pq)& =\gamma \left(\frac{n}{m}\frac{r}{s}\right)\\ & =\frac{\gamma (nr)}{\gamma (ms)}\\ & =\frac{\gamma (n)\gamma (r)}{\gamma (m)\gamma (s)}\\ & =\gamma \left(\frac{n}{m}\right)\gamma \left(\frac{r}{s}\right)\\ & =\gamma (p)\gamma (q)\end{array}$$

  따라서 함수 $\gamma$ 는 조건 (ⅰ)과 (ⅱ)를 만족한다.

 

  함수 $\gamma$ 가 조건 (ⅲ)을 만족함을 보이자. $\gamma (P_{\mathbb{Q}})=\gamma (\mathbb{Q})\cap P_{\mathbb{E}}$ 임을 보이기 위해 다음의 두 명제가 모두 참임을 확인하자. $$\gamma (P_{\mathbb{Q}})\subset \gamma (\mathbb{Q})\cap P_{\mathbb{E}}$$

$$\gamma (\mathbb{Q})\cap P_{\mathbb{E}}\subset \gamma (P_{\mathbb{Q}})$$

 

  $\gamma (P_{\mathbb{Q}})$ 의 임의의 원소 $a$ 를 생각하자. $a=\gamma (p)$ 이도록 하는 유리수 $p\in P_{\mathbb{Q}}$ 가 존재하며, $p\in \mathbb{Q}$ 임은 자명하므로 $a\in \gamma (\mathbb{Q})$ 이다. $p=\frac{n}{m}$ 이도록 하는 자연수 $n,m\in \mathbb{N}$ 이 존재한다. 이때 $\gamma \left(\frac{n}{m}\right)=\frac{\gamma (n)}{\gamma (m)}$ 이며 $\gamma$ 의 정의에 따라 $\gamma (n),\gamma (m)\in P_{\mathbb{E}}$ 이다. $0<\gamma (m)$ 이므로 $0<\frac{1}{\gamma (m)}$ 도 성립하며, 순서체의 정의에 따라 $a=\gamma (n)\frac{1}{\gamma (m)}\in P_{\mathbb{E}}$ 가 성립한다. 따라서 $a$ 는 $\gamma (\mathbb{Q})$ 의 원소이자 $P_{\mathbb{E}}$ 의 원소이며, 처음에 $a\in \gamma (P_{\mathbb{Q}})$ 를 임의로 선택하였으므로 $\gamma (P_{\mathbb{Q}})\subset \gamma (\mathbb{Q})\cap P_{\mathbb{E}}$ 가 성립한다.

 

  $\gamma (\mathbb{Q})\cap P_{\mathbb{E}}$ 의 임의의 원소 $b$ 를 생각하자. $b\in \gamma (\mathbb{Q})$ 이므로 $b=\gamma (q)$ 이도록 하는 유리수 $q\in \mathbb{Q}$ 가 존재하며, $q=\frac{r}{s}$ 이도록 하는 정수 $r,s\in \mathbb{Z}$ 가 존재한다. 다음이 성립한다.

$$b=\gamma \left(\frac{r}{s}\right)=\frac{\gamma (r)}{\gamma (s)}$$

  이때 유리수의 동치류를 고려하면 $s$ 를 자연수라고 할 수 있다. 만약 $r=0$ 이면 $\gamma (r)=0_{\mathbb{E}}$ 이므로 $b=0_{\mathbb{E}}$ 이게 되어 $b\in P_{\mathbb{E}}$ 의 가정에 모순된다. 만약 $r\in -P_{\mathbb{Z}}$ 라면 $r=-k$ 이도록 하는 자연수 $k\in \mathbb{N}$ 이 존재하며 $\gamma (r)=\gamma (-k)=-\gamma (k)$ 이므로 $b=\gamma (r)\frac{1}{\gamma (s)}=-\gamma (k)\frac{1}{\gamma (s)}\in -P_{\mathbb{E}}$ 이다. 이도 마찬가지로 $b\in P_{\mathbb{E}}$ 임에 모순된다. 결과적으로 $r\in P_{\mathbb{Z}}=\mathbb{N}$ 이어야 하므로 $q=\frac{n}{m}\in P_{\mathbb{Q}}$ 가 성립한다. 따라서 $b=\gamma (q)$ 는 $\gamma (P_{\mathbb{Q}})$ 의 원소이며, 처음에 $b$ 를 임의로 선택하였으므로 $\gamma (\mathbb{Q})\cap P_{\mathbb{E}}\subset \gamma (P_{\mathbb{Q}})$ 가 성립한다. 따라서 $\gamma (P_{\mathbb{Q}})=\gamma (\mathbb{Q})\cap P_{\mathbb{E}}$ 가 성립한다.

 

  정리하면 조건 (ⅰ)~(ⅲ)을 만족하는 함수 $\gamma :\mathbb{Q}\to \mathbb{E}$ 가 존재하며, 이전의 논의에 따르면 이러한 함수는 단사함수이며 유일하게 존재한다.   $◻$

 

 

※ 증명을 잘 보면 $\mathbb{E}$ 의 성질중 순서체만 이용하였다. 사실 정리 5-1은 직선 뿐 아니라 모든 순서체에 적용된다.

 

 

5.1. 따름정리들

 

  위의 증명과정에서 다음을 알 수 있다.

 

정리 5.1-1)  정리 5-1의 함수 $\gamma :\mathbb{Q}\to \mathbb{E}$ 에 대하여 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $\gamma (0)=0_{\mathbb{E}}$
  (ⅱ) $\gamma (1)=1_{\mathbb{E}}$
  (ⅲ) $\mathrm{\forall }p\in \mathbb{Q},\gamma (-p)=-\gamma (p)$

 

  조금 전에 더 큰 유리수에는 더 큰 점이 대응한다고 했는데, 이는 간단하게 보일 수 있다.

 

정리 5.1-2)  정리 5-1의 함수 $\gamma :\mathbb{Q}\to \mathbb{E}$ 와 임의의 두 유리수 $p,q\in \mathbb{Q}$ 에 대하여 다음이 성립한다.
$$p{<}_{\mathbb{Q}}q⟺\gamma (p){<}_{\mathbb{E}}\gamma (q)$$  이때 ${<}_{\mathbb{Q}}$ 와 ${<}_{\mathbb{E}}$ 는 각각 순서체 $\mathbb{Q}$ 와 $\mathbb{E}$ 에 정의된 순서관계 $<$ 이다.

 

proof)

  $p{<}_{\mathbb{Q}}q$ 가 성립할 때를 생각하자. $q-p\in P_{\mathbb{Q}}$ 이므로 $\gamma (q-p)\in \gamma (P_{\mathbb{Q}})$ 이며, 정리 5-1의 성질 (ⅲ)에 따라 $\gamma (P_{\mathbb{Q}})=\gamma (\mathbb{Q})\cap P_{\mathbb{E}}$ 이므로 $\gamma (q-p)\in P_{\mathbb{E}}$ 이다. 다음이 성립한다.

$$\gamma (q-p)=\gamma (q)+\gamma (-p)=\gamma (q)-\gamma (p)$$

  따라서 $\gamma (q)-\gamma (p)\in P_{\mathbb{E}}$ 가 성립하므로, $\gamma (p){<}_{\mathbb{E}}\gamma (q)$ 이다.

 

  역으로 $\gamma (p){<}_{\mathbb{E}}\gamma (q)$ 가 성립할 때를 생각하자. $\gamma (q-p)\in P_{\mathbb{E}}$ 이며 $q-p\in \mathbb{Q}$ 이므로 $\gamma (q-p)\in \gamma (\mathbb{Q})$ 이다. $\gamma (P_{\mathbb{Q}})=\gamma (\mathbb{Q})\cap P_{\mathbb{E}}$ 이므로 $\gamma (q-p)\in \gamma (P_{\mathbb{Q}})$ 이다. 따라서 $q-p\in P_{\mathbb{Q}}$ 이므로 $p{<}_{\mathbb{Q}}q$ 가 성립한다.   $◻$

 

 

  더 큰 유리수에 더 큰 점을 대응시키며, 유리수의 연산을 점의 연산에서 그대로 재현시키는 단사함수가 유일하게 존재한다.. 이쯤이면, 어떤 유리수에 대응하는 직선 위의 점을 그냥 그 유리수로 간주하는 것도 무리가 아니다. (사실 우리는 이러한 관점에 극히 익숙하다)

 

  다음의 연속되는 두 정리에 따르면 유리수의 조밀성이 직선에서도 유사하게 성립한다.

 

정리 5.1-3)  임의의 양의 점 $a\in P_{\mathbb{E}}$ 에 대하여 다음의 집합 $A\subset {\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$ 을 생각하자.
$$A=\{n\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}:\sum _{i=1}^n{1}_{\mathbb{E}}\le a\}$$  $A$ 는 항상 최대원소를 갖는다. 즉, $A$ 의 임의의 $n\in A$ 에 대하여 $n\le m$ 을 만족하는 $m\in A$ 가 존재한다.

 

proof)

  귀류법을 이용하기 위해 $A$ 가 최대원소를 갖지 않는다고 가정하자. 우선 $0\in A$ 임은 자명하다. 어떤 수 $n\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$ 에 대해 $n\le m$ 을 만족하는 $A$ 의 원소 $m\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$ 가 존재한다고 가정하자. $m$ 은 $A$ 의 최대원소가 아니므로 다음을 만족하는 $A$ 의 원소 $r\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$ 가 존재한다.

$$m<r⟺m+1\le r$$

  $n+1\le m+1$ 이므로, 정리하면 $n+1\le r$ 을 만족하는 $A$ 의 원소 $r\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$ 가 존재한다. 귀납법에 따라 임의의 $n\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$ 에 대하여 $n\le m$ 을 만족하는 $A$ 의 원소가 존재한다. $\mathbb{E}$ 는 완비순서체이므로 아르키메데스 성질에 따라 다음을 만족하는 자연수 $n_0\in \mathbb{N}$ 이 존재한다.

$$a<\sum _{i=1}^{n_0}{1}_{\mathbb{E}}$$

  위의 논의에 따르면 $n_0\le m$ 을 만족하는 $A$ 의 원소 $m\in \mathbb{N}$ 이 존재한다. $m=n_0+k$ 를 만족하는 $k\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\sum _{i=1}^m{1}_{\mathbb{E}}=\sum _{i=1}^{n_0+k}{1}_{\mathbb{E}}=\sum _{i=1}^{n_0}{1}_{\mathbb{E}}+\sum _{i=1}^k{1}_{\mathbb{E}}$$

$$⟹a<\sum _{i=1}^{n_0}{1}_{\mathbb{E}}\le \sum _{i=1}^m{1}_{\mathbb{E}}\because 0\le \sum _{i=1}^k{1}_{\mathbb{E}}$$

$$\therefore a<\sum _{i=1}^m{1}_{\mathbb{E}}$$

  이는 $m$ 이 $A$ 의 원소임에 모순이다. 따라서 $A$ 는 최대원소를 갖는다.   $◻$

  

 

정리 5.1-4)  정리 5-1의 함수 $\gamma :\mathbb{Q}\to \mathbb{E}$ 와 $\mathbb{E}$ 의 임의의 두 점 $a<b$ 에 대하여 $a<\gamma (p)<s$ 를 만족하는 유리수 $p\in \mathbb{Q}$ 가 존재한다.

 

proof)

  $a<0_{\mathbb{E}}<b$ 일때 $0\in \mathbb{Q}$ 이므로 정리가 자명하게 성립한다. $0_{\mathbb{E}}<a<b$ 와 $a<b<0_{\mathbb{E}}$ 일때를 살펴보자. 먼저 $0_{\mathbb{E}}<a<b$ 라고 가정하자. $0_{\mathbb{E}}<b-a$ 이므로 아르키메데스 성질에 따라 다음을 만족하는 자연수 $n\in \mathbb{N}$ 이 존재한다.

$$\begin{array}{}\text{(1)}& 1_{\mathbb{E}}<\sum _{i=1}^n(b-a)⟺\sum _{i=1}^{n}a+1_{\mathbb{E}}<\sum _{i=1}^{n}b\end{array}$$

  이때 $0_{\mathbb{E}}<a$ 이므로 $0_{\mathbb{E}}<\sum _{i=1}^{n}a$ 도 성립한다. 정리 5.1-3에 따라 다음을 만족하는 $m\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{0}}$ 중 최댓값이 존재한다.

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \sum _{j=1}^m{1}_{\mathbb{E}}\le \sum _{i=1}^{n}a\end{array}$$

  식 (2)를 만족하는 최댓값 $m$ 에 대해 $m+1$ 는 위 식을 만족하지 못하므로 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \sum _{i=1}^{n}a<\sum _{j=1}^{m+1}{1}_{\mathbb{E}}=\sum _{j=1}^m{1}_{\mathbb{E}}+1_{\mathbb{E}}\end{array}$$

  식 (2)의 양변에 $1_{\mathbb{E}}$ 를 더하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \sum _{j=1}^m{1}_{\mathbb{E}}+1_{\mathbb{E}}\le \sum _{i=1}^{n}a+1_{\mathbb{E}}\end{array}$$

  식 (1)과 (4)에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \sum _{j=1}^m{1}_{\mathbb{E}}+1_{\mathbb{E}}<\sum _{i=1}^{n}b\end{array}$$

  식 (3)과 (5)에 따라 다음이 성립한다.

$$\sum _{i=1}^{n}a<\sum _{j=1}^m{1}_{\mathbb{E}}+1_{\mathbb{E}}<\sum _{i=1}^{n}b$$

$$\therefore \left(\sum _{i=1}^n{1}_{\mathbb{E}}\right)a<\sum _{j=1}^{m+1}{1}_{\mathbb{E}}<\left(\sum _{i=1}^n{1}_{\mathbb{E}}\right)b$$

  정리 5.1-1(ⅱ)에 따라 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$(\sum _{i=1}^n\gamma (1))a<\sum _{j=1}^{m+1}\gamma (1)<(\sum _{i=1}^n\gamma (1))b$$

$$⟺\gamma (n)a<\gamma (m+1)<\gamma (n)b$$

$$\therefore a<\frac{\gamma (m+1)}{\gamma (n)}<b$$

  이때 $\frac{\gamma (m+1)}{\gamma (n)}=\gamma \left(\frac{m+1}{n}\right)$ 이며, $\frac{m+1}{n}$ 는 우리가 찾는 유리수 $p\in \mathbb{Q}$ 이므로 정리가 성립한다. $a<b<0_{\mathbb{E}}$ 일때를 생각하자. $0_{\mathbb{E}}<-b<-a$ 가 성립하므로, 이전의 논의에 따라 다음을 만족하는 유리수 $q\in \mathbb{Q}$ 가 존재한다.

$$-b<\gamma (q)<-a$$

$$⟹a<-\gamma (q)<b$$

  이때 $-\gamma (q)=\gamma (-q)$ 이며 $-q$ 는 우리가 찾는 유리수 $p\in \mathbb{Q}$ 이므로 정리가 성립한다.   $◻$

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

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