[직선과 실수] ch4. 직선에 새겨진 유리수

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  다음 읽을거리 : [직선과 실수] ch5. 직선과 실수는 같다

 

  본 포스팅은 '계승혁 교수님, 2002년 1학기 - 집합과 수리논리 강의록 제2장'을 참고하여 작성하였습니다.

 

 

5. 유리수를 품은 직선

 

  다음의 정리에 따르면 직선은 '순서체인 유리수'의 구조를 포함한다. 다시말해 임의의 유리수에 대응하는 점이 존재하며, 그 대응은 유리수의 덧셈과 곱셈을 그대로 따라한다. 게다가 더 큰 유리수에는 더 큰 점이 대응한다.

 

정리 5-1)  다음의 성질을 만족하는 함수 $\gamma:\mathbb{Q\to E}$ 는 단사함수이며 유일하게 존재한다.
  (ⅰ) 임의의 $p,q\in\mathbb{Q}$ 에 대하여 $\gamma(p+q)=\gamma(p)+\gamma(q)$ 가 성립한다.
  (ⅱ) 임의의 $p,q\in\mathbb{Q}$ 에 대하여 $\gamma(pq)=\gamma(p)\gamma(q)$ 가 성립한다.
  (ⅲ) $\gamma(P_\mathbb{Q})=\gamma(\mathbb{Q})\cap P_\mathbb{E}$

 

※ 위에서 조건 (ⅲ)은 양의 유리수에 대응하는 점의 집합과 유리수에 대응하는 양의 점의 집합이 동일하다는 것을 의미한다.

 

※ 함수 $\gamma$ 에 의해 유리수에 대응하는 점에 대하여, '유리수끼리 연산한 수에 대응하는 점'과 '유리수에 대응하는 점끼리 연산하는 것'은 동일하다. 이를 일컬어, $\gamma$ 가 $\mathbb{Q}$ 와 $\mathbb{E}$ 의 연산을 보존한다고 한다. 또한 양수인 유리수에 대응하는 점은 양수인 점이므로 $\gamma$ 는 양수집합도 보존한다. 추가적인 설명은 링크 의 초반부를 참조.

 

proof)

  [단사함수]

  만약 조건 (ⅰ)~(ⅲ)을 만족하는 함수 $\gamma:\mathbb{Q\to E}$ 가 존재한다면 단사함수임을 보이자. $\gamma$ 가 단사함수라는것은 다음을 의미한다.

$$\gamma(x)=\gamma(y)\implies x=y$$

  모순을 보이기 위해, 어떤 두 유리수 $p<q$ 에 대하여 $\gamma(p)=\gamma(q)$ 라고 가정하자. 이때 $q-p\in P_\mathbb{Q}$ 이며, $q-p=z$ 라고 하자. 다음이 성립한다.

$$\gamma(q)=\gamma(z+p)=\gamma(z)+\gamma(p)$$

  이때 $\gamma(p)=\gamma(q)$ 이므로 $\gamma(z)=0_\mathbb{E}$ 이다. $z\in P_\mathbb{Q}$ 이므로 조건 (ⅲ)에 따라 $\gamma(z)\in P_\mathbb{E}$ 이어야 하는데, 순서체의 정의에 따라 $0_\mathbb{E}\notin P_\mathbb{E}$ 이므로 모순. 그러므로 귀류법에 따라 $\gamma$ 는 단사함수이다.

---

  [유일성]

  만약 조건 (ⅰ)~(ⅲ)을 만족하는 함수 $\gamma:\mathbb{Q\to E}$ 가 존재한다면 유일하게 존재함을 보이자. 조건 (ⅰ)에 따라 다음이 성립한다.

$$\gamma(0)=\gamma(0+0)=\gamma(0)+\gamma(0)$$

$$\therefore\gamma(0)=0_\mathbb{E}$$

  그리고 조건 (ⅱ)에 따라 임의의 유리수 $p\in\mathbb{Q}$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\gamma(p)=\gamma(p1)=\gamma(p)\gamma(1)$$

  $\gamma$ 는 단사함수이므로, $p\neq 0$ 인 유리수에 대해 $\gamma(p)\neq 0_\mathbb{E}$ 이다. 따라서 $\gamma(1)$ 은 곱셈에 대한 항등원이므로 $\gamma(1)=1_\mathbb{E}$ 이다. 임의의 자연수 $n\in\mathbb{N}$ 와 유리수 $p\in\mathbb{Q}$ 에 대하여 다음이 성립함을 보이자.
$$\gamma(np)=\sum_{i=1}^n\gamma(p)$$

  $n=1$ 일때는 위 식이 자명하게 성립한다. $n=m$ 일때 위 식이 성립한다고 가정하자. 다음이 성립한다.
$$\begin{align}\gamma((m+1)p)&=\gamma(mp+p)\\&=\gamma(mp)+\gamma(p)\\&=\sum_{i=1}^m\gamma(p)+\gamma(p)\\&=\sum_{i=1}^{m+1}\gamma(p)\end{align}$$

  $n=m+1$ 일때도 위 식이 성립하므로, 귀납법에 따라 임의의 자연수 $n\in\mathbb{N}$ 에 대하여 위 식이 성립한다. 이를 이용하여 임의의 자연수 $n\in\mathbb{N}$ 와 유리수 $p\in\mathbb{Q}$ 에 대하여 다음의 식도 성립함을 알 수 있다.
$$\begin{align}\left(\sum_{i=1}^n\gamma\left(\frac{p}{n}\right)\right)\gamma(n)&=\sum_{i=1}^n\left(\gamma\left(\frac{p}{n}\right)\gamma(n)\right)\\&=\sum_{i=1}^n\gamma(p)=\sum_{i=1}^n\gamma(p1)\\&=\sum_{i=1}^n\left(\gamma(p)\gamma(1)\right)\\&=\gamma(p)\left(\sum_{i=1}^n\gamma(1)\right)\\&=\gamma(p)\gamma(n)\end{align}$$

$$\therefore\sum_{i=1}^n\gamma\left(\frac{p}{n}\right)=\gamma(p)$$

  조건 (ⅰ)에 따라 임의의 유리수 $p\in\mathbb{Q}$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$0_\mathbb{E}=\gamma(0)=\gamma(p-p)=\gamma(p)+\gamma(-p)$$

$$\therefore\gamma(-p)=-\gamma(p)$$

  이제 조건 (ⅰ)~(ⅲ) 을 만족하는 두 단사함수 $\gamma_1,\gamma_2:\mathbb{Q\to E}$ 가 존재한다고 가정하자. 임의의 양의 유리수 $p\in P_\mathbb{Q}$ 와 음의 유리수 $q\in-P_\mathbb{Q}$ 에 대해 $p=\frac{n}{m}$ , $q=-\frac{r}{s}$ 이도록 하는 자연수 $n,m,r,s\in\mathbb{N}$ 가 존재한다. 다음이 성립한다.

$$\begin{align}\sum_{i=1}^m\gamma_1(p)&=\sum_{i=1}^m\gamma_1\left(\frac{n}{m}\right)=\gamma_1(n)\\&=\sum_{i=1}^n\gamma_1(1)=\sum_{i=1}^n1_\mathbb{E}\\&=\sum_{i=1}^n\gamma_2(1)=\gamma_2(n)\\&=\sum_{i=1}^m\gamma_2\left(\frac{n}{m}\right)=\sum_{i=1}^m\gamma_2(p)\end{align}$$

$$\begin{align}\sum_{i=1}^s\gamma_1(-q)&=\sum_{i=1}^s\gamma_1\left(\frac{r}{s}\right)=\gamma_1(r)\\&=\sum_{i=1}^r\gamma_1(1)=\sum_{i=1}^r1_\mathbb{E}\\&=\sum_{i=1}^r\gamma_2(1)=\gamma_2(r)\\&=\sum_{i=1}^s\gamma_2\left(\frac{r}{s}\right)=\sum_{i=1}^m\gamma_2(-q)\end{align}$$

  따라서 다음의 식을 얻는다.

$$\begin{align}&\sum_{i=1}^m(\gamma_1(p)=\sum_{i=1}^m\gamma_2(p)\\\implies&0=\sum_{i=1}^m\left(\gamma_1(p)-\gamma_2(p)\right)\end{align}$$

$$\begin{align}&-\sum_{i=1}^s\gamma_1(q)=-\sum_{i=1}^m\gamma_2(q)\\\implies&0=\sum_{i=1}^m\left(\gamma_1(q)-\gamma_2(q)\right)\end{align}$$

  모순을 보이기 위해 $\gamma_1(p)\neq\gamma_2(p)$ 라고 가정하자. 일반성을 잃지 않고 $\gamma_1(p)-\gamma_2(p)\in P_\mathbb{E}$ 라고 하자. 순서체의 정의에 따르면 양수끼리 더한 것은 양수이다. 따라서 $\sum_{i=1}^m\left(\gamma_1(p)-\gamma_2(p)\right)\in P_\mathbb{E}$ 가 성립한다. 그러나 이는 $0_\mathbb{E}\notin P_\mathbb{E}$ 임에 모순되므로 귀류법에 따라 $\gamma_1(p)=\gamma_2(p)$ 가 성립한다. 동일한 논리로 $\gamma_1(q)=\gamma_2(q)$ 임을 보일 수 있으며, $\gamma_1(0)=0_\mathbb{E}=\gamma_2(0)$ 이므로 $\gamma_1$ 과 $\gamma_2$ 는 $\mathbb{Q}$ 전체에서 동일한 함수값을 갖는다. 따라서 $\gamma_1=\gamma_2$ 이며, 이는 조건 (ⅰ)~(ⅲ) 을 만족하는 단사함수 $\gamma:\mathbb{Q\to E}$ 가 유일하게 존재한다는 것을 의미한다.

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  [존재성]

  조건 (ⅰ)~(ⅲ)을 만족하는 함수가 존재함을 보이자. 어떤 함수 $\gamma:\mathbb{Q\to E}$ 가 집합 $\mathbb{N_0}$^[각주:1] 위에서 다음의 함수값을 가지도록 정의하자.

$$\gamma(0)=0_\mathbb{E}$$

$$\forall n\in\mathbb{N},\quad\gamma(n)=\sum_{i=1}^n1_\mathbb{E}$$

  다른건 몰라도 적어도 집합 $\mathbb{N_0}$ 에서 조건 (ⅰ)과 (ⅱ)가 비슷하게 성립한다. 다음을 확인하자.

 

  (ⅰ)* : 임의의 $n\in\mathbb{N_0}$ 을 고정하자. 귀납법을 이용하기 위해 어떤 $k\in\mathbb{N_0}$ 에서 다음이 성립한다고 가정하자.

$$\gamma(n+k)=\gamma(n)+\gamma(k)$$

  다음이 성립한다.

$$\begin{align}\gamma(n+(k+1))&=\gamma((n+k)+1)\\&=\gamma(n+k)+1_\mathbb{E}\\&=(\gamma(n)+\gamma(k))+1_\mathbb{E}\\&=\gamma(n)+(\gamma(k)+1_\mathbb{E})\\&=\gamma(n)+\gamma(k+1)\end{align}$$

  수학적 귀납법에 따라, 임의의 $n,m\in\mathbb{N_0}$ 에서 다음이 성립한다.

$$\gamma(n+m)=\gamma(n)+\gamma(m)$$

  (ⅱ)* : 임의의 $n\in\mathbb{N_0}$ 을 고정하자. 귀납법을 이용하기 위해 어떤 $k\in\mathbb{N_0}$ 에서 다음이 성립한다고 가정하자.

$$\gamma(nk)=\gamma(n)\gamma(k)$$

  다음이 성립한다.

$$\begin{align}\gamma(n(k+1))&=\gamma(nk+n)\\&=\gamma(nk)+\gamma(n)\\&=\gamma(n)\gamma(k)+\gamma(n)\\&=\gamma(n)(\gamma(k)+1)\\&=\gamma(n)\gamma(k+1)\end{align}$$

  수학적 귀납법에 따라, 임의의 $n,m\in\mathbb{N_0}$ 에서 다음이 성립한다.

$$\gamma(nm)=\gamma(n)\gamma(m)$$

 

  이 함수 $\gamma$ 가 집합 $\mathbb{Z}$ 위에서는 다음의 함수값을 가지도록 정의하자.

$$\forall n\in\mathbb{N},\quad\gamma(-n):=-\gamma(n)$$

  위의 정의로 충분한 이유는, $\mathbb{Z}$ 에서 이미 함수값이 정의된 $\mathbb{N_0}$ 을 제외하면 자연수의 역원만 남기 때문이다. 유리수는 아직 모르지만 적어도 정수 집합에서 조건 (ⅰ)과 (ⅱ)가 비슷하게 성립한다. 다음을 확인하자.

 

  (ⅰ)**, (ⅱ)** : 임의의 정수 $n,m\in\mathbb{Z}$ 에 대하여 다음이 성립함을 보이자.

$$\gamma(n+m)=\gamma(n)+\gamma(m)$$

$$\gamma(nm)=\gamma(n)\gamma(m)$$

  만약 $n,m$ 둘다 $\mathbb{N_0}$ 의 원소이면 본 증명의 (ⅰ)*과 (ⅱ)*에 따라 자명하게 성립한다. 일반성을 잃지 않고, $m$ 만 음의 정수일 때와 $n,m$ 모두 음의 정수일 때를 확인하자.

 

  1. $n$ 이 음의 정수, $m\in\mathbb{N_0}$ 라고 가정하자. $m=-s$ 이도록 하는 자연수 $s\in\mathbb{N}$ 이 존재한다. 다음이 성립한다.

$$\begin{align}\gamma(nm)&=\gamma(n(-s))\\&=\gamma(-ns)\\&=-\gamma(ns)\\&=-\gamma(n)\gamma(s)\\&=\gamma(n)(-\gamma(-m))\\&=\gamma(n)\gamma(m)\end{align}$$

  $n-s\in\mathbb{N_0}$ 와 $s-n\in\mathbb{N_0}$ 둘 중에 적어도 하나는 참인데, 만약 $n-s\in\mathbb{N_0}$ 라면 다음이 성립한다.

$$\begin{align}\gamma(n)&=\gamma(n-s+s)\\&=\gamma(n-s)+\gamma(s)\\&=\gamma(n+m)-\gamma(m)\end{align}$$

$$\therefore\gamma(n+m)=\gamma(n)+\gamma(m)$$

  $s-n\in\mathbb{N_0}$ 이어도 다음이 성립한다.

$$\begin{align}\gamma(s)&=\gamma(s-n+n)\\&=\gamma(s-n)+\gamma(n)\\&=-\gamma(n-s)+\gamma(n)\\&=-\gamma(n+m)+\gamma(n)\end{align}$$

$$\therefore\gamma(n+m)=\gamma(n)-\gamma(s)=\gamma(n)+\gamma(m)$$

  따라서 $n$ 이 음의 정수, $m\in\mathbb{N_0}$ 일때 $\gamma(n+m)=\gamma(n)+\gamma(m)$ 가 성립한다.

 

  2. $n,m$ 모두 음의 정수라고 가정하자. $n=-r$ , $m=-s$ 이도록 하는 자연수 $r,s\in\mathbb{N}$ 이 존재한다. 다음이 성립한다.

$$\begin{align}\gamma(nm)&=\gamma((-r)(-s))\\&=\gamma(rs)\\&=\gamma(r)\gamma(s)\\&=(-\gamma(n))(-\gamma(m))\\&=\gamma(n)\gamma(m)\end{align}$$

$$\begin{align}\gamma(n+m)&=-\gamma(-n-m)\\&=-\gamma(r+s)\\&=-\gamma(r)-\gamma(s)\\&=\gamma(n)+\gamma(m)\end{align}$$

  그러므로 임의의 정수 $n,m\in\mathbb{Z}$ 에 대하여 다음이 성립한다.
$$\gamma(n+m)=\gamma(n)+\gamma(m)$$

$$\gamma(nm)=\gamma(n)\gamma(m)$$

 

  임의의 자연수 $n\in\mathbb{N}$ 에 대하여 $\gamma(n)\neq0_\mathbb{E}$ , $\gamma(-n)\neq0_\mathbb{E}$ 이므로 집합 $\mathbb{Q}$ 위에서 다음의 함수값을 가지도록 정의하는 것이 가능하다.

$$\forall n\in\mathbb{Z},\;\forall m\in\mathbb{Z}\setminus\{0\},\quad\gamma\left(\frac{n}{m}\right):=\frac{\gamma(n)}{\gamma(m)}$$

  이렇게 정의한 함수 $\gamma$ 가 조건 (ⅰ)과 (ⅱ)를 만족하는지 확인하자. 임의의 두 정수 $p,q\in\mathbb{Q}$ 에 대하여 $p=\frac{n}{m}$ , $q=\frac{r}{s}$ 이도록 하는 정수 $n,m,r,s\in\mathbb{Z}$ 가 존재한다. 다음을 확인하자.

 

  (ⅰ) :

$$\begin{align}\gamma(p+q)&=\gamma\left(\frac{n}{m}+\frac{r}{s}\right)\\&=\gamma\left(\frac{ns+rm}{ms}\right)\\&=\frac{\gamma(ns+rm)}{\gamma(ms)}\\&=\frac{\gamma(n)\gamma(s)+\gamma(r)\gamma(m)}{\gamma(m)\gamma(s)}\\&=\frac{\gamma(n)}{\gamma(m)}+\frac{\gamma(r)}{\gamma(s)}\\&=\gamma\left(\frac{n}{m}\right)+\gamma\left(\frac{r}{s}\right)\\&=\gamma(p)+\gamma(q)\end{align}$$

  (ⅱ) :

$$\begin{align}\gamma(pq)&=\gamma\left(\frac{n}{m}\frac{r}{s}\right)\\&=\frac{\gamma(nr)}{\gamma(ms)}\\&=\frac{\gamma(n)\gamma(r)}{\gamma(m)\gamma(s)}\\&=\gamma\left(\frac{n}{m}\right)\gamma\left(\frac{r}{s}\right)\\&=\gamma(p)\gamma(q)\end{align}$$

  따라서 함수 $\gamma$ 는 조건 (ⅰ)과 (ⅱ)를 만족한다.

 

  함수 $\gamma$ 가 조건 (ⅲ)을 만족함을 보이자. $\gamma(P_\mathbb{Q})=\gamma(\mathbb{Q})\cap P_\mathbb{E}$ 임을 보이기 위해 다음의 두 명제가 모두 참임을 확인하자. $$\gamma(P_\mathbb{Q})\subset\gamma(\mathbb{Q})\cap P_\mathbb{E}$$

$$\gamma(\mathbb{Q})\cap P_\mathbb{E}\subset\gamma(P_\mathbb{Q})$$

 

  $\gamma(P_\mathbb{Q})$ 의 임의의 원소 $a$ 를 생각하자. $a=\gamma(p)$ 이도록 하는 유리수 $p\in P_\mathbb{Q}$ 가 존재하며, $p\in\mathbb{Q}$ 임은 자명하므로 $a\in \gamma(\mathbb{Q})$ 이다. $p=\frac{n}{m}$ 이도록 하는 자연수 $n,m\in\mathbb{N}$ 이 존재한다. 이때 $\gamma\left(\frac{n}{m}\right)=\frac{\gamma(n)}{\gamma(m)}$ 이며 $\gamma$ 의 정의에 따라 $\gamma(n),\gamma(m)\in P_\mathbb{E}$ 이다. $0<\gamma(m)$ 이므로 $0<\frac{1}{\gamma(m)}$ 도 성립하며, 순서체의 정의에 따라 $a=\gamma(n)\frac{1}{\gamma(m)}\in P_\mathbb{E}$ 가 성립한다. 따라서 $a$ 는 $\gamma(\mathbb{Q})$ 의 원소이자 $P_\mathbb{E}$ 의 원소이며, 처음에 $a\in\gamma(P_\mathbb{Q})$ 를 임의로 선택하였으므로 $\gamma(P_\mathbb{Q})\subset\gamma(\mathbb{Q})\cap P_\mathbb{E}$ 가 성립한다.

 

  $\gamma(\mathbb{Q})\cap P_\mathbb{E}$ 의 임의의 원소 $b$ 를 생각하자. $b\in\gamma(\mathbb{Q})$ 이므로 $b=\gamma(q)$ 이도록 하는 유리수 $q\in\mathbb{Q}$ 가 존재하며, $q=\frac{r}{s}$ 이도록 하는 정수 $r,s\in\mathbb{Z}$ 가 존재한다. 다음이 성립한다.

$$b=\gamma\left(\frac{r}{s}\right)=\frac{\gamma(r)}{\gamma(s)}$$

  이때 유리수의 동치류를 고려하면 $s$ 를 자연수라고 할 수 있다. 만약 $r=0$ 이면 $\gamma(r)=0_\mathbb{E}$ 이므로 $b=0_\mathbb{E}$ 이게 되어 $b\in P_\mathbb{E}$ 의 가정에 모순된다. 만약 $r\in-P_\mathbb{Z}$ 라면 $r=-k$ 이도록 하는 자연수 $k\in\mathbb{N}$ 이 존재하며 $\gamma(r)=\gamma(-k)=-\gamma(k)$ 이므로 $b=\gamma(r)\frac{1}{\gamma(s)}=-\gamma(k)\frac{1}{\gamma(s)}\in-P_\mathbb{E}$ 이다. 이도 마찬가지로 $b\in P_\mathbb{E}$ 임에 모순된다. 결과적으로 $r\in P_\mathbb{Z}=\mathbb{N}$ 이어야 하므로 $q=\frac{n}{m}\in P_\mathbb{Q}$ 가 성립한다. 따라서 $b=\gamma(q)$ 는 $\gamma(P_\mathbb{Q})$ 의 원소이며, 처음에 $b$ 를 임의로 선택하였으므로 $\gamma(\mathbb{Q})\cap P_\mathbb{E}\subset\gamma(P_\mathbb{Q})$ 가 성립한다. 따라서 $\gamma(P_\mathbb{Q})=\gamma(\mathbb{Q})\cap P_\mathbb{E}$ 가 성립한다.

 

  정리하면 조건 (ⅰ)~(ⅲ)을 만족하는 함수 $\gamma:\mathbb{Q\to E}$ 가 존재하며, 이전의 논의에 따르면 이러한 함수는 단사함수이며 유일하게 존재한다.   $\square$

 

 

※ 증명을 잘 보면 $\mathbb{E}$ 의 성질중 순서체만 이용하였다. 사실 정리 5-1은 직선 뿐 아니라 모든 순서체에 적용된다.

 

 

5.1. 따름정리들

 

  위의 증명과정에서 다음을 알 수 있다.

 

정리 5.1-1)  정리 5-1의 함수 $\gamma:\mathbb{Q\to E}$ 에 대하여 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $\gamma(0)=0_\mathbb{E}$
  (ⅱ) $\gamma(1)=1_\mathbb{E}$
  (ⅲ) $\forall p\in\mathbb{Q},\;\gamma(-p)=-\gamma(p)$

 

  조금 전에 더 큰 유리수에는 더 큰 점이 대응한다고 했는데, 이는 간단하게 보일 수 있다.

 

정리 5.1-2)  정리 5-1의 함수 $\gamma:\mathbb{Q\to E}$ 와 임의의 두 유리수 $p,q\in\mathbb{Q}$ 에 대하여 다음이 성립한다.
$$p<_\mathbb{Q}q\iff\gamma(p)<_\mathbb{E}\gamma(q)$$  이때 $<_\mathbb{Q}$ 와 $<_\mathbb{E}$ 는 각각 순서체 $\mathbb{Q}$ 와 $\mathbb{E}$ 에 정의된 순서관계 $<$ 이다.

 

proof)

  $p<_\mathbb{Q}q$ 가 성립할 때를 생각하자. $q-p\in P_\mathbb{Q}$ 이므로 $\gamma(q-p)\in\gamma(P_\mathbb{Q})$ 이며, 정리 5-1의 성질 (ⅲ)에 따라 $\gamma(P_\mathbb{Q})=\gamma(\mathbb{Q})\cap P_\mathbb{E}$ 이므로 $\gamma(q-p)\in P_\mathbb{E}$ 이다. 다음이 성립한다.

$$\gamma(q-p)=\gamma(q)+\gamma(-p)=\gamma(q)-\gamma(p)$$

  따라서 $\gamma(q)-\gamma(p)\in P_\mathbb{E}$ 가 성립하므로, $\gamma(p)<_\mathbb{E}\gamma(q)$ 이다.

 

  역으로 $\gamma(p)<_\mathbb{E}\gamma(q)$ 가 성립할 때를 생각하자. $\gamma(q-p)\in P_\mathbb{E}$ 이며 $q-p\in\mathbb{Q}$ 이므로 $\gamma(q-p)\in\gamma(\mathbb{Q})$ 이다. $\gamma(P_\mathbb{Q})=\gamma(\mathbb{Q})\cap P_\mathbb{E}$ 이므로 $\gamma(q-p)\in\gamma(P_\mathbb{Q})$ 이다. 따라서 $q-p\in P_\mathbb{Q}$ 이므로 $p<_\mathbb{Q}q$ 가 성립한다.   $\square$

 

 

  더 큰 유리수에 더 큰 점을 대응시키며, 유리수의 연산을 점의 연산에서 그대로 재현시키는 단사함수가 유일하게 존재한다.. 이쯤이면, 어떤 유리수에 대응하는 직선 위의 점을 그냥 그 유리수로 간주하는 것도 무리가 아니다. (사실 우리는 이러한 관점에 극히 익숙하다)

 

  다음의 연속되는 두 정리에 따르면 유리수의 조밀성이 직선에서도 유사하게 성립한다.

 

정리 5.1-3)  임의의 양의 점 $a\in P_\mathbb{E}$ 에 대하여 다음의 집합 $A\subset\mathbb{N_0}$ 을 생각하자.
$$A=\left\{n\in\mathbb{N_0}:\sum_{i=1}^n1_\mathbb{E}\le a\right\}$$  $A$ 는 항상 최대원소를 갖는다. 즉, $A$ 의 임의의 $n\in A$ 에 대하여 $n\le m$ 을 만족하는 $m\in A$ 가 존재한다.

 

proof)

  귀류법을 이용하기 위해 $A$ 가 최대원소를 갖지 않는다고 가정하자. 우선 $0\in A$ 임은 자명하다. 어떤 수 $n\in\mathbb{N_0}$ 에 대해 $n\le m$ 을 만족하는 $A$ 의 원소 $m\in\mathbb{N_0}$ 가 존재한다고 가정하자. $m$ 은 $A$ 의 최대원소가 아니므로 다음을 만족하는 $A$ 의 원소 $r\in\mathbb{N_0}$ 가 존재한다.

$$m<r\iff m+1\le r$$

  $n+1\le m+1$ 이므로, 정리하면 $n+1\le r$ 을 만족하는 $A$ 의 원소 $r\in\mathbb{N_0}$ 가 존재한다. 귀납법에 따라 임의의 $n\in\mathbb{N_0}$ 에 대하여 $n\le m$ 을 만족하는 $A$ 의 원소가 존재한다. $\mathbb{E}$ 는 완비순서체이므로 아르키메데스 성질에 따라 다음을 만족하는 자연수 $n_0\in\mathbb{N}$ 이 존재한다.

$$a<\sum_{i=1}^{n_0}1_\mathbb{E}$$

  위의 논의에 따르면 $n_0\le m$ 을 만족하는 $A$ 의 원소 $m\in\mathbb{N}$ 이 존재한다. $m=n_0+k$ 를 만족하는 $k\in\mathbb{N_0}$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\sum_{i=1}^m1_\mathbb{E}=\sum_{i=1}^{n_0+k}1_\mathbb{E}=\sum_{i=1}^{n_0}1_\mathbb{E}+\sum_{i=1}^k1_\mathbb{E}$$

$$\implies a<\sum_{i=1}^{n_0}1_\mathbb{E}\le\sum_{i=1}^m1_\mathbb{E}\quad\because0\le\sum_{i=1}^k1_\mathbb{E}$$

$$\therefore a<\sum_{i=1}^m1_\mathbb{E}$$

  이는 $m$ 이 $A$ 의 원소임에 모순이다. 따라서 $A$ 는 최대원소를 갖는다.   $\square$

  

 

정리 5.1-4)  정리 5-1의 함수 $\gamma:\mathbb{Q\to E}$ 와 $\mathbb{E}$ 의 임의의 두 점 $a<b$ 에 대하여 $a<\gamma(p)<s$ 를 만족하는 유리수 $p\in\mathbb{Q}$ 가 존재한다.

 

proof)

  $a<0_\mathbb{E}<b$ 일때 $0\in\mathbb{Q}$ 이므로 정리가 자명하게 성립한다. $0_\mathbb{E}<a<b$ 와 $a<b<0_\mathbb{E}$ 일때를 살펴보자. 먼저 $0_\mathbb{E}<a<b$ 라고 가정하자. $0_\mathbb{E}<b-a$ 이므로 아르키메데스 성질에 따라 다음을 만족하는 자연수 $n\in\mathbb{N}$ 이 존재한다.

$$1_\mathbb{E}<\sum_{i=1}^n(b-a)\iff\sum_{i=1}^na+1_\mathbb{E}<\sum_{i=1}^nb\tag{1}$$

  이때 $0_\mathbb{E}<a$ 이므로 $0_\mathbb{E}<\sum_{i=1}^na$ 도 성립한다. 정리 5.1-3에 따라 다음을 만족하는 $m\in\mathbb{N_0}$ 중 최댓값이 존재한다.

$$\sum_{j=1}^m1_\mathbb{E}\le\sum_{i=1}^na\tag{2}$$

  식 (2)를 만족하는 최댓값 $m$ 에 대해 $m+1$ 는 위 식을 만족하지 못하므로 다음이 성립한다.

$$\sum_{i=1}^na<\sum_{j=1}^{m+1}1_\mathbb{E}=\sum_{j=1}^m1_\mathbb{E}+1_\mathbb{E}\tag{3}$$

  식 (2)의 양변에 $1_\mathbb{E}$ 를 더하면 다음과 같다.

$$\sum_{j=1}^m1_\mathbb{E}+1_\mathbb{E}\le\sum_{i=1}^na+1_\mathbb{E}\tag{4}$$

  식 (1)과 (4)에 따라 다음이 성립한다.

$$\sum_{j=1}^m1_\mathbb{E}+1_\mathbb{E}<\sum_{i=1}^nb\tag{5}$$

  식 (3)과 (5)에 따라 다음이 성립한다.

$$\sum_{i=1}^na<\sum_{j=1}^m1_\mathbb{E}+1_\mathbb{E}<\sum_{i=1}^nb$$

$$\therefore\left(\sum_{i=1}^n1_\mathbb{E}\right)a<\sum_{j=1}^{m+1}1_\mathbb{E}<\left(\sum_{i=1}^n1_\mathbb{E}\right)b$$

  정리 5.1-1(ⅱ)에 따라 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\left(\sum_{i=1}^n\gamma(1)\right)a<\sum_{j=1}^{m+1}\gamma(1)<\left(\sum_{i=1}^n\gamma(1)\right)b$$

$$\iff\gamma(n)a<\gamma(m+1)<\gamma(n)b$$

$$\therefore a<\frac{\gamma(m+1)}{\gamma(n)}<b$$

  이때 $\frac{\gamma(m+1)}{\gamma(n)}=\gamma\left(\frac{m+1}{n}\right)$ 이며, $\frac{m+1}{n}$ 는 우리가 찾는 유리수 $p\in\mathbb{Q}$ 이므로 정리가 성립한다. $a<b<0_\mathbb{E}$ 일때를 생각하자. $0_\mathbb{E}<-b<-a$ 가 성립하므로, 이전의 논의에 따라 다음을 만족하는 유리수 $q\in\mathbb{Q}$ 가 존재한다.

$$-b<\gamma(q)<-a$$

$$\implies a<-\gamma(q)<b$$

  이때 $-\gamma(q)=\gamma(-q)$ 이며 $-q$ 는 우리가 찾는 유리수 $p\in\mathbb{Q}$ 이므로 정리가 성립한다.   $\square$

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

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