[FTC의 엄밀한 증명] ch10. 콤팩트 집합

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  본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

11. 콤팩트 집합

 

  아직 연속함수를 정의하지 않았지만, 일단 대략 끊어지지 않고 이어져있는 함수라고 하자. 다음은 분명히 참이다.

 

닫힌 구간 $[a,b]$ 에서 정의된 연속함수 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 은 최댓값과 최솟값을 가진다.

  이 성질은 최대-최소 정리라고 불리는데, 이는 너무나 당연해서 증명할 필요도 없어보인다.

                                                              

  한번 의심을 해보자. 꼭 닫힌 구간에서만 최대-최소 정리가 성립하는건가? 어쩌면 닫힌 구간이라는 조건은 너무 강한 조건이 아닐까? 만약 어떠한 분류의 집합에서 최대-최소정리가 성립하고, 닫힌 구간은 최대-최소 정리를 만족하는 특수한 케이스라면? 이것이 사실이라면 최대-최소 정리를 기술할때 굳이 닫힌 구간으로 한정시킬 이유는 없을 것이다.

 

  어떠한 결론을 이끌어낼때는 전제에 본질만 담아야 잘못된 논리와 불완전한 직관의 희생양이 되지 않을 수 있다. 이번에 소개하는 개념은 닫힌 구간의 개념에서 불필요한 부분을 제거하는 방법이다. 다음의 정의를 확인하자.

                          

콤팩트성 (Compactness)
  집합 $K\subset \mathbb{R}$ 을 생각하자. $K$ 의 원소로 이루어진 임의의 수열에 대해 극한이 $K$ 의 원소인 부분수열이 존재하면 $K$ 를 콤팩트 집합(compact set), 또는 콤팩트(compact)하다고 한다.

 

  콤팩트 집합의 가장 기초적인 예시는 닫힌 구간이다. 볼차노-바이어슈트라스 정리를 다시 보자.

 

모든 유계수열은 수렴하는 부분수열을 가진다.

 

  닫힌 구간 $[a,b]$ 에 대해 임의의 수열 $(a_n)\subset [a,b]$ 는 유계이므로 볼차노-바이어슈트라스 정리에 따라 (어딘가로) 수렴하는 부분수열 $(a_{k_n})$ 을 가진다. 이때 닫힌 구간은 닫힌 집합이므로 ($\because$ 정리 9.2-2) $lim(a_{k_n})\in [a,b]$ 가 성립한다. ($\because$ 정리 9.2-3) 따라서 닫힌 구간은 콤팩트하다.

 

  여기서 어떤 특성이 닫힌 구간을 콤팩트할 수 있도록 한 것일까? 위의 설명에 정답이 있다. 다음의 설명을 보자.

 

정의)  어떤 $M>0$ 이 존재하여 임의의 $a\in A$ 에 대해 $|a|\le M$ 이면 집합 $A\subset \mathbb{R}$ 을 유계(bounded)라고 한다.

                                   

하이네-보렐 정리 (Heine-Borel theorem)
  집합 $K\subset \mathbb{R}$ 이 콤팩트할 필요충분조건은 $K$ 가 유계이고 닫힌 집합인 것이다.

 

※ 역사적으로 하이네-보렐 정리에서 compact 란 임의의 열린덮개가 유한 부분덮개를 가지는 집합(설명 생략)을 의미하며, 이는 현대적인 compact 의 정의이다. 본 포스팅에서 정의한 compact 는 구식 정의로, 엄밀하게 말하면 sequentially compact 이다. 하지만 $\mathbb{R}$ 에서 현대적인 의미의 compact 와 sequentially compact 가 동치임이 알려져 있으므로 본 포스팅에서 소개하는 바와 같이 하이네-보렐 정리에서 compact 를 sequentially compact 로 대치한 정리도 성립한다. 하지만 그 증명의 내용은 Eduard Heine 와 Émile Borel 이 시도했던 것과 다르다.

 

proof)

  ($\Rightarrow$) : 모순을 보이기 위해 $K$ 가 콤팩트하며 유계가 아니라고 가정하자. 유계의 정의에 따라 임의의 $M>0$ 에 대해 어떤 $a\in K$ 가 존재하여 $|a|>M$ 이 성립한다. 그러므로 임의의 $n\in \mathbb{N}$ 에 대해 $|x_n|>n$ 을 만족하는 $x_n\in K$ 를 골라 수열 $(x_n)\subset K$ 를 만들 수 있다. $K$ 가 콤팩트하다고 가정하였으므로 $K$ 의 원소로 수렴하는 부분수열 $(x_{k_n})$ 이 존재한다. 수렴하는 수열은 유계이므로 ($\because$ 정리 5-2) 유계가 아닌 수열은 수렴하지 않는다. 따라서 $(x_{k_n})$ 가 유계가 아님을 보이면 모순이다. 임의의 $M>0$ 에 대해 아르키메데스 성질에 따라 $n>M$ 이도록 하는 $n\in \mathbb{N}$ 이 존재한다. 이때 $(k_n)$ 은 증가하는 자연수 수열이므로 $k_n\ge n$ 이 성립하며, $|x_{k_n}|>k_n$ 이므로 다음이 성립한다.

$$|x_{k_n}|>k_n\ge n>M$$

  정리하면 $|x_{k_n}|>M$ 을 얻으므로 $(x_{k_n})$ 는 유계가 아니다. 귀류법에 따라 $K$ 가 콤팩트하면 유계이다.

 

  $K$ 가 콤팩트하다고 가정하고 $K$ 가 닫힌 집합임을 보이자. 임의의 코시수열 $(x_n)\subset K$ 을 고정하고 $(x_n)\to x$ 라고 하자. 가정에 따라 $(x_n)$ 의 수렴하는 부분수열 $(x_{k_n})$ 이 존재하여 $(x_{k_n})\to x^{\prime }$ 라고 하면 $x^{\prime }\in K$ 가 성립한다. 수렴하는 수열의 부분수열은 원래 수열과 같은 극한값으로 수렴하므로 $x=x^{\prime }$ 이다. ($\because$ 정리 6-1) 따라서 $x\in K$ 이므로 정리 9.2-3에 따라 $K$ 는 닫힌 집합이다.

 

  정리하면 콤팩트 집합은 유계이고 닫힌 집합이다.

 

  ($\Leftarrow$) : 유계이고 닫힌 집합 $K$ 를 생각하자. 임의의 수열 $(x_n)\subset K$ 에 대해 $K$ 는 유계이므로 어떤 $M>0$ 이 존재하여 임의의 $n\in \mathbb{N}$ 에 대해 $|x_n|<M$ 이므로 $(x_n)$ 은 유계이다. 볼차노-바이어슈트라스 정리에 따라 $(x_n)$ 의 수렴하는 부분수열 $(x_{k_n})\to x$ 가 존재한다. $K$ 는 닫힌 집합이므로 $x\in K$ 가 성립한다. ($\because$ 정리 9.2-3) 정의에 따라 $K$ 는 콤팩트하다.   $◻$

 

 

  콤팩트 집합은 종종 닫힌 구간의 일반화로 취급할 수 있으므로 잘 기억해두자. 서두에 언급한 최대-최소 정리는 그 중 하나이다.

                                                       

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

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