[FTC의 엄밀한 증명] ch11. 함수의 극한
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본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.
12. 함수의 극한
수열의 극한에 이어 함수의 극한을 정의할 때가 왔다. 두 극한의 정의는 비슷하지만, 함수의 극한은 조금 더 어렵다. 수열의 극한을 다시 보며 극한의 구조를 되새겨보자. 필자가 아는 한 최대한 다양하게 표현해보겠다.
1. 임의의
2. 임의의
3. 임의의
4.
1번의 설명은 일상적인 문체에 가까워 가장 쉬운 설명이지만, 모든
우선
4-1. 임의의
4-2. 이 뒤의 명제가 항상 참이도록 하는 어떤
4-3. 임의의
4-4.
아마 수열의 극한을 잘 이해하였다면 4번의 설명이 이러한 순서로 읽히는 것에 별로 거부감이 없을 것이다.
이제 함수의 극한을 정의해보자. 함수의 극한은
정의) 함수과 의 극한점 에 대해 다음 명제가 성립하면 가 로 접근할 때 의 극한은 이라고 하며, 라고 쓴다.
이 정의가 직관적으로 어떤 의미인지 알아보자.
위에서
조금만 더 나아가보자.
정의)과 에 대해, 다음과 같이 정의된 집합 를 의 빠진 -근방(deleted -neighborhood)이라고 한다.
※
함수
위의 논의에 따르면 임의의
정리하면 함수의 극한을 다음과 같이 재정의할 수 있다.
함수과 의 극한점 에 대해 다음 명제가 성립하면 라고 한다.
다시말해



위의 예시에서 보다시피
참고로 정의역의 고립점에서는 함수의 극한이 고려되지 않는다. 고립점은 작은 근방 속에서 유일하게 존재하는 점이므로, '
12.1. 수열 판정법
함수의 극한을 판별하기 위해서는 부등식을 두 개나 다뤄야 한다. 그러나 수열의 도움을 받으면 한결 더 쉽게 함수의 극한을 알 수 있다. 우선 함수에 대한 수열의 상을 다음과 같이 정의하자.
정의) 함수과 수열 에 대해, 번째 항이 인 수열을 이라고 쓴다. 그리고 수열 의 집합을 다음과 같이 표기한다. 혼동의 여지가 없다면 을 으로 표기한다.
이제 수열의 극한으로 함수의 극한을 설명할 수 있다.
함수의 극한에 대한 수열 판정법 (sequential criterion for functional limits)
함수과 의 극한점 에 대해 다음의 두 명제는 동치다.
▶
▶ 임의의에 대해 이고 이면 이다.
proof)
(
이
여기서
정리하면 다음이 성립한다.
이는
(
이때 다음이 성립한다. (이때
따라서 첫 번째 명제의 부정은 다음과 같다.
존재성이 보장된 이
이 작업을 통해 얻어진 수열
정리하면
이때 식 (3)에서 존재성이 보장된
위 정리는 증명이 조금 까다롭지만, 함수의 극한에서도 대수극한정리와 매우 유사한 정리가 성립하는 것을 간결하게 증명할 수 있는 열쇠가 된다.
읽어주셔서 감사합니다.
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