Aerospace Kim

[FTC의 엄밀한 증명] ch11. 함수의 극한

 

  이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch10. 콤팩트 집합

  다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch12. 극한의 성질 2

 

 

  본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

12. 함수의 극한

 

  수열의 극한에 이어 함수의 극한을 정의할 때가 왔다. 두 극한의 정의는 비슷하지만, 함수의 극한은 조금 더 어렵다. 수열의 극한을 다시 보며 극한의 구조를 되새겨보자. 필자가 아는 한 최대한 다양하게 표현해보겠다. (an)a 라는 것은 다음을 의미한다.

 

  1. 임의의 ϵ>0 에 대해 nN 이면 |ana|<ϵ 이도록 하는 NN 이 존재한다.

 

  2. 임의의 ϵ>0 에 대해 어떤 NN 이 존재하여 다음 명제가 참이다 : nN 이면 |ana|<ϵ 이다.

 

  3. 임의의 ϵ>0 에 대해 어떤 NN 이 존재하여 임의의 nN 에 대해 nN 이면 |ana|<ϵ 이다.

 

  4. (ϵ>0) (NN) (nN) (nN|ana|<ϵ)

 

  1번의 설명은 일상적인 문체에 가까워 가장 쉬운 설명이지만, 모든 ϵ 에 대해 명제가 성립하는게 먼저인지, 명제가 성립하도록 하는 N 이 존재하는게 먼저인지 혼동을 줄 수 있다. 4번의 설명은 처음 보면 알아보기 힘들 수 있지만, 그 명료성은 그 어떤 설명도 초월한다. 4번 설명을 읽는 방법은 다음과 같다.

 

  우선 (an)a 라고 가정하자.

 

  4-1. 임의의 ϵ>0 을 생각하자. 이 ϵ 에 대해, 이 뒤의 명제가 항상 참이다.

 

  4-2. 이 뒤의 명제가 항상 참이도록 하는 어떤 NN 이 존재한다. 이 N 을 생각하자.

 

  4-3. 임의의 nN 을 생각하자. 이 n 에 대해, 이 뒤의 명제가 항상 참이다.

 

  4-4. nN 이면 |ana|<ϵ 이다.

 

  아마 수열의 극한을 잘 이해하였다면 4번의 설명이 이러한 순서로 읽히는 것에 별로 거부감이 없을 것이다.

 

  이제 함수의 극한을 정의해보자. 함수의 극한은 xc 로 무한히 가까워질때 f 가 특정 값으로 무한히 가까워지는 상황을 가리킨다. 함수의 극한을 따질때는 x=c 일 때 f 에 어떤 일이 벌어지는지는 전혀 상관없다. 심지어 c 에서 f 가 정의되지 않아도 그 극한은 생각해볼 수 있다. 다음의 정의를 보자.

 

정의)  함수 f:ARA극한점 c 에 대해 다음 명제가 성립하면 xc 로 접근할 때 f 의 극한은 L 이라고 하며, limxcf(x)=L 라고 쓴다.(ϵ>0)(δ>0)(xA)0<|xc|<δ|f(x)L|<ϵ

 

  이 정의가 직관적으로 어떤 의미인지 알아보자.

 

  위에서 0<|xc| 는 그저 xc 를 간결하게 표현한 것이므로, xc|xc|<δ 라고 하여도 된다. (이때 는 'and' 를 의미한다) 여기서 |xc|<δxBδ(c) 와 동치이며 |f(x)L|<ϵf(x)Bϵ(L) 와 동치이다. 그러므로 limxcf(x)=L 의 정의를 다시쓰면 다음과 같다.

(ϵ>0)(δ>0)(xA)xcxBδ(c)f(x)Bϵ(L)

  조금만 더 나아가보자. xc 이며 xBδ(c) 라는 것은 Bδ(c) 에서 c 를 제외한 집합 Bδ(c){c}x 가 포함된다는 뜻이다. 다음의 정의를 이용하면 편리하다.

 

정의)  aRϵ>0 에 대해, 다음과 같이 정의된 집합 Bϵ(a)a빠진 ϵ-근방(deleted ϵ-neighborhood)이라고 한다.Bϵ(a):={xR:0<|xa|<ϵ}

 

Bϵ(a) 이란 Bϵ(a)a 이므로 (cϵ,c)(c,c+ϵ) 를 의미한다.

 

  함수 f:AR 에 대하여, 임의의 집합 BR 의 상을 다음과 같이 정의하자.

f(B):={f(x):xAB}

  위의 논의에 따르면 임의의 xABδ(c) 에 대해 f(x)Bϵ(L) 이다. 이는 다시말해 f(Bδ(c)) 의 임의의 원소 f(x) 에 대해 f(x)Bϵ(L) 가 성립한다는 뜻이므로 다음이 성립한다.

f(Bδ(c))Bϵ(L)

  정리하면 함수의 극한을 다음과 같이 재정의할 수 있다.

 

함수 f:ARA 의 극한점 c 에 대해 다음 명제가 성립하면 limxcf(x)=L 라고 한다.(ϵ>0)(δ>0)f(Bδ(c))Bϵ(L)

 

  다시말해 limxcf(x)=L 이라는 것은 아무리 작은 Lϵ-근방 Bϵ(L) 을 선택하여도 f(Bδ(c))Bϵ(L) 에 포함되도록 하는 c 의 빠진 δ-근방 Bδ(c) 가 존재한다는 것이다.

함수의 극한이 존재하는 예시 1
함수의 극한이 존재하는 예시 2
함수의 극한이 존재하지 않는 예시

  위의 예시에서 보다시피 c 에서 함수의 극한을 검토할때 의외로 c 에서 함수가 어떤 값을 가지든, 심지어 c 에서 함수가 정의되지 않더라도 함수의 극한에는 영향이 없다. 이 기묘한 작업은 미분을 잘 정의하기 위한 큰 그림이다.

 

  참고로 정의역의 고립점에서는 함수의 극한이 고려되지 않는다. 고립점은 작은 근방 속에서 유일하게 존재하는 점이므로, 'xc 로 무한히 가까워질 때' 라는 발상을 적용할 수 없기 때문이다.

 

 

12.1. 수열 판정법

 

  함수의 극한을 판별하기 위해서는 부등식을 두 개나 다뤄야 한다. 그러나 수열의 도움을 받으면 한결 더 쉽게 함수의 극한을 알 수 있다. 우선 함수에 대한 수열의 상을 다음과 같이 정의하자.

 

정의)  함수 f:AR 과 수열 (xn)A 에 대해, m 번째 항이 f(xm) 인 수열을 f(xn) 이라고 쓴다. 그리고 수열 f(xn) 의 집합을 다음과 같이 표기한다.(f(xn)):={f(xn)R:nN}  혼동의 여지가 없다면 (f(xn))f(xn) 으로 표기한다.

 

  이제 수열의 극한으로 함수의 극한을 설명할 수 있다.

 

함수의 극한에 대한 수열 판정법 (sequential criterion for functional limits)
  함수 f:ARA 의 극한점 c 에 대해 다음의 두 명제는 동치다.
  ▶ limxcf(x)=L
  ▶ 임의의 (xn)A 에 대해 c(xn) 이고 (xn)c 이면 f(xn)L 이다.

 

proof)

  () : limxcf(x)=L 라고 하자. c(xn) 이고 (xn)c 인 임의의 (xn)A 를 생각하자. 전제에 따라 다음이 성립한다.

(ϵ>0)(δ>0)(xA)

(1)0<|xc|<δ|f(x)L|<ϵ

  이 δ 에 대해, 가정에 따라 다음이 성립한다.

(NN)(nN)

(2)nN0<|xnc|<δ

  여기서 xnA 이므로 식 (1), (2)을 종합하면 다음을 얻는다.

(nN0<|xnc|<δ)|f(xn)L|<ϵ

(nN|f(xn)L|<ϵ)

  정리하면 다음이 성립한다.

(ϵ>0)(NN)(nN)

nN|f(xn)L|<ϵ

  이는 f(xn)L 을 의미하므로 원하는 결과를 얻는다.

 

  () : 모순을 보이기 위해 두 번재 명제가 성립하며 첫 번째 명제의 부정, 즉 limxcf(x)L 이 성립한다고 가정하자. 첫 번째 명제의 부정을 구하자. 명제 p , q(x,δ) , r(x,ϵ) 을 각각 xc , |xc|<δ , |f(x)L|<ϵ 라고 하면 첫 번째 명제는 다음과 같다.

(ϵ>0)(δ>0)(xA)

(pq(x,δ))r(x,ϵ)

  이때 다음이 성립한다. (이때 은 'or' 을 의미한다)

((pq(x,δ))r(x,ϵ))(¬(pq(x,δ))r(x,ϵ))((¬p¬q)r)(¬p¬qr)

¬((pq(x,δ))r(x,ϵ))(pq¬r)

  따라서 첫 번째 명제의 부정은 다음과 같다.

(ϵ0>0)(δ>0)(a0A)

(3)0<|a0c|<δ|f(a0)L|ϵ0

  존재성이 보장된 이 ϵ0 을 생각하자. 임의의 nN 에 대해 δn:=1n 이라고 하면 식 (3)에 따라 다음이 성립한다.

(anA)

(4)0<|anc|<δn|f(an)L|ϵ0

  이 작업을 통해 얻어진 수열 (an)Ac(an) 이다. (an)c 임을 보이자. 임의의 ϵ>0 에 대해 아르키메데스 성질에 따라 어떤 NN 이 존재하여 1ϵ<N 를 만족한다. 임의의 nN 에 대해 nN 이면 1n1N 이므로 다음이 성립한다.

|anc|<δn=1n1N<ϵ

  정리하면 |anc|<ϵ 이므로 (an)c 를 얻는다. 두 번째 명제가 참이라고 가정하였으므로 f(ax)L 즉, 다음이 성립해야 한다.

(ϵ>0)(NN)(nN)

nN|f(an)L|<ϵ

  이때 식 (3)에서 존재성이 보장된 ϵ0 에 대해, 식 (4)에 따르면 임의의 nN 에 대해 |f(an)L|ϵ0 이 성립한다. 이는 모순이므로 귀류법에 따라 두 번째 명제가 성립하면 첫 번째 명제도 성립한다.   

 

 

  위 정리는 증명이 조금 까다롭지만, 함수의 극한에서도 대수극한정리와 매우 유사한 정리가 성립하는 것을 간결하게 증명할 수 있는 열쇠가 된다.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

  이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch10. 콤팩트 집합

  다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch12. 극한의 성질 2