[FTC의 엄밀한 증명] ch11. 함수의 극한

 

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  본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

12. 함수의 극한

 

  수열의 극한에 이어 함수의 극한을 정의할 때가 왔다. 두 극한의 정의는 비슷하지만, 함수의 극한은 조금 더 어렵다. 수열의 극한을 다시 보며 극한의 구조를 되새겨보자. 필자가 아는 한 최대한 다양하게 표현해보겠다. $(a_n)\to a$ 라는 것은 다음을 의미한다.

 

  1. 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 $n\ge N$ 이면 $|a_n-a|<\epsilon$ 이도록 하는 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재한다.

 

  2. 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 다음 명제가 참이다 : $n\ge N$ 이면 $|a_n-a|<\epsilon$ 이다.

 

  3. 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n\ge N$ 이면 $|a_n-a|<\epsilon$ 이다.

 

  4. $(\forall\epsilon>0)$ $(\exists N\in\mathbb{N})$ $(\forall n\in\mathbb{N})$ $(n\ge N\Rightarrow|a_n-a|<\epsilon)$

 

  1번의 설명은 일상적인 문체에 가까워 가장 쉬운 설명이지만, 모든 $\epsilon$ 에 대해 명제가 성립하는게 먼저인지, 명제가 성립하도록 하는 $N$ 이 존재하는게 먼저인지 혼동을 줄 수 있다. 4번의 설명은 처음 보면 알아보기 힘들 수 있지만, 그 명료성은 그 어떤 설명도 초월한다. 4번 설명을 읽는 방법은 다음과 같다.

 

  우선 $(a_n)\to a$ 라고 가정하자.

 

  4-1. 임의의 $\epsilon>0$ 을 생각하자. 이 $\epsilon$ 에 대해, 이 뒤의 명제가 항상 참이다.

 

  4-2. 이 뒤의 명제가 항상 참이도록 하는 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재한다. 이 $N$ 을 생각하자.

 

  4-3. 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 을 생각하자. 이 $n$ 에 대해, 이 뒤의 명제가 항상 참이다.

 

  4-4. $n\ge N$ 이면 $|a_n-a|<\epsilon$ 이다.

 

  아마 수열의 극한을 잘 이해하였다면 4번의 설명이 이러한 순서로 읽히는 것에 별로 거부감이 없을 것이다.

 

  이제 함수의 극한을 정의해보자. 함수의 극한은 $x$ 가 $c$ 로 무한히 가까워질때 $f$ 가 특정 값으로 무한히 가까워지는 상황을 가리킨다. 함수의 극한을 따질때는 $x=c$ 일 때 $f$ 에 어떤 일이 벌어지는지는 전혀 상관없다. 심지어 $c$ 에서 $f$ 가 정의되지 않아도 그 극한은 생각해볼 수 있다. 다음의 정의를 보자.

 

정의)  함수 $f:A\to R$ 과 $A$ 의 극한점 $c$ 에 대해 다음 명제가 성립하면 $x$ 가 $c$ 로 접근할 때 $f$ 의 극한은 $L$ 이라고 하며, $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$ 라고 쓴다.$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists\delta>0)\;(\forall x\in A)$$$$0<|x-c|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\epsilon$$

 

  이 정의가 직관적으로 어떤 의미인지 알아보자.

 

  위에서 $0<|x-c|$ 는 그저 $x\neq c$ 를 간결하게 표현한 것이므로, $x\neq c\land|x-c|<\delta$ 라고 하여도 된다. (이때 $\land$ 는 'and' 를 의미한다) 여기서 $|x-c|<\delta$ 는 $x\in B_\delta(c)$ 와 동치이며 $|f(x)-L|<\epsilon$ 은 $f(x)\in B_\epsilon(L)$ 와 동치이다. 그러므로 $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$ 의 정의를 다시쓰면 다음과 같다.

$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists\delta>0)\;(\forall x\in A)$$$$x\neq c\land x\in B_\delta(c)\Rightarrow f(x)\in B_\epsilon(L)$$

  조금만 더 나아가보자. $x\neq c$ 이며 $x\in B_\delta(c)$ 라는 것은 $B_\delta(c)$ 에서 $c$ 를 제외한 집합 $B_\delta(c)\setminus\{c\}$ 에 $x$ 가 포함된다는 뜻이다. 다음의 정의를 이용하면 편리하다.

 

정의)  $a\in\mathbb{R}$ 과 $\epsilon>0$ 에 대해, 다음과 같이 정의된 집합 $B_\epsilon^*(a)$ 를 $a$ 의 빠진 $\epsilon$-근방(deleted $\epsilon$-neighborhood)이라고 한다.$$B_\epsilon^*(a):=\{x\in\mathbb{R}:0<|x-a|<\epsilon\}$$

 

※ $B_\epsilon^*(a)$ 이란 $B_\epsilon(a)\setminus{a}$ 이므로 $(c-\epsilon,c)\cup(c,c+\epsilon)$ 를 의미한다.

 

  함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 에 대하여, 임의의 집합 $B\subset\mathbb{R}$ 의 상을 다음과 같이 정의하자.

$$f(B):=\{f(x):x\in A\cap B\}$$

  위의 논의에 따르면 임의의 $x\in A\cap B_\delta^*(c)$ 에 대해 $f(x)\in B_\epsilon(L)$ 이다. 이는 다시말해 $f\big(B_\delta^*(c)\big)$ 의 임의의 원소 $f(x)$ 에 대해 $f(x)\in B_\epsilon(L)$ 가 성립한다는 뜻이므로 다음이 성립한다.

$$f\big(B_\delta^*(c)\big)\subset B_\epsilon(L)$$

  정리하면 함수의 극한을 다음과 같이 재정의할 수 있다.

 

함수 $f:A\to R$ 과 $A$ 의 극한점 $c$ 에 대해 다음 명제가 성립하면 $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$ 라고 한다.$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists\delta>0)$$$$f\big(B_\delta^*(c)\big)\subset B_\epsilon(L)$$

 

  다시말해 $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$ 이라는 것은 아무리 작은 $L$ 의 $\epsilon$-근방 $B_\epsilon(L)$ 을 선택하여도 $f\big(B_\delta^*(c)\big)$ 가 $B_\epsilon(L)$ 에 포함되도록 하는 $c$ 의 빠진 $\delta$-근방 $B_\delta^*(c)$ 가 존재한다는 것이다.

함수의 극한이 존재하는 예시 1

함수의 극한이 존재하는 예시 2

함수의 극한이 존재하지 않는 예시

  위의 예시에서 보다시피 $c$ 에서 함수의 극한을 검토할때 의외로 $c$ 에서 함수가 어떤 값을 가지든, 심지어 $c$ 에서 함수가 정의되지 않더라도 함수의 극한에는 영향이 없다. 이 기묘한 작업은 미분을 잘 정의하기 위한 큰 그림이다.

 

  참고로 정의역의 고립점에서는 함수의 극한이 고려되지 않는다. 고립점은 작은 근방 속에서 유일하게 존재하는 점이므로, '$x$ 가 $c$ 로 무한히 가까워질 때' 라는 발상을 적용할 수 없기 때문이다.

 

 

12.1. 수열 판정법

 

  함수의 극한을 판별하기 위해서는 부등식을 두 개나 다뤄야 한다. 그러나 수열의 도움을 받으면 한결 더 쉽게 함수의 극한을 알 수 있다. 우선 함수에 대한 수열의 상을 다음과 같이 정의하자.

 

정의)  함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 과 수열 $(x_n)\subset A$ 에 대해, $m$ 번째 항이 $f(x_m)$ 인 수열을 $f(x_n)$ 이라고 쓴다. 그리고 수열 $f(x_n)$ 의 집합을 다음과 같이 표기한다.$$\big(f(x_n)\big):=\{f(x_n)\in\mathbb{R}:n\in\mathbb{N}\}$$  혼동의 여지가 없다면 $\big(f(x_n)\big)$ 을 $f(x_n)$ 으로 표기한다.

 

  이제 수열의 극한으로 함수의 극한을 설명할 수 있다.

 

함수의 극한에 대한 수열 판정법 (sequential criterion for functional limits)
  함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 과 $A$ 의 극한점 $c$ 에 대해 다음의 두 명제는 동치다.
  ▶ $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$
  ▶ 임의의 $(x_n)\subset A$ 에 대해 $c\notin(x_n)$ 이고 $(x_n)\to c$ 이면 $f(x_n)\to L$ 이다.

 

proof)

  ($\Rightarrow$) : $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$ 라고 하자. $c\notin(x_n)$ 이고 $(x_n)\to c$ 인 임의의 $(x_n)\subset A$ 를 생각하자. 전제에 따라 다음이 성립한다.

$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists\delta>0)\;\textcolor{red}{(\forall x\in A)}$$

$$\textcolor{red}{0<|x-c|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\epsilon}\tag{1}$$

  이 $\delta$ 에 대해, 가정에 따라 다음이 성립한다.

$$(\exists N\in\mathbb{N})\;(\forall n\in\mathbb{N})$$

$$\textcolor{blue}{n\ge N\Rightarrow 0<|x_n-c|<\delta}\tag{2}$$

  여기서 $x_n\in A$ 이므로 식 (1), (2)을 종합하면 다음을 얻는다.

$$\textcolor{blue}{(n\ge N\Rightarrow 0<|x_n-c|<\delta)}\textcolor{red}{\Rightarrow|f(x_n)-L|<\epsilon}$$

$$\therefore(n\ge N\Rightarrow|f(x_n)-L|<\epsilon)$$

  정리하면 다음이 성립한다.

$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists N\in\mathbb{N})\;(\forall n\in\mathbb{N})$$

$$n\ge N\Rightarrow|f(x_n)-L|<\epsilon$$

  이는 $f(x_n)\to L$ 을 의미하므로 원하는 결과를 얻는다.

 

  ($\Leftarrow$) : 모순을 보이기 위해 두 번재 명제가 성립하며 첫 번째 명제의 부정, 즉 $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)\neq L$ 이 성립한다고 가정하자. 첫 번째 명제의 부정을 구하자. 명제 $p$ , $q(x,\delta)$ , $r(x,\epsilon)$ 을 각각 $x\neq c$ , $|x-c|<\delta$ , $|f(x)-L|<\epsilon$ 라고 하면 첫 번째 명제는 다음과 같다.

$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists\delta>0)\;(\forall x\in A)$$

$$(p\land q(x,\delta))\Rightarrow r(x,\epsilon)$$

  이때 다음이 성립한다. (이때 $\lor$ 은 'or' 을 의미한다)

$$\begin{align}&\quad\big((p\land q(x,\delta))\Rightarrow r(x,\epsilon)\big)\\&\equiv\big(\lnot(p\land q(x,\delta))\lor r(x,\epsilon)\big)\\&\equiv\big((\lnot p\lor \lnot q)\lor r\big)\\&\equiv(\lnot p\lor\lnot q\lor r)\end{align}$$

$$\therefore\lnot\big((p\land q(x,\delta))\Rightarrow r(x,\epsilon)\big)\equiv(p\land q\land\lnot r)$$

  따라서 첫 번째 명제의 부정은 다음과 같다.

$$(\exists\epsilon_0>0)\;(\forall\delta>0)\;(\exists a_0\in A)$$

$$0<|a_0-c|<\delta\land|f(a_0)-L|\ge\epsilon_0\tag{3}$$

  존재성이 보장된 이 $\epsilon_0$ 을 생각하자. 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $\delta_n:=\frac{1}{n}$ 이라고 하면 식 (3)에 따라 다음이 성립한다.

$$(\exists a_n\in A)$$

$$0<|a_n-c|<\delta_n\land|f(a_n)-L|\ge\epsilon_0\tag{4}$$

  이 작업을 통해 얻어진 수열 $(a_n)\subset A$ 는 $c\notin(a_n)$ 이다. $(a_n)\to c$ 임을 보이자. 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 아르키메데스 성질에 따라 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 $\frac{1}{\epsilon}<N$ 를 만족한다. 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n\ge N$ 이면 $\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}$ 이므로 다음이 성립한다.

$$|a_n-c|<\delta_n=\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\epsilon$$

  정리하면 $|a_n-c|<\epsilon$ 이므로 $(a_n)\to c$ 를 얻는다. 두 번째 명제가 참이라고 가정하였으므로 $f(a_x)\to L$ 즉, 다음이 성립해야 한다.

$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists N\in\mathbb{N})\;(\forall n\in\mathbb{N})$$

$$n\ge N\Rightarrow|f(a_n)-L|<\epsilon$$

  이때 식 (3)에서 존재성이 보장된 $\epsilon_0$ 에 대해, 식 (4)에 따르면 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $|f(a_n)-L|\ge\epsilon_0$ 이 성립한다. 이는 모순이므로 귀류법에 따라 두 번째 명제가 성립하면 첫 번째 명제도 성립한다.   $\square$

 

 

  위 정리는 증명이 조금 까다롭지만, 함수의 극한에서도 대수극한정리와 매우 유사한 정리가 성립하는 것을 간결하게 증명할 수 있는 열쇠가 된다.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

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