[FTC의 엄밀한 증명] ch13. 연속성

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  본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

14. 연속성

 

  연속의 엄밀한 정의는 해석학에서 매우 중요한 지점이다. 끊어지지 않은, 비약이 없는, 구멍이 없는 등의 모호한 표현에서 벗어나 수학적으로 엄밀하게 연속을 정의해보자.

 

  연속성은 함수의 극한과 관련이 있다. 함수의 극한에 대한 정의를 다시 말하자면 다음과 같다.

 

함수 $f:A\to \mathbb{R}$ 과 $A$ 의 극한점 $c$ 에 대해 다음이 성립하면 $f$ 는 $c$ 에서 극한 $L$ 을 갖는다.$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in A)$$$$0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

 

  미리 말하자면 연속성은 정의역의 점 각각에 대한 성질이다. 심지어 단 하나의 점에서만 연속인 함수도 존재한다.

 

연속성 (Continuity)
  함수 $f:A\to \mathbb{R}$ 와 $c\in A$ 에 대해 다음 명제가 성립하면 $f$ 가 $c$ 에서 연속(continuous)이라고 한다.$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in A)$$$$|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(c)|<ϵ$$  ▶ $f$ 가 $E\subset A$ 의 모든 점에서 연속이면 $f$ 가 $E$ 에서 연속이라고 한다.
  ▶ $f$ 가 $A$ 에서 연속이면 $f$ 를 연속함수(continuous function)라고 한다.

 

  연속의 정의와 함수의 극한의 정의는 많은 점에서 비슷하나 다음의 차이점이 있다.

 

  1. 함수의 극한은 정의역의 극한점에 정의되며, 연속은 정의역의 점에서 정의된다. 정의역에 포함되지 않는 점이더라도 정의역의 극한점이라면 함수의 극한이 정의될 수 있으나, 정의역에 포함되는 점이더라도 고립점이라면 함수의 극한이 정의되지 않는다. 반대로 정의역에 포함되는 점이면 고립점이더라도 연속이 정의되며, 정의역의 극한점이더라도 정의역에 포함되지 않으면 연속이 정의되지 않는다. 함수의 극한과 연속이 모두 정의되는 점은 정의역에 포함되는 극한점 뿐이다.

 

  2. 함수의 극한은 $x\ne c$ 조건이 있으며, 연속은 이 조건이 없다. 함수의 극한은 해당 점에서 함수값이 어떤 값이든, 심지어 함수가 그 점에서 정의되지 않아도 상관이 없었지만 연속은 그렇지 않다. 반드시 해당 점에서 함수가 정의되어야 그 점에서의 연속성도 정의되며, 그 점에서의 함수값은 그 점에서의 연속성을 좌지우지한다.

 

  연속의 정의를 다양하게 표현하며 그 의미를 탐색하자.

 

정리 14-1)  함수 $f:A\to \mathbb{R}$ 과 $c\in A$ 에 대해 다음의 세 명제는 동치이다.
  (ⅰ) $f$ 는 $c$ 에서 연속이다.
  (ⅱ) $(\mathrm{\forall }ϵ>0)$ $(\mathrm{\exists }\delta >0)$ $(f(B_{\delta }(c))\subset B_{ϵ}(f(c)))$
  (ⅲ) 임의의 $(x_n)\subset A$ 에 대해 $(x_n)\to c$ 이면 $f(x_n)\to f(c)$ 이다.

 

proof)

  (ⅰ$\iff$ⅱ) : 이는 근방을 이용한 재기술에 불과하다. $f$ 가 $c$ 에서 연속임은 다음을 의미한다.

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in A)$$

$$|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(c)|<ϵ$$

  여기서 $|x-c|<\delta$ 는 $x\in B_{\delta }(c)$ 와 동치이며, $|f(x)-f(c)|<ϵ$ 은 $f(x)\in B_{ϵ}(f(c))$ 와 동치이다. 집합 $f(B_{\delta }(c))$ 를 생각하자. 임의의 $f(x)\in f(B_{\delta }(c))$ 에 대해 $x\in B_{\delta }(c)$ 이므로 $f(x)\in B_{ϵ}(f(c))$ 가 성립한다. 따라서 $f(B_{\delta }(c))\subset B_{ϵ}(f(c))$ 이므로 원하는 결과를 얻는다.

 

  (ⅱ$\Rightarrow$ⅲ) : (ⅱ)를 가정하자. 다음이 성립한다.

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)$$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& f(B_{\delta }(c))\subset B_{ϵ}(f(c))\end{array}$$

  $(x_n)\to c$ 인 임의의 $(x_n)\subset A$ 을 생각하자. 위의 $\delta$ 에 대해 정의에 따라 다음이 성립한다.

$$(\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})$$

$$n\ge N\Rightarrow x_n\in B_{\delta }(c)$$

  이때 $x_n\in B_{\delta }(c))$ 이면 $f(x_n)\in f(B_{\delta }(c))$ 이며, 식 (1)에 따라 $f(x_n)\in B_{ϵ}(f(c))$ 가 성립한다. 이는 $|f(x_n)-f(c)|<ϵ$ 을 의미하므로 정리하면 다음이 성립한다.

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})$$

$$n\ge N\Rightarrow |f(x_n)-f(c)|<ϵ$$

  정의에 따라 $f(x_n)\to f(c)$ 를 얻는다.

 

  (ⅲ$\Rightarrow$ⅱ) : 모순을 보이기 위해 (ⅲ)이 참이고 (ⅱ)가 거짓이라고 가정하자. (ⅱ)가 거짓이면 (ⅱ)의 부정이 참이며, (ⅱ)의 부정은 다음과 같다.

$$(\mathrm{\exists }{ϵ}_0>0)(\mathrm{\forall }\delta >0)$$

$$f(B_{\delta }(c))\not\subset B_{{ϵ}_0}(f(c))$$

  $f(B_{\delta }(c))\not\subset B_{{ϵ}_0}(f(c))$ 가 의미하는 것은 $x_0\in B_{\delta }(c)$ 이며 $f(x_0)\notin B_{{ϵ}_0}(f(c))$ 인 $x_0\in A$ 가 존재함을 의미한다. 임의의 $n\in \mathbb{N}$ 에 대해 ${\delta }_n:=\frac{1}{n}$ 이라고 하면 위의 논의에 따라 $x_n\in B_{{\delta }_n}(c)$ 과 $f(x_n)\notin B_{{ϵ}_0}(f(c))$ 를 만족하는 $x_n\in A$ 가 존재한다. 이러한 방식으로 수열 $(x_n)\subset A$ 를 얻을 수 있다.

 

  $(x_n)\to c$ 임을 보이자. 임의의 $ϵ>0$ 에 대해 아르키메데스 성질에 따라 어떤 $N\in \mathbb{N}$ 이 존재하여 $\frac{1}{ϵ}<N$ 을 만족한다. 임의의 $n\in \mathbb{N}$ 에 대해 $n\ge N$ 이면 $\frac{1}{n}\le \frac{1}{N}$ 이므로 다음이 성립한다.

$$x_n\in B_{{\delta }_n}(c)=B_{\frac{1}{n}}(c)\subset B_{\frac{1}{N}}(c)\subset B_{ϵ}(c)$$

  정리하면 $|x_n-c|<ϵ$ 이므로, $(x_n)\to c$ 를 얻는다. (ⅲ)이 참이라고 가정하였으므로 $f(x_n)\to f(c)$ 가 성립해야 한다. 만약 $f(x_n)\to f(c)$ 이라면 다음이 성립한다.

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})$$

$$n\ge N\Rightarrow f(x_n)\in B_{ϵ}(f(c))$$

  이때 수열 $(x_n)$ 의 정의에 따라 ${ϵ}_0$ 에 대해 $f(x_n)\notin B_{{ϵ}_0}(f(c))$ 이므로, 임의의 $ϵ>0$ 에 대해 $f(x_n)\in B_{{ϵ}_0}(f(c))$ 가 성립해야 한다는 가정에 모순된다. 귀류법에 따라 (ⅲ)이 참이면 (ⅱ)도 참임을 안다.   $◻$

f 가 c 에서 연속일 때

 

  연속은 정의역의 각 점에서 정의되며, 정의역의 각 점은 정의역의 극한점이거나 고립점이다. (극한점이며 고립점인 것은 정의에 따라 불가능하다) 각 상황에 대해 다음의 재밌는 성질이 성립한다.

 

정리 14-2)  함수 $f:A\to \mathbb{R}$ 과 $c\in A$ 에 대해 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $c$ 가 $A$ 의 극한점이면 $f$ 가 $c$ 에서 연속일 필요충분조건은 ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}f(x)=f(c)}$ 이다.
  (ⅱ) $c$ 가 고립점이면 $f$ 는 $c$ 에서 연속이다.

 

proof)

  (ⅰ) : $A$ 의 극한점 $c$ 에 대해 $f$ 가 $c$ 에서 연속이라고 하자. 정리 14-1에 따라 다음이 성립한다.

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)$$

$$f(B_{\delta }(c))\subset B_{ϵ}(f(c))$$

  이때 $B_{\delta }^{\ast }(c)\subset B_{\delta }(c)$ 가 성립한다. (빠진 근방의 정의 참고) $f(B_{\delta }^{\ast }(c))\subset f(B_{\delta }(c))$ 도 성립하므로 다음을 얻는다.

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)$$

$$f(B_{\delta }^{\ast }(c))\subset B_{ϵ}(f(c))$$

  이는 함수의 극한의 정의이므로 ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}f(x)=f(c)}$ 를 얻는다.

 

  역으로 ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}f(x)=f(c)}$ 가 성립한다고 가정하자. 정의에 따라 다음이 성립한다.

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)$$

$$f(B_{\delta }^{\ast }(c))\subset B_{ϵ}(f(c))$$

  이때 자명하게 $f(c)\in B_{ϵ}(f(c))$ 가 성립하므로, $f(B_{\delta }(c))\subset B_{ϵ}(f(c))$ 를 얻는다. 정리 14-1에 따라 $f$ 는 $c$ 에서 연속이다.

 

  (ⅱ) : $A$ 의 고립점 $c$ 를 생각하자. 극한점의 정의는 다음과 같다.

$$(\mathrm{\forall }\delta >0)(\mathrm{\exists }a\in A)(a\ne c\wedge a\in B_{\delta }(c))$$

  고립점은 $A$ 에 포함되는 점 중에서 $A$ 의 극한점이 아닌 점이므로, $c\in A$ 가 고립점이라는 것은 다음을 의미한다.

$$(\mathrm{\exists }{\delta }_0>0)(\mathrm{\forall }a\in A)(a=c\vee a\notin B_{{\delta }_0}(c))$$

  다시말해 $A$ 의 모든 점 중에서 $c$ 만을 포함하는 작은 근방 $B_{{\delta }_0}(c)$ 가 존재한다. 이 ${\delta }_0$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$B_{{\delta }_0}(c)=\{c\}⟹f(B_{{\delta }_0}(c))=\{f(c)\}$$

  따라서 임의의 $ϵ>0$ 에 대해 $f(B_{{\delta }_0}(c))\subset B_{ϵ}(f(c))$ 가 성립한다. 정리하면 다음과 같다.

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }{\delta }_0>0)$$

$$f(B_{{\delta }_0}(c))\subset B_{ϵ}(f(c))$$

  정의에 따라 $f$ 는 $c$ 에서 연속이다.   $◻$

고립점에서 함수는 항상 연속이다

 

 

14.1. 연속함수의 예

 

정리 14.1-1)  임의의 $k\in \mathbb{R}$ 에 대해, 상수함수(constant function) $k_x:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto k$ 는 연속함수이다.

 

proof)

  임의의 $c\in \mathbb{R}$ 을 생각하자. 임의의 $ϵ>0$ 에 대해 $\delta =1$ 을 생각하자. 임의의 $x\in \mathbb{R}$ 에 대해 $|x-c|<\delta =1$ 이면 다음이 성립한다고 할 수 있다. (사실 따지지 않아도 항상 성립한다)

$$|k_x(x)-k_x(c)|=|k-k|=0<ϵ$$

  정의에 따라 $k_x$ 는 $c$ 에서 연속이다. 처음에 임의로 $c\in \mathbb{R}$ 을 선택하였으므로 $k_x$ 는 $\mathbb{R}$ 에서 연속이다.   $◻$

 

 

정리 14.1-2)  항등함수(identity function) $\text{id}:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x$ 는 연속함수이다.

 

proof)

  임의의 $c\in \mathbb{R}$ 을 생각하자. 임의의 $ϵ>0$ 에 대해 $\delta =ϵ$ 라고 하자. 임의의 $x\in \mathbb{R}$ 에 대해 $|x-c|<\delta$ 이면 다음이 성립한다.

$$|\text{id}(x)-\text{id}(c)|=|x-c|<\delta =ϵ$$

  정의에 따라 $\text{id}$ 는 $c$ 에서 연속이다. 처음에 임의로 $c\in \mathbb{R}$ 을 선택하였으므로 $\text{id}$ 는 $\mathbb{R}$ 에서 연속이다.   $◻$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

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