[FTC의 엄밀한 증명] ch17. 사잇값 정리

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  본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

18. 사잇값 정리

 

  오일러와 가우스를 포함한 18세기 수학자들은 후술할 사잇값 정리를 증명하지 않고 사용했다. 이것은 증명을 할 필요가 없을 정도로 자명하다고 생각했기 때문이며, 해석학의 실수에 대한 이해는 이 자명한 정리를 증명할 수 있을 정도로 성숙해졌다.

 

  먼저 다음의 정의를 확인하자.

 

정의)  함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 과 집합 $E\subset A$ 를 생각하자. 임의의 연결집합 $I\subset E$ 에 대해 $f(I)$ 도 연결집합이면 $f$ 가 $E$ 에서 다르부 성질(Darboux property)을 갖는다고 한다. $f$ 가 $A$ 에서 다르부 성질을 가지면 $f$ 를 다르부 함수(Darboux function)라고 한다.

 

정의)  함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 과 집합 $E\subset A$ 에 대해 다음이 성립하면 $f$ 가 $E$ 에서 사잇값 성질(intermediate value property)을 갖는다고 한다.$$(\forall a,b\in E)$$$$\big(f(a),f(b)\big)\subset f\big((a,b)\big)$$

 

※ 구간의 표기에서 $a>b$ 일때 $(a,b)$ 라고 표기하면 $(b,a)$ 를 의미한다.

  다시말해 다르부 성질이란 함수가 연결성을 보존한다는 것이며, 사잇값 성질이란 $f(a)$ 와 $f(b)$ 를 임의로 선택하면 그 사이의 모든 값을 $(a,b)$ 안에서 $f$ 가 함숫값으로 갖는다는 것이다. 구간에서 이 두 성질이 서로 같다는 것을 보이자.

 

정리 18-1)  함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 이 구간 $E\subset A$ 에서 다르부 성질을 갖기 위한 필요충분조건은 $E$ 에서 사잇값 성질을 갖는 것이다.

 

proof)

  정리 10.3-1에 따라 구간과 연결집합은 동일한 대상임을 상기하자.

 

  ($\Rightarrow$) : $f$ 가 구간 $E$ 에서 다르부 성질을 갖는다고 하자. $E$ 는 구간이므로 임의의 $a,b\in E$ 에 대해 $[a,b]\subset E$ 가 성립하며 $[a,b]$ 는 구간이므로 연결집합이다. 전제에 따라 $f\big([a,b]\big)$ 도 연결집합이므로 구간이다. $f(a),f(b)\in f\big([a,b]\big)$ 이므로 구간의 정의에 따라 다음이 성립한다.

$$\big[f(a),f(b)\big]\subset f\big([a,b]\big)$$

  이때 다음이 성립한다.

$$\begin{align}f\big([a,b]\big)&=\{f(x):a\le x\le b\}\\&=\{f(x):a<x<b\lor x=a\lor x=b\}\\&=\{f(x):a<x<b\}\cup\{f(a),f(b)\}\\&=f\big((a,b)\big)\cup\{f(a),f(b)\}\end{align}$$

$$\big(f(a),f(b)\big)\subset\big[f(a),f(b)\big]$$

  따라서 다음을 얻는다.

$$\big(f(a),f(b)\big)\subset f\big((a,b)\big)\cup\{f(a),f(b)\}$$

  임의의 $L\in\big(f(a),f(b)\big)$ 을 생각하자. 위 식에 따르면 $L\in f\big((a,b)\big)$ 또는 $L\in\{f(a),f(b)\}$ 가 성립해야 한다. 이때 $L\neq f(a),f(b)$ 이므로 $L\in f\big((a,b)\big)$ 가 성립해야 한다. 따라서 다음을 얻는다.

$$\big(f(a),f(b)\big)\subset f\big((a,b)\big)$$

  처음에 $a,b\in E$ 를 임의로 선택하였으므로 정의에 따라 $f$ 는 $E$ 에서 사잇값 성질을 갖는다.

 

  ($\Leftarrow$) : 대우 명제를 증명하기 위해 $f$ 가 구간 $E$ 에서 다르부 성질을 갖지 않는다고 하자. 다르부 성질의 정의에 따라 $f(I)$ 가 연결집합이 아니도록 하는 어떤 연결집합 $I\subset E$ 가 존재한다. 다시말해 $f(I)$ 는 구간이 아니므로 어떤 $f(a),f(b)\in f(I)$ 가 존재하여 다음이 성립한다.

$$\big[f(a),f(b)\big]\not\subset f(I)$$

  이는 $L\notin f(I)$ 이도록 하는 $L\in\big[f(a),f(b)\big]$ 가 존재한다는 것이다. 이때 $L=f(a)$ 또는 $L=f(b)$ 이면 $L\in f(I)$ 이어야 하므로 $L\in\big(f(a),f(b)\big)$ 가 성립한다. 여기서 $f(a),f(b)\in f(I)$ 이므로 $a,b\in I$ 이다. 이때 $I$ 는 연결집합이므로 구간이며, 따라서 $[a,b]\subset I$ 가 성립한다. 그러므로 $f\big([a,b]\big)\subset f(I)$ 임을 알 수 있는데, 위의 반대방향 증명을 참고하면 다음이 성립한다.

$$f\big([a,b]\big)=f\big((a,b)\big)\cup\{f(a),f(b)\}$$

$$\therefore f\big((a,b)\big)\subset f(I)$$

  $L$ 은 $f(I)$ 에 속하지 않으므로 $f\big((a,b)\big)$ 에도 속하지 않는다. 따라서 다음이 성립한다.

$$\big(f(a),f(b)\big)\not\subset f\big((a,b)\big)$$

  위 명제를 만족하는 $a,b\in I\subset E$ 가 존재하므로, 정의에 따라 $f$ 는 $E$ 에서 사잇값 성질을 갖지 않는다.   $\square$

 

 

  다음의 정리에 따르면 연속성은 연결성의 보존을 함의한다.

 

연결성의 보존 (preservation of connectedness)
  함수 $f:G\to\mathbb{R}$ 이 $E\subset G$ 에서 연속이면 $E$ 에서 다르부 성질을 갖는다.

 

proof)

  임의의 연결집합 $I\subset E$ 를 생각하자. $f$ 가 $E$ 에서 다르부 성질을 가짐을 보이기 위해서는 $f(I)$ 가 연결집합임을 보이면 충분하다. $f(I)=A\cup B$ 를 만족하는 공집합이 아니고 서로소인 임의의 두 집합 $A,B$ 를 생각하자. 다음의 두 명제 중 적어도 하나를 만족시키는 수열 $(y_n)$ 이 존재함을 보이면 정리10.2-2에 따라 $f(I)$ 는 연결집합이다.

$$A\supset (y_n)\to f(x)\in B$$

$$B\supset (y_n)\to f(x)\in A$$

 

  다음의 두 집합을 생각하자.

$$f^{-1}(A):=\{x\in G:f(x)\in A\}$$

$$f^{-1}(B):=\{x\in G:f(x)\in B\}$$

  $A$ 는 공집합이 아니므로 $f(x)\in A$ 이도록 하는 $x\in G$ 가 존재하며, $B$ 는 공집합이 아니므로 $f(x)\in B$ 이도록 하는 $x\in G$ 가 존재한다. 따라서 $f^{-1}(A)$ 와 $f^{-1}(B)$ 는 공집합이 아니다. 만약 $f^{-1}(A)$ 와 $f^{-1}(B)$ 모두에 속하는 어떤 $x_0\in G$ 가 존재한다면 $f(x_0)\in A$ 이며 $f(x_0)\in B$ 이므로 $A$ 와 $B$ 가 서로소라는 가정에 어긋난다. 따라서 $f^{-1}(A)$ 와 $f^{-1}(B)$ 는 서로소이다.

 

  마지막으로 $f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)=I$ 임을 보이자. 임의의 $x\in f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$ 에 대해 $x\in f^{-1}(A)$ 또는 $x\in f^{-1}(B)$ 이므로 $f(x)\in A$ 또는 $f(x)\in B$ 이다. 따라서 $f(x)\in A\cup B=f(I)$ 이므로 $x\in I$ 이다. 정리하면 $f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)\subset I$ 가 성립한다. 임의의 $x\in I$ 에 대해 $f(x)\in f(I)=A\cup B$ 이므로 $f(x)\in A$ 또는 $f(x)\in B$ 이다. 따라서 $x\in f^{-1}(A)$ 또는 $x\in f^{-1}(B)$ 이므로 $x\in f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$ 이다. 정리하면 $I\subset f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$ 가 성립하므로 $f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)=I$ 를 얻는다.

 

  위에 따르면 공집합이 아니고 서로소인 두 집합 $f^{-1}(A)$ , $f^{-1}(B)$ 에 대해 $I=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$ 가 성립한다. 여기서 $I$ 는 연결집합이므로 정리10.2-2에 따라 다음의 두 명제 중 적어도 하나를 만족시키는 수열 $(x_n)$ 이 존재한다.

$$f^{-1}(A)\supset(x_n)\to x\in f^{-1}(B)$$

$$f^{-1}(B)\supset(x_n)\to x\in f^{-1}(A)$$

  다음을 만족하는 수열 $(x_n)$ 이 존재한다고 가정하자.

$$f^{-1}(A)\supset(x_n)\to x\in f^{-1}(B)$$

  $f$ 는 $E$ 에서 연속이며 $(x_n)\subset E$ 이고 $x\in E$ 이므로 정리 14-1에 따라 $f(x_n)\to f(x)$ 가 성립한다. 이때 다음이 성립한다.

$$A\supset f(x_n)\to f(x)\in B$$

  비슷하게 다음이 성립함을 알 수 있다.

$$\qquad f^{-1}(B)\supset(x_n)\to x\in f^{-1}(A)$$

$$\implies B\supset f(x_n)\to f(x)\in A$$

  정리하면 다음의 두 명제 중 적어도 하나를 만족시키는 수열 $f(x_n)$ 이 존재한다.

$$A\supset f(x_n)\to f(x)\in B$$

$$B\supset f(x_n)\to f(x)\in A$$

  증명 초기의 논의에 따르면 $f(I)$ 는 연결집합이므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

  위의 충분한 논의를 바탕으로 사잇값 정리를 쉽게 이끌어낼 수 있다.

 

사잇값 정리 (intermediate value theroem)
  함수 $f:G\to\mathbb{R}$ 이 구간 $E\subset G$ 에서 연속이면 $E$ 에서 사잇값 성질을 갖는다.

 

proof)

  함수 $f$ 가 $E$ 에서 연속이면 연결성의 보존에 따라 $E$ 에서 다르부 성질을 가지며, $E$ 는 구간으로 가정하였으므로 정리 18-1에 따라 $E$ 에서 사잇값 성질을 갖는다.   $\square$

 

 

  사잇값 정리의 역 또한 성립할 것 같지만, 일반적으로 성립하지 않는다. 나중에 다르부 정리를 공부하면 사잇값 성질을 갖기 위한 다른 조건도 알게 된다.

 

  사잇값 정리는 대부분(거의 전부)의 설명에서 아래와 같이 약화된 정리로 소개된다.

 

  연속함수 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 과 임의의 $L\in(f(a),f(b))$ 에 대해 $f(c)=L$ 을 만족하는 $c\in(a,b)$ 가 존재한다.

 

  이는 본 포스팅에 소개된 일반화된 사잇값 정리에서 정의역을 닫힌 구간으로 하고, 연속을 정의역 전체로 하고, 사잇값 성질의 일반적인 성질을 포기하고 정의역 양 끝에 대한 성질로 그 의미를 축소시키면 얻을 수 있는 정리이다.

 

※ 본 포스팅의 내용은 정의역의 일부 구간에서만 연속인 함수에 사잇값 정리를 적용하기 위해 필자가 직접 유도하였다. 나중에 함수열에 대해 공부하면 일부 구간에서만 연속이 보장되는 함수를 공부하게 되는데, 이 경우 협소한 의미의 사잇값 정리를 적용하기가 번거롭기 때문이다.

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

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