[FTC의 엄밀한 증명] ch19. 연쇄법칙

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  본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

20. 연쇄법칙

 

  다음의 정리를 이해하면 미분의 다양한 성질을 매우 빠르게 증명할 수 있다.

 

정리 20-1)  함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 이 $c\in A$ 에서 미분가능한 필요충분조건은 $c$ 에서 연속인 함수 $d_f:A\to\mathbb{R}$ 이 존재하여 다음이 성립하는 것이다.$$(\forall x\in A)\quad f(x)=f(c)+d_f(x)(x-c)$$  여기서 $d_f(c)=Df(c)$ 이다.

 

proof)

  ($\Rightarrow$) : $f$ 가 $c\in A$ 에서 미분가능하면 정리 19-1에 따라 다음이 성립한다.

$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=Df(c)$$

  다음의 함수 $d_f:A\to\mathbb{R}$ 을 정의하자.

$$d_f(x)=\begin{cases}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}&(x\neq c)\\\\Df(c)&(x=c)\end{cases}$$

$$\implies f(x)=f(c)+d_f(x)(x-c)$$

  이때 다음이 성립한다.

$$\lim_{x\to c}d_f(x)=\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=Df(c)=d_f(c)$$

  $c$ 는 $A$ 의 극한점이므로^[각주:1] 정리 14-2(ⅰ)에 따라 $d_f$ 는 $c$ 에서 연속이다. 따라서 원하는 결과를 얻는다.

 

  ($\Leftarrow$) : $c\in A$ 에서 연속인 함수 $d_f:A\to\mathbb{R}$ 이 존재하여 다음이 성립한다고 가정하자.

$$f(x)=f(c)+d_f(x)(x-c)$$

  $d_f$ 는 $c$ 에서 연속이며, $c\in A$ 는 $A$ 의 극한점이므로 정리 14-2(ⅰ)에 따라 다음이 성립한다.

$$\lim_{x\to c}d_f(x)=d_f(c)$$

  이는 다음을 의미한다.

$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists\delta>0)\;(\forall x\in A)$$

$$0<|x-c|<\delta\Rightarrow|d_f(x)-d_f(c)|<\epsilon$$

  위 식에서 $x\neq c$ 이므로 다음이 성립한다.

$$|d_f(x)-d_f(c)|=\left|\frac{f(x)-f(c)}{x-c}-d_f(c)\right|$$

  따라서 다음을 얻는다.

$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=d_f(c)$$

  정리 19-1에 따라 $f$ 는 $c$ 에서 미분가능하며 $d_f(c)=Df(c)$ 이다.   $\square$

 

 

  다음의 정리에서는 매우 잘 알려져있는 결과를 엄밀하게 증명한다.

 

연쇄법칙 (chain rule)
  두 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ , $g:B\to\mathbb{R}$ 를 생각하자. 어떤 $c\in f^{-1}(B)$ 에 대해 $f$ 가 $c$ 에서 미분가능하고 $g$ 가 $f(c)$ 에서 미분가능하면 $g\circ f$ 는 $c$ 에서 미분가능하며 다음이 성립한다.$$D(g\circ f)(c)=Dg\big(f(c)\big)Df(c)$$

 

※ 합성함수의 정의는 15.1. 합성함수의 연속 참고

 

proof)

  $f$ 가 $c$ 에서, $g$ 가 $f(c)$ 에서 미분가능하면 정리 20-1에 따라 각각 $c$ , $f(c)$ 에서 연속인 두 함수 $d_f:A\to\mathbb{R}$ , $d_g:B\to\mathbb{R}$ 이 존재하여 다음이 성립한다.

$$(\forall x\in A)\quad f(x)=f(c)+d_f(x)(x-c)$$

$$(\forall y\in B)\quad g(y)=g\big(f(c)\big)+d_g(y)\big(y-f(c)\big)$$

  임의의 $x\in f^{-1}(B)$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\;g\big(f(x)\big)\\=&\;g\big(f(c)\big)+\textcolor{red}{d_g\big(f(c)+d_f(x)(x-c)\big)d_f(x)}(x-c)\end{align}$$

$$\Leftrightarrow(g\circ f)(x)=(g\circ f)(c)+\textcolor{red}{d_{g\circ f}(x)}(x-c)$$

$$\text{where}\quad d_{g\circ f}(x)=(d_g\circ h)(x)d_f(x)$$

$$\text{where}\quad h(x)=f(c)+d_f(x)(x-c)$$

  $d_f$ 는 $c$ 에서 연속이므로 대수연속정리에 따라 $h$ 도 $c$ 에서 연속이다. $d_g$ 는 $h(c)=f(c)$ 에서 연속이므로 연속함수의 합성에 따라 $d_g\circ h$ 는 $c$ 에서 연속이다. $d_f$ 도 $c$ 에서 연속이므로 대수연속정리에 따라 $d_{g\circ f}$ 도 $c$ 에서 연속이다. 정리 20-1에 따라 $g\circ f$ 는 $c$ 에서 연속이며 다음이 성립한다.

$$\begin{align}D(g\circ f)(c)&=d_{g\circ f}(c)\\&=(d_g\circ h)(c)d_f(c)\\&=d_g\big(h(c)\big)d_f(c)\\&=Dg\big(f(c)\big)Df(c)\tag*{$\square$}\end{align}$$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

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1. 미분가능성은 정의역에 포함되는 정의역의 극한점에서만 정의된다 [본문으로]