[FTC의 엄밀한 증명] ch21. 페르마의 임계점 정리

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  본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

22. 페르마의 임계점 정리

 

  영국의 과학자 뉴턴(Isaac Newton, 1643~1727)은 행성의 운동을 설명하기 위해 미적분학을 발명하였다. 이러한 역사에 선구자가 있으니, 바로 프랑스의 수학자 페르마(Pierre de Fermat, 1607~1665)이다. 페르마는 다음과 같이 말하며 미적분학이 탄생하기 휠씬 전에 임계점 정리를 발견하였다. (마치 산의 정상에서는 더 이상 가파르지 않듯이..)

 

"함수의 극점에서는 함숫값의 변화가 거의 없다"

 

  위의 표현을 해석학의 언어로 명료하게 번역해보자. 먼저 비교할만한 쉬운 정의부터 시작하자.

 

정의)  함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 에 대하여 다음과 같이 정의한다.
  ▶ $x_0\in A$ 가 다음을 만족하면 $x_0$ 을 $f$ 의 최대점(global maximum point), $f(x_0)$ 을 $f$ 의 최댓값(global maximum)이라고 한다.$$(\forall x\in A)\quad f(x_0)\ge f(x)$$  ▶ $x_0\in A$ 가 다음을 만족하면 $x_0$ 을 $f$ 의 최소점(global minimum point), $f(x_0)$ 을 $f$ 의 최솟값(global minimum)이라고 한다.$$(\forall x\in A)\quad f(x_0)\le f(x)$$

 

  위의 정의는 함수의 정의역 전체에 대한 정보를 담고있다. 아래의 정의는 매우 좁은 구간에 흥미를 갖는다.

 

정의)  함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 에 대하여 다음과 같이 정의한다.
  ▶ $x_0\in A$ 가 다음을 만족하면 $x_0$ 을 $f$ 의 극대점(local maximum point), $f(x_0)$ 을 $f$ 의 극댓값(local maximum)이라고 한다.$$(\exists\epsilon>0)\;\big(\forall x\in A\cap B_\epsilon(x_0)\big)\;f(x_0)\ge f(x)$$ ▶ $x_0\in A$ 가 다음을 만족하면 $x_0$ 을 $f$ 의 극소점(local minimum point), $f(x_0)$ 을 $f$ 의 극댓값(local minimum)이라고 한다.$$(\exists\epsilon>0)\;\big(\forall x\in A\cap B_\epsilon(x_0)\big)\;f(x_0)\le f(x)$$  ▶ 극대점과 극소점을 통틀어 극점(local extremum point)이라고 하며, 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값(local extremum)이라고 한다.

 

  기하학적으로, 극점에서 함수의 그래프는 움푹 꺼져있거나 볼록 솟아있다.

 

  다음의 정의는 국소적으로 열린 집합에 포함되는 것과 다름없는 점에 대해 말한다.

 

정의)  집합 $E\subset\mathbb{R}$ 에 대해 다음과 같이 정의한 집합 $E^\circ$ 를 $E$ 의 내부(interior)라고 한다.$$E^\circ:=\big\{x\in E:(\exists\epsilon>0)\;B_\epsilon(x)\subset E\;\big\}$$

 

  열린 집합은 모든 점의 작은 근방이 집합에 포함되는 집합이므로, $E^\circ$ 는 $E$ 의 점 중에서 열린 집합의 점과 동등한 점들의 집합이라고 볼 수 있다. 만약 $E$ 가 처음부터 열린 집합이라면 $E^\circ=E$ 임은 쉽게 알 수 있다.

 

  다음의 정리는 페르마의 임계점 정리이다. 간단하게 임계점 정리 또는 페르마 정리라고도 하며, 영문으로는 아래의 명칭이 잘 알려져있다.

 

페르마의 임계점 정리 (interior extremum theorem)
  함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 가 극점 $c\in A^\circ$ 에서 미분가능하면 $Df(c)=0$ 이다.

 

proof)

  $c\in A^\circ$ 이므로 다음이 성립한다.

$$(\exists\epsilon_1>0)\;B_{\epsilon_1}(c)\subset A\tag{1}$$

  $c$ 는 $f$ 의 극점이므로 $f$ 의 극대점이거나 $f$ 의 극소점이다. 우선 $c$ 가 $f$ 의 극대점이라고 가정하자. 다음이 성립한다.

$$(\exists\epsilon_2>0)\;\big(\forall x\in A\cap B_{\epsilon_2}(c)\big)\;f(c)\ge f(x)\tag{2}$$

  $\epsilon=\text{min}\{\epsilon_1,\epsilon_2\}$ 라고 하자. $B_\epsilon(c)\subset B_{\epsilon_2}(c)$ 이므로 다음이 성립한다.

$$A\cap B_\epsilon(c)\subset A\cap B_{\epsilon_2}(c)\tag{3}$$

  $B_\epsilon(c)\subset B_{\epsilon_1}$ 이며 식 (1)에 따르면 $B_\epsilon(c)\subset A$ 이므로 식 (3)에 대해 다음이 성립한다.

$$B_\epsilon(c)\subset A\cap B_{\epsilon_2}(c)$$

  그러므로 임의의 $x\in B_\epsilon(c)$ 에 대해 $x\in A\cap B_{\epsilon_2}(c)$ 가 성립한다. 식 (2)에 대해 다음과 같다.

$$\big(\forall x\in B_\epsilon(c)\big)\;f(c)\ge f(x)$$

  두 구간 $(c-\epsilon,c)$ , $(c,c+\epsilon)$ 은 $c$ 를 극한점으로 가지므로 다음의 두 수열 $(x_n),(y_n)\subset B_\epsilon(c)$ 가 존재한다. ($\because$ 정리 9.2-1)

$$(c-\epsilon,c)\supset (x_n)\to c\notin (x_n)$$

$$(c,c+\epsilon)\supset (y_n)\to c\notin (y_n)$$

  $f$ 는 $c$ 에서 미분가능하므로 다음이 성립한다.

$$\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=Df(c)$$

  함수의 극한에 대한 수열 판정법에 따라 다음이 성립한다.

$$\frac{f(x_n)-f(c)}{x_n-c}\to Df(c)\tag{4a}$$

$$\frac{f(y_n)-f(c)}{y_n-c}\to Df(c)\tag{5a}$$

  임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $x_n,y_n\in B_\epsilon(c)$ 이므로 $f(c)\ge f(x_n),f(y_n)$ 이며 $x_n\in(c-\epsilon,c)$ , $y_n\in(c,c+\epsilon)$ 이므로 $x_n<c<y_n$ 이다. 따라서 식 (4a), (5a)에서 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\frac{f(x_n)-f(c)}{x_n-c}\ge 0\tag{4b}$$

$$\frac{f(y_n)-f(c)}{y_n-c}\le 0\tag{5b}$$

  순서극한정리에 따르면 식 (4b), (5b) 각각에 대해 다음이 성립한다.

$$Df(c)\ge 0\tag{4c}$$

$$Df(c)\le 0\tag{5c}$$

  정리하면 $Df(c)=0$ 을 얻는다. $c$ 가 $f$ 의 극소점인 경우에도 비슷하게 $Df(c)=0$ 임을 보일 수 있다.   $\square$

 

 

23. 다르부 정리

 

  다르부 정리는 페르마의 임계값 정리의 따름정리로서, 도함수의 특이한 성질을 말한다. 다르부 정리의 유용함은 어떤 함수가 다른 함수의 도함수가 될 수 있는지 없는지를 알려줌으로서 역도함수의 존재성을 알려준다.

 

  먼저 다음의 보조정리를 간단하게 보이자.

 

정리 23-1)  함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 가 $E\subset A$ 에서 다르부 성질을 갖는 필요충분조건은 임의의 연결집합 $I\subset E$ 에서 $f$ 가 다르부 성질을 갖는 것이다.

 

proof)

  ($\Rightarrow$) : $f$ 가 $E$ 에서 다르부 성질을 갖는다고 하자. 임의의 연결집합 $I\subset E$ 를 생각하자. 임의의 연결집합 $J\subset I$ 에 대해 $J\subset E$ 이므로 정의에 따라 $f(J)$ 는 연결집합이다. 따라서 $f$ 는 $I$ 에서 다르부 성질을 갖는다.

 

  ($\Leftarrow$) : 대우 명제를 증명하기 위해 $f$ 가 $E$ 에서 다르부 성질을 갖지 않는다고 하자. 어떤 연결집합 $I\subset E$ 에 대해 $f(I)$ 는 연결집합이 아니다. 이 때 $I\subset I$ 이므로 $f(J)$ 가 연결집합이 아니도록 하는 연결집합 $J\subset I$ 가 $J=I$ 로서 존재한다. 그러므로 $f$ 는 $I$ 에서 다르부 성질을 갖지 않는다.   $\square$

 

 

다르부 정리 (Darboux's theorem)
  모든 도함수는 다르부 함수이다.

 

※ 위의 다르부 정리는 일반적인 결과를 위해 필자가 다소 변형한 정리로, 잘 알려진 다르부 정리와 다소 다르다.

 

proof)

  임의의 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 에 대해 $f$ 가 미분가능한 점의 집합을 $D(f)\subset A$ 라고 하자. $f$ 의 도함수 $Df:D(f)\to\mathbb{R}$ 이 다르부 함수임를 보이기 위해서는 정리 23-1에 따라 임의의 연결집합 $I\subset D(f)$ 에서 $Df$ 가 다르부 성질을 가짐을 보이면 된다. $Df$ 가 $I$ 에서 다르부 성질을 가짐을 보이기 위해서는 정리 18-1에 따라$Df$ 가 $I$ 에서 사잇값 성질을 가짐을 보이면 된다. $Df$ 가 $I$ 에서 사잇값 성질을 가진다는 것은 다음을 의미한다.

$$(\forall a,b\in I)\;\big(Df(a),Df(b)\big)\subset f\big((a,b)\big)\tag{1}$$

  만약 $a=b$ 인 경우 $\big(Df(a),Df(b)\big)$ 는 공집합이므로 위 식이 자명하게 성립한다. $a\neq b$ 일 때를 생각하며, 일반성을 잃지 않고 $a<b$ 라고 가정하자. $Df(a)=Df(b)$ 인 경우에도 $\big(Df(a),Df(b)\big)$ 가 공집합이므로 위 식이 자명하게 성립한다. $Df(a)\neq Df(b)$ 일 때를 생각하자. $Df(a)<Df(b)$ 또는 $Df(a)>Df(b)$ 가 성립한다.

 

  1) $Df(a)<Df(b)$ 라고 가정하자. $\big(Df(a),Df(b)\big)$ 의 임의의 원소 $\alpha$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$Df(a)<\alpha<Df(b)$$

$$\iff Df(a)-\alpha<0<Df(b)-\alpha\tag{2}$$

  $I$ 는 구간이므로 구간의 정의에 따라 $a,b\in I$ 에 대해 $[a,b]\subset I$ 가 성립한다. $[a,b]\subset D(f)$ 이므로 $f$ 는 $[a,b]$ 에서 미분가능하다. 함수 $g(x)=f(x)-\alpha x$ 에 대해 $g$ 도 $[a,b]$ 에서 미분가능하며 $Dg(x)=Df(x)-\alpha$ 이므로 식 (2)는 다음과 같다.

$$Dg(a)<0<Dg(b)\tag{3}$$

  함수는 미분가능한 점에서 연속이므로 $g$ 는 $[a,b]$ 에서 연속이다. $[a,b]$ 는 하이네-보렐 정리에 따라 콤팩트 집합이므로 최대-최소 정리에 따라 $g\big([a,b]\big)$ 는 최솟값을 갖는다. $g(a)$ 와 $g(b)$ 가 $g\big([a,b]\big)$ 의 최솟값이 아님을 보이자.

 

  1-1) $g(a)$ 가 $g\big([a,b]\big)$ 의 최솟값이라고 가정하자. 임의의 $x\in(a,b]$ 에 대해 $g(a)\le g(x)$ 이므로 다음이 성립한다.

$$\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\ge 0$$

  다음의 수열 $(x_n)$ 을 임의로 선택하자.

$$(a,b]\supset (x_n)\to a\notin(x_n)$$

  $\displaystyle\lim_{x\to c}$$\frac{g(x)-g(a)}{x-a}=Dg(a)$ 이므로 함수의 극한에 대한 수열 판정법에 따라 다음이 성립한다.

$$\frac{g(x_n)-g(a)}{x_n-a}\to Dg(a)$$

  함수의 극한에 대한 대수극한정리에 따르면 $Dg(a)\ge 0$ 이며 이는 식 (3)과 모순된다. 따라서 $g(a)$ 는 $g\big([a,b]\big)$ 의 최솟값이 아니다.

 

  1-2) $g(b)$ 가 $g\big([a,b]\big)$ 의 최솟값이라고 가정하자. 임의의 $x\in[a,b)$ 에 대해 $g(b)\le g(x)$ 이므로 다음이 성립한다.

$$\frac{g(x)-g(b)}{x-b}\le 0$$

  다음의 수열 $(x_n)$ 을 임의로 선택하자.

$$[a,b)\supset (x_n)\to b\notin(x_n)$$

  $\displaystyle\lim_{x\to c}$$\frac{g(x)-g(b)}{x-b}=Dg(b)$ 이므로 함수의 극한에 대한 수열 판정법에 따라 다음이 성립한다.

$$\frac{g(x_n)-g(b)}{x_n-b}\to Dg(b)$$

 함수의 극한에 대한 대수극한정리에 따르면 $Dg(b)\le 0$ 이며 이는 식 (3)과 모순된다. 따라서 $g(b)$ 는 $g\big([a,b]\big)$ 의 최솟값이 아니다.

 

  정리하면 어떤 $c\in(a,b)$ 가 존재하여 $g(c)$ 는 $g\big([a,b]\big)$ 의 최솟값이다. 이는 임의의 $x\in[a,b]$ 에 대해 $g(c)\le g(x)$ 를 의미한다. $(a,b)$ 는 열린 집합이므로 ($\because$ 정리 9.1-1) 어떤 $\epsilon>0$ 이 존재하여 $B_\epsilon(c)\subset(a,b)$ 가 성립한다. 이 경우 임의의 $x\in B_\epsilon(c)$ 에 대해 $x\in [a,b]$ 이므로 $g(c)\le g(x)$ 가 성립한다. 이는 $c$ 가 $g$ 의 극소점임을 의미하며 $B_\epsilon(c)\subset A$ 이므로 $c\in A^\circ$ 임을 안다. 페르마의 임계점 정리에 따르면 $Dg(c)=0$ 을 얻는다. 여기서 $Dg(c)=Df(c)-\alpha$ 이므로 $Df(c)=\alpha$ 가 성립하며, 이는 다음을 의미한다.

$$\alpha\in Df\big((a,b)\big)\tag{4}$$

 

  2) $Df(a)>Df(b)$ 라고 가정하여도 1)과 비슷하게 $\big(Df(a),Df(b)\big)$ 의 임의의 원소 $\alpha$ 에 대해 $Df(c)=\alpha$ 이도록 하는 $c\in(a,b)$ 가 존재하여 식 (4)가 성립함을 알 수 있다.

 

  정리하면 $\big(Df(a),Df(b)\big)$ 의 모든 원소는 $f\big((a,b)\big)$ 에 속하므로 식 (1)이 성립한다. 증명 초기의 논의에 따르면 $Df$ 는 다르부 함수이며 $f$ 를 임의로 선택하였으므로 모든 도함수는 다르부 함수이다.   $\square$

 

 

  다르부 정리를 응용하면 다음과 같이 역도함수의 존재성을 판별할 수 있다.

 

  ▷ 다음의 함수 $f:\mathbb{R\to R}$ 에 대해 $Dg=f$ 이도록 하는 함수 $g:\mathbb{R\to R}$ 는 존재하지 않는다.

$$f(x)=\begin{cases}1&(x\ge 0)\\-1&(x<0)\end{cases}$$

 

proof)

  모순을 보이기 위해 어떤 함수 $g:\mathbb{R\to R}$ 가 존재하여 $Dg=f$ 가 성립한다고 가정하자. 다르부 정리에 따라 모든 도함수는 다르부 함수이므로 $f$ 는 다르부 함수이다. 정의에 따라 $f$ 의 정의역에 포함되는 임의의 구간 $I$ 에 대해 $f(I)$ 도 구간이어야 한다. 그러나 구간 $[-2,2]$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$f\big([-2,2]\big)=\{-1,1\}$$

  $\{-1,1\}$ 은 $[-1,1]$ 을 포함하지 못하므로 구간이 아니다. 이는 모순이므로 귀류법에 따라 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

  위의 예시에서 $f$ 의 정의역을 $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ 으로 바꾸면 $Dg=f$ 이도록 하는 함수 $g:\mathbb{R\to R}$ 가 다음과 같이 존재함에 유의하자.

$$g(x)=\begin{cases}x&(x\ge 0)\\-x&(x<0)\end{cases}$$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

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