[FTC의 엄밀한 증명] ch25. 리만 적분의 성질 2

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  본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

27. 리만 적분의 성질 2

 

  리만 적분의 유용한 성질을 증명하기 전에 다음을 보이자.

 

도움정리 27-1a)  공집합이 아니고 위로 유계인 집합 $A$ 에 대해 $s$ 가 $A$ 의 상한일 필요충분조건은 다음의 두 조건이 성립하는 것이다.
  (ⅰ) $s$ 는 $A$ 의 상계이다.
  (ⅱ) 임의의 $b\in\mathbb{R}$ 에 대해 $b<s$ 이면 $b<a$ 를 만족하는 $a\in A$ 가 존재한다.

 

proof)

  상한의 정의에 따르면 $s$ 가 $A$ 의 상한이라는 것은 다음의 두 조건이 성립하는 것을 의미한다.

 

  (ⅰ) $s$ 는 $A$ 의 상계이다.

  (ⅱ) $A$ 의 임의의 상계 $b$ 에 대해 $s\le b$ 이다.

 

  조건 (ⅱ)를 다시 말하자면 다음과 같다. 임의의 $b\in\mathbb{R}$ 에 대해, 임의의 $a\in A$ 에 대해 $a\le b$ 가 성립하면 $s\le b$ 이다. 빨간색으로 칠한 명제에 대우를 취하면 $b<s$ 이면 어떤 $a\in A$ 에 대해 $b<a$ 가 성립하는 것이므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

  위의 정리와 비슷하게 다음의 결론을 쉽게 얻을 수 있다. 증명은 동일하므로 생략한다.

 

도움정리 27-1b)  공집합이 아니고 아래로 유계인 집합 $A\subset\mathbb{R}$ 에 대해 $s$ 가 $A$ 의 하한일 필요충분조건은 다음의 두 조건이 성립하는 것이다.
  (ⅰ) $s$ 는 $A$ 의 하계이다.
  (ⅱ) 임의의 $b\in\mathbb{R}$ 에 대해 $s<b$ 이면 $a<b$ 를 만족하는 $a\in A$ 가 존재한다.

 

  위의 논의로부터 다음의 도움정리를 유도할 수 있다.

 

도움정리 27-2)  공집합이 아니고 유계인 집합 $A\subset\mathbb{R}$ 와 임의의 $c\in\mathbb{R}$ 에 대해 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $c>0$ 이면 다음이 성립한다.$$\text{sup}\;cA=c\;\text{sup}\;A\quad\text{inf}\;cA=c\;\text{inf}\;A$$  (ⅱ) $c<0$ 이면 다음이 성립한다.$$\text{sup}\;cA=c\;\text{inf}\;A\quad\text{inf}\;cA=c\;\text{sup}\;A$$

 

proof)

  (ⅰ) : $c>0$ 일때 $c\;\text{sup}\;A$ 가 $cA$ 의 상한임을 보이자. 도움정리 27-1a에 따라 다음을 보이면 된다.

 

  1. $c\;\text{sup}\;A$ 는 $cA$ 의 상계이다.

  2. 임의의 $b\in\mathbb{R}$ 에 대해 $b<c\;\text{sup}\;A$ 이면 $b<ca$ 를 만족하는 $ca\in cA$ 가 존재한다.

 

  임의의 $a\in A$ 에 대해 $a\le \text{sup}\;A$ 이므로 $ca\le c\;\text{inf}\;A$ 가 성립한다. 따라서 $c\;\text{sup}\;A$ 는 $cA$ 의 상계이다.

 

  $b<c\;\text{inf}\;A$ 를 만족하는 임의의 $b\in\mathbb{R}$ 에 대해 $\frac{b}{c}<\text{sup}\;A$ 이며 $\text{sup}\;A$ 는 $A$ 의 최소상계이므로 $\frac{b}{c}$ 는 $A$ 의 상계가 아니다. 따라서 $\frac{b}{c}<a$ 를 만족하는 $a\in A$ 가 존재한다. $b<ca$ 이므로 원하는 결과를 얻는다.

 

  정리하면 $c\;\text{sup}\;A$ 는 $cA$ 의 상한이므로 $\text{sup}\;cA=c\;\text{sup}\;A$ 가 성립한다. 비슷하게 $c\;\text{inf}\;A$ 가 $cA$ 의 하한임을 보일 수 있다. (증명 생략)

 

  (ⅱ) : $c<0$ 일때 $c\;\text{inf}\;A$ 가 $cA$ 의 상한임을 보이자. 도움정리 27-1a에 따라 다음을 보이면 된다.

 

  1. $c\;\text{inf}\;A$ 는 $cA$ 의 상계이다.

  2. 임의의 $b\in\mathbb{R}$ 에 대해 $b<c\;\text{inf}\;A$ 이면 $b<ca$ 를 만족하는 $ca\in cA$ 가 존재한다.

 

  임의의 $a\in A$ 에 대해 $\text{inf}\;A\le a$ 이므로 $ca\le c\;\text{inf}\;A$ 가 성립한다. 따라서 $c\;\text{inf}\;A$ 는 $cA$ 의 상계이다.

 

  $b<c\;\text{inf}\;A$ 를 만족하는 임의의 $b\in\mathbb{R}$ 에 대해 $\text{inf}\;A<\frac{b}{c}$ 이며 $\text{inf}\;A$ 는 $A$ 의 최대하계이므로 $\frac{b}{c}$ 는 $A$ 의 하계가 아니다. 따라서 $a<\frac{b}{c}$ 를 만족하는 $a\in A$ 가 존재한다. $b<ca$ 이므로 원하는 결과를 얻는다.

 

  정리하면 $c\;\text{inf}\;A$ 는 $cA$ 의 상한이므로 $\text{sup}\;cA=c\;\text{inf}\;A$ 가 성립한다. 비슷하게 $c\;\text{sup}\;A$ 가 $cA$ 의 하한임을 보일 수 있다. (증명생략)   $\square$

 

 

도움정리 27-3)  공집합이 아니고 유계인 두 집합 $A,B\subset A$ 에 대해 다음이 성립한다.$$\text{sup}\;(A+B)\le\text{sup}\;A+\text{sup}\;B$$$$\text{inf}\;(A+B)\ge\text{inf}\;A+\text{inf}\;B$$

 

proof)

  임의의 $a\in A$ , $b\in B$ 에 대해 다음과 같다.

$$\text{inf}\;A\le a\le\text{sup}\;A$$

$$\text{inf}\;A\le b\le\text{sup}\;B$$

  따라서 다음이 성립한다.

$$\text{inf}\;A+\text{inf}\;B\le a+b\le\text{sup}\;A+\text{sup}\;B$$

  그러므로 $\text{inf}\;A+\text{inf}\;B$ , $\text{sup}\;A+\text{sup}\;B$ 는 각각 $A+B$ 의 하계와 상계이다. $\text{inf}\;(A+B)$ , $\text{sup}\;(A+B)$ 는 각각 $A+B$ 의 최대하계, 최소상계이므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

도움정리 27-4)  공집합이 아니고 유계인 집합 $A\subset\mathbb{R}$ 에 대해 집합 $A_H$ 를 다음과 같이 정의하자.$$A_H=\{|x-y|:x,y\in A\}$$  $A_H$ 는 위로 유계이며 다음이 성립한다.$$\text{sup}\;A_H=\text{sup}\;A-\text{inf}\;A$$

 

proof)

  임의의 $x,y\in A$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\text{inf}\;A\le x\le\text{sup}\;A$$

$$\text{inf}\;A\le y\le\text{sup}\;A$$

  따라서 다음이 성립한다.

$$\text{inf}\;A-\text{sup}\;A\le x-y\le\text{sup}\;A-\text{inf}\;A$$

$$\therefore|x-y|\le\text{sup}\;A-\text{inf}\;A$$

  따라서 $\text{sup}\;A-\text{inf}\;A$ 는 $A_H$ 의 상계이므로 $A_H$ 는 위로 유계이다. 완비성 공리에 따라 $\text{sup}\;A_H$ 가 존재한다. 다음을 만족하는 임의의 $b\in\mathbb{R}$ 을 생각하자.

$$b<\text{sup}\;A-\text{inf}\;A$$

  다음이 성립한다.

$$b+\text{inf}\;A<\text{sup}\;A$$

  $\text{sup}\;A$ 는 $A$ 의 최소상계이므로 $b+\text{inf}\;A$ 는 $A$ 의 상계가 아니다. 따라서 $b+\text{inf}\;A<x$ 를 만족하는 $x\in A$ 가 존재한다. 한편 $\text{inf}\;A<x-b$ 이며 $\text{inf}\;A$ 는 $A$ 의 최대하계이므로 $x-b$ 는 $A$ 의 하계가 아니다. 따라서 $y<x-b$ 를 만족하는 $y\in A$ 가 존재한다. 다음이 성립한다.

$$b<x-y\le|x-y|$$

  $|x-y|\in A_H$ 이므로 도움정리 27-1a에 따라 다음이 성립함을 안다.

$$\text{sup}\;A_H=\text{sup}\;A-\text{inf}\;A\tag*{$\square$}$$

 

 

  아래에서 소개하는 리만 적분의 기본 성질은 이후 논의에서 요긴하게 사용된다.

 

정리 27-5)  $[a,b]$ 에서 리만 적분가능한 함수 $f,g$ 에 대해 다음이 성립한다.
  (ⅰ) 모든 $c\in\mathbb{R}$ 에 대해 cf 는 $[a,b]$ 에서 리만 적분가능하며 다음이 성립한다.$$\int_{[a,b]}cf=c\int_{[a,b]}f$$  (ⅱ) 함수 $f+g$ 는 $[a,b]$ 에서 리만 적분가능하며 다음이 성립한다.$$\int_{[a,b]}(f+g)=\int_{[a,b]}f+\int_{[a,b]}g$$  (ⅲ) 임의의 $x\in[a,b]$ 에 대해 $m\le f(x)\le M$ 이면 다음이 성립한다.$$m(b-a)\le\int_{[a,b]}f\le M(b-a)$$  (ⅳ) 임의의 $x\in[a,b]$ 에 대해 $f(x)\le g(x)$ 이면 다음이 성립한다.$$\int_{[a,b]}f\le\int_{[a,b]}g$$  (ⅴ) 함수 $|f|$ 는 $[a,b]$ 에서 리만 적분가능하며 다음이 성립한다.$$\left|\int_{[a,b]}f\;\right|\le\int_{[a,b]}|f|$$

 

proof)

  (ⅰ) : $c=0$ 이면 정리가 자명하게 성립한다. $c>0$ 이라고 가정하자. $f$ 는 $[a,b]$ 에서 리만 적분가능하므로 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 리만 적분 판정법에 따라 다음을 만족하는 $[a,b]$ 의 분할 $P$ 가 존재한다.

$$U(f,P)-L(f,P)<\frac{\epsilon}{c}\tag{1}$$

  정의에 따라 다음과 같다.

$$U(cf,P)=\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;cf\right)(x_k-x_{k-1})$$

$$L(cf,P)=\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;cf\right)(x_k-x_{k-1})$$

  이때 도움정리 27-2에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{align}\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;cf&=\text{sup}\;\{cf(x):x\in[x_{k-1},x_k]\}\\&=\text{sup}\;c\{f(x):x\in[x_{k-1},x_k]\}\\&=c\;\text{sup}\;\{f(x):x\in[x_{k-1},x_k]\}\\&=c\;\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;f\end{align}$$

$$\begin{align}\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;cf&=\text{inf}\;\{cf(x):x\in[x_{k-1},x_k]\}\\&=\text{inf}\;c\{f(x):x\in[x_{k-1},x_k]\}\\&=c\;\text{inf}\;\{f(x):x\in[x_{k-1},x_k]\}\\&=c\;\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;f\end{align}$$

  따라서 다음이 성립한다.

$$\begin{align}U(cf,P)&=\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;cf\right)(x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\left(c\;\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\\&=c\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\\&=c\;U(f,P)\end{align}$$

$$\begin{align}L(cf,P)&=\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;cf\right)(x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\left(c\;\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\\&=c\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\\&=c\;L(f,P)\end{align}$$

  식 (1)에 따라 다음을 얻는다.

$$\begin{align}\epsilon&>c\;U(f,P)-c\;L(f,P)\\&=U(cf,P)-L(cf,P)\end{align}$$

  리만 적분 판정법에 따라 $cf$ 는 $[a,b]$ 에서 리만 적분가능하다. 이어서 다음이 성립함을 보이자.

$$\int_{[a,b]}cf=c\int_{[a,b]}f$$

  다음이 성립한다.

$$\begin{align}\int_{[a,b]}cf&\le U(cf,P)\\&<L(cf,P)+\epsilon\\&=c\;L(f,P)+\epsilon\\&<c\int_{[a,b]}f+\epsilon\end{align}$$

$$\begin{align}c\int_{[a,b]}f&\le c\;U(f,P)\\&=U(cf,P)\\&<L(cf,P)+\epsilon\\&\le\int_{[a,b]}cf+\epsilon\end{align}$$

  정리하면 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 다음의 두 부등식이 성립한다.

$$\int_{[a,b]}cf-c\int_{[a,b]}f<\epsilon$$

$$c\int_{[a,b]}f-\int_{[a,b]}cf<\epsilon$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다. (자세한 과정은 정리 26-1의 마지막 참고)

 

  $c<0$ 라고 가정하자. $f$ 는 $[a,b]$ 에서 리만 적분가능하므로 리만 적분 판정법에 따라 임의의 $\epsilon>0$ 에 따라 다음을 만족하는 $[a,b]$ 의 분할 $P$ 가 존재한다.

$$U(f,P)-L(f,P)<\frac{\epsilon}{-c}\tag{2}$$

  정의에 따라 다음과 같다.

$$U(cf,P)=\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;cf\right)(x_k-x_{k-1})$$

$$L(cf,P)=\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;cf\right)(x_k-x_{k-1})$$

  이때 도움정리 27-2에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{align}\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;cf&=\text{sup}\;\{cf(x):x\in[x_{k-1},x_k]\}\\&=\text{sup}\;c\{f(x):x\in[x_{k-1},x_k]\}\\&=c\;\text{inf}\;\{f(x):x\in[x_{k-1},x_k]\}\\&=c\;\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;f\end{align}$$

$$\begin{align}\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;cf&=\text{inf}\;\{cf(x):x\in[x_{k-1},x_k]\}\\&=\text{inf}\;c\{f(x):x\in[x_{k-1},x_k]\}\\&=c\;\text{sup}\;\{f(x):x\in[x_{k-1},x_k]\}\\&=c\;\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;f\end{align}$$

  따라서 다음이 성립한다.

$$\begin{align}U(cf,P)&=\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;cf\right)(x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\left(c\;\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\\&=c\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\\&=c\;L(f,P)\end{align}$$

$$\begin{align}L(cf,P)&=\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;cf\right)(x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\left(c\;\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\\&=c\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\\&=c\;U(f,P)\end{align}$$

  식 (2)에 따라 다음을 얻는다.

$$\begin{align}\epsilon&>c\;L(f,P)-c\;U(f,P)\\&=U(cf,P)-L(cf,P)\end{align}$$

  리만 적분 판정법에 따라 $cf$ 는 $[a,b]$ 에서 리만 적분가능하다. 이어서 다음이 성립함을 보이자.

$$\int_{[a,b]}cf=c\int_{[a,b]}f$$

  다음이 성립한다.

$$\begin{align}\int_{[a,b]}cf&\le U(cf,P)\\&<L(cf,P)+\epsilon\\&=c\;U(f,P)+\epsilon\\&<c\int_{[a,b]}f+\epsilon\end{align}$$

$$\begin{align}c\int_{[a,b]}f&\le c\;L(f,P)\\&=U(cf,P)\\&<L(cf,P)+\epsilon\\&\le\int_{[a,b]}cf+\epsilon\end{align}$$

  정리하면 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 다음의 두 부등식이 성립한다.

$$\int_{[a,b]}cf-c\int_{[a,b]}f<\epsilon$$

$$c\int_{[a,b]}f-\int_{[a,b]}cf<\epsilon$$

  마찬가지로 원하는 결과를 얻는다.

  { (ⅰ) $\square$ }

 

  (ⅱ) : $f,g$ 는 $[a,b]$ 에서 리만 적분가능하므로 리만 적분 판정법에 따라 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 다음을 만족하는 $[a,b]$ 의 분할 $P_1,P_2$ 가 존재한다.

$$U(f,P_1)-L(f,P_1)<\frac{\epsilon}{2}$$

$$U(g,P_2)-L(g,P_2)<\frac{\epsilon}{2}$$

  $P=P_1\cup P_2$ 라고 하면 $P$ 는 $P_1,P_2$ 의 세분이므로 정리 25-2에 따라 다음이 성립한다.

$$U(f,P)-L(f,P)\le U(f,P_1)-L(f,P_1)$$

$$U(g,P)-L(g,P)\le U(g,P_2)-L(g,P_2)$$

  따라서 다음이 성립한다.

$$U(f,P)-L(f,P)<\frac{\epsilon}{2}$$

$$U(g,P)-L(g,P)<\frac{\epsilon}{2}$$

$$\therefore\Big(U(f,P)\!+\!U(g,P)\Big)\!-\!\Big(L(f,P)\!+\!L(g,P)\Big)\!<\epsilon\tag{3}$$

  정의에 따라 다음과 같다.

$$U(f+g,P)=\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;(f+g)\right)(x_k-x_{k-1})$$

$$L(f+g,P)=\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;(f+g)\right)(x_k-x_{k-1})$$

  이때 도움정리 27-3에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\;\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;(f+g)\\=&\;\text{sup}\;\{f(x)+g(x):x\in[x_{k-1},x_k]\}\\=&\;\text{sup}\;\Big(\{f(x):x\in[x_{k-1},x_k]\}+\{g(x):x\in[x_{k-1},x_k]\}\Big)\\\le&\;\text{sup}\;\{f(x):x\in[x_{k-1},x_k]\}+\text{sup}\;\{g(x):x\in[x_{k-1},x_k]\}\\=&\;\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;f+\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;g\end{align}$$

$$\begin{align}&\;\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;(f+g)\\=&\;\text{inf}\;\{f(x)+g(x):x\in[x_{k-1},x_k]\}\\=&\;\text{inf}\;\Big(\{f(x):x\in[x_{k-1},x_k]\}+\{g(x):x\in[x_{k-1},x_k]\}\Big)\\\ge&\;\text{inf}\;\{f(x):x\in[x_{k-1},x_k]\}+\text{inf}\;\{g(x):x\in[x_{k-1},x_k]\}\\=&\;\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;f+\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;g\end{align}$$

  따라서 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\;U(f+g,P)\\=&\;\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;(f+g)\right)(x_k-x_{k-1})\\\le&\;\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;f+\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;g\right)(x_k-x_{k-1})\\=&\;\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\\&+\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;g\right)(x_k-x_{k-1})\\=&\;U(f,P)+U(g,P)\end{align}$$

$$\begin{align}&\;L(f+g,P)\\=&\;\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;(f+g)\right)(x_k-x_{k-1})\\\ge&\;\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;f+\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;g\right)(x_k-x_{k-1})\\=&\;\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\\&+\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;g\right)(x_k-x_{k-1})\\=&\;L(f,P)+L(g,P)\end{align}$$

  정리하면 식 (3)에 따라 다음이 성립한다.

$$U(f+g,P)-L(f+g,P)<\epsilon$$

  리만 적분 판정법에 따라 $f+g$ 는 $[a,b]$ 에서 리만 적분가능하다. 이어서 다음이 성립함을 보이자.

$$\int_{[a,b]}(f+g)=\int_{[a,b]}f+\int_{[a,b]}g$$

  다음이 성립한다.

$$\begin{align}\int_{[a,b]}(f+g)&\le U(f+g,P)\\&\le U(f,P)+U(g,P)\\&<L(f,P)+L(g,P)+\epsilon\\&\le\int_{[a,b]}f+\int_{[a,b]}g+\epsilon\end{align}$$

$$\begin{align}\int_{[a,b]}f+\int_{[a,b]}g&\le U(f,P)+U(g,P)\\&<L(f,P)+L(g,P)+\epsilon\\&\le L(f+g,P)+\epsilon\\&\le\int_{[a,b]}(f+g)+\epsilon\end{align}$$

  정리하면 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 다음의 두 부등식이 성립한다.

$$\int_{[a,b]}(f+g)-\left(\int_{[a,b]}f+\int_{[a,b]}g\right)<\epsilon$$

$$\left(\int_{[a,b]}f+\int_{[a,b]}g\right)-\int_{[a,b]}(f+g)<\epsilon$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.

  { (ⅱ) $\square$ }

 

  (ⅲ) : $[a,b]$ 의 임의의 분할 $P$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$L(f,P)\le\int_{[a,b]}f\le U(f,P)$$

  특히 $P=\{a,b\}$ 라고 하면 다음이 성립한다.

$$L(f,P)=\left(\underset{[a,b]}{\text{inf}}\;f\right)(b-a)$$

$$U(f,P)=\left(\underset{[a,b]}{\text{sup}}\;f\right)(b-a)$$

  전제에 따라 $m$ , $M$ 은 각각 $\{f(x):x\in[a,b]\}$ 의 하계, 상계이므로 다음이 성립한다.

$$m\le\underset{[a,b]}{\text{inf}}\;f\qquad\underset{[a,b]}{\text{sup}}\;f\le M$$

  양변에 $b-a$ 를 곱하면 다음을 얻는다.

$$m(b-a)\le L(f,P)\qquad U(f,P)\le M(b-a)$$

  정리하면 다음과 같다.

$$m(b-a)\le L(f,P)\le\int_{[a,b]}f$$

$$\int_{[a,b]}f\le U(f,P)\le M(b-a)$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.

  { (ⅲ) $\square$ }

 

  (ⅳ) : $f,g$ 는 $[a,b]$ 에서 리만 적분가능하며 $f+(-1)g=f-g$ 는 본 정리의 (ⅰ), (ⅱ)에 따라 $[a,b]$ 에서 리만 적분가능하다. 특히 다음이 성립한다.

$$\begin{align}\int_{[a,b]}(f-g)&=\int_{[a,b]}\Big(f+(-1)g\Big)\\&=\int_{[a,b]}f+\int_{[a,b]}(-1)g\\&=\int_{[a,b]}f+(-1)\int_{[a,b]}g\\&=\int_{[a,b]}f-\int_{[a,b]}g\end{align}$$

  전제에서 임의의 $x\in[a,b]$ 에 대해 $f(x)-g(x)\le 0$ 이므로 본 정리의 (ⅲ)에 따라 다음이 성립한다.

$$\int_{[a,b]}f-\int_{[a,b]}g=\int_{[a,b]}(f-g)\le 0$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.

  { (ⅳ) $\square$ }

 

  (ⅴ) : $f$ 가 $[a,b]$ 에서 리만 적분가능하므로 리만 적분 판정법에 따라 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 다음을 만족하는 $[a,b]$ 의 분할 $P$ 가 존재한다.

$$U(f,P)-L(f,P)<\epsilon\tag{4}$$

  정의에 따라 다음과 같다.

$$U(f,P)=\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})$$

$$L(f,P)=\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})$$

$$U(|f|,P)=\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;|f|\right)(x_k-x_{k-1})$$

$$L(|f|,P)=\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;|f|\right)(x_k-x_{k-1})$$

  도움정리 27-4에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\;\text{sup}\;\left\{\Big|f(x)-f(y)\Big|:x,y\in[x_{k-1},x_k]\right\}\\=&\;\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;f-\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;f\end{align}$$

$$\begin{align}&\;\text{sup}\;\left\{\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|:x,y\in[x_{k-1},x_k]\right\}\\=&\;\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;|f|-\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;|f|\end{align}$$

  이때, 임의의 $x,y\in[x_{k-1},x_k]$ 에 대해 역삼각 부등식에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\;\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|\\\le&\;|f(x)-f(y)|\\\le&\;\text{sup}\;\left\{\Big|f(x)-f(y)\Big|:x,y\in[x_{k-1},x_k]\right\}\end{align}$$

  위 식은 $\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|$ 의 집합의 상계에 대해 말한다. 따라서 다음이 성립한다.

$$\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;|f|-\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;|f|\le\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;f-\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;f$$

  이때 다음과 같다.

$$\begin{align}&\;U(|f|,P)-L(|f|,P)\\=&\;\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;|f|-\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;|f|\right)(x_k-x_{k-1})\\\le&\;\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;f-\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\\=&\;U(f,P)-L(f,P)\end{align}$$

  정리하면 식 (4)에 따라 다음이 성립한다.

$$U(|f|,P)-L(|f|,P)<\epsilon$$

  리만 적분 판정법에 따라 $|f|$ 는 $[a,b]$ 에 리만 적분가능하다. 이어서 다음이 성립함을 보이자.

$$\left|\int_{[a,b]}f\;\right|\le\int_{[a,b]}|f|$$

  임의의 $x\in[a,b]$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$-|f(x)|\le f(x)\le|f(x)|$$

  그러므로 본 정리의 (ⅳ)에 따라 다음이 성립한다.

$$\int_{[a,b]}(-1)|f|\le\int_{[a,b]}f\le\int_{[a,b]}|f|$$

  본 정리의 (ⅰ)에 따라 $\int_{[a,b]}(-1)|f|=-\int_{[a,b]}|f|$ 이므로 다음을 얻는다.

$$-\int_{[a,b]}|f|\le\int_{[a,b]}f\le\int_{[a,b]}|f|$$

  따라서 다음을 얻는다.

$$\left|\int_{[a,b]}f\right|\le\int_{[a,b]}|f|$$

  { (ⅴ) $\square$ }

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

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