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[FTC의 엄밀한 증명] ch25. 리만 적분의 성질 2

김한결 2022. 3. 24. 02:31

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  본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

27. 리만 적분의 성질 2

 

  리만 적분의 유용한 성질을 증명하기 전에 다음을 보이자.

 

도움정리 27-1a)  공집합이 아니고 위로 유계인 집합 A 에 대해 s 가 A 의 상한일 필요충분조건은 다음의 두 조건이 성립하는 것이다.
  (ⅰ) s 는 A 의 상계이다.
  (ⅱ) 임의의 b∈R 에 대해 b<s 이면 b<a 를 만족하는 a∈A 가 존재한다.

 

proof)

  상한의 정의에 따르면 s 가 A 의 상한이라는 것은 다음의 두 조건이 성립하는 것을 의미한다.

 

  (ⅰ) s 는 A 의 상계이다.

  (ⅱ) A 의 임의의 상계 b 에 대해 s≤b 이다.

 

  조건 (ⅱ)를 다시 말하자면 다음과 같다. 임의의 b∈R 에 대해, 임의의 a∈A 에 대해 a≤b 가 성립하면 s≤b 이다. 빨간색으로 칠한 명제에 대우를 취하면 b<s 이면 어떤 a∈A 에 대해 b<a 가 성립하는 것이므로 원하는 결과를 얻는다.   ◻

 

 

  위의 정리와 비슷하게 다음의 결론을 쉽게 얻을 수 있다. 증명은 동일하므로 생략한다.

 

도움정리 27-1b)  공집합이 아니고 아래로 유계인 집합 A⊂R 에 대해 s 가 A 의 하한일 필요충분조건은 다음의 두 조건이 성립하는 것이다.
  (ⅰ) s 는 A 의 하계이다.
  (ⅱ) 임의의 b∈R 에 대해 s<b 이면 a<b 를 만족하는 a∈A 가 존재한다.

 

  위의 논의로부터 다음의 도움정리를 유도할 수 있다.

 

도움정리 27-2)  공집합이 아니고 유계인 집합 A⊂R 와 임의의 c∈R 에 대해 다음이 성립한다.
  (ⅰ) c>0 이면 다음이 성립한다.supcA=csupAinfcA=cinfA  (ⅱ) c<0 이면 다음이 성립한다.supcA=cinfAinfcA=csupA

 

proof)

  (ⅰ) : c>0 일때 csupA 가 cA 의 상한임을 보이자. 도움정리 27-1a에 따라 다음을 보이면 된다.

 

  1. csupA 는 cA 의 상계이다.

  2. 임의의 b∈R 에 대해 b<csupA 이면 b<ca 를 만족하는 ca∈cA 가 존재한다.

 

  임의의 a∈A 에 대해 a≤supA 이므로 ca≤cinfA 가 성립한다. 따라서 csupA 는 cA 의 상계이다.

 

  b<cinfA 를 만족하는 임의의 b∈R 에 대해 bc<supA 이며 supA 는 A 의 최소상계이므로 bc 는 A 의 상계가 아니다. 따라서 bc<a 를 만족하는 a∈A 가 존재한다. b<ca 이므로 원하는 결과를 얻는다.

 

  정리하면 csupA 는 cA 의 상한이므로 supcA=csupA 가 성립한다. 비슷하게 cinfA 가 cA 의 하한임을 보일 수 있다. (증명 생략)

 

  (ⅱ) : c<0 일때 cinfA 가 cA 의 상한임을 보이자. 도움정리 27-1a에 따라 다음을 보이면 된다.

 

  1. cinfA 는 cA 의 상계이다.

  2. 임의의 b∈R 에 대해 b<cinfA 이면 b<ca 를 만족하는 ca∈cA 가 존재한다.

 

  임의의 a∈A 에 대해 infA≤a 이므로 ca≤cinfA 가 성립한다. 따라서 cinfA 는 cA 의 상계이다.

 

  b<cinfA 를 만족하는 임의의 b∈R 에 대해 infA<bc 이며 infA 는 A 의 최대하계이므로 bc 는 A 의 하계가 아니다. 따라서 a<bc 를 만족하는 a∈A 가 존재한다. b<ca 이므로 원하는 결과를 얻는다.

 

  정리하면 cinfA 는 cA 의 상한이므로 supcA=cinfA 가 성립한다. 비슷하게 csupA 가 cA 의 하한임을 보일 수 있다. (증명생략)   ◻

 

 

도움정리 27-3)  공집합이 아니고 유계인 두 집합 A,B⊂A 에 대해 다음이 성립한다.sup(A+B)≤supA+supBinf(A+B)≥infA+infB

 

proof)

  임의의 a∈A , b∈B 에 대해 다음과 같다.

infA≤a≤supA

infA≤b≤supB

  따라서 다음이 성립한다.

infA+infB≤a+b≤supA+supB

  그러므로 infA+infB , supA+supB 는 각각 A+B 의 하계와 상계이다. inf(A+B) , sup(A+B) 는 각각 A+B 의 최대하계, 최소상계이므로 원하는 결과를 얻는다.   ◻

 

 

도움정리 27-4)  공집합이 아니고 유계인 집합 A⊂R 에 대해 집합 AH 를 다음과 같이 정의하자.AH={|x−y|:x,y∈A}  AH 는 위로 유계이며 다음이 성립한다.supAH=supA−infA

 

proof)

  임의의 x,y∈A 에 대해 다음이 성립한다.

infA≤x≤supA

infA≤y≤supA

  따라서 다음이 성립한다.

infA−supA≤x−y≤supA−infA

∴|x−y|≤supA−infA

  따라서 supA−infA 는 AH 의 상계이므로 AH 는 위로 유계이다. 완비성 공리에 따라 supAH 가 존재한다. 다음을 만족하는 임의의 b∈R 을 생각하자.

b<supA−infA

  다음이 성립한다.

b+infA<supA

  supA 는 A 의 최소상계이므로 b+infA 는 A 의 상계가 아니다. 따라서 b+infA<x 를 만족하는 x∈A 가 존재한다. 한편 infA<x−b 이며 infA 는 A 의 최대하계이므로 x−b 는 A 의 하계가 아니다. 따라서 y<x−b 를 만족하는 y∈A 가 존재한다. 다음이 성립한다.

b<x−y≤|x−y|

  |x−y|∈AH 이므로 도움정리 27-1a에 따라 다음이 성립함을 안다.

◻supAH=supA−infA

 

 

  아래에서 소개하는 리만 적분의 기본 성질은 이후 논의에서 요긴하게 사용된다.

 

정리 27-5)  [a,b] 에서 리만 적분가능한 함수 f,g 에 대해 다음이 성립한다.
  (ⅰ) 모든 c∈R 에 대해 cf 는 [a,b] 에서 리만 적분가능하며 다음이 성립한다.∫[a,b]cf=c∫[a,b]f  (ⅱ) 함수 f+g 는 [a,b] 에서 리만 적분가능하며 다음이 성립한다.∫[a,b](f+g)=∫[a,b]f+∫[a,b]g  (ⅲ) 임의의 x∈[a,b] 에 대해 m≤f(x)≤M 이면 다음이 성립한다.m(b−a)≤∫[a,b]f≤M(b−a)  (ⅳ) 임의의 x∈[a,b] 에 대해 f(x)≤g(x) 이면 다음이 성립한다.∫[a,b]f≤∫[a,b]g  (ⅴ) 함수 |f| 는 [a,b] 에서 리만 적분가능하며 다음이 성립한다.|∫[a,b]f|≤∫[a,b]|f|

 

proof)

  (ⅰ) : c=0 이면 정리가 자명하게 성립한다. c>0 이라고 가정하자. f 는 [a,b] 에서 리만 적분가능하므로 임의의 ϵ>0 에 대해 리만 적분 판정법에 따라 다음을 만족하는 [a,b] 의 분할 P 가 존재한다.

(1)U(f,P)−L(f,P)<ϵc

  정의에 따라 다음과 같다.

U(cf,P)=∑k=1n(sup[xk−1,xk]cf)(xk−xk−1)

L(cf,P)=∑k=1n(inf[xk−1,xk]cf)(xk−xk−1)

  이때 도움정리 27-2에 따라 다음이 성립한다.

sup[xk−1,xk]cf=sup{cf(x):x∈[xk−1,xk]}=supc{f(x):x∈[xk−1,xk]}=csup{f(x):x∈[xk−1,xk]}=csup[xk−1,xk]f

inf[xk−1,xk]cf=inf{cf(x):x∈[xk−1,xk]}=infc{f(x):x∈[xk−1,xk]}=cinf{f(x):x∈[xk−1,xk]}=cinf[xk−1,xk]f

  따라서 다음이 성립한다.

U(cf,P)=∑k=1n(sup[xk−1,xk]cf)(xk−xk−1)=∑k=1n(csup[xk−1,xk]f)(xk−xk−1)=c∑k=1n(sup[xk−1,xk]f)(xk−xk−1)=cU(f,P)

L(cf,P)=∑k=1n(inf[xk−1,xk]cf)(xk−xk−1)=∑k=1n(cinf[xk−1,xk]f)(xk−xk−1)=c∑k=1n(inf[xk−1,xk]f)(xk−xk−1)=cL(f,P)

  식 (1)에 따라 다음을 얻는다.

ϵ>cU(f,P)−cL(f,P)=U(cf,P)−L(cf,P)

  리만 적분 판정법에 따라 cf 는 [a,b] 에서 리만 적분가능하다. 이어서 다음이 성립함을 보이자.

∫[a,b]cf=c∫[a,b]f

  다음이 성립한다.

∫[a,b]cf≤U(cf,P)<L(cf,P)+ϵ=cL(f,P)+ϵ<c∫[a,b]f+ϵ

c∫[a,b]f≤cU(f,P)=U(cf,P)<L(cf,P)+ϵ≤∫[a,b]cf+ϵ

  정리하면 임의의 ϵ>0 에 대해 다음의 두 부등식이 성립한다.

∫[a,b]cf−c∫[a,b]f<ϵ

c∫[a,b]f−∫[a,b]cf<ϵ

  따라서 원하는 결과를 얻는다. (자세한 과정은 정리 26-1의 마지막 참고)

 

  c<0 라고 가정하자. f 는 [a,b] 에서 리만 적분가능하므로 리만 적분 판정법에 따라 임의의 ϵ>0 에 따라 다음을 만족하는 [a,b] 의 분할 P 가 존재한다.

(2)U(f,P)−L(f,P)<ϵ−c

  정의에 따라 다음과 같다.

U(cf,P)=∑k=1n(sup[xk−1,xk]cf)(xk−xk−1)

L(cf,P)=∑k=1n(inf[xk−1,xk]cf)(xk−xk−1)

  이때 도움정리 27-2에 따라 다음이 성립한다.

sup[xk−1,xk]cf=sup{cf(x):x∈[xk−1,xk]}=supc{f(x):x∈[xk−1,xk]}=cinf{f(x):x∈[xk−1,xk]}=cinf[xk−1,xk]f

inf[xk−1,xk]cf=inf{cf(x):x∈[xk−1,xk]}=infc{f(x):x∈[xk−1,xk]}=csup{f(x):x∈[xk−1,xk]}=csup[xk−1,xk]f

  따라서 다음이 성립한다.

U(cf,P)=∑k=1n(sup[xk−1,xk]cf)(xk−xk−1)=∑k=1n(cinf[xk−1,xk]f)(xk−xk−1)=c∑k=1n(inf[xk−1,xk]f)(xk−xk−1)=cL(f,P)

L(cf,P)=∑k=1n(inf[xk−1,xk]cf)(xk−xk−1)=∑k=1n(csup[xk−1,xk]f)(xk−xk−1)=c∑k=1n(sup[xk−1,xk]f)(xk−xk−1)=cU(f,P)

  식 (2)에 따라 다음을 얻는다.

ϵ>cL(f,P)−cU(f,P)=U(cf,P)−L(cf,P)

  리만 적분 판정법에 따라 cf 는 [a,b] 에서 리만 적분가능하다. 이어서 다음이 성립함을 보이자.

∫[a,b]cf=c∫[a,b]f

  다음이 성립한다.

∫[a,b]cf≤U(cf,P)<L(cf,P)+ϵ=cU(f,P)+ϵ<c∫[a,b]f+ϵ

c∫[a,b]f≤cL(f,P)=U(cf,P)<L(cf,P)+ϵ≤∫[a,b]cf+ϵ

  정리하면 임의의 ϵ>0 에 대해 다음의 두 부등식이 성립한다.

∫[a,b]cf−c∫[a,b]f<ϵ

c∫[a,b]f−∫[a,b]cf<ϵ

  마찬가지로 원하는 결과를 얻는다.

  { (ⅰ) ◻ }

 

  (ⅱ) : f,g 는 [a,b] 에서 리만 적분가능하므로 리만 적분 판정법에 따라 임의의 ϵ>0 에 대해 다음을 만족하는 [a,b] 의 분할 P1,P2 가 존재한다.

U(f,P1)−L(f,P1)<ϵ2

U(g,P2)−L(g,P2)<ϵ2

  P=P1∪P2 라고 하면 P 는 P1,P2 의 세분이므로 정리 25-2에 따라 다음이 성립한다.

U(f,P)−L(f,P)≤U(f,P1)−L(f,P1)

U(g,P)−L(g,P)≤U(g,P2)−L(g,P2)

  따라서 다음이 성립한다.

U(f,P)−L(f,P)<ϵ2

U(g,P)−L(g,P)<ϵ2

(3)∴(U(f,P)+U(g,P))−(L(f,P)+L(g,P))<ϵ

  정의에 따라 다음과 같다.

U(f+g,P)=∑k=1n(sup[xk−1,xk](f+g))(xk−xk−1)

L(f+g,P)=∑k=1n(inf[xk−1,xk](f+g))(xk−xk−1)

  이때 도움정리 27-3에 따라 다음이 성립한다.

sup[xk−1,xk](f+g)=sup{f(x)+g(x):x∈[xk−1,xk]}=sup({f(x):x∈[xk−1,xk]}+{g(x):x∈[xk−1,xk]})≤sup{f(x):x∈[xk−1,xk]}+sup{g(x):x∈[xk−1,xk]}=sup[xk−1,xk]f+sup[xk−1,xk]g

inf[xk−1,xk](f+g)=inf{f(x)+g(x):x∈[xk−1,xk]}=inf({f(x):x∈[xk−1,xk]}+{g(x):x∈[xk−1,xk]})≥inf{f(x):x∈[xk−1,xk]}+inf{g(x):x∈[xk−1,xk]}=inf[xk−1,xk]f+inf[xk−1,xk]g

  따라서 다음이 성립한다.

U(f+g,P)=∑k=1n(sup[xk−1,xk](f+g))(xk−xk−1)≤∑k=1n(sup[xk−1,xk]f+sup[xk−1,xk]g)(xk−xk−1)=∑k=1n(sup[xk−1,xk]f)(xk−xk−1)+∑k=1n(sup[xk−1,xk]g)(xk−xk−1)=U(f,P)+U(g,P)

L(f+g,P)=∑k=1n(inf[xk−1,xk](f+g))(xk−xk−1)≥∑k=1n(inf[xk−1,xk]f+inf[xk−1,xk]g)(xk−xk−1)=∑k=1n(inf[xk−1,xk]f)(xk−xk−1)+∑k=1n(inf[xk−1,xk]g)(xk−xk−1)=L(f,P)+L(g,P)

  정리하면 식 (3)에 따라 다음이 성립한다.

U(f+g,P)−L(f+g,P)<ϵ

  리만 적분 판정법에 따라 f+g 는 [a,b] 에서 리만 적분가능하다. 이어서 다음이 성립함을 보이자.

∫[a,b](f+g)=∫[a,b]f+∫[a,b]g

  다음이 성립한다.

∫[a,b](f+g)≤U(f+g,P)≤U(f,P)+U(g,P)<L(f,P)+L(g,P)+ϵ≤∫[a,b]f+∫[a,b]g+ϵ

∫[a,b]f+∫[a,b]g≤U(f,P)+U(g,P)<L(f,P)+L(g,P)+ϵ≤L(f+g,P)+ϵ≤∫[a,b](f+g)+ϵ

  정리하면 임의의 ϵ>0 에 대해 다음의 두 부등식이 성립한다.

∫[a,b](f+g)−(∫[a,b]f+∫[a,b]g)<ϵ

(∫[a,b]f+∫[a,b]g)−∫[a,b](f+g)<ϵ

  따라서 원하는 결과를 얻는다.

  { (ⅱ) ◻ }

 

  (ⅲ) : [a,b] 의 임의의 분할 P 에 대해 다음이 성립한다.

L(f,P)≤∫[a,b]f≤U(f,P)

  특히 P={a,b} 라고 하면 다음이 성립한다.

L(f,P)=(inf[a,b]f)(b−a)

U(f,P)=(sup[a,b]f)(b−a)

  전제에 따라 m , M 은 각각 {f(x):x∈[a,b]} 의 하계, 상계이므로 다음이 성립한다.

m≤inf[a,b]fsup[a,b]f≤M

  양변에 b−a 를 곱하면 다음을 얻는다.

m(b−a)≤L(f,P)U(f,P)≤M(b−a)

  정리하면 다음과 같다.

m(b−a)≤L(f,P)≤∫[a,b]f

∫[a,b]f≤U(f,P)≤M(b−a)

  따라서 원하는 결과를 얻는다.

  { (ⅲ) ◻ }

 

  (ⅳ) : f,g 는 [a,b] 에서 리만 적분가능하며 f+(−1)g=f−g 는 본 정리의 (ⅰ), (ⅱ)에 따라 [a,b] 에서 리만 적분가능하다. 특히 다음이 성립한다.

∫[a,b](f−g)=∫[a,b](f+(−1)g)=∫[a,b]f+∫[a,b](−1)g=∫[a,b]f+(−1)∫[a,b]g=∫[a,b]f−∫[a,b]g

  전제에서 임의의 x∈[a,b] 에 대해 f(x)−g(x)≤0 이므로 본 정리의 (ⅲ)에 따라 다음이 성립한다.

∫[a,b]f−∫[a,b]g=∫[a,b](f−g)≤0

  따라서 원하는 결과를 얻는다.

  { (ⅳ) ◻ }

 

  (ⅴ) : f 가 [a,b] 에서 리만 적분가능하므로 리만 적분 판정법에 따라 임의의 ϵ>0 에 대해 다음을 만족하는 [a,b] 의 분할 P 가 존재한다.

(4)U(f,P)−L(f,P)<ϵ

  정의에 따라 다음과 같다.

U(f,P)=∑k=1n(sup[xk−1,xk]f)(xk−xk−1)

L(f,P)=∑k=1n(inf[xk−1,xk]f)(xk−xk−1)

U(|f|,P)=∑k=1n(sup[xk−1,xk]|f|)(xk−xk−1)

L(|f|,P)=∑k=1n(inf[xk−1,xk]|f|)(xk−xk−1)

  도움정리 27-4에 따라 다음이 성립한다.

sup{|f(x)−f(y)|:x,y∈[xk−1,xk]}=sup[xk−1,xk]f−inf[xk−1,xk]f

sup{||f(x)|−|f(y)||:x,y∈[xk−1,xk]}=sup[xk−1,xk]|f|−inf[xk−1,xk]|f|

  이때, 임의의 x,y∈[xk−1,xk] 에 대해 역삼각 부등식에 따라 다음이 성립한다.

||f(x)|−|f(y)||≤|f(x)−f(y)|≤sup{|f(x)−f(y)|:x,y∈[xk−1,xk]}

  위 식은 ||f(x)|−|f(y)|| 의 집합의 상계에 대해 말한다. 따라서 다음이 성립한다.

sup[xk−1,xk]|f|−inf[xk−1,xk]|f|≤sup[xk−1,xk]f−inf[xk−1,xk]f

  이때 다음과 같다.

U(|f|,P)−L(|f|,P)=∑k=1n(sup[xk−1,xk]|f|−inf[xk−1,xk]|f|)(xk−xk−1)≤∑k=1n(sup[xk−1,xk]f−inf[xk−1,xk]f)(xk−xk−1)=U(f,P)−L(f,P)

  정리하면 식 (4)에 따라 다음이 성립한다.

U(|f|,P)−L(|f|,P)<ϵ

  리만 적분 판정법에 따라 |f| 는 [a,b] 에 리만 적분가능하다. 이어서 다음이 성립함을 보이자.

|∫[a,b]f|≤∫[a,b]|f|

  임의의 x∈[a,b] 에 대해 다음이 성립한다.

−|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|

  그러므로 본 정리의 (ⅳ)에 따라 다음이 성립한다.

∫[a,b](−1)|f|≤∫[a,b]f≤∫[a,b]|f|

  본 정리의 (ⅰ)에 따라 ∫[a,b](−1)|f|=−∫[a,b]|f| 이므로 다음을 얻는다.

−∫[a,b]|f|≤∫[a,b]f≤∫[a,b]|f|

  따라서 다음을 얻는다.

|∫[a,b]f|≤∫[a,b]|f|

  { (ⅴ) ◻ }

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

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