[FTC의 엄밀한 증명] ch26. 미적분학의 기본정리 (FTC)

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  본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

28. 미적분학의 기본정리

 

  미분과 적분은 독립적으로 정의되었고, 각각 수학적으로 엄밀한 용어로 기술되었다. 미분의 정의는 접선의 기울기를 계산하기 위해, 적분의 정의는 그래프의 아래 넓이를 계산하기 위해 고안되었다. 미적분학의 기본정리는 놀랍게도 이 둘 사이에 역연산 관계가 있음을 설명한다.

 

  미적분학의 기본정리는 두 부분으로 되어있다. 첫 번째는 모든 연속함수가 역도함수를 갖는다는 이론적인 명제이고, 두 번째는 역도함수가 존재할 때 적분값을 쉽게 계산하는 방법에 대한 실용적인 명제이다.

 

※ 첫 번째 명제는 미적분학의 제1기본정리(the first fundamental theorem of calculus, FTC1), 두 번째 명제는 미적분학의 제2기본정리(the second fundamental theorem of calculus, FTC2)라고 한다. 역사적으로는 제2정리가 제1정리보다 먼저 발견되었다.

 

미적분학의 기본정리 (fundamental theorem of calculus, FTC)
  (ⅰ) $[a,b]\subset A$ 에서 리만 적분가능한 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 에 대해 함수 $F$ 를 아래와 같이 정의하자.$$F:[a,b]\to\mathbb{R},\;x\mapsto\int_{[a,x]}f$$  다음이 성립한다.
  ▶ $F$ 는 연속함수이다.
  ▶ $f$ 가 어떤 $c\in[a,b]$ 에서 연속이면 $F$ 는 $c$ 에서 미분가능하며 $DF(c)=f(c)$ 이다.

  (ⅱ) $[a,b]\subset A$ 에서 리만 적분가능한 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 와 $[a,b]\subset B$ 에서 미분가능한 함수 $F:B\to\mathbb{R}$ 를 생각하자. 모든 $x\in[a,b]$ 에 대해 $DF(x)=f(x)$ 가 성립하면 다음이 성립한다.$$\int_{[a,b]}f=F(b)-F(a)$$

 

proof)

  (ⅰ) : 임의의 $x,y\in[a,b]$ 를 생각하자. 먼저 $x<y$ 라고 가정하자. $[x,y]\subset[a,b]$ 이며 $f$ 는 $[a,x]$ , $[a,y]$ , $[x,y]$ 에서 리만 적분가능하다. ($\because$ 따름정리 26-2) 이때 다음이 성립한다. ($\because$ 정리 26-1)

$$\int_{[a,y]}f=\int_{[a,x]}f+\int_{[x,y]}f$$

  따라서 다음을 얻는다. ($\because$ 정리 27-5(ⅴ))

$$\begin{align}|F(y)-F(x)|&=\left|\int_{[a,y]}f-\int_{[a,x]}f\;\right|\\&=\left|\int_{[x,y]}f\;\right|\\&\le\int_{[x,y]}|f|\end{align}$$

  $f$ 는 $[x,y]$ 에서 유계이므로 다음을 만족하는 $M>0$ 이 존재한다.

$$(\forall t\in[x,y])\quad|f(t)|\le M$$

  따라서 다음이 성립한다. ($\because$ 정리 27-5(ⅲ))

$$\int_{[x,y]}|f|\le M(y-x)\le M|y-x|$$

  정리하면 다음을 얻는다.

$$|F(x)-F(y)|\le M|x-y|\tag{1}$$

  $y<x$ 인 경우에도 비슷하게 식 (1)를 유도할 수 있으며, $x=y$ 인 경우에는 자명하게 성립한다. 따라서 식 (1)는 임의의 $x,y\in[a,b]$ 에 대해 성립한다. 임의의 $\epsilon>0$ 을 생각하자. $\delta=\frac{\epsilon}{M}$ 이라고 하면 식 (1)에 따라 다음이 성립한다.

$$(\forall x,y\in[a,b])$$

$$\begin{align}|x-y|<\delta\Rightarrow|F(x)-F(y)|&\le M|x-y|\\&<M\delta\\&=\frac{\epsilon}{M}\\&=\epsilon\end{align}$$

  따라서 $F$ 는 균등연속함수이므로 연속함수이다.

 

  $f$ 가 $c\in[a,b]$ 에서 연속이라고 하자. 임의의 $\epsilon>0$ 를 생각하자. $t\in[a,b]$ 이면 $t\in A$ 이므로 다음이 성립한다.

$$(\exists\delta>0)\;(\forall t\in[a,b])$$

$$t\in B_\delta(c)\Rightarrow|f(t)-f(c)|<\frac{\epsilon}{2}\tag{2}$$

  $c$ 의 빠진 $\delta$-근방 $B_\delta^*(c)$ 에 대하여 임의의 $x\in B_\delta^*(c)$ 를 생각하자. $x\in(c-\delta,c)$ 또는 $x\in(c,c+\delta)$ 이다. 먼저 $x\in(c,c+\delta)$ 라고 가정하자. $f$ 는 $[c,x]\subset[a,b]$ 에서 리만 적분가능하므로 $f-f(c)$ 도 $[c,x]$ 에서 리만 적분가능하며, $|f-f(c)|$ 도 $[c,x]$ 에서 리만 적분가능하다. ($\because$ 정리 27-5(ⅱ), (ⅴ)) 따라서 다음이 성립한다.

$$\left|\int_{[c,x]}\Big(f-f(c)\Big)\right|\le\int_{[c,x]}|f-f(c)|\tag{3}$$

  이때 다음이 자명하다.

$$\int_{[c,x]}f(c)=f(c)(x-c)\tag{4}$$

   또한 다음이 성립한다. ($\because$ 따름정리 26-2)

$$\int_{[a,x]}f=\int_{[a,c]}f+\int_{[c,x]}f$$

$$\begin{align}\therefore\int_{[c,x]}f&=\int_{[a,x]}f-\int_{[a,c]}f\\&=F(x)-F(c)\end{align}\tag{5}$$

  식 (3), (4), (5)을 정리하면 다음을 얻는다.

$$\begin{align}&\;\left|\Big(F(x)-F(c)\Big)-f(c)(x-c)\right|\\\le&\;\int_{[c,x]}|f-f(c)|\end{align}$$

  $[c,x]\subset B_\delta(c)$ 이므로 식 (2)과 정리 27-5(ⅲ)에 따라 다음이 성립한다.

$$(\forall t\in[c,x])\quad|f(t)-f(c)|<\frac{\epsilon}{2}$$

$$\therefore\int_{[c,x]}|f-f(c)|\le\frac{\epsilon}{2}(x-c)$$

  그러므로 다음을 얻는다.

$$\left|\Big(F(x)-F(c)\Big)-f(c)(x-c)\right|\le\frac{\epsilon}{2}(x-c)$$

  $x>c$ 이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\left|\frac{F(x)-F(c)}{x-c}-f(c)\right|\le\frac{\epsilon}{2}<\epsilon$$

  $x\in(c-\delta,c)$ 라고 가정하여도 위의 식을 비슷하게 유도할 수 있다. 정리하면 다음이 성립한다.

$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists\delta>0)\;(\forall x\in[a,b])$$

$$x\in B_\delta^*(c)\Rightarrow\left|\frac{F(x)-F(c)}{x-c}-f(c)\right|<\epsilon$$

  정의에 따라 다음이 성립한다.

$$\lim_{x\to c}\frac{F(x)-F(c)}{x-c}=f(c)$$

  따라서 $F$ 는 $c$ 에서 미분가능하며 $DF(c)=f(c)$ 이다.

  { (ⅰ) $\square$ }

 

  (ⅱ) : $[a,b]$ 의 임의의 분할 $P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ 에 대해 다음과 같다.

$$U(f,P)=\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})$$

$$L(f,P)=\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})$$

  각 $k=1,\ldots,n$ 에 대해 $F$ 는 $[x_{k-1},x_k]$ 에서 미분가능하므로 $[x_{k-1},x_k]$ 에서 연속이다. ($\because$ 정리 19-4) 평균값 정리에 따라 다음을 만족하는 $c_k\in(x_{k-1},x_k)$ 가 존재한다.

$$F(x_k)-F(x_{k-1})=DF(c_k)(x_k-x_{k-1})$$

  이때 $DF(c_k)=f(c_k)$ 이므로 다음을 얻는다.

$$F(x_k)-F(x_{k-1})=f(c_k)(x_k-x_{k-1})\tag{6}$$

  $c_k\in[x_{k-1},x_k]$ 이므로 다음이 성립한다.

$$\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;f\le f(c_k)\le\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;f$$

  따라서 다음을 얻는다.

$$\begin{align}L(f,P)&=\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{inf}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\\&\le\sum_{k=1}^nf(c_k)(x_k-x_{k-1})\\&\le\sum_{k=1}^n\left(\underset{[x_{k-1},x_k]}{\text{sup}}\;f\right)(x_k-x_{k-1})\\&=U(f,P)\end{align}$$

  식 (6)에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\;\sum_{k=1}^nf(c_k)(x_k-x_{k-1})\\=&\;\sum_{k=1}^n\Big(F(x_k)-F(x_{k-1})\Big)\\=&\;F(x_n)-F(x_0)\\=&\;F(b)-F(a)\end{align}$$

  정리하면 다음이 성립한다.

$$L(f,P)\le F(b)-F(a)\le U(f,P)$$

  그러므로 $F(b)-F(a)$ 는 리만 하합의 상계이며 리만 상합의 하계임을 알 수 있다. 따라서 다음을 얻는다.

$$L(f)\le F(b)-F(a)\le U(f)$$

  $f$ 는 $[a,b]$ 에서 리만 적분가능하므로 $L(f)=U(f)$ 이다. 따라서 다음이 성립한다.

$$L(f)=F(b)-F(a)=U(f)$$

  리만 적분의 정의에 따라 다음을 얻는다.

$$\int_{[a,b]}f=L(f)=U(f)=F(b)-F(a)$$

  { (ⅱ) $\square$ }

 

 

  미적분학의 기본정리는 종종 리만 적분가능성의 조건을 연속성으로 좁혀 다음과 같이 소개된다.

 

  (ⅰ) $[a,b]\subset A$ 에서 연속인 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 에 대해 함수 $F$ 를 아래와 같이 정의하자.$$F:[a,b]\to\mathbb{R},\;x\mapsto\int_{[a,x]}f$$  $F$ 는 미분가능함수이며 모든 $x\in[a,b]$ 에 대해 $DF(x)=f(x)$ 이다.

  (ⅱ) $[a,b]\subset A$ 에서 연속인 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 와 $[a,b]\subset B$ 에서 미분가능한 함수 $F:B\to\mathbb{R}$ 를 생각하자. 모든 $x\in[a,b]$ 에 대해 $DF(x)=f(x)$ 가 성립하면 다음이 성립한다.$$\int_{[a,b]}f=F(b)-F(a)$$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

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