[FTC의 엄밀한 증명] ch27. 부분적분법, 치환적분법
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본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다.
29. 부분적분법
다음과 같은 적분 공식을 부분적분법이라고 한다.
이 공식이 정확히 언제, 어떻게 성립하는지 알아보자.
도움정리 29-1)이 에서 리만 적분가능하면 도 에서 리만 적분가능하다.
proof)
리만 적분 판정법에 따라 임의의
정의에 따라 다음과 같다.
다음의 두 집합을 생각하자.
도움정리 27-4에 따라 다음이 성립한다.
삼각 부등식에 따라 임의의
위의 식에 따르면
따라서 다음이 성립한다.
식 (1)에 의해 다음을 얻는다.
리만 적분 판정법에 따라
정리 29-2)이 에서 리만 적분가능하면 도 에서 리만 적분가능하다.
proof)
정리 27-5을 보고오자.
따라서
부분적분법 (integration by parts)
이 에서 미분가능하며 가 에서 리만 적분가능하면 다음이 성립한다.
proof)
미적분학의 제2기본정리에 따르면 다음이 성립한다.
이때 다음이 성립한다.
따라서 원하는 결과를 얻는다.
30. 치환적분법
다음의 익숙한 표기법을 이용하자.
정의)에서 리만 적분가능한 함수 에 대해 다음과 같이 정의하자.
다음을 보이자.
치환적분법 (integration by substitution)
이 닫힌 구간 에서 연속이라고 하자. 이 에서 미분가능하며 이고 가 에서 연속이면 다음이 성립한다.
proof)
주어진 닫힌구간
임의의
미적분학 제2기본정리에 따라 다음이 성립한다.
이때
정라하면 다음이 일반적으로 성립한다.
따라서 원하는 결과를 얻는다.
치환적분법의 적분 공식을 친숙하게 표현하면 다음과 같다.
지금까지 본 시리즈를 찾아주신 모든 분들께 감사드립니다.
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