[다변수 적분] ch3. 푸비니 정리

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푸비니 정리

 

  이번 포스팅의 목표는 다음의 수식이 성립함을 보이는 것이다.

$$\int_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)=\int_{x=a}^{x=b}\int_{y=c}^{y=d}f(x,y)$$

  이는 적분의 계산을 고차원에서 저차원으로 끌어내려 실제로 적분값을 계산할 수 있도록 도와준다. 우리는 이미 1차원에 한하여 적분을 쉽게 계산하는 방법을 알고있으며, 이는 미적분학의 기본정리라고 불린다.

 

미적분학의 기본정리 (Tundamental theorem of calculus).
  (1) 연속함수 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 과 다음의 함수 $g:[a,b]\to\mathbb{R}$ 에 대해 $Dg=f$ 가 성립한다.$$g(x)=\int_a^xf$$  (2) 연속함수 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 과 함수 $g:[a,b]\to\mathbb{R}$ 에 대해 $Dg=f$ 이면 다음이 성립한다.$$\int_a^bf=g(b)-g(a)$$

 

※ 구간의 end points 에서의 $DF$ 는 단방향 미분(one-side derivative)을 의미한다.

 

  증명은 [FTC의 엄밀한 증명] ch26. 미적분학의 기본정리 (FTC) 참고.

 

  미적분학의 기본정리를 두 식으로 짧게 요약하면 다음과 같다.

$$D\int_a^xf=f(x)\qquad\int_a^xDg=g(x)-g(a)$$

 

  이제 푸비니 정리를 증명해보자.

 

푸비니 정리 (Fubini's theorem).
  $A\in\mathcal{Q}(\mathbb{R}^k)$ , $B\in\mathcal{Q}(\mathbb{R}^n)$ 에 대해 $Q=A\times B$ 라고 하자. 유계함수 $f:Q\to\mathbb{R}$ 을 $x\in A$ , $y\in B$ 에 대해 $f(x,y)$ 라고 쓰자. 각 $x\in A$ 에 대해 다음의 하적분, 상적분을 생각하자.$$\underline{\int_{y\in B}}f(x,y)\qquad\overline{\int_{y\in B}}f(x,y)$$  만약 $f$ 가 $Q$ 에서 적분가능하면 $x$ 에 대한 위 두 함수는 $A$ 에서 적분가능하며 다음이 성립한다.$$\int_Qf=\int_{x\in A}\underline{\int_{y\in B}}f(x,y)=\int_{x\in A}\overline{\int_{y\in B}}f(x,y)$$

 

  Proof.  다음과 같이 정의하자.

$$\underline{I}(t)=\underline{\int_{y\in B}}f(t,y)\qquad\overline{I}(t)=\overline{\int_{y\in B}}f(t,y)$$

  임의의 $P\in\Pi(Q)$ 를 고정하자. $P$ 는 어떤 $P_A\in\Pi(A)$ , $P_B\in\Pi(B)$ 에 대해 $P=P_A\times P_B$ 로 구성된다.

 

  Step 1. 다음이 성립함을 보이자.

$$L(f,P)\le L(\underline{I},P_A)$$

  임의의 $R\in S(P)$ 를 고정하자. $R$ 은 어떤 $R_A\in S(P_A)$ , $R_B\in S(P_B)$ 에 대해 $R=R_a\times R_B$ 로 구성된다. 임의의 $x_0\in R_A$ 를 고정하면 함수 $g(t)=f(x_0,t)$ 와 임의의 $y\in R_B$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\underset{R_A\times R_B}{\text{inf}}\;f\le g(y)$$

$$\therefore\underset{R_A\times R_B}{\text{inf}}\;f\le\underset{R_B}{\text{inf}}\;g$$

  따라서 $x_0$ 가 속한 $R_A$ 를 고정하면 다음을 얻는다.

$$\begin{align}\sum_{R_B\in S(P_B)}\left(\underset{R_A\times R_B}{\text{inf}}\;f\right)v(R_B)&\le\sum_{R_B\in S(P_B)}\left(\underset{R_B}{\text{inf}}\;g\right)v(R_B)\\&=L(g,P_B)\\&\le\underline{\int_{y\in B}}g\\&=\underline{I}(x_0)\end{align}$$

  이때 $x_0$ 는 $R_A$ 에서 임의로 선택하였으므로 다음을 얻는다.

$$\sum_{R_B\in S(P_B)}\left(\underset{R_A\times R_B}{\text{inf}}\;f\right)v(R_B)\le\underset{R_A}{\text{inf}}\;\underline{I}$$

  따라서 다음이 성립하므로 원하는 결과를 얻는다.

$$\begin{align}&\;L(f,P)\\=&\;\sum_{R\in S(P)}\left(\underset{R}{\text{inf}}\;f\right)v(R)\\=&\;\sum_{\substack{R_A\in S(P_A)\\R_B\in S(P_B)}}\left(\underset{R_A\times R_B}{\text{inf}}\;f\right)v(R_A\times R_B)\\=&\;\sum_{\substack{R_A\in S(P_A)\\R_B\in S(P_B)}}\left(\underset{R_A\times R_B}{\text{inf}}\;f\right)v(R_A)v(R_B)\\=&\;\sum_{R_A\in S(P_A)}\left(\sum_{R_B\in S(P_B)}\left(\underset{R_A\times R_B}{\text{inf}}\;f\right)v(R_B)\right)v(R_A)\\\le&\;\sum_{R_A\in S(P_A)}\left(\underset{R_A}{\text{inf}}\;\underline{I}\right)v(R_A)\\=&\;L(\underline{I},P_A)\end{align}$$

  이와 비슷하게 다음이 성립함도 알 수 있다.

$$U(\overline{I},P_A)\le U(f,P)$$

 

  Step 2. 이제 본 정리를 증명하자.임의의 $P\in\Pi(Q)$ 에 대해 어떤 $P_A\in\Pi(A)$ , $P_B\in\Pi(B)$ 가 존재하여 $P=P_A\times P_B$ 이며, $\underline{I}(x)\le\overline{I}(x)$ 이므로 다음이 성립한다.

$$L(f,P)\le L(\underline{I},P_A)\le U(\underline{I},P_A)\le U(\overline{I},P_A)\le U(f,P)$$

$$L(f,P)\le L(\underline{I},P_A)\le L(\overline{I},P_A)\le U(\overline{I},P_A)\le U(f,P)$$

  전제에 따라 $f$ 는 $Q$ 에서 적분가능하므로 Riemann condition 에 따라 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 다음이 성립하도록 하는 $P\in\Pi(Q)$ 가 존재한다.

$$U(f,P)-L(f,P)<\epsilon$$

  한편 $L(\underline{I},P_A)$ , $U(\underline{I},P_A)$ , $L(\overline{I},P_A)$ , $U(\overline{I},P_A)$ 는 모두 $L(f,P)$ 과 $U(f,P)$ 사이의 값을 가지므로 다음이 성립한다.

$$U(\underline{I},P_A)-L(\underline{I},P_A)<\epsilon$$

$$U(\overline{I},P_A)-L(\overline{I},P_A)<\epsilon$$

  따라서 $\underline{I}$ 와 $\overline{I}$ 는 $A$ 에서 적분 가능하다. 즉 $\int_A\underline{I}$ 와 $\int_A\overline{I}$ 가 존재하며 다음이 모두 성립한다.

$$L(f,P)\le\int_Qf\le U(f,P)$$

$$L(f,P)\le L(\underline{I},P_A)\le\int_A\underline{I}\le U(\underline{I},P_A)\le U(f,P)$$

$$L(f,P)\le L(\overline{I},P_A)\le\int_A\overline{I}\le U(\overline{I},P_A)\le U(f,P)$$

  즉 $\int_Qf$ , $\int_A\underline{I}$ , $\int_A\overline{I}$ 는 모두 $L(f,P)$ 과 $U(f,P)$ 사이의 값을 가지므로 다음이 성립한다.

$$\left|\int_Qf-\int_A\underline{I}\right|<\epsilon$$

$$\left|\int_Qf-\int_A\overline{I}\right|<\epsilon$$

  $\epsilon>0$ 을 임의로 선택하였으므로 다음이 성립하여 증명이 완료된다.

$$\int_Qf=\int_A\underline{I}=\int_A\overline{I}\tag*{$\square$}$$

 

 

  이 정리에서 적분의 순서는 중요하지 않다. 위 증명에서 단지 $x$ 를 $y$ 로 바꾸는 것으로 아래의 결론을 얻을 수 있다.

 

  $A\in\mathcal{Q}(\mathbb{R}^k)$ , $B\in\mathcal{Q}(\mathbb{R}^n)$ 에 대해 $Q=A\times B$ 라고 하자. 유계함수 $f:Q\to\mathbb{R}$ 에 대해 $\int_Qf$ 가 존재하고 각 $x\in A$ 에 대해 $\underline{\int_{x\in A}}f(x,y)$ , $\overline{\int_{x\in A}}f(x,y)$ 가 존재하면 다음이 성립한다.$$\int_Qf=\int_{y\in B}\underline{\int_{x\in A}}f(x,y)=\int_{y\in B}\overline{\int_{x\in A}}f(x,y)$$

 

 

푸비니 정리의 따름정리

 

Corollary 3.1.  $A\in\mathcal{Q}(\mathbb{R}^k)$ , $B\in\mathcal{Q}(\mathbb{R}^n)$ 에 대해 $Q=A\times B$ 라고 하자. 유계함수 $f:Q\to\mathbb{R}$ 에 대해 $\int_Qf$ 가 존재하고 각 $x\in A$ 에 대해 $\int_{y\in B}f(x,y)$ 가 존재하면 다음이 성립한다.$$\int_Qf=\int_{x\in A}\int_{y\in B}f(x,y)$$

 

  함수의 조건을 연속으로 완화시켜버리면 다음의 좋은 따름정리를 얻으며, 이 정리가 종종 푸비니 정리라고 소개되곤 한다.

 

Corollary 3.2.  $\mathbb{R}$ 의 닫힌구간 $I_1,\ldots,I_n$ 에 대해 $Q=I_1\times\cdots\times I_n$ 이라고 하자. 연속함수 $f:Q\to\mathbb{R}$ 에 대해 다음이 성립한다.$$\int_Qf=\int_{x_1\in I_1}\cdots\int_{x_n\in I_n}f(x_1,\ldots,x_n)$$

 

※ 이 따름정리는 $f$ 가 유계임을 직접 명시하지 않는다. 따라서 증명은 다음과 같이 시작해야 한다.

 

  Proof.  $f$ 가 연속이고 $Q$ 는 콤팩트하므로 $f(Q)$ 는 콤팩트하다. (링크의 최대-최소 정리 참고) 하이네-보렐 정리에 따라 $f$ 는 유계이다. 또한 $f$ 는 $Q$ 에서 연속이므로 르베그 판정법에 따라 $\int_Qf$ 가 존재한다.

  $n$ 에 대한 귀납법으로 증명하자. $n=1$ 일 경우에는 정리가 자명하게 성립한다. $n-1$ 에서 정리가 성립한다고 가정하고 $n$ 에서 정리가 성립함을 보이자. 임의의 $x_0\in I_1$ 을 고정하면 $x_2,\ldots,x_n$ 에 대한 함수 $f(x_0,x_2,\ldots,x_n)$ 은 연속이므로 귀납법 가정에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\;\int_{(x_2,\ldots,x_n)\in I_2\times\cdots\times I_n}f(x_0,x_2,\ldots,x_n)\\=&\;\int_{x_2\in I_2}\cdots\int_{x_n\in I_n}f(x_0,x_2,\ldots,x_n)\end{align}$$

  한편 Cor 3.1 에 따라 다음을 얻는다.

$$\int_Qf=\int_{x_1\in I_n}\int_{(x_2,\ldots,x_n)\in I_2\times\cdots\times I_n}f(x_1,\ldots,x_n)$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

  위 정리는 $Q=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]$ 에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\int_Qf=\int_{x_1=a_1}^{x_1=b_1}\cdots\int_{x_n=a_n}^{x_n=b_n}f(x_1,\ldots,x_n)$$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

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