[다변수 적분] ch3. 푸비니 정리

이전 읽을거리: ch2. 측도 0과 적분가능성

다음 읽을거리: ch4. 유계집합 위의 적분

---

푸비니 정리

 

  이번 포스팅의 목표는 다음의 수식이 성립함을 보이는 것이다.

$${\int }_{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)={\int }_{x=a}^{x=b}{\int }_{y=c}^{y=d}f(x,y)$$

  이는 적분의 계산을 고차원에서 저차원으로 끌어내려 실제로 적분값을 계산할 수 있도록 도와준다. 우리는 이미 1차원에 한하여 적분을 쉽게 계산하는 방법을 알고있으며, 이는 미적분학의 기본정리라고 불린다.

 

미적분학의 기본정리 (Tundamental theorem of calculus).
  (1) 연속함수 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 과 다음의 함수 $g:[a,b]\to \mathbb{R}$ 에 대해 $Dg=f$ 가 성립한다.$$g(x)={\int }_a^{x}f$$  (2) 연속함수 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 과 함수 $g:[a,b]\to \mathbb{R}$ 에 대해 $Dg=f$ 이면 다음이 성립한다.$${\int }_a^{b}f=g(b)-g(a)$$

 

※ 구간의 end points 에서의 $DF$ 는 단방향 미분(one-side derivative)을 의미한다.

 

  증명은 [FTC의 엄밀한 증명] ch26. 미적분학의 기본정리 (FTC) 참고.

 

  미적분학의 기본정리를 두 식으로 짧게 요약하면 다음과 같다.

$$D{\int }_a^{x}f=f(x){\int }_a^{x}Dg=g(x)-g(a)$$

 

  이제 푸비니 정리를 증명해보자.

 

푸비니 정리 (Fubini's theorem).
  $A\in \mathcal{Q}({\mathbb{R}}^k)$ , $B\in \mathcal{Q}({\mathbb{R}}^n)$ 에 대해 $Q=A\times B$ 라고 하자. 유계함수 $f:Q\to \mathbb{R}$ 을 $x\in A$ , $y\in B$ 에 대해 $f(x,y)$ 라고 쓰자. 각 $x\in A$ 에 대해 다음의 하적분, 상적분을 생각하자.$$\underset{―}{{\int }_{y\in B}}f(x,y)\overline{{\int }_{y\in B}}f(x,y)$$  만약 $f$ 가 $Q$ 에서 적분가능하면 $x$ 에 대한 위 두 함수는 $A$ 에서 적분가능하며 다음이 성립한다.$${\int }_{Q}f={\int }_{x\in A}\underset{―}{{\int }_{y\in B}}f(x,y)={\int }_{x\in A}\overline{{\int }_{y\in B}}f(x,y)$$

 

  Proof.  다음과 같이 정의하자.

$$\underset{―}{I}(t)=\underset{―}{{\int }_{y\in B}}f(t,y)\bar{I}(t)=\overline{{\int }_{y\in B}}f(t,y)$$

  임의의 $P\in \mathrm{\Pi }(Q)$ 를 고정하자. $P$ 는 어떤 $P_A\in \mathrm{\Pi }(A)$ , $P_B\in \mathrm{\Pi }(B)$ 에 대해 $P=P_A\times P_B$ 로 구성된다.

 

  Step 1. 다음이 성립함을 보이자.

$$L(f,P)\le L(\underset{―}{I},P_A)$$

  임의의 $R\in S(P)$ 를 고정하자. $R$ 은 어떤 $R_A\in S(P_A)$ , $R_B\in S(P_B)$ 에 대해 $R=R_a\times R_B$ 로 구성된다. 임의의 $x_0\in R_A$ 를 고정하면 함수 $g(t)=f(x_0,t)$ 와 임의의 $y\in R_B$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\underset{R_A\times R_B}{\text{inf}}f\le g(y)$$

$$\therefore \underset{R_A\times R_B}{\text{inf}}f\le \underset{R_B}{\text{inf}}g$$

  따라서 $x_0$ 가 속한 $R_A$ 를 고정하면 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}\sum _{R_B\in S(P_B)}\left(\underset{R_A\times R_B}{\text{inf}}f\right)v(R_B)& \le \sum _{R_B\in S(P_B)}\left(\underset{R_B}{\text{inf}}g\right)v(R_B)\\ & =L(g,P_B)\\ & \le \underset{―}{{\int }_{y\in B}}g\\ & =\underset{―}{I}(x_0)\end{array}$$

  이때 $x_0$ 는 $R_A$ 에서 임의로 선택하였으므로 다음을 얻는다.

$$\sum _{R_B\in S(P_B)}\left(\underset{R_A\times R_B}{\text{inf}}f\right)v(R_B)\le \underset{R_A}{\text{inf}}\underset{―}{I}$$

  따라서 다음이 성립하므로 원하는 결과를 얻는다.

$$\begin{array}{rl}& L(f,P)\\ =& \sum _{R\in S(P)}\left(\underset{R}{\text{inf}}f\right)v(R)\\ =& \sum _{\begin{array}{c}{R}_A\in S(P_A)\\ R_B\in S(P_B)\end{array}}\left(\underset{R_A\times R_B}{\text{inf}}f\right)v(R_A\times R_B)\\ =& \sum _{\begin{array}{c}{R}_A\in S(P_A)\\ R_B\in S(P_B)\end{array}}\left(\underset{R_A\times R_B}{\text{inf}}f\right)v(R_A)v(R_B)\\ =& \sum _{R_A\in S(P_A)}(\sum _{R_B\in S(P_B)}\left(\underset{R_A\times R_B}{\text{inf}}f\right)v(R_B))v(R_A)\\ \le & \sum _{R_A\in S(P_A)}\left(\underset{R_A}{\text{inf}}\underset{―}{I}\right)v(R_A)\\ =& L(\underset{―}{I},P_A)\end{array}$$

  이와 비슷하게 다음이 성립함도 알 수 있다.

$$U(\bar{I},P_A)\le U(f,P)$$

 

  Step 2. 이제 본 정리를 증명하자.임의의 $P\in \mathrm{\Pi }(Q)$ 에 대해 어떤 $P_A\in \mathrm{\Pi }(A)$ , $P_B\in \mathrm{\Pi }(B)$ 가 존재하여 $P=P_A\times P_B$ 이며, $\underset{―}{I}(x)\le \bar{I}(x)$ 이므로 다음이 성립한다.

$$L(f,P)\le L(\underset{―}{I},P_A)\le U(\underset{―}{I},P_A)\le U(\bar{I},P_A)\le U(f,P)$$

$$L(f,P)\le L(\underset{―}{I},P_A)\le L(\bar{I},P_A)\le U(\bar{I},P_A)\le U(f,P)$$

  전제에 따라 $f$ 는 $Q$ 에서 적분가능하므로 Riemann condition 에 따라 임의의 $ϵ>0$ 에 대해 다음이 성립하도록 하는 $P\in \mathrm{\Pi }(Q)$ 가 존재한다.

$$U(f,P)-L(f,P)<ϵ$$

  한편 $L(\underset{―}{I},P_A)$ , $U(\underset{―}{I},P_A)$ , $L(\bar{I},P_A)$ , $U(\bar{I},P_A)$ 는 모두 $L(f,P)$ 과 $U(f,P)$ 사이의 값을 가지므로 다음이 성립한다.

$$U(\underset{―}{I},P_A)-L(\underset{―}{I},P_A)<ϵ$$

$$U(\bar{I},P_A)-L(\bar{I},P_A)<ϵ$$

  따라서 $\underset{―}{I}$ 와 $\bar{I}$ 는 $A$ 에서 적분 가능하다. 즉 ${\int }_A\underset{―}{I}$ 와 ${\int }_A\bar{I}$ 가 존재하며 다음이 모두 성립한다.

$$L(f,P)\le {\int }_{Q}f\le U(f,P)$$

$$L(f,P)\le L(\underset{―}{I},P_A)\le {\int }_A\underset{―}{I}\le U(\underset{―}{I},P_A)\le U(f,P)$$

$$L(f,P)\le L(\bar{I},P_A)\le {\int }_A\bar{I}\le U(\bar{I},P_A)\le U(f,P)$$

  즉 ${\int }_{Q}f$ , ${\int }_A\underset{―}{I}$ , ${\int }_A\bar{I}$ 는 모두 $L(f,P)$ 과 $U(f,P)$ 사이의 값을 가지므로 다음이 성립한다.

$$|{\int }_{Q}f-{\int }_A\underset{―}{I}|<ϵ$$

$$|{\int }_{Q}f-{\int }_A\bar{I}|<ϵ$$

  $ϵ>0$ 을 임의로 선택하였으므로 다음이 성립하여 증명이 완료된다.

$$\begin{array}{}◻& {\int }_{Q}f={\int }_A\underset{―}{I}={\int }_A\bar{I}\end{array}$$

 

 

  이 정리에서 적분의 순서는 중요하지 않다. 위 증명에서 단지 $x$ 를 $y$ 로 바꾸는 것으로 아래의 결론을 얻을 수 있다.

 

  $A\in \mathcal{Q}({\mathbb{R}}^k)$ , $B\in \mathcal{Q}({\mathbb{R}}^n)$ 에 대해 $Q=A\times B$ 라고 하자. 유계함수 $f:Q\to \mathbb{R}$ 에 대해 ${\int }_{Q}f$ 가 존재하고 각 $x\in A$ 에 대해 $\underset{―}{{\int }_{x\in A}}f(x,y)$ , $\overline{{\int }_{x\in A}}f(x,y)$ 가 존재하면 다음이 성립한다.$${\int }_{Q}f={\int }_{y\in B}\underset{―}{{\int }_{x\in A}}f(x,y)={\int }_{y\in B}\overline{{\int }_{x\in A}}f(x,y)$$

 

 

푸비니 정리의 따름정리

 

Corollary 3.1.  $A\in \mathcal{Q}({\mathbb{R}}^k)$ , $B\in \mathcal{Q}({\mathbb{R}}^n)$ 에 대해 $Q=A\times B$ 라고 하자. 유계함수 $f:Q\to \mathbb{R}$ 에 대해 ${\int }_{Q}f$ 가 존재하고 각 $x\in A$ 에 대해 ${\int }_{y\in B}f(x,y)$ 가 존재하면 다음이 성립한다.$${\int }_{Q}f={\int }_{x\in A}{\int }_{y\in B}f(x,y)$$

 

  함수의 조건을 연속으로 완화시켜버리면 다음의 좋은 따름정리를 얻으며, 이 정리가 종종 푸비니 정리라고 소개되곤 한다.

 

Corollary 3.2.  $\mathbb{R}$ 의 닫힌구간 $I_1,\dots ,I_n$ 에 대해 $Q=I_1\times \cdots \times I_n$ 이라고 하자. 연속함수 $f:Q\to \mathbb{R}$ 에 대해 다음이 성립한다.$${\int }_{Q}f={\int }_{x_1\in I_1}\cdots {\int }_{x_n\in I_n}f(x_1,\dots ,x_n)$$

 

※ 이 따름정리는 $f$ 가 유계임을 직접 명시하지 않는다. 따라서 증명은 다음과 같이 시작해야 한다.

 

  Proof.  $f$ 가 연속이고 $Q$ 는 콤팩트하므로 $f(Q)$ 는 콤팩트하다. (링크의 최대-최소 정리 참고) 하이네-보렐 정리에 따라 $f$ 는 유계이다. 또한 $f$ 는 $Q$ 에서 연속이므로 르베그 판정법에 따라 ${\int }_{Q}f$ 가 존재한다.

  $n$ 에 대한 귀납법으로 증명하자. $n=1$ 일 경우에는 정리가 자명하게 성립한다. $n-1$ 에서 정리가 성립한다고 가정하고 $n$ 에서 정리가 성립함을 보이자. 임의의 $x_0\in I_1$ 을 고정하면 $x_2,\dots ,x_n$ 에 대한 함수 $f(x_0,x_2,\dots ,x_n)$ 은 연속이므로 귀납법 가정에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{(x_2,\dots ,x_n)\in I_2\times \cdots \times I_n}f(x_0,x_2,\dots ,x_n)\\ =& {\int }_{x_2\in I_2}\cdots {\int }_{x_n\in I_n}f(x_0,x_2,\dots ,x_n)\end{array}$$

  한편 Cor 3.1 에 따라 다음을 얻는다.

$${\int }_{Q}f={\int }_{x_1\in I_n}{\int }_{(x_2,\dots ,x_n)\in I_2\times \cdots \times I_n}f(x_1,\dots ,x_n)$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.   $◻$

 

 

  위 정리는 $Q=[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_n,b_n]$ 에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

$${\int }_{Q}f={\int }_{x_1=a_1}^{x_1=b_1}\cdots {\int }_{x_n=a_n}^{x_n=b_n}f(x_1,\dots ,x_n)$$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

---

이전 읽을거리: ch2. 측도 0과 적분가능성

다음 읽을거리: ch4. 유계집합 위의 적분