[다변수 적분] ch6. 특이적분

이전 읽을거리: ch5. 부피를 갖는 집합

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특이적분의 정의

 

  지금까지 사용해온 적분은, 이를테면 $\int_Sf$ 라고 할때 $S$ 가 유계이고 $f$ 가 유계인 경우에 대해서만 정의했었다. 이제 $S$ 가 유계일 필요도, $f$ 가 유계일 필요도 없는 확장된 의미의 적분을 정의하자. 다만 소개할 적분은 $S$ 가 열려있고 $f$ 가 연속임을 요구한다.

  다음의 보조정의부터 시작하자. 구분을 위해 기존의 적분을 $\sideset{^\text{ord}}{}\int$ , 이번에 정의할 적분을 $\sideset{^\text{ext}}{}\int$ 라고 쓰자.

 

Definition.  음의 값을 갖지않는 연속함수 $f:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}\to\mathbb{R}$ 과 $A$ 의 부분집합인 부피를 갖는 모든 콤팩트집합의 모임 $\mathcal{D}$ 에 대하여 다음의 집합을 생각하자.$$\left\{\sideset{^\text{ord}}{}{\int_D}f:D\in\mathcal{D}\right\}$$  만약 위 집합의 상한이 존재하면 $A$ 에서 $f$ 가 (확장된 의미로) 적분가능하다고 하며 다음을 $A$ 에서 $f$ 의 (확장된) 적분이라고 한다.$$\sideset{^\text{ext}}{}{\int_A}f=\text{sup}\left\{\sideset{^\text{ord}}{}{\int_D}f:D\in\mathcal{D}\right\}$$

 

  $f$ 는 연속이므로 임의의 $D\in\mathcal{D}$ 에 대해 $f(D)$ 는 콤팩트하다. 따라서 $f$ 는 $D$ 에서 유계이며, Cor 5.2 에 따라 적분 $\sideset{^\text{ord}}{}{\int_D}f$ 가 존재하므로 위의 확장된 정의는 잘 정의된다.

 

Definition.  연속함수 $f:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}\to\mathbb{R}$ 에 대해 다음의 두 함수 $f_+,f_-:A\to\mathbb{R}$ 을 생각하자.$$f_+(x)=\text{max}\{f(x),0\}$$$$f_-(x)=\text{max}\{-f(x),0\}$$  $A$ 에서 $f_+$ 와 $f_-$ 가 (확장된 의미로) 적분가능하면 $A$ 에서 $f$ 가 (확장된 의미로) 적분가능하다고 하며 다음을 $A$ 에서 $f$ 의 (확장된) 적분이라고 한다.$$\sideset{^\text{ext}}{}{\int_A}f=\sideset{^\text{ext}}{}{\int_A}f_+-\sideset{^\text{ext}}{}{\int_A}f_-$$

 

※ Lem 4.2 에 의해 두 함수 $f_+,f_-$ 가 연속임이 보장된다.

 

  이제 우리는 두 가지 의미의 적분을 갖게 되었다. 하나는 $S$ 가 유계이고 $f$ 가 유계일 때의 적분 $\sideset{^\text{ord}}{}{\int_S}f$ , 나머지 하나는 $S$ 가 열려있고 $f$ 가 연속일 때의 적분 $\sideset{^\text{ext}}{}{\int_S}f$ 이다. 만약 적분가능성을 논의할때 $S$ 가 유계가 아니거나 $f$ 가 유계가 아니라면 당연히 "확장된 의미의" 적분을 의미할 것이고, 혹은 $S$ 가 열려있지 않거나 $f$ 가 연속이 아니라면 당연히 "원래의 의미의" 적분을 의미할 것이다.

 

  그러나 만약 $S$ 가 유계이며 열려있고 $f$ 가 유계이며 연속일 때 특별한 구별 없이 적분가능성을 논의한다면 이는 자칫 모호해 보이기도 한다. 나중에 밝히겠지만, 이 경우 다행히 두 적분은 동일한 값을 가지므로 걱정하지 않아도 된다. 그러므로 다음의 약속을 받아들이자.

 

Convention.  연속함수 $f:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}\to\mathbb{R}$ 에 대해 $\int_Af$ 는 특별한 언급이 없어도 확장된 적분을 의미한다고 하자.

 

  다시 말하자면 열린집합이 아닌 집합 $D$ 에 대해 $\int_Df$ 는 당연히 원래의 적분을 의미할수밖에 없다. 콤팩트 집합은 $\mathbb{R}^n$ 에서 열려있을 수 없으므로, 위의 약속을 받아들이면 확장된 적분의 정의에서 볼 수 있는 다음의 식은 모호한 부분이 존재하지 않는다.

$$\int_Af=\text{sup}\left\{\int_Df:D\in\mathcal{D}\right\}$$

 

  다음의 자명한 성질을 잠시 확인하고 가자.

 

Lemma 6.1.  임의의 $A,B\subset\mathbb{R}^n$ 에 대해 다음이 성립한다.
  (1) $\text{Int }A\cup\text{Int }B\subset\text{Int}(A\cup B)$
  (2) $\text{Int }A\cap\text{Int }B\subset\text{Int}(A\cap B)$

 

  Proof.

  (1) 임의의 $x\in\text{Int }A\cup\text{Int }B$ 를 생각하자. 어떤 $U\in\mathcal{N}_{\mathbb{R}^n}(x)$ 가 존재하여 $A$ 또는 $B$ 에 포함된다. 이는 $U$ 가 $A\cup B$ 에 포함된다는 것이므로 $x\in\text{Int}(A\cup B)$ 를 얻는다.

 

  (2) 임의의 $x\in\text{Int }A\cap\text{Int }B$ 를 생각하자. 어떤 $U_1,U_2\in\mathcal{N}_{\mathbb{R}^n}(x)$ 가 존재하여 $U_1\subset A$ , $U_2\subset B$ 가 성립한다. 이때 $U_1\cap U_2$ 는 $U_1,U_2$ 의 부분집합이므로 $A$ 에도 포함되고 $B$ 에도 포함된다. 이는 $U_1\cap U_2$ 가 $A\cap B$ 에 포함된다는 것이며, $U_1\cap U_2$ 는 여전히 $x$ 를 포함하므로 $x\in\text{Int}(A\cap B)$ 를 얻는다.   $\square$

 

 

  다음의 집합열은 특이적분의 이론에서 중요하게 쓰인다.

 

Lemma 6.2.  임의의 $A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}$ 에 대해 다음의 성질을 만족하는 모임 $\{C_1,C_2,\ldots\}$ 이 존재한다.
  (1) 각 $C_N$ 는 부피를 갖는 콤팩트집합이다.
  (2) 각 $C_i$ 는 $A$ 의 부분집합이며 다음이 성립한다.$$\bigcup_{i=1}^\infty D_i=A$$  (3) 각 자연수 $N$ 에 대해 다음이 성립한다.$$C_N\subset\text{Int }C_{N+1}$$

 

  Proof.  Sup metric 표기법에 따르면 $d(x,y)=|x-y|$ 이다. $B=\mathbb{R}^n\setminus A$ 와 임의의 $x\in\mathbb{R}^n$ 에 대해 다음과 같이 쓰자.

$$d(x,B)=\text{inf}\{d(x,b):b\in B\}$$

  이는 $x$ 에 대한 연속함수임이 알려져있다. (링크의 $\epsilon$-근방 정리 증명 참고) 각 자연수 $N$ 에 대해 다음의 집합을 생각하자.

$$D_N=\left\{x\in\mathbb{R}^n:d(x,B)\ge\frac{1}{N}\land d(x,0)\le N\right\}$$

  이때 모임 $\{D_1,D_2,\ldots\}$ 가 본 정리에서 각 $D_i$ 가 부피를 가짐을 제외한 모든 조건을 만족함을 보이자.

 

  Step 1. 각 $D_N$ 이 콤팩트함을 보이자. 하이네-보렐 정리에 따르면 $D_N$ 이 유계이고 $\mathbb{R}^n$ 에서 닫혀있음을 보이면 된다. 먼저 $D_N$ 은 조건 $d(x,0)\le N$ 에 의해 중심이 0이고 반경이 $N$ 인 rectangle 에 속하므로 $D_N$ 은 유계이다. $D_N$ 이 $\mathbb{R}^n$ 에서 닫혀있음을 보이자. $D_N$ 은 다음의 두 집합 $D_N',D_N''$ 의 교집합이므로 이 두 집합이 $\mathbb{R}^n$ 에서 닫혀있음을 보이면 된다.

$$D_N'=\left\{x\in\mathbb{R}^n:d(x,B)\ge\frac{1}{N}\right\}$$

$$D_N''=\left\{x\in\mathbb{R}^n:d(x,0)\le N\right\}$$

 

  1. $D_N'$ 이 $\mathbb{R}^n$ 에서 닫혀있음을 보이자. 임의의 $x_0\in\mathbb{R}^n\setminus D_N'$ 를 고정하면 $D_N'$ 의 정의에 따라 $d(x_0,B)<\frac{1}{N}$ 이다. 한편 $x$ 에 대한 함수 $d(x,B)$ 는 연속이므로 어떤 $\delta>0$ 이 존재하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\;x\in C_\delta^{\mathbb{R}^n}(x_0)\\\Rightarrow&\;|d(x,B)-d(x_0,B)|<\frac{1}{N}-d(x_0,B)\\\Rightarrow&\; d(x,B)-d(x_0,B)<\frac{1}{N}-d(x_0,B)\\\Rightarrow&\;d(x,B)<\frac{1}{N}\end{align}$$

  따라서 $C_\delta^{\mathbb{R}^n}(x_0)$ 는 $D_N'$ 과 서로소이므로 $\mathbb{R}^n\setminus D_N'$ 에 속한다. 즉 $\mathbb{R}^n\setminus D_N'$ 은 $\mathbb{R}^n$ 에서 열려있으므로 $D_N'$ 은 $\mathbb{R}^n$ 에서 열려있다.

 

  2. $D_N''$ 이 $\mathbb{R}^n$ 에서 닫혀있음을 보이자. 임의의 $x_0\in\mathbb{R}^n\setminus D_N''$ 를 고정하면 $D_N'$ 의 정의에 따라 $d(x_0,B)>N$ 이다. 한편 $x$ 에 대한 함수 $d(x,0)=|x|$ 는 연속이므로 어떤 $\delta>0$ 이 존재하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\;x\in C_\delta^{\mathbb{R}^n}(x_0)\\\Rightarrow&\;|d(x,0)-d(x_0,0)|<d(x_0,0)-N\\\Rightarrow&\;d(x_0,0)-d(x,0)<d(x_0,0)-N\\\Rightarrow&\;d(x,0)>N\end{align}$$

  따라서 $C_\delta^{\mathbb{R}^n}(x_0)$ 는 $D_N''$ 과 서로소이므로 $\mathbb{R}^n\setminus D_N''$ 에 속한다. 즉 $\mathbb{R}^n\setminus D_N''$ 은 $\mathbb{R}^n$ 에서 열려있으므로 $D_N''$ 은 $\mathbb{R}^n$ 에서 열려있다.

 

  Step 2. 각 $D_N$ 이 $A$ 의 부분집합이며 다음이 성립함을 보이자.

$$\bigcup_{i=1}^\infty D_i=A$$

 

  1. $D_N$ 이 $A$ 의 부분집합임을 보이자. 모순을 보이기 위해 어떤 $D_N$ 이 $A$ 의 부분집합이 아니라고 가정하자. 이 경우 어떤 $x\in D_N$ 에 대해 $x\in B$ 가 성립한다. 이때 $D_N$ 의 성질에 따라 $d(x,B)\ge\frac{1}{N}$ 이어야 하는데, $x$ 는 $B$ 에 속하므로 모순. 따라서 원하는 결과를 얻는다.

 

  2. $\{D_1,D_2,\ldots\}$ 의 합집합이 $A$ 임을 보이자. 위의 논의에 따라 각 $D_N$ 은 $A$ 의 부분집합이므로 다음이 성립함을 보이는 것으로 충분하다.

$$A\subset\bigcup_{i=1}^\infty D_i$$

  임의의 $x\in A$ 를 생각하자. $A$ 는 $\mathbb{R}^n$ 에서 열려있으므로 어떤 $\delta>0$ 이 존재하여 $C_\delta^{\mathbb{R}^n}(x)$ 가 $A$ 에 속한다. 이는 다시말해 임의의 $b\in B$ 는 $C_\delta^{\mathbb{R}^n}(x)$ 에 속하지 않으므로 $d(x,b)\ge\delta$ 가 성립한다. 따라서 $\delta\le d(x,B)$ 를 얻는다. 아르키메데스 성질에 따라 $\frac{1}{\delta}$ , $d(x,0)$ 보다 큰 자연수 $N$ 이 존재한다. 이때 다음이 성립한다.

$$d(x,B)\ge\frac{1}{N}\land d(x,0)\le N$$

  따라서 $x\in D_N$ 이 성립한다. 정리하면 임의의 $x\in A$ 에 대해 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 $x\in D_N$ 이 성립하므로 원하는 결과를 얻는다.

 

  Step 3. 각 자연수 $N$ 에 대해 다음이 성립함을 보이자.

$$D_N\subset\text{Int }D_{N+1}$$

  다음의 집합을 생각하자.

$$A_{N+1}=\left\{x\in\mathbb{R}^n:d(x,B)>\frac{1}{N+1}\land d(x,0)<N+1\right\}$$

  이 집합은 다음의 두 집합의 교집합이며, 이 두 집합이 각각 $\mathbb{R}^n$ 에서 열려있음은 step 1 의 증명과 비슷하게 알 수 있으므로 $A_{N+1}$ 은 $\mathbb{R}^n$ 에서 열려있다.

$$\left\{x\in\mathbb{R}^n:d(x,B)>\frac{1}{N+1}\right\}$$

$$\left\{x\in\mathbb{R}^n:d(x,0)<N+1\right\}$$

  한편 정의에 따라 $D_N\subset A_{N+1}$ 및 $A_{N+1}\subset D_{N+1}$ 가 성립함을 알 수 있다. 따라서 $A_{N+1}$ 은 $D_{N+1}$ 에 포함되는 열린집합이므로 다음이 성립한다.

$$A_{N+1}\subset\text{Int }D_{N+1}$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.

 

  Step 4. 이제 본 정리를 증명하자. 임의의 자연수 $N$ 을 고정하고 임의의 $x\in D_N$ 를 고정하자. Step 3 에 따라 $x\in\text{Int }D_{N+1}$ 이므로 어떤 $\delta>0$ 이 존재하여 $C_\delta^{\mathbb{R}^n}(x)$ 이 $\text{Int }D_{N+1}$ 에 포함된다. $x=(x_1,\ldots,x_n)$ 이라고 하면 다음의 $Q_x\in\mathcal{Q}(\mathbb{R}^n)$ 은 $C_\delta^{\mathbb{R}^n}(x)$ 에 포함되므로 $\text{Int }D_{N+1}$ 에도 포함된다.

$$Q_x=\left[x_1-\frac{\delta}{2},x_1+\frac{\delta}{2}\right]\times\cdots\times\left[x_n-\frac{\delta}{2},x_n+\frac{\delta}{2}\right]$$

  이렇게 구성된 모임 $\{Q_x\}_{x\in D_N}$ 은 $D_N$ 의 모든 점을 포함하므로 $D_N$ 을 덮는다. 이때 모임 $\{\text{Int }Q_x\}_{x\in D_N}$ 도 $D_N$ 을 덮으며, $D_N$ 은 콤팩트하므로 다음의 유한모임이 존재하여 $D_N$ 을 덮는다.

$$\{\text{Int }Q_{x_1},\ldots,\text{Int }Q_{x_k}\}$$

  다음과 같이 $C_N$ 을 구성하면 $C_N$ 은 $D_N$ 을 포함하며, Lem 6.1 에 따라 $\text{Int }C_N$ 도 $D_N$ 을 포함한다.

$$C_N=\bigcup_{i=1}^kQ_{x_i}$$

  이때 $C_N$ 은 콤팩트집합의 유한합집합이므로 콤팩트하다. 한편 Thm 2.1 과 Thm 5.1 에 따라 모든 rectangle 은 부피를 갖고, 부피의 additivity 성질에 따라 $C_N$ 도 부피를 갖는다. 또한 각 $Q_{x_i}$ 는 $\text{Int }D_{N+1}$ 에 포함되므로 $C_N$ 도 $\text{Int }D_{N+1}$ 에 포함된다. 정리하면 다음과 같다.

$$D_N\subset\text{Int }C_N\subset C_N\subset\text{Int }D_{N+1}$$

  따라서 다음 식이 성립한다.

$$C_N\subset\text{Int }D_{N+1}\subset D_{N+1}\subset\text{Int }C_{N+1}$$

  그러므로 각 $N$ 에 대해 $C_N\subset\text{Int }C_{N+1}$ 가 성립한다. 한편 $C_N\subset D_{N+1}$ 이고 $D_{N+1}$ 은 $A$ 의 부분집합이므로 $C_N$ 도 $A$ 의 부분집합임을 알 수 있다. 마지막으로 다음이 성립함을 보이자.

$$\bigcup_{i=1}^\infty C_i=A$$

  임의의 $x\in A$ 를 생각하자. Step 3 에 따라 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 $x\in D_N$ 이 성립하며 $D_N\subset C_N$ 이므로 $x\in D_N$ 이 성립한다. 따라서 $A\subset\bigcup_{i=1}^\infty C_i$ 를 얻는다. 임의의 $x\in\bigcup_{i=1}^\infty C_i$ 를 생각하자. 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 $x\in C_N$ 이 성립하며 $C_N\subset D_{N+1}$ 이므로 $x\in D_{N+1}$ 이 성립한다. Step 3 에 따라 $x\in A$ 이므로 $\bigcup_{i=1}^\infty C_i\subset A$ 를 얻는다.   $\square$

 

 

  위 도움정리에 나오는 집합열 $\{C_N\}_{N\in\mathbb{N}}$ 에는 추가적으로 몇 가지 특징을 갖는다. 우선 확대집합열의 특성을 가지므로 유한합집합은 가장 큰 집합과 동일하다. 이를테면 $N_1<\cdots<N_k$ 에 대해 다음과 같다.

$$\bigcup_{i=1}^kC_{N_i}=C_{N_k}$$

  또한 각 자연수 $N$ 에 대해 $C_N\subset C_{N+1}\subset\text{Int }C_{N+1}$ 이므로 다음이 자명하게 성립한다.

$$\bigcup_{i=1}^\infty\text{Int }C_N=A$$

 

  이제 확장된 적분의 새로운 정의를 확인해보자. 다음의 정의는 실제로 특이적분을 계산하는 방법에 대한 도움을 준다.

 

Theorem 6.3.  연속함수 $f:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}\to\mathbb{R}$ 과 Lem 6.2 의 성질을 만족하는 집합열 $\{C_N\}_{N\in\mathbb{N}}$ 을 생각하자. $f$ 가 $A$ 에서 적분가능할 필요충분조건은 수열 $\int_{C_N}|f|$ 가 유계인 것이다. 이때 수열 $\int_{C_N}f$ 가 수렴하며 다음이 성립한다.$$\int_Af=\lim_{N\to\infty}\int_{C_N}f$$

 

  Proof.

  Step 1. $f$ 가 음의 값을 갖지 않을 때 본 정리가 성립함을 보이자. 이 경우 $f=|f|$ 이며 적분의 monotonicity 성질에 따라 수열 $\int_{C_N}f$ 는 증가한다. 단조수렴정리에 따르면 증가수열이 수렴할 필요충분조건은 위로 유계인 것이다. $A$ 의 부분집합인 부피를 갖는 모든 콤팩트집합의 모임 $\mathcal{D}$ 를 생각하자.

 

  ($\Rightarrow$) $f$ 가 $A$ 에서 적분가능하다고 하자. 각 $C_N$ 은 $\mathcal{D}$ 에 포함되므로 다음과 같다.

$$\int_{C_N}f\le\underset{D\in\mathcal{D}}{\text{sup}}\int_Df=\int_Af$$

  따라서 수열 $\int_{C_N}f$ 는 위로 유계이므로 수렴한다. 한편 다음이 성립한다. (링크의 순서극한정리 참고)

$$\lim_{N\to\infty}\int_{C_N}f\le\int_Af$$

 

  ($\Leftarrow$) 수열 $\int_{C_N}f$ 가 위로 유계라고 하자. 이때 이 수열은 수렴한다. 임의의 $D\in\mathcal{D}$ 를 고정하자. 집합열 $\{\text{Int }C_N\}_{N\in\mathbb{N}}$ 은 $A$ 를 덮으므로 $D$ 또한 덮는다. $D$ 는 콤팩트하므로 $\{\text{Int }C_N\}_{N\in\mathbb{N}}$ 의 어떤 유한부분모임에 의해 다시 덮인다. 이때 $\{\text{Int }C_N\}_{N\in\mathbb{N}}$ 는 확대집합열이므로 어떤 자연수 $M$ 에 대해 $D\subset\text{Int }C_M$ 이 성립한다. 적분의 monotonicity 성질에 따라 다음이 성립한다.

$$\int_Df\le\int_{C_M}f\le\lim_{N\to\infty}f$$

  $D$ 를 $\mathcal{D}$ 에서 선택였으므로 집합 $\{\int_Df:D\in\mathcal{D}\}$ 는 위로 유계이며, 정의에 따라 $f$ 는 $A$ 에서 적분가능하다. 한편 다음이 성립한다.

$$\int_Af\le\lim_{N\to\infty}f$$

 

  정리하면 다음이 성립하므로 원하는 결과를 얻는다.

$$\int_Af=\lim_{N\to\infty}\int_{C_N}f$$

 

  Step 2. 일반적인 $f$ 에 대해 본 정리가 성립함을 보이자. 정의에 따르면 $f$ 가 $A$ 에서 적분가능할 필요충분조건은 $f_+,f_-$ 가 $A$ 에서 적분가능한 것이며, step 1 에 따라 이는 수열 $\int_{C_N}f_+,\int_{C_N}f_-$ 가 수렴하는 것과 동치이다. 이때 $f_+,f_-$ 는 음의 값을 갖지 않으므로, 적분의 monotonicity 성질에 따라 $f$ 가 $A$ 에서 적분가능할 필요충분조건은 수열 $\int_{C_N}f_+,\int_{C_N}f_-$ 가 위로 유계임과 동치이다. 임의의 $x\in A$ 에 대해 다음이 자명하다.

$$0\le f_+(x)\le|f(x)|\qquad0\le f_-(x)\le|f(x)|$$

$$|f(x)|=f_+(x)+f_-(x)$$

  이로부터 적분의 linearity, comparison 성질에 따라 수열 $\int_{C_N}f_+,\int_{C_N}f_-$ 가 위로 유계일 필요충분조건은 수열 $\int_{C_N}|f|$ 가 위로 유계임이 자명하다. $\int_{C_N}|f|$ 는 증가수열이므로, 정리하면 $f$ 가 $A$ 에서 적분가능할 필요충분조건은 $\int_{C_N}|f|$ 가 유계이다. 이제 $f$ 가 $A$ 에서 적분가능하다고 가정하고 다음이 성립함을 보이자.

$$\int_Af=\lim_{N\to\infty}\int_{C_N}f$$

  $f$ 가 $A$ 에서 적분가능하면 지금까지의 논의에 따라 수열 $\int_{C_N}f_+,\int_{C_N}f_-$ 가 수렴한다. 한편 $f=f_+-f_-$ 이므로 각 $C_N$ 에 대해 다음과 같다.

$$\int_{C_N}f=\int_{C_N}f_+-\int_{C_N}f_-$$

  따라서 수열 $\int_{C_N}f$ 는 수렴하며 다음과 같다. (링크의 대수극한정리 참고)

$$\lim_{N\to\infty}\int_{C_N}f=\lim_{N\to\infty}\int_{C_N}f_+-\lim_{N\to\infty}\int_{C_N}f_-$$

  한편 step 1 의 결론에 따라 다음과 같다.

$$\lim_{N\to\infty}\int_{C_N}f_+=\int_Af_+$$

$$\lim_{N\to\infty}\int_{C_N}f_-=\int_Af_-$$

  따라서 확장된 적분의 정의에 따라 다음을 얻는다.

$$\begin{align}\lim_{N\to\infty}\int_{C_N}f&=\lim_{N\to\infty}\int_{C_N}f_+-\lim_{N\to\infty}\int_{C_N}f_-\\&=\int_Af_+-\int_Af_-\\&=\int_Af\tag*{$\square$}\end{align}$$

 

 

Corollary 6.4.  연속함수 $f:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}\to\mathbb{R}$ 가 $A$ 에서 적분가능할 필요충분조건은 $|f|$ 가 $A$ 에서 적분가능한 것이다.

 

  Proof.  Lem 6.2 의 성질을 만족하는 집합열 $\{C_N\}_{N\in\mathbb{N}}$ 을 생각하자. Thm 6.3 에 따라 $f$ 가 $A$ 에서 적분가능할 필요충분조건은 수열 $\int_{C_N}|f|$ 가 유계인 것이다. 한편 $|f|=\big||f|\big|$ 이므로 수열 $\int_{C_N}|f|$ 는 $\int_{C_N}\big||f|\big|$ 와 같다. 따라서 수열 $\int_{C_N}|f|$ 가 유계일 필요충분조건은 $|f|$ 가 $A$ 에서 적분가능한 것이므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

특이적분의 성질

 

  특이적분에도 원래의 적분과 아주 유사한 성질이 성립한다.

 

Theorem 6.5 (특이적분의 성질).
  연속함수 $f,g:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}\to\mathbb{R}$ 에 대해 다음이 성립한다.
  (1) (Linearity) $f,g$ 가 $A$ 에서 적분가능하면 $a,b\in\mathbb{R}$ 에 대해 $af+bg$ 도 $A$ 에서 적분가능하며 다음과 같다.$$\int_A(af+bg)=a\int_Af+b\int_Ag$$  (2) (Comparison) $f,g$ 가 $A$ 에서 적분가능하고 임의의 $x\in A$ 에 대해 $f(x)\le g(x)$ 이면 다음과 같다.$$\int_Af\le\int_Ag$$  특히 $|f|$ 가 $A$ 에서 적분가능하며 다음과 같다.$$\left|\int_Af\right|\le\int_A|f|$$  (3) (Monotonicity) $B\subset A$ 의 부분집합 $B\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}$ 에 대해 $f$ 가 음의 값을 갖지 않고 $A,B$ 에서 적분가능하면 다음과 같다.$$\int_Bf\le\int_Af$$  (4) (Additivity) $A_1,A_2\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}$ 에 대해 $A=A_1\cup A_2$ 라고 하자. $f$ 가 $A_1,A_2$ 에서 적분가능하면 $A,A_1\cap A_2$ 에서 적분가능하며 다음과 같다.$$\int_Af=\int_{A_1}f+\int_{A_2}f-\int_{A_1\cap A_2}f$$

 

  Proof.  Lem 6.2 의 성질을 만족하는 집합열 $\{C_N\}_{N\in\mathbb{N}}$ 을 생각하자. 각 $C_N$ 에 대해 $f,g$ 는 $C_N$ 에서 (원래의 의미로) 적분가능하다.

 

  (1) 적분의 linearity 성질과 comparison 성질에 따라 $|f|,|g|,|af+bg|$ 는 $C_N$ 에서 적분가능하며 다음이 성립한다.

$$\int_{C_N}|af+bg|\le|a|\int_{C_N}|f|+|b|\int_{C_N}|g|$$

  Thm 6.3 에 따라 수열 $\int_{C_N}|f|,\int_{C_N}|g|$ 는 유계이며, 따라서 수열 $\int_{C_N}|af+bg|$ 도 유계이므로 $af+bg$ 는 $A$ 에서 적분가능하다. 한편 적분의 linearity 성질에 따라 각 $C_N$ 에 대해 다음과 같다.

$$\int_{C_N}(af+bg)=a\int_{C_N}f+b\int_{C_N}g$$

  Thm 6.3 에 따라 다음을 얻는다.

$$\begin{align}\int_A(af+bg)&=\lim_{N\to\infty}\int_{C_N}(af+bg)\\&=a\lim_{N\to\infty}\int_{C_N}f+b\lim_{N\to\infty}\int_{C_N}g\\&=a\int_Af+b\int_Ag\end{align}$$

 

  (2) 임의의 $x\in C_N$ 에 대해 $f(x)\le g(x)$ 이므로 적분의 comparison 성질에 따라 다음이 성립한다.

$$\int_{C_N}f\le\int_{C_N}g$$

  따라서 다음을 얻는다.

$$\int_Af=\lim_{N\to\infty}\int_{C_N}f\le\lim_{N\to\infty}\int_{C_N}g=\int_Ag$$

 

  (3) $B$ 의 부분집합인 부피를 갖는 모든 콤팩트집합의 모임을 $\mathcal{D}$ 라고 하자. 임의의 $D\in\mathcal{D}$ 에 대해 $D$ 는 $A$ 의 부분집합이기도 하므로 특이적분의 정의에 따라 다음이 자명하다.

$$\int_Df\le\int_Af$$

  즉 $\int_Af$ 는 집합 $\{\int_Df:D\in\mathcal{D}\}$ 의 상계이므로 다음을 얻는다.

$$\int_Bf=\underset{D\in\mathcal{D}}{\text{sup}}\int_Df\le\int_Af$$

 

  (4) Lem 6.2 에서 $A$ 대신 $A_1$ 에 대한 성질을 만족하는 집합열 $\{C_N^{(1)}\}_{N\in\mathbb{N}}$ , $A$ 대신 $A_2$ 에 대한 성질을 만족하는 집합열 $\{C_N^{(2)}\}_{N\in\mathbb{N}}$ 를 생각하자. 이때 각 $N$ 에 대하여 다음과 같이 정의하자.

$$E_N=C_N^{(1)}\cup C_N^{(2)}\qquad F_N=C_N^{(1)}\cap C_N^{(2)}$$

  이때 $\{E_N\}_{N\in\mathbb{N}}$ , $\{F_N\}_{N\in\mathbb{N}}$ 은 각각 부피를 갖는 콤팩트집합으로 이루어진 집합열이며 다음이 성립한다.

$$\begin{align}\bigcup_{i=1}^\infty E_i&=\bigcup_{i=1}^\infty\left(C_i^{(1)}\cup C_i^{(2)}\right)\\&=\left(\bigcup_{i=1}^\infty C_i^{(1)}\right)\cup\left(\bigcup_{i=1}^\infty C_i^{(2)}\right)\\&=A_1\cup A_2\end{align}$$

$$\begin{align}\bigcup_{i=1}^\infty F_i&=\bigcup_{i=1}^\infty\left(C_i^{(1)}\cap C_i^{(2)}\right)\\&=\left(\bigcup_{i=1}^\infty C_i^{(1)}\right)\cap\left(\bigcup_{i=1}^\infty C_i^{(2)}\right)\\&=A_1\cap A_2\end{align}$$

  이제 각 $N$ 에 대해 다음이 성립함을 보이자.

$$E_N\subset\text{Int }E_{N+1}\qquad F_N\subset\text{Int }F_{N+1}$$

  정의에 따라 각 $N$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$C_N^{(1)}\subset\text{Int }C_{N+1}^{(1)}\qquad C_N^{(2)}\subset\text{Int }C_{N+1}^{(2)}$$

  이때 Lem 6.1 에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{align}E_N&=C_N^{(1)}\cup C_N^{(2)}\\&\subset\text{Int }C_{N+1}^{(1)}\cup\text{Int }C_{N+1}^{(1)}\\&\subset\text{Int}\left(C_{N+1}^{(1)}\cup C_{N+1}^{(1)}\right)\\&=\text{Int }E_{N+1}\end{align}$$

$$\begin{align}F_N&=C_N^{(1)}\cap C_N^{(2)}\\&\subset\text{Int }C_{N+1}^{(1)}\cap\text{Int }C_{N+1}^{(1)}\\&\subset\text{Int}\left(C_{N+1}^{(1)}\cap C_{N+1}^{(1)}\right)\\&=\text{Int }F_{N+1}\end{align}$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다. 이제 본 정리를 증명하자. 각 $N$ 에 대해 적분의 additivity 성질에 따라 다음이 성립한다.

$$\int_{E_N}f=\int_{C_N^{(1)}}f+\int_{C_N^{(2)}}f-\int_{F_N}f$$

  이 식은 함수 $|f|$ 의 경우에도 동일하게 성립하므로 다음을 얻는다.

$$\int_{E_N}|f|+\int_{F_N}|f|=\int_{C_N^{(1)}}|f|+\int_{C_N^{(2)}}|f|$$

$$\therefore\int_{E_N}|f|,\int_{F_N}|f|\le\int_{C_N^{(1)}}|f|+\int_{C_N^{(2)}}|f|$$

  한편 전제에서 $f$ 가 $A_1,A_2$ 에서 적분가능하다고 하였으므로 수열 $\int_{C_N^{(1)}}|f|,\int_{C_N^{(2)}}|f|$ 는 위로 유계이다. 따라서 수열 $\int_{E_N}|f|,\int_{F_N}|f|$ 도 위로 유계이며, 따라서 $f$ 는 $A,A_1\cap A_2$ 에서도 적분가능하다. 한편 다음이 성립하므로 원하는 결과를 얻는다.

$$\begin{align}&\;\int_Af\\=&\;\lim_{N\to\infty}\int_{E_N}f\\=&\;\lim_{N\to\infty}\int_{C_N^{(1)}}f+\lim_{N\to\infty}\int_{C_N^{(2)}}f-\lim_{N\to\infty}\int_{F_N}f\\=&\;\int_{A_1}f+\int_{A_2}f-\int_{A_1\cap A_2}f\tag*{$\square$}\end{align}$$

 

 

  이제 "원래의 적분" 과 "확장된 적분" 이 모두 정의가능한 상황에서 어떤 일이 벌어지는지 확인하자. 이는 중요한 과정이다.

 

Theorem 6.6.  $\mathbb{R}^n$ 에서 열린 유계집합 $A$ 와 유계 연속함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 에 대해 다음이 성립한다.
  (1) 적분 $\sideset{^\text{ext}}{}{\int_A}f$ 가 존재한다.
  (2) 적분 $\sideset{^\text{ord}}{}{\int_A}f$ 가 존재한다면 다음과 같다.$$\sideset{^\text{ord}}{}{\int_A}f=\sideset{^\text{ext}}{}{\int_A}f$$

 

  Proof.  $A$ 를 포함하는 임의의 $Q\in\mathcal{Q}(\mathbb{R}^n)$ , Lem 6.2 의 성질을 만족하는 집합열 $\{C_N\}_{N\in\mathbb{N}}$ , $A$ 의 부분집합인 부피를 갖는 모든 콤팩트집합의 모임 $\mathcal{D}$ 를 생각하자.

 

  (1) $f$ 는 유계이므로 어떤 $M>0$ 이 존재하여 임의의 $x\in A$ 에 대해 $|f(x)|\le M$ 이 성립한다. 각 $C_N$ 에 대해 다음이 성립한다. (적분의 성질 및 부피의 정의와 성질 참고)

$$\begin{align}\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{C_N}}|f|&\le\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{C_N}}M\\&=M\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{C_N}}1\\&=Mv(C_N)\\&\le Mv(Q)\end{align}$$

  따라서 수열 $\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{C_N}}|f|$ 는 위로 유계이므로 Thm 6.3 에 따라 $\sideset{^\text{ext}}{}{\int_A}f$ 가 존재한다.

 

  (2)

  Step 1. $f$ 가 음의 값을 갖지 않을 때 본 정리가 성립함을 보이자. 적분 $\sideset{^\text{ord}}{}{\int_A}f$ 가 존재한다고 가정하면 원래의 적분의 정의에 따라 다음이 성립한다.

$$\sideset{^\text{ord}}{}{\int_A}f=\sideset{^\text{ord}}{}{\int_Q}f_A$$

  임의의 $D\in\mathcal{D}$ 를 생각하자. $D$ 에서 $f$ 는 $f_A$ 와 동일한 값을 가지므로 다음과 같다.

$$\begin{align}\sideset{^\text{ord}}{}{\int_D}f&=\sideset{^\text{ord}}{}{\int_D}f_A\\&\le\sideset{^\text{ord}}{}{\int_Q}f_A\qquad\text{by monotonicity}\\&=\sideset{^\text{ord}}{}{\int_A}f\end{align}$$

  따라서 $\sideset{^\text{ord}}{}{\int_A}f$ 는 집합 $\{\sideset{^\text{ord}}{}{\int_D}f:D\in\mathcal{D}\}$ 의 상계이므로 다음을 얻는다.

$$\sideset{^\text{ext}}{}{\int_A}f\le\sideset{^\text{ord}}{}{\int_A}f$$

  이어서 임의의 $P\in\Pi(Q)$ 를 생각하자. $S(P)$ 의 원소 중 $A$ 에 포함되는 것을 $R_1,\ldots,R_k$ 라고 할때 다음과 같다고 하자.

$$D=R_1\cup\cdots\cup R_k$$

  임의의 $R\in S(P)$ 에 대해 만약 $R\subset A$ 라면 $\underset{R}{\text{inf}}\;f_A=\underset{R}{\text{inf}}\;f$ 이고, $R\not\subset A$ 라면 $\underset{R}{\text{inf}}\;f_A=0$ 이므로 다음이 성립한다.

$$\begin{align}L(f_A,P)&=\sum_{R\in S(P)}\left(\underset{R}{\text{inf}}\;f_A\right)v(R)\\&=\sum_{i=1}^k\left(\underset{R_i}{\text{inf}}\;f\right)v(R_i)\end{align}$$

  한편 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\;\sum_{i=1}^k\left(\underset{R_i}{\text{inf}}\;f\right)v(R_i)\\=&\;\sum_{i=1}^k\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{R_i}}\left(\underset{R_i}{\text{inf}}\;f\right)\\\le&\;\sum_{i=1}^k\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{R_i}}f\qquad\text{by comparison}\\=&\;\sideset{^\text{ord}}{}{\int_D}f\qquad\text{by additivity}\\\le&\;\sideset{^\text{ext}}{}{\int_A}f\qquad\text{by definition}\end{align}$$

  정리하면 다음과 같다.

$$L(f_A,P)\le\sideset{^\text{ext}}{}{\int_A}f$$

  이때 $P$ 를 $\Pi(Q)$ 에서 임의로 선택하였으므로 다음을 얻는다.

$$\sideset{^\text{ord}}{}{\int_A}f\le\sideset{^\text{ext}}{}{\int_A}f$$

  따라서 $f$ 가 음의 값을 갖지 않을 때 다음이 성립한다.

$$\sideset{^\text{ord}}{}{\int_A}f=\sideset{^\text{ext}}{}{\int_A}f$$

 

  Step 2. 일반적인 $f$ 에 대해 본 정리가 성립함을 보이자. 적분 $\sideset{^\text{ord}}{}{\int_A}f$ 가 존재한다고 가정하면 linearity 에 따라 $\sideset{^\text{ord}}{}{\int_A}(-f)$ 도 존재하며, Lem 4.2 에 따라 $\sideset{^\text{ord}}{}{\int_A}f_+$ , $\sideset{^\text{ord}}{}{\int_A}f_-$ 도 존재한다. Step 1 에 따라 다음이 성립하므로 원하는 결과를 얻는다.

$$\begin{align}&\;\sideset{^\text{ord}}{}{\int_A}f\\=&\;\sideset{^\text{ord}}{}{\int_A}f_+-\sideset{^\text{ord}}{}{\int_A}f_-\qquad\text{by linearity}\\=&\;\sideset{^\text{ext}}{}{\int_A}f_+-\sideset{^\text{ext}}{}{\int_A}f_-\qquad\text{by Step 1}\\=&\;\sideset{^\text{ext}}{}{\int_A}f\qquad\text{by definition}\tag*{$\square$}\end{align}$$

 

 

  위의 정리의 일부는 유계 연속함수가 열린 유계집합에서 항상 확장된 의미로 적분가능함을 말한다. 다음의 정리를 확인하자.

 

Corollary 6.7.  유계집합 $S\subset\mathbb{R}^n$ 과 유계 연속함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 에 대해 $\sideset{^\text{ord}}{}{\int_S}f$ 가 존재한다면 다음과 같다.$$\sideset{^\text{ord}}{}{\int_S}f=\sideset{^\text{ext}}{}{\int_{\text{Int }S}}f$$

 

  Proof.  우선 Thm 6.6 에 따라 $\sideset{^\text{ext}}{}{\int_{\text{Int }S}}f$ 의 존재성이 보장된다. Thm 4.6 에 따르면 $\sideset{^\text{ord}}{}{\int_S}f$ 가 존재하는 경우 $\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{\text{Int }S}}f$ 도 존재하며 다음이 성립한다.

$$\sideset{^\text{ord}}{}{\int_S}f=\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{\text{Int }S}}f$$

  다시 Thm 6.6 에 따라 다음이 성립하므로 원하는 결과를 얻는다.

$$\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{\text{Int }S}}f=\sideset{^\text{ext}}{}{\int_{\text{Int }S}}f\tag*{$\square$}$$

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

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