[변수변환정리] ch2. 미분동형사상

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치환적분법

 

 

  치환적분은 이번 시리즈에서 증명할 변수변환정리의 1변수 버전이다. (엄밀히 하면 변수변환정리는 열린집합에서의 적분을 다루므로 미세한 차이점이 있다) 1변수 적분에 대한 다음의 편리한 표기법을 이용하자.

 

 

  Definition.  적분가능함수 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 에 대해 다음과 같이 표기하자.$$\int_a^bf=\int_{[a,b]}f$$  특히 다음과 같이 표기하자. 이는 구간의 end points 의 순서가 주어지지 않았을 때에 유용하다.$$\int_b^af=-\int_a^bf$$

 

 

   Lemma 2.1.  미분가능함수 $g:[a,b]\to\mathbb{R}$ 를 생각하자. 임의의 $x\in(a,b)$ 에 대해 $Dg(x)\neq 0$ 이면 $g([a,b])$ 는 end points 가 $g(a),g(b)$ 인 닫힌구간이다. 이때 $Dg>0$ 또는 $Dg<0$ 이며, $Dg>0$ 이면 $g(a)<g(b)$ 이고 $Dg<0$ 이면 $g(a)>g(b)$ 이다.

 

 

  Proof. 

  Step 1. $g([a,b])$ 는 end points 가 $g(a),g(b)$ 인 닫힌구간임을 보이자. 편의상 $g(a)<g(b)$ 라고 가정하자. $g$ 는 연속이므로 사잇값 정리에 따라 임의의 $L\in(g(a),g(b))$ 을 함수값으로 갖는다. 따라서 다음이 성립한다.

$$[g(a),g(b)]\subset g([a,b])$$

  모순을 보이기 위해 $g$ 가 $[g(a),g(b)]$ 밖의 어떤 값을 함수값으로 갖는다고 가정하자. 만약 $g(c)<g(a)$ 인 어떤 $c\in[a,b]$ 가 존재하면 $g(a)\in(g(c),g(b))$ 이므로 사잇값 정리에 따라 $g(d)=g(a)$ 인 $d\in(c,b)$ 가 존재한다. 롤의 정리에 따라 어떤 $e\in(c,d)$ 가 존재하여 $Dg(e)=0$ 이 성립해야 하며 이는 가정에 모순된다. $g(b)$ 보다 큰 함수값을 갖는 경우에도 비슷하게 모순을 보일 수 있다. 따라서 $g$ 는 $[g(a),g(b)]$ 밖의 함수값을 갖지 않으므로 다음을 얻는다.

$$[g(a),g(b)]=g([a,b])$$

 

  Step 2. $Dg>0$ 또는 $Dg<0$ 임을 보이자. 다르부 정리에 따르면 $Dg$ 는 양의 값과 음의 값을 모두 가질경우 0의 값도 가져야 하므로 $Dg$ 는 양의 값만 갖거나 음의 값만 가져야 한다. 따라서 원하는 결과를 얻는다.

 

  Step 3. $g(a)\neq g(b)$ 임을 보이자. 롤의 정리에 따르면 $g(a)=g(b)$ 일 경우 어떤 $c\in(a,b)$ 에 대해 $Dg(c)=0$ 이어야 하므로 원하는 결과를 얻는다.

 

  Step 4. $Dg>0$ 이면 $g(a)<g(b)$ 임을 보이자. 모순을 보이기 위해 $g(a)>g(b)$ 라고 가정하자. 평균값 정리에 따르면 어떤 $c\in(a,b)$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$Dg(c)=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}$$

  이때 $Dg(c)<0$ 이어야 하므로 모순. Step 3 에 따라 $g(a)\neq g(b)$ 이므로 원하는 결과를 얻는다. 비슷하게 $Dg<0$ 이면 $g(a)>g(b)$ 임을 보일 수 있다.   $\square$

 

 

 

  Theorem 2.2 (치환적분법, substitution rule).
  $I=[a,b]$ 와 $C^1$ 급함수 $g:I\to\mathbb{R}$ 를 생각하자. 임의의 $x\in(a,b)$ 에 대해 $Dg(x)\neq 0$ 이면 $g(I)$ 는 end points 가 $g(a),g(b)$ 인 닫힌구간 $J$ 이며 연속함수 $f:J\to\mathbb{R}$ 에 대해 다음이 성립한다.$$\int_{g(a)}^{g(b)}f=\int_a^b(f\circ g)Dg\tag{1}$$  이는 다음과 동치이다.$$\int_Jf=\int_I(f\circ g)|Dg|\tag{2}$$

 

 

  Proof.  $g(a),g(b)$ 중 작은 것을 $c$ , 큰 것을 $d$ 라고 하면 $J=[c,d]$ 이다. 다음의 함수 $F:J\to\mathbb{R}$ 을 생각하자.

$$F(y)=\int_c^yf$$

  미적분학의 기본정리에 따르면 $DF=f$ 이다. 합성함수 $h=F\circ g$ 에 대해 연쇄법칙에 따라 다음이 성립한다.

$$Dh=(DF\circ g)Dg=(f\circ g)Dg$$

  이때 함수 $(f\circ g)Dg$ 는 연속이므로 미적분학의 기본정리에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{align}\int_a^b(f\circ g)Dg&=\int_a^bDh\\&=h(b)-h(a)\\&=F(g(b))-F(g(a))\\&=\int_c^{g(b)}f-\int_c^{g(a)}f\end{align}$$

  이때 $c$ 는 $g(b)$ 또는 $g(a)$ 이며 둘 중 어느 것이든 다음을 얻는다.

$$\int_a^b(f\circ g)Dg=\int_{g(a)}^{g(b)}f$$

  이제 본 정리의 식 (2)를 증명하자. Lem 2.1 에 따르면 $Dg>0$ 또는 $Dg<0$ 이다. $Dg>0$ 인 경우 $|Dg|=Dg$ 이며 $g(a)<g(b)$ 이므로 식 (1)은 자명하게 식 (2)와 같다. $Dg<0$ 인 경우 $|Dg|=-|Dg|$ 이며 $g(a)>g(b)$ 이므로 다음이 성립한다.

$$\begin{align}\int_I(f\circ g)|Dg|&=-\int_I(f\circ g)Dg\\&=-\int_a^b(f\circ g)Dg\\&=-\int_{g(a)}^{g(b)}f\\&=\int_{g(b)}^{g(a)}f\\&=\int_Jf\tag*{$\square$}\end{align}$$

 

 

 

치환적분법의 예시

 

 

  치환적분법은 한 번에 계산하기 어려운 적분을 풀기 쉬운 모양으로 바꾸는데 활용된다.

 

 

  ▷ 예시 1.  다음의 적분을 계산하자.

$$\int_{x=0}^{x=1}(2x^2+1)^{10}(4x)$$

  함수 $f(y)=y^{10}$ 과 $g(x)=2x^2+1$ 을 생각하자. $Dg(x)=4x$ 는 $(0,1)$ 에서 0의 값을 갖지 않으므로 치환적분법에 따라 다음과 같이 보다 쉬운 적분으로 바꾸어 계산할 수 있다.

$$\begin{align}\int_{x=0}^{x=1}(2x^2+1)^{10}(4x)&=\int_0^1(f\circ g)Dg\\&=\int_{g(0)}^{g(1)}f\\&=\int_{y=1}^{y=3}y^{10}\\&=\frac{3^{11}-1}{11}\end{align}$$

 

  ▷ 예시 2.  다음의 적분을 계산하자.

$$\int_{y=-1}^{y=1}\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$$

  다음의 두 함수를 생각하자.

$$f:[-1,1]\to\mathbb{R},\;f(y)=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$$

$$g:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to\mathbb{R},\;g(x)=\text{sin }x$$

  이때 $Dg(x)=\text{cos }x$ 는 $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ 에서 0의 값을 갖지 않으며, $g\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1$ 및 $g\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$ 이므로 치환적분법에 따라 다음과 같이 보다 쉬운 적분으로 바꾸어 계산할 수 있다.

$$\begin{align}\int_{y=-1}^{y=1}\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}&=\int_{g\left(-\frac{\pi}{2}\right)}^{g\left(\frac{\pi}{2}\right)}f\\&=\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}(f\circ g)Dg\\&=\int_{x=-\frac{\pi}{2}}^{x=\frac{\pi}{2}}\frac{\text{cos }x}{\sqrt{1-\text{sin}^2x}}\\&=\int_{x=-\frac{\pi}{2}}^{x=\frac{\pi}{2}}1\\&=\pi\end{align}$$

 

  

 

미분동형사상

 

 

  치환적분법을 임의의 n차원으로 확장하기 위해서는 몇 가지 작업이 필요하다. 우선 치환적분법에 나오는 함수 $g$ 를 일반화하여 다음과 같이 분류하자.

 

 

  Definition.  $C^r$ 급 단사함수 $g:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}\to\mathbb{R}^n$ 이 임의의 $x\in A$ 에 대해 $Dg\neq 0$ 을 만족하면 $g$ 를 $\mathbb{R}^n$ 의 $C^r$ 급 변수변환(change of variables)이라고 한다.

 

※ 단사함수는 함수의 공역을 적절히 제한하여 일대일대응을 자명히 얻을 수 있음에 유의하자.

 

  설명 없이 "변수변환 $g:A\to\mathbb{R}^n$" 이라고 한다면 $A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}$ 이고 $C^r$ 급($r\ge 1$) 변수변환을 의미한다고 하자.

 

  이러한 정의로부터 다음의 정리를 얻을 수 있다. 이는 본 시리즈의 중심 주제인 변수변환정리이며, 아직 증명하지 않을 것이다.

 

 

  변수변환 $g:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}\to\mathbb{R}^n$ 과 연속함수 $f:g(A)\to\mathbb{R}$ 에 대해 $f$ 가 $g(A)$ 에서 적분가능할 필요충분조건은 $(f\circ g)|\text{det }Dg|$ 가 $A$ 에서 적분가능한 것이며 다음이 성립한다.$$\int_{g(A)}f=\int_A(f\circ g)|\text{det }Dg|$$

 

※ 변수변환정리는 열린집합 위의 적분이므로 확장된 의미의 적분을 사용함에 유의하자.

 

  이때 변수변환과 동치인 좋은 정의가 존재한다.

 

 

  Definition.  $A,B\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}$ 에 대해 일대일대응 $g:A\to B$ 가 존재한다고 하자. 만약 $g$ 와 $g^{-1}$ 가 모두 $C^r$ 급이면 $g$ 를 $\mathbb{R}^n$ 의 $C^r$ 급 미분동형사상(diffeomorphism)이라고 한다.

 

 

  설명 없이 "$\mathbb{R}^n$ 의 미분동형사상 $g:A\to B$" 라고 한다면 $A,B\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}$ 이며 $C^r$ 급($r\ge 1$) 미분동형사상을 의미한다고 하자.

 

 

  Theorem 2.3.  변수변환과 미분동형사상은 동치이다.

 

※ 이 정리로부터 알 수 있는 사실은 다음과 같다.

 

  1. $\mathbb{R}^n$ 의 $C^r$ 급 변수변환의 치역은 $\mathbb{R}^n$ 에서 열린집합이고 그 역함수도 $C^r$ 급이다.

  2. $\mathbb{R}^n$ 의 $C^r$ 급 미분동형사상은 도함수가 0의 값을 갖지 않는다.

 

  Proof.

  ($\Rightarrow$)  $\mathbb{R}^n$ 의 $C^r$ 급 변수변환 $g:A\to\mathbb{R}^n$ 을 생각하자. 링크의 Lem 5.3 에 따라 $g(A)\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}$ 이며 역함수가 $C^r$ 급이므로 $g:A\to g(A)$ 는 미분동형사상이다.

 

  ($\Leftarrow$) $\mathbb{R}^n$ 의 $C^r$ 급 미분동형사상 $g:A\to B$ 를 생각하자. 임의의 $x\in A$ 에 대해 연쇄법칙에 따라 다음이 성립한다.

$$I_n=D(g^{-1}\circ g)(x)=Dg^{-1}(g(x))Dg(x)$$

  따라서 $Dg(x)\neq 0$ 이므로 $g:A\to\mathbb{R}^n$ 은 변수변환이다.   $\square$

 

 

 

  이로부터 변수변환정리의 서술을 좀 더 편하게 할 수 있다.

 

 

  $\mathbb{R}^n$ 의 미분동형사상 $g:A\to B$ 와 연속함수 $f:B\to\mathbb{R}$ 에 대해 $f$ 가 $B$ 에서 적분가능할 필요충분조건은 $(f\circ g)|\text{det }Dg|$ 가 $A$ 에서 적분가능한 것이며 다음이 성립한다.$$\int_Bf=\int_A(f\circ g)|\text{det }Dg|$$

 

 

 

변수변환정리의 예시

 

 

  아직 증명하지 않았지만, 변수변환정리를 어떻게 활용할 수 있는지 살펴보자.

 

  ▷ 예시 1.  다음의 적분을 계산하자.

$$B=\{(x,y):x>0\land y>0\land x^2+y^2<a^2\}$$

$$\int_Bx^2y^2$$

  주어진 적분식은 확장된 의미의 적분을 의미함에 유의하자. 다음과 같이 함수를 정의하자.

$$A=(0,a)\times\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$

$$g:A\to B,\;g(r,\theta)=(r\;\text{cos }\theta,r\;\text{sin }\theta)$$

  이는 일대일대응임이 자명하다. 이때 임의의 $(r,\theta)\in A$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\begin{align}Dg(r,\theta)&=\begin{pmatrix}\frac{\partial g_1}{\partial r}&\frac{\partial g_1}{\partial\theta}\\\frac{\partial g_2}{\partial r}&\frac{\partial g_2}{\partial\theta}\end{pmatrix}(r,\theta)\\&=\begin{pmatrix}\text{cos }\theta&-r\;\text{sin }\theta\\\text{sin }\theta&r\;\text{cos }\theta\end{pmatrix}\end{align}$$

  따라서 $Dg(r,\theta)=r>0$ 이므로 $g$ 는 미분동형사상이다. 변수변환정리에 따르면 다음이 성립한다.

$$\int_Bx^2y^2=\int_A(r\;\text{cos }\theta)^2(r\;\text{sin }\theta)^2r=\int_Ar^5\text{cos }^2\theta\;\text{sin }^2\theta$$

  이때 $A'=[0,a]\times\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ 라고 하면 $\text{Int }A'=A$ 이며 링크의 Cor 6.7 에 따라 다음이 성립한다.

$$\int_{A'}r^5\text{cos }^2\theta\;\text{sin }^2\theta=\int_Ar^5\text{cos }^2\theta\;\text{sin }^2\theta$$

  위 식의 좌변은 원래의 의미의 적분을 의미한다. 푸비니 정리에 따라 다음을 계산하는 것으로 원하는 결과를 얻을 수 있다.

$$\begin{align}&\;\int_{A'}r^5\text{cos }^2\theta\;\text{sin }^2\theta\\=&\;\int_{\theta=0}^{\theta=\frac{\pi}{2}}\int_{r=0}^{r=a}r^5\text{cos }^2\theta\;\text{sin }^2\theta\end{align}$$

 

  ▷ 예시 2.  다음의 적분을 계산하자.

$$W=\{(x,y):x^2+y^2<a^2\}$$

$$\int_Wx^2y^2$$

  이 문제의 경우, 예시 1의 함수 $g$ 에 대해 적절한 열린집합 $E$ 를 찾아 $g:E\to W$ 가 일대일대응이 되도록 할 수 없다. 아니다. 따라서 약간의 트릭이 필요하다. $f(x,y)=x^2y^2$ 라고 하면 $f_W$ 는 거의 모든 곳에서 연속이므로 $f$ 는 $W$ 에서 원래의 의미로 적분가능하며 링크의 Thm 6.6 에 따라 원래의 적분과 확장된 적분은 값이 같다. 다음의 집합은 영점을 포함하는 양의 x-축을 의미한다.

$$I=\{(x,y):x\le 0\land y=0\}$$

  원래의 적분의 성질에 따라 다음을 얻는다.

$$\int_Wx^2y^2=\int_{W\setminus I}x^2y^2+\int_{W\cap I}x^2y^2$$

  한편 $W\cap I$ 의 측도는 0이므로 링크의 Thm 2.3 에 따라 다음을 얻는다.

$$\int_{W\cap I}x^2y^2=0$$

$$\therefore\int_Wx^2y^2=\int_{W\setminus I}x^2y^2$$

  좌변의 적분은 다시 확장된 의미로도 존재하고 그 값이 같다. $U=(0,a)\times(0,2\pi)$ 라고 하면 $g:U\to W$ 는 일대일대응이며 예시 1과 같이 주어진 적분을 잘 계산할 수 있다.

 

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

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