Convention. ▷ 이란 에서 열린집합의 모임이다. ▷ 란 의 근방의 모임, 즉 에서 열린 를 포함하는 집합의 모임이다. ▷ 이란 의 rectangles 의 모임이다. (비표준)
몇 가지 도움정리
이번 포스팅에서 알아볼 개념은 단위분할로, 조그만 부분을 다 더해서 전체로 확장시키는 개념을 갖는 도구이다. 자세한 정의를 확인하면 무엇을 의미하는지 확실하게 드러나지만, 그 존재성의 증명은 쉽지만은 않다. 다음의 도움정리부터 시작하자.
Lemma 1.1 (베르누이 부등식, Bernoulli's inequality). 임의의 와 임의의 에 대해 다음 부등식이 성립한다.
Proof. 에 대한 귀납법으로 증명하자. 인 경우 정리가 자명하게 성립한다. 에서 정리가 성립한다고 가정하고 에서 정리가 성립함을 보이자. 다음 식이 성립하므로 원하는 결과를 얻는다.
Lemma 1.2. 다음의 함수 은 급이다.
Proof. 각 에 대해 다음의 함수 을 정의하자.
Step 1. 임의의 에 대해 임을 보이자. 인 경우에는 이므로 자명하게 성립한다. 이라고 가정하자. 임의의 에 대해 베르누이 부등식에 따라 다음이 성립한다.
따라서 다음이 성립하므로 원하는 결과를 얻는다.
Step 2. 가 연속임을 보이자. 이는 에서 연속임을 보이는 것 만으로도 충분하다. 임의의 에 대해 이라고 하자. 인 경우 이므로 이 자명하게 성립한다. 인 경우 step 1 에 따라 다음이 성립한다.
정리하면 다음과 같으므로 원하는 결과를 얻는다.
Step 3. 이 연속임을 보이자. 이는 에서 연속임을 보이는 것 만으로도 충분하다. Step 1 에 따라 에 대해 다음이 성립한다.
따라서 임의의 에 대해 다음이 성립한다.
임의의 을 생각하자. Step 2 에 따라 는 에서 연속이므로 어떤 이 존재하여 다음이 성립하므로 원하는 결과를 얻는다.
Step 4. 이 미분가능함을 보이자. 이는 에서 미분가능함을 보이는 것 만으로도 충분하다. 에 대해 다음이 성립한다.
한편 은 step 3 에 따라 에서 연속이므로 다음이 성립한다.
따라서 은 에서 미분가능하며, 특히 이므로 이다.
Step 4. 모든 에 대해 다음 식이 성립함을 보이자.
이라면 step 3 에 따라 이므로 위 식이 자명하게 성립한다. 이라고 가정하면 다음이 성립하므로 원하는 결과를 얻는다.
Step 5. 각 이 급임을 보이자. 귀납법으로 증명하자. Step 4 에 따라 각 은 두 연속함수의 합성이므로 연속이며, 따라서 각 은 급이다. 각 이 급이라고 가정하고 급임을 보이자. Step 4 와 귀납법 가정에 따라 각 은 두 급 함수의 합성이므로 급이며, 따라서 은 급이다. (링크의 Thm 3.3 참고) 따라서 원하는 결과를 얻는다.
Step 6. 본 정리를 증명하자. 임의의 에 대해 이므로 는 급이다.
Lemma 1.3. 임의의 에 대해 다음을 만족하는 급함수 이 존재한다.
Proof. Lem 1.2 의 함수 에 대해 함수 를 라고 정의하면 는 급이며 에서 양의 값을 갖고 그 밖에서는 0이다.
Rectangle 가 다음과 같다고 하자.
를 다음과 같이 정의하면 주어진 조건을 만족한다.
Lemma 1.4. 임의의 을 생각하자. 의 합집합을 라고 할때 각 원소가 의 부분집합인 어떤 가산모임 이 존재하여 다음을 만족한다. (1) 모임 는 를 덮는다. (2) 각 는 의 어느 원소의 부분집합이다. (3) 의 각 점은 중 오직 유한개의 원소와만 겹치는 어떤 근방을 갖는다.
※ 세 번째 조건은 국소유한조건(local finiteness condition) 이라고 한다. 이는 다른 정리에서도 종종 찾아볼 수 있다.
Proof. 다음의 조건을 만족하는 집합열 를 생각하자. (존재성은 링크의 Lem 6.2 참고)
1. 각 는 콤팩트집합이다.
2. 각 는 의 부분집합이며 가 성립한다.
3. 각 자연수 에 대해 가 성립한다.
편의를 위해 이라고 하자. 각 자연수 에 대해 이라고 정의하자. 이때 은 과 의 교집합이므로 콤팩트하다. 또한 이므로 은 와 서로소이다. 따라서 각 에 대해 이므로 어떤 이 존재하여 가 에 속한다. 한편 는 에 포함되므로 의 어떤 원소에 포함된다. 이때 의 각 원소는 에서 열려있으므로, 어떤 이 존재하여 가 의 어떤 원소에 포함된다. 라고 할때 다음과 같이 집합 를 정의하면 는 에 포함되므로 와 의 어떤 원소에 포함된다.
이때 모임 은 콤팩트집합 을 덮으므로 어떤 유한부분모임 이 존재하여 을 다시 덮는다. 이때 라고 하자. 라고 하면 는 rectangles 의 가산모임이다. (링크의 Thm 2.5 참고) 이때 가 주어진 조건을 만족하는지 확인하자.
(2) 정의에 따라 의 각 원소는 의 어떤 원소의 부분집합이다.
(1) 의 각 원소의 interior 의 모임이 를 덮음을 확인하자. 각 에 대해 를 만족하는 가장 작은 자연수 를 선택하자. (이러한 의 존재성은 정렬원리에 의해 보장됨) 이때 다음이 성립한다.
이때 에 속하는 rectangles 의 interior 들은 를 덮으므로, 는 이 rectangles 중 하나의 interior 에 속한다. 따라서 원하는 결과를 얻는다.
(3) 국소유한조건을 확인하자. 임의의 에 대해 어떤 가 존재하여 가 성립한다. 이때 모임 에 속하는 rectangles 는 와 겹치지 않으므로 는 오직 에 속하는 몇몇 rectangles 와 겹친다. 이때 는 의 근방이며 이는 에 속하는 유한개의 원소와만 겹치므로 원하는 결과를 얻는다.
단위분할
Definition. 에 대해 다음의 집합을 의 지지집합(support)이라고 한다. 만약 가 콤팩트하면 가 콤팩트 지지를 갖는다고 하고, 가 콤팩트 지지함수라고 한다.
위 정의에 따르면, 일 필요충분조건은 어떤 가 존재하여 에서 가 0인 것이다.
Theorem 1.5 (단위분할의 존재성). 임의의 과 의 합집합 에 대해 다음을 만족하는 함수의 가산집합 이 존재한다. (1) 모든 에 대해 이다. (2) 각 는 에 속한다. (3) 의 각 점은 중 오직 유한개와 겹치는 근방을 갖는다. (4) 모든 에 대해 이다. (5) 각 는 급이다. (6) 각 는 콤팩트 지지를 갖는다. (7) 각 는 의 어떤 원소의 부분집합이다.
함수의 가산집합 이 위의 몇 조건을 만족하면 다음과 같이 부른다.
(1)~(4): 가 의 단위분할(partition of unity)이다.
(5): 가 급이다.
(6): 가 콤팩트 지지를 갖는다
(7): 가 에 종속된다.
따라서 이 정리는 임의의 와 의 합집합 에 대해 " 에 종속되고 콤팩트 지지를 갖는 의 급 단위분할" 이 존재함을 말한다. 오직 단위분할의 존재성 뿐 아니라 여러가지 성질을 갖는 단위분할의 존재성을 검토하는 이유는, 그렇게 하여도 어렵지 않으며 그 자체로 오롯이 단위분할의 존재성을 함의하기 때문이다.
Proof. 주어진 에 대해 Lem 1.4 를 만족하는 가산모임 을 생각하자. Lem 1.3 에 따르면 각 에 대해 에서 양의 값을 갖고 그 밖에서는 0인 급함수 이 존재한다. {조건 (1), (5) 성립} 이때 이므로 는 콤팩트하며, {조건 (6) 성립} Lem 1.4 의 조건에 따라 는 의 어떤 원소에 속하고, {조건 (2), (7) 성립} 의 각 점은 중 오직 유한개와 겹치는 근방을 갖는다. {조건 (3) 성립} 따라서 는 (4)를 제외한 모든 조건을 자동으로 만족한다.
(4) 조건 (3)에 따르면 임의의 에 대해 중 오직 유한개를 제외한 모든 함수가 에서 0이다. 따라서 다음과 같이 정의한 급수는 모든 에서 반드시 수렴한다.
이때 는 임의의 의 근방에서 중 오직 유한개의 함수의 합과 같으므로 급이다. 또한 임의의 에 대해 를 interior 에 포함하는 rectagle 가 존재하므로 이며, 따라서 는 양의 값만을 갖는다. 따라서 각 에 대해 다음의 함수 이 잘 정의된다.
이때 는 주어진 조건을 모두 만족한다.
단위분할의 존재성 정리의 조건 (3)인 국소유한조건에 따라 다음의 따름정리를 얻는다.
Corollary 1.6. 의 단위분할 과 콤팩트집합 에 대해 를 포함하는 어떤 이 존재하여 중 오직 유한개를 제외한 모든 함수가 에서 0이다.
Proof. 각 에 대해, 단위분할의 국소유한조건에 따라 어떤 가 존재하여 는 중 오직 유한개와 겹친다. 이때 와 겹치는 지지집합의 유한모임을 라고 하자. 이때 를 제외한 의 모든 함수가 에서 0이다. 모임 는 를 덮으며, 는 콤팩트하므로 유한부분모임 에 의해 다시 덮인다. 다음과 같이 정의하자.
이때 유한모임 를 제외한 의 모든 함수는 에서 0이므로 원하는 결과를 얻는다.
단위분할과 적분
단위분할은 작은 집합에서 정의되는 성질을 더 큰 집합으로 자연스럽게 확장하는 방법으로 활용되곤 한다. 확장된 의미의 적분가능성도 이러한 방식으로 활용할 수 있다. 다음의 도움정리부터 시작하자.
Lemma 1.7. 연속함수 가 콤팩트집합 밖에서 0이면 는 에서 (확장된 의미로) 적분가능하고 에서 (원래의 의미로) 적분가능하며 다음이 성립한다.
Step 1. 이 연속임을 보이자. () 의 임의의 점의 어떤 근방에서 이므로 는 에서 연속이고, 의 임의의 점의 어떤 근방에서 이므로 는 에서 연속이다. 임의의 를 생각하자. 이므로 이며, 는 열린집합이므로 의 어떤 근방에서 이다. 따라서 는 에서 연속이며, 정리하면 는 에서 연속이다.
Step 2. 가 에서 (원래의 의미로) 적분가능함을 보이자. 하이네-보렐 정리에 따라 는 유계이므로 를 포함하는 가 존재한다. 는 에서 연속이므로 르베그 판정법에 따라 는 에서 (원래의 의미로) 적분가능하며, 따라서 는 에서 원래의 의미로 적분가능하다.
Step 3. 이제 본 정리를 증명하자. 링크의 Lem 6.2 의 성질을 만족하는 집합열 을 생각하자. 집합열 은 를 덮으므로 도 덮으며, 는 콤팩트하므로 이 중 유한모임으로 다시 덮인다. 이 유한모임에서 가장 큰 원소(집합)을 이라고 하자. 이 성립하며 밖에서 이므로 보다 큰 자연수 에 대해 다음이 성립한다.
이는 함수 에 대해서도 동일하게 적용되며, 적분의 성질(링크의 Thm 4.3 중 monotonicity)에 따라 는 수열 의 상한이다. 따라서 링크의 Thm 6.3 에 따라 는 에서 (확장된 의미로) 적분가능하며 다음이 성립하므로 원하는 결과를 얻는다.
위의 도움정리에 따르면, 콤팩트 지지를 갖는 의 단위분할 에 대해 는 밖에서 0이므로 는 에서 (확장된 의미로) 적분가능하다. 이제 다음의 정리를 확인하자.
Theorem 1.8. 연속함수 과 콤팩트 지지를 갖는 의 단위분할 에 대해 가 에서 (확장된 의미로) 적분가능할 필요충분조건은 다음의 급수가 수렴하는 것이다. 이때 다음이 성립한다.
Proof. 에 속하는 부피를 갖는 모든 콤팩트집합의 모임을 라고 하자.
Step 1. 먼저 가 음의 값을 갖지 않을 때 정리가 성립함을 보이자. 이 경우 이다.
() 급수 가 수렴한다고 하자. 임의의 를 고정하자. Cor 1.6 에 따르면 어떤 자연수 에 대해 이면 에서 이다. 따라서 임의의 에 대해 다음이 성립한다.
따라서 다음이 성립한다.
이때 는 콤팩트집합 밖에서 0이므로 Lem 1.7 에 따라 다음과 같다.
따라서 다음을 얻는다.
를 에서 임의로 선택하였으므로 특이적분의 정의에 따라 는 에서 (확장된 의미로) 적분가능하며 다음을 얻는다.
() 가 에서 (확장된 의미로) 적분가능하다고 하자. 링크의 Thm 6.3 에 따르면 링크의 Lem 6.2 의 성질을 만족하는 집합열 에 대해 수열 는 위로 유계이다. 이때 모든 에 대해 적분의 comparison 성질에 따라 다음과 같다.
따라서 수열 도 위로 유계이다. 그러므로 다시 링크의 Thm 6.3 에 따라 각 는 에서 (확장된 의미로) 적분가능하다. 임의의 자연수 에 대해 다음이 성립한다.
따라서 급수 는 위로 유계이므로 수렴한다. 한편 다음이 성립한다.
위의 결과를 종합하면 다음을 얻는다.
Step 2. 일반적인 에 대해 본 정리를 증명하자. 링크의 Cor 6.4 에 따르면 가 에서 (확장된 의미로) 적분가능할 필요충분조건은 가 에서 (확장된 의미로) 적분가능한 것이며, step 1 에 따르면 이는 급수 가 수렴하는 것과 동치이다. 한편 이고 는 음의 값을 갖지 않으므로 step 1 에 따라 다음이 성립하여 원하는 결과를 얻는다.
읽어주셔서 감사합니다.
References)
[1] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.
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