[변수변환정리] ch3. 미분동형사상의 성질

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미분동형사상의 성질

 

 

  다음의 정리에 따르면 미분동형사상은 측도 0을 보존한다.

 

 

  Lemma 3.1.  $C^1$ 급함수 $g:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}\to\mathbb{R}^n$ 과 측도가 0인 $E\subset A$ 에 대해 $g(E)$ 의 측도는 0이다.

 

 

  Proof.

  Step 1. 임의의 $Q\in\mathcal{Q}(\mathbb{R}^n)$ 과 임의의 $\delta>0$ 을 생각하자. 이때 $Q$ 는 각각의 width 가 $\delta$ 보다 작고 total volume 이 $2v(Q)$ 보다 작은 rectangles 의 유한모임으로 덮임을 보이자. 주어진 $Q$ 가 다음과 같다고 하자.

$$Q=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]$$

  임의의 $\lambda>0$ 에 대해 다음과 같이 $Q_\lambda\in\mathcal{Q}(\mathbb{R}^n)$ 를 정의하자.

$$Q_\lambda[a_1-\lambda,b_1+\lambda]\times\cdots\times[a_n-\lambda,b_n+\lambda]$$

  이때 $\lambda\in(0,\infty)$ 에 대한 함수 $v(Q_\lambda)$ 는 연속이므로 사잇값 정리에 따라 $v(Q_\lambda)=2v(Q)$ 이도록 하는 $\lambda>0$ 이 존재한다. 이 $\lambda$ 에 대해 아르키메데스 성질에 따라 어떤 자연수 $N$ 이 존재하여 $\frac{1}{N}<\delta,\lambda$ 가 성립한다. 다음의 집합을 생각하자.

$$L=\left\{\frac{m}{N}:m\in\mathbb{Z}\right\}$$

  $a_i$ 보다 크지 않은 $L$ 의 최대원소를 $c_i$ , $b_i$ 보다 작지않은 $L$ 의 최소원소를 $d_i$ 라고 하자. 다음이 성립한다.

$$c_i\le a_i<c_i+\frac{1}{N}\qquad d_i-\frac{1}{N}<b_i\le d_i$$

$$a_i-c_i,d_i-b_i<\frac{1}{N}<\lambda$$

$$\therefore a_i-\lambda<c_i\qquad d_i<b_i+\lambda$$

  따라서 다음을 얻는다.

$$[a_i,b_i]\subset[c_i,d_i]\subset[a_i-\lambda,b_i+\lambda]$$

  다음과 같이 $Q'\in\mathcal{Q}(\mathbb{R}^n)$ 를 선택하자.

$$Q'=[c_1,d_1]\times\cdots\times[c_n,d_n]$$

  이때 $Q\subset Q'\subset Q_\lambda$ 이며, 부피의 성질에 따 다음이 성립한다.

$$v(Q')\le v(Q_\lambda)< 2v(Q)$$

  $Q'$ 의 각 component interval $[c_i,d_i]=J_i$ 에 대해 $J_i\cap L$ 은 $J_i$ 의 partition 이며 이의 subinterval 의 length 는 $\frac{1}{N}$ 이다. 다음과 같이 $P$ 를 정의하면 이는 $Q'$ 의 partition 이다.

$$P=(J_1\cap L)\times\cdots\times(J_n\cap L)$$

  이때 $P$ 에 대한 $Q'$ 의 각 subrectangles 는 width 가 $\frac{1}{N}$ 이며 이들의 모임은 $Q$ 를 덮는다. 링크의 Thm 1.4 에 따르면 $P$ 에 대한 $Q'$ 의 subrectangles 의 total volume 은 $v(Q')$ 와 같으며, 이는 $2v(Q)$ 보다 작으므로 원하는 결과를 얻는다.

 

  Step 2. 측도가 0인 임의의 $E\subset\mathbb{R}^n$ 과 임의의 $\epsilon,\delta>0$ 를 생각하자. 이때 $E$ 는 각각의 width 가 $\delta$ 보다 작고 total volume 이 $\epsilon$ 보다 작은 rectangles 의 가산모임으로 덮임을 보이자. 측도 0의 정의에 따라 $E$ 를 덮는 어떤 가산모임 $\{Q_i\}_{i\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{Q}(\mathbb{R}^n)$ 이 존재하여 다음이 성립한다.

$$\sum_{i=1}^\infty v(Q_i)<\frac{\epsilon}{2}$$

  Step 1 에 따르면 각 $Q_i$ 는 각각의 width 가 $\delta$ 보다 작은 유한모임 $\{Q_{ij}\}_{j_in K_i}\subset\mathcal{Q}(\mathbb{R}^n)$ 가 존재하여 다음이 성립한다.

$$\sum_{j\in K_i}v(Q_{ij})<2v(Q_i)$$

  이때 $\bigcup_{i=1}^\infty\{Q_{ij}\}_{j\in K_j}$ 는 각각의 width 가 $\delta$ 보다 작은 rectangles 의 가산모임이며 다음이 성립하므로 원하는 결과를 얻는다.

$$\\sum_{i=1}^\infty\sum_{j\in K_i}v(Q_{ij})<\sum_{i=1}^\infty 2v(Q_i)<\epsilon$$

 

  Step 3. $A$ 에 포함되는 임의의 closed cube $C$ 를 생각하자. $C$ 는 콤팩트하고 $g$ 의 각 성분함수의 각 편미분 $D_jg_i$ 는 연속이므로 최대-최소 정리와 하이네-보렐 정리에 따라 $C$ 에서 $D_jg_i$ 는 유계이다. 이때 $|Dg|$ 는 $Dg$ 의 가장 큰 성분을 의미하며, (링크의 sup norm of metrix 참고) 따라서 $|Dg|$ 도 $C$ 에서 유계이다. 임의의 $x\in C$ 에 대해 $|Dg(x)|\le M$ 을 만족하는 $M>0$ 을 생각하자. 이때 $\text{width }C=w$ 라고 하면 $g(C)$ 는 width 가 $nMw$ 인 어떤 closed cube 에 포함됨을 보이자. $C$ 의 중심을 $a$ 라고 하면 $C$ 는 다음과 같다.

$$C=\left\{x:|x-a|\le\frac{w}{2}\right\}$$

  $g$ 의 각 성분함수 $g_i$ 에 대해 평균값 정리에 따라 각 $x\in C$ 에 대해 $x$ 와 $a$ 를 잇는 line segment 위의 어떤 점 $c_i$ 가 존재하여 다음이 성립한다.

$$g_i(x)-g_i(a)=Dg_i(c_i)(x-a)$$

  이때 다음과 같다. (링크의 Thm 1.5 참고)

$$\begin{align}|g_i(x)-g_i(a)|&=|Dg_i(c_i)(x-a)|\\&\le n|Dg_i(c_i)||(x-a)|\\&\le nM\frac{w}{2}\end{align}$$

$$\therefore|g(x)-g(a)|\le nM\frac{w}{2}$$

  따라서 $g(C)$ 는 width 가 $nMw$ 이고 중심이 $g(a)$ 인 closed cube 에 속한다.

 

  Step 4. 링크의 Lem 6.2 의 조건을 만족하는 집합열 $\{C_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ 을 생각하자. $E_i=C_i\cap E$ 라고 할때 각 $g(E_i)$ 의 측도가 0임을 보이자. 임의의 $\epsilon>0$ 을 생각하자.  $C_i$ 는 콤팩트하고 $C_i\subset\text{Int }C_{i+1}$ 이므로 $\epsilon$-근방 정리에 따라 어떤 $\delta>0$ 이 존재하여 $C_i$ 의 $\delta$-근방이 $\text{Int }C_{i+1}$ 에 포함된다. Step 3 의 논의와 같이 임의의 $x\in C_{i+1}$ 에 대해 $|Dg(x)|\le M$ 을 만족하는 $M>0$ 이 존재한다. 다음과 같이 정의하자.

$$\epsilon'=\frac{\epsilon}{(nM)^n}$$

  $E_i$ 의 측도는 0이므로 (링크의 Thm 2.1 참고) step 2 에 따라 각각의 width 가 $\delta$ 보다 작고 total volume 이 $\epsilon'$ 보다 작은 closed cubes 의 가산모임에 의해 덮인다. 이 closed cubes 중에서 $E_i$ 와 겹치는 것들을 $D_1,D_2,\ldots$ 라고 하자. 임의의 $D_k$ 를 고정하자. $D_k\cap E_i$ 는 서로소가 아니므로 어떤 원소 $a$ 를 가지며, $D_k$ 의 width 는 $\delta$ 보다 작으므로 임의의 $x\in D_k$ 에 대해 $|x-a|<\delta$ 가 성립한다. 즉 $D_k$ 는 $a\in E_i$ 의 $\delta$-근방에 속하므로 $E_i$ 의 $\delta$-근방에 속하며, 따라서 $D_k$ 는 $C_i$ 의 $\delta$-근방에 속하므로 $C_{i+1}$ 에 속한다. 이때 임의의 $x\in D_k$ 에 대해 $|Dg(x)|\le M$ 이 성립하므로 Step 3 에 따라 $g(D_k)$ 는 width 가 $nM(\text{width }D_k)$ 인 어떤 closed cube $D_k'$ 에 속한다. 다음이 성립한다.

$$v(D_k')=(nM)^n(\text{width }D_k)^n=(nM)^nv(D_k)$$

  정리하면 $g(E_i)$ 는 $\{D_1',D_2',\ldots\}$ 에 의해 덮이며 다음이 성립하므로 원하는 결과를 얻는다.

$$\begin{align}\sum_{i=1}^\infty v(D_i')&=\sum_{i=1}^\infty(nM)^nv(D_i)\\&=(nM)^n\sum_{i=1}^\infty v(D_i)\\&<(nM)^n\epsilon'\\&=\epsilon\end{align}$$

 

  Step 5. 본 정리를 증명하자. Step 4 의 집합열 $\{C_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ 에 대해 $\{\text{Int }C_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ 는 합집합이 $A$ 인 확장집합열이다. $E$ 는 콤팩트집합이므로 $\{\text{Int }C_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ 에 의해 덮이며, 이것의 유한부분모임으로 다시 덮인다. 이 모임에서 가장 큰 원소를 $\text{Int }C_m$ 이라고 하면 $C_m$ 은 $E$ 를 덮으므로 $E_m=E$ 이다. Step 4 에 따르면 $g(E)=g(E_m)$ 의 측도는 0이므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

 

  다음의 정리에 따르면 미분동형사상은 콤팩트집합의 interior, boundary, 부피를 갖는 성질을 보존한다.

 

 

  Theorem 3.2.  $\mathbb{R}^n$ 의 미분동형사상 $g:A\to\ B$ 와 콤팩트집합 $D\subset A$ 에 대해 다음이 성립한다.
  (1) $g(\text{Int }D)=\text{Int }g(D)$
  (2) $g(\text{Bd }D)=\text{Bd }g(D)$
  (3) $D$ 가 부피를 가지면 $g(D)$ 도 부피를 갖는다.

 

※ 이 정리는 $D$ 가 콤팩트 집합인 대신에 $\text{Bd }D\subset A$ 이고 $\text{Bd }g(D)\subset B$ 이면 성립함이 증명과정으로부터 자명하다.

 

  Proof.  $g^{-1}$ 는 연속이므로 임의의 열린집합 $U\subset A$ 에 대해 $(g^{-1})^{-1}(A)=g(A)\subset B$ 도 열린집합이다. 정리하면 미분동형사상은 열림성을 보존한다.

 

  (1) $g(\text{Int }D)$ 는 열린집합이며 $g(D)$ 에 속하므로 interior 의 정의에 따라 다음을 얻는다.

$$g(\text{Int }D)\subset\text{Int }g(D)$$

  미분동형사상 $g^{-1}:B\to A$ 에 대해 이 논의를 반복하여 다음을 얻는다.

$$g^{-1}(\text{Int }g(D))\subset\text{Int }g^{-1}(g(D))=\text{Int }D$$

$$\therefore\text{Int }g(D)\subset g(\text{Int }D)$$

  정리하면 다음의 결론을 얻는다.

$$g(\text{Int }D)=\text{Int }g(D)$$

 

  (2)

  Step 1. 다음이 성립함을 보이자.

$$g(A\cap\text{Ext }D)\subset\text{Ext }g(D)$$

  $A\cap\text{Ext }D$ 는 열린집합이므로 $g(A\cap\text{Ext }D)$ 도 열린집합이다. 한편 $g$ 는 단사이므로 $g(A\cap\text{Ext }D)$ 와 $g(D)$ 는 서로소이다. 즉 $g(A\cap\text{Ext }D)$ 는 $\mathbb{R}^n\setminus g(D)$ 에 속하는 열린집합이므로 exterior 의 정의에 따라 다음을 얻는다.

$$g(A\cap\text{Ext }D)\subset\text{Ext }g(D)=B\cap\text{Ext }g(D)$$

 

  Step 2. 본 정리를 증명하자. 우선 $\text{Bd }g(D)$ 가 $g$ 의 치역에 포함되는지를 확인하여야 한다. $D$ 는 콤팩트하므로 최대-최소 정리에 따라 $g(D)$ 도 콤팩트하다. 따라서 하이네-보렐 정리에 따라 $g(D)$ 는 닫혀있으므로 $\text{Bd }g(D)\subset g(D)$ 이다. 정리하면 $\text{Bd }g(D)\subset B$ 이므로 원하는 결과를 얻는다. 임의의 $y\in\text{Bd }g(D)$ 를 생각하자. $g$ 는 전단사이므로 $g(x)=y$ 를 만족하는 $x\in A$ 가 유일하게 존재한다. 본 정리의 (1)에 따르면 $x\notin\text{Int }D$ 이고 step 1 에 따르면 $x\notin\text{Ext }D$ 이다. 따라서 $x\in\text{Bd }D$ 이므로 다음을 얻는다.

$$\text{Bd }g(D)\subset g(\text{Bd }D)$$

  콤팩트집합 $g(D)$ 와 미분동형사상 $g^{-1}:B\to A$ 에 대해 이 논의를 반복하여 다음을 얻는다.

$$\text{Bd }D=\text{Bd }g^{-1}(g(D))\subset g^{-1}(\text{Bd }g(D))$$

$$\therefore g(\text{Bd }D)\subset\text{Bd }g(D)$$

  정리하면 다음의 결론을 얻는다.

$$g(\text{Bd }D)=\text{Bd }g(D)$$

 

  (3) 링크의 Thm 5.1 에 따르면 어떤 집합이 부피를 가질 필요충분조건은 boundary 의 측도가 0인 것이다. 따라서 $D$ 가 부피를 가지면 $\text{Bd }D$ 의 측도는 0이며, Lem 3.1 에 따라 $g(\text{Bd }D)$ 의 측도는 0이다. 한편 본 정리의 (2)에 따라 $g(\text{Bd }D)=\text{Bd }g(D)$ 이므로 $\text{Bd }g(D)$ 의 측도도 0이며, 따라서 $g(D)$ 는 부피를 갖는다.   $\square$

 

 

 

원시미분동형사상

 

 

  다음의 정의는 다소 특별한 성질을 갖는 미분동형사상에 대한 것이다.

 

 

  Definition.  $\mathbb{R}^n$ 의 미분동형사상 $h:A\to\ B$ 를 생각하자. 만약 어떤 $i\in\{1,\ldots,n\}$ 에 대해 $h_i=\pi_i$ 이면 $h$ 가 i번째 성분(coordinate)을 보존한다고 한다. 적어도 하나의 성분을 보존하는 미분동형사상을 원시미분동형사상(primitive diffeomorphism)이라고 한다.

 

※ $\pi_i$ 란 i번째 성분에 대한 사영(projection)으로, 다음과 같이 정의된 함수를 말한다.

$$\pi_i(x_1,\ldots,x_n)=x_i$$

 

  다음의 정리에 따르면 2차원 이상의 모든 미분동형사상은 국소적으로 원시미분동형사상의 합성과 같다.

 

 

  Theorem 3.3.  $\mathbb{R}^n$ ($n\ge 2$) 의 미분동형사상 $g:A\to B$ 를 생각하자. 임의의 $a\in A$ 에 대해 어떤 $U_0\in\mathcal{N}_A(a)$ 가 존재하여 다음과 같은 원시미분동형사상 $h_1,\ldots,h_k$ 가 존재한다.$$\begin{CD}U_0@>{h_1}>>U_1@>h_2>>U_2\\@VgVV@.@VVh_3V\\U_k@<<h_k<\cdots@<<<U_3\end{CD}$$  다시말해 다음과 같다.$$h_k\circ\cdots\circ h_2\circ h_1=g|_{U_0}$$

 

 

  Proof.

  Step 1. Non-singular 행렬 $C\in\mathbb{M}_{n\times n}$ 를 생각하자. $C$ 는 가역이므로 (링크의 Thm 6.10 참고) 미분가능함수 $L_C:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 도 가역이며, (링크의 정리 10.2-2 참고) 따라서 $L_C$ 는 전단사이므로 미분동형사상이다. 이 미분동형사상 $L_C$ 에 대하여 본 정리가 성립함을 보이자. $C$ 는 기본행렬의 곱과 같으며 (링크의 Cor 2.14 참고) 특히 모든 기본행렬은 다음의 기본연산에 대응하는 기본행렬의 곱으로 나타난다. (링크의 Thm 1.1 참고)

 

  유형 1. i번째 좌표에 스칼라를 곱하기

  유형 2. i번째 좌표에 다른 좌표의 스칼라배를 더하기

 

  이 두 기본연산에 대응하는 기본행렬들 $E_1,\ldots,E_k$ 에 대해 다음과 같다.

$$C=E_k\cdots E_2E_1$$

  기본행렬은 가역이므로 (링크의 정리 1.3 참고) 각 $E_i$ 에 대해 $L_{E_i}=h_i$ 라고 하면 $h_i$ 는 가역이며, 따라서 $h_i$ 는 전단사이므로 미분동형사상이다. 이때 다음이 성립한다. (링크의 정리 9-2 참고)

$$\begin{align}L_C&=L_{E_k\cdots E_2E_1}\\&=L_{E_k}\cdots L_{E_2}L_{E_1}\\&=h_k\circ\cdots\circ h_2\circ h_1\end{align}$$

  한편 $E_i$ 는 위의 유형 1 또는 유형 2에 해당하는 기본행렬이므로 $h_i$ 는 i번째 좌표를 제외한 모든 좌표를 보존한다. 따라서 각 $h_i$ 는 원시미분동형사상이므로 원하는 결과를 얻는다.

 

  Step 2. 다음과 같이 정의한 미분가능함수는 평행이동(translation)이라고 한다.

$$t:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n,\;t(x)=x+c$$

  이때 평행이동은 전단사이므로 미분동형사상이다. 한편 $t$ 는 다음의 두 함수 $t_1,t_2:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 의 합성이다.

$$t_1(x)=x+(c_1,0,\ldots,0)$$

$$t_2(x)=x+(0,c_2,\ldots,c_n)$$

  이때 $t_1$ 는 첫 번째 성분을 보존하고 $t_2$ 는 첫 번째 성분을 제외한 모든 성분을 보존하므로 원시미분동형사상이며, 따라서 원하는 결과를 얻는다.

 

  Step 3. 본 정리에서 $a=0$ , $g(0)=0$ , $Dg(0)=I_n$ 인 특수한 경우에 본 정리가 성립함을 보이자. 다음의 함수를 정의하자.

$$h:A\to\mathbb{R}^n,\;h(x)=(g_1(x),\ldots,g_{n-1}(x),x_n)$$

  전제에 따라 $g_i(0)=0$ 이므로 $h(0)=0$ 이다. 한편 다음이 성립한다.

$$Dh(x)=\begin{pmatrix}Dh_1(x)\\\vdots\\Dh_{n-1}(x)\\Dh_n(x)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}Dg_1(x)\\\vdots\\Dg_{n-1}(x)\\D\pi_n(x)\end{pmatrix}$$

  이때 전제에 따라 $Dg(0)=I_n$ 이므로 $Dh(0)$ 의 1~(n-1)번째 행은 $I_n$ 의 1~(n-1)번째 행과 같고 $D\pi_n(0)$ 은 마지막 성분만 1이고 나머지가 0이므로 $Dh(0)=I_n$ 을 얻는다. 따라서 $\text{det }Dh(0)\neq 0$ 이므로 역함수 정리에 따라 $0$ 의 어떤 근방 $V_0$ 이 존재하여 어떤 열린집합 $V_1\subset\mathbb{R}^n$ 에 대해 $h:V_0\to V_1$ 은 전단사이며, 따라서 $h$ 는 $V_0$ 위에서 미분동형사상이다. 다음의 함수를 정의하자.

$$k:V_1\to\mathbb{R}^n,\;k(y)=(y_1,\ldots,y_{n-1},g_n(h^{-1}(y)))$$

  $h^{-1}(0)=0$ 이고 $g_n(0)=0$ 이므로 $k(0)=0$ 이다. 또한 다음이 성립한다.

$$Dk(y)=\begin{pmatrix}\qquad I_{n-1}\qquad\begin{matrix}0\\\vdots\\0\end{matrix}\\D(g_n\circ h^{-1})(y)\end{pmatrix}$$

  이때 연쇄법칙에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{align}D(g_n\circ h^{-1})(0)&=Dg_n(h^{-1}(0))Dh^{-1}(0)\\&=Dg_n(0)Dh(0)^{-1}\\&=\begin{pmatrix}0&\cdots&0&1\end{pmatrix}I_n\\&=\begin{pmatrix}0&\cdots&0&1\end{pmatrix}\end{align}$$

  정리하면 $Dk(0)=I_n$ 을 얻는다. 따라서 $\text{det }Dk(0)\neq 0$ 이므로 역함수 정리에 따라 $0$ 의 어떤 근방 $U_1$ 이 존재하여 어떤 열린집합 $U_2\subset\mathbb{R}^n$ 에 대해 $k:U_1\to U_2$ 은 전단사이며, 따라서 $k$ 는 $U_1$ 위에서 미분동형사상이다. $U_0=h^{-1}(V_1)$ 이라고 하자.

  이때 $h:U_0\to U_1$ , $k:U_1\to U_2$ 는 원시미분동형사상이다. 또한 임의의 $x\in U_0$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\begin{align}(k\circ h)(x)&=k(h(x))\\&=\Big(h_1(x),\ldots,h_{n-1}(x),g_n\big(h^{-1}(h(x))\big)\Big)\\&=(g_1(x),\ldots,g_{n-1}(x),g_n(x))\\&=g(x)\end{align}$$

  따라서 $g|_{U_0}=k\circ h$ 이므로 원하는 결과를 얻는다.

 

  Step 4. 본 정리를 증명하자. 편의를 위해 $Dg(a)=C$ 라고 하자. 다음의 세 미분동형사상 $t_1,t_2,T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 를 생각하자.

$$t_1(x)=x+a\quad t_2(x)=x-g(a)\quad T(x)=C^{-1}x$$

  이때 $\tilde{g}=T\circ t_2\circ g\circ t_1$ 이라고 하면 $\tilde{g}:t_1^{-1}(A)\to(T\circ t_2)(B)$ 는 미분동형사상이다.

  이때 다음이 성립한다.

$$\tilde{g}(0)=0$$

$$D\tilde{g}(0)=C\cdot I_n\cdot Dg(a)\cdot I_n=I_n$$

  Step 3 에 따라 $0$ 의 어떤 근방 $W_0\subset t^{-1}(A)$ 에 대해 $\tilde{g}|_{W_0}$ 는 어떤 원시미분동형사상의 합성과 같다. 다음과 같이 정의하자.

$$W_2=\tilde{g}(W_0)$$

$$A_0=t_1(W_0)\quad B_0=(t_2^{-1}\circ T^{-1})(W_2)$$

  이때 다음이 성립한다.

$$\begin{align}B_0&=(t_2^{-1}\circ T^{-1})(W_2)\\&=(t_2^{-1}\circ T^{-1}\circ\tilde{g})(W_0)\\&=(t_2^{-1}\circ T^{-1}\circ\tilde{g}\circ t_1^{-1})(A_0)\\&=(t_2^{-1}\circ T^{-1}\circ(T\circ t_2\circ g\circ t_1)\circ t_1^{-1})(A_0)\\&=g(A_0)\end{align}$$

  따라서 $g:A_0\to B_0$ 는 전단사이며 $g|_{A_0}$ 는 다음의 합성과 같다.

$$\begin{CD}A_0@.@.B_0\\@Vt_1^{-1}VV@.@AAt_2^{-1}A\\W_0@>>\tilde{g}>W_2@>>T^{-1}>T^{-1}(W_2)\end{CD}$$

  Step 1, 2 에 따르면 $t_1^{-1},t_2^{-1},T^{-1}$ 는 몇 개의 원시미분동형사상의 합성과 같으므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

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