[변수변환정리] ch5. 변수변환정리의 응용

이전 읽을거리: ch4. 변수변환정리

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행렬식의 의미

 

 

  행렬식의 기하적인 의미를 알아보자.

 

 

  Lemma 5.1.  $\mathbb{R}^n$ 의 선형부분공간은 닫혀있다.

 

 

  Proof.

  Step 1. 연속함수 $f:X\to Y$ 와 $Y$ 에서 닫힌집합 $U$ 에 대해 $f^{-1}(U)$ 가 $X$ 에서 닫혀있음을 보이자. $Y\setminus U$ 는 $Y$ 에서 열려있으며, 연속함수의 정의에 따라 $f^{-1}(Y\setminus U)$ 는 $X$ 에서 열려있다. 한편 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\;x\in f^{-1}(Y\setminus U)\\\Leftrightarrow&\;f(x)\in Y\setminus U\\\Leftrightarrow&\;f(x)\in Y\land\lnot(f(x)\in U)\\\Leftrightarrow&\;x\in f^{-1}(Y)\land\lnot(x\in f^{-1}(U))\\\Leftrightarrow&\;x\in f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(U)\\\Leftrightarrow&\;x\in X\setminus f^{-1}(U)\end{align}$$

  따라서 $f^{-1}(Y\setminus U)=X\setminus f^{-1}(U)$ 이며, $X\setminus f^{-1}(U)$ 는 $X$ 에서 열려있으므로 $f^{-1}(U)$ 는 $X$ 에서 닫혀있다.

 

  Step 2. 본 정리를 증명하자. $\mathbb{R}^n$ 의 선형부분공간 $V$ 를 생각하자. $\text{dim }V=k$ 라고 할때 $k=n$ 이면 $V=\mathbb{R}^n$ 이므로 정리가 자명하게 성립한다. (링크의 정리 9.1-1 참고) $k<n$ 이라고 하자. $V$ 의 기저가 다음과 같다고 하자.

$$\{a_1,\ldots,a_k\}$$

  이때 이를 확장하여 다음과 같이 $\mathbb{R}^n$ 의 기저를 만들수 있다. (링크의 대체정리의 따름정리 2 참고)

$$\{a_1,\ldots,a_k,b_{k+1},\ldots,b_n\}$$

  $\mathbb{R}^{n-k}$ 의 표준기저 $e_1,\ldots,e_{n-k}$ 에 대해 다음을 만족하는 선형변환 $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{n-k}$ 가 유일하게 존재한다. (링크의 선형변환의 존재성 및 유일성 정리 참고)

$$T(a_1)=0\quad\cdots\quad T(a_k)=0$$

$$T(b_{k+1})=e_1\quad\cdots\quad T(b_n)=e_{n-k}$$

  $T$ 는 선형이므로 다음이 성립한다. (링크의 정리 1.1-2 참고)

$$\begin{align}T(V)&=T(\text{span}\{a_1,\ldots,a_k\})\\&=\text{span }T(\{a_1,\ldots,a_k\})\\&=\text{span}\{T(a_1),\ldots,T(a_k)\}\\&=\text{span}\{0\}\\&=\{0\}\end{align}$$

  따라서 $V\subset T^{-1}(\{0\})$ 을 얻는다. 이제 $T^{-1}(\{0\})\subset V$ 를 보이자. 모순을 보이기 위해 어떤 $x\in T^{-1}(\{0\})$ 이 존재하여 $x\notin V$ 라고 가정하자. $x\in\mathbb{R}^n$ 이므로 다음을 만족하는 스칼라 $c_i$ 가 존재한다.

$$x=\sum_{i=1}^kc_ia_i+\sum_{j=1}^{n-k}c_{k+j}b_{k+j}$$

  이때 $x\notin V$ 이므로 $c_{k+1},\ldots,c_n$ 중 적어도 하나는 0이 아니다. 한편 다음이 성립한다.

$$\begin{align}T(x)&=T\left(\sum_{i=1}^kc_ia_i+\sum_{j=1}^{n-k}c_{k+j}b_{k+j}\right)\\&=\sum_{i=1}^kc_iT(a_i)+\sum_{i=k+1}^{n-k}c_iT(b_i)\\&=0+\sum_{j=1}^{n-k}c_{k+j}T(b_{k+j})\\&=\sum_{j=1}^{n-k}c_{k+j}e_j\end{align}$$

  따라서 $T(x)\neq 0$ 이므로 $x\in T^{-1}(\{0\})$ 이며 이는 모순이다. 따라서 $V=T^{-1}(\{0\})$ 을 얻는다. 한편 $\{0\}$ 은 닫힌집합이고 $T$ 는 연속함수이므로 step 1 에 따라 $V$ 는 닫힌집합임을 얻는다.   $\square$

 

 

 

  다음의 정리에 따르면 행렬식은 선형변환에 의한 부피체의 넓이의 변화율을 의미한다.

 

 

  Theorem 5.2.  $A\in\mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$ 에 대해 선형변환 $L_A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n,\;x\mapsto Ax$ 를 생각하자. 부피를 갖는 집합 $S\subset\mathbb{R}^n$ 에 대해 다음이 성립한다.$$v(L_A(S))=|\text{det }A|v(S)$$

 

 

  Proof.

  Step 1. $\text{det }A\neq0$ 일 때를 생각하자. Thm 3.3 의 증명 중 step 1 에 따르면 $L_A$ 는 미분동형사상이며, Thm 3.2 에 따라 다음의 두 결론을 얻는다.

 

  1. 부피를 갖는 집합 $S$ 에 대해 $L_A(S)$ 도 부피를 가지므로 $v(L_A(S))$ 가 잘 정의된다.

  2. $L_A(\text{Int }S)=\text{Int }L_A(S)$ 이며, 따라서 $L_A:\text{Int }S\to\text{Int }L_A(S)$ 는 미분동형사상이다.

 

  링크의 Thm 5.3 에 따르면 다음이 성립한다.

$$v(L_A(S))=v(\text{Int }L_A(S))$$

$$v(S)=v(\text{Int }S)$$

  이때 부피의 정의와 링크의 Thm 6.6 에 따라 다음과 같다.

$$v(\text{Int }L_A(S))=\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{\text{Int }L_A(S)}}1=\int_{\text{Int }L_A(S)}1$$

$$v(\text{Int }S)=\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{\text{Int }S}}1=\int_{\text{Int }S}1$$

  한편 변수변환정리에 따라 다음이 성립하므로 원하는 결과를 얻는다.

$$\begin{align}\int_{\text{Int }L_A(S)}1&=\int_{\text{Int }S}|\text{det }DL_A|\\&=\int_{\text{Int }S}|\text{det } A|\\&=|\text{det } A|\int_{\text{Int }S}1\end{align}$$

 

  Step 2. $\text{det }A=0$ 일 때를 생각하자. 이때 $L_A(\mathbb{R}^n)$ 의 차원은 $L_A$ 의 랭크이며, 이는 $A$ 의 랭크와 같으므로 링크의 Thm 6.9 에 따라 $L_A(\mathbb{R}^n)$ 의 차원은 $n$ 미만이다. $\text{dim }L_A(\mathbb{R}^n)=p$ 라고 하자.

  $L_A(\mathbb{R}^n)$ 의 측도가 0임을 보이자. $L_A(\mathbb{R}^n)$ 의 기저 $\{a_1,\ldots,a_p\}$ 를 선택하면, 이를 확장하여 다음과 같이 $\mathbb{R}^n$ 의 기저를 만들수 있다. (링크의 대체정리의 따름정리 2 참고)

$$\{a_1,\ldots,a_p,b_{p+1},\ldots,b_n\}$$

  다음과 같이 $n\times n$ 행렬 $B$ 를 정의하자.

$$B=\begin{pmatrix}a_1&\cdots&a_p&b_{p+1}&\cdots&b_n\end{pmatrix}$$

  이때 $B$ 의 각 열은 n차원 공간을 생성하며, 링크의 Cor 2.13 에 따라 $B$ 의 랭크는 $n$ 이므로 링크의 Thm 6.9 에 따라 $\text{det }B\neq 0$ 을 얻는다. Thm 3.3 의 증명 중 step 1 에 따라 $L_B:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 은 미분동형사상이다. 한편 다음이 자명하다.

$$L_A(\mathbb{R}^n)=L_B(\mathbb{R}^p\times\{0\}^{n-p})$$

  이때 $\mathbb{R}^p\times\{0\}^{n-p}$ 의 측도는 0이므로 Lem 3.1 에 따라 $L_A(\mathbb{R}^n)$ 의 측도가 0임을 얻는다.

  이어서 $L_A(S)\subset L_A(\mathbb{R}^n)$ 이며, Lem 5.1 에 따라 $L_A(\mathbb{R}^n)$ 는 닫힌집합이므로 다음이 성립한다.

$$\text{cl }L_A(S)\subset L_A(\mathbb{R}^n)$$

  이때 $L_A(\mathbb{R}^n)$ 의 측도는 0이므로 $\text{cl }L_A(S)$ 의 측도도 0이다. 한편 부피를 갖는 집합의 정의에 따라 $S$ 는 유계이며 $L_A$ 는 연속함수이므로 $L_A(S)$ 도 유계이다. 따라서 $\text{cl }L_A(S)$ 도 유계이므로 $\text{cl }L_A(S)$ 를 포함하는 $Q\in\mathcal{Q}(\mathbb{R}^n)$ 이 존재한다. $Q$ 에서 $1_{L_A(S)}$ 의 불연속점은 $\text{cl }L_A(S)$ 에 포함되므로 측도가 0이며, 르베그 판정법에 따라 적분 $\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{L_A(S)}}1$ 가 존재한다. 이때 $1_{L_A(S)}$ 는 측도가 0인 집합 밖에서 0이므로 링크의 Thm 2.3 에 따라 $\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{L_A(S)}}1=0$ 이다. 한편 이는 부피의 정의에 따라 $v(L_A(S))=0$ 와 같으므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

 

  Definition.  $\mathbb{R}^n$ 의 일차독립인 벡터 $a_1,\ldots,a_k$ 에 대해 다음의 집합을 k차원 평행사변형(parallelopiped)이라고 한다.$$\mathcal{P}(a_1,\ldots,a_k)=\left\{\sum_{i=1}^kc_ia_i:c_i\in[0,1]\right\}$$  이때 $a_1,\ldots,a_k$ 를 $\mathcal{P}(a_1,\ldots,a_k)$ 의 모서리(edge)라고 한다.

 

 

  다음의 정리에 따르면 행렬식은 각 열벡터에 의한 n차원 평행사변형의 넓이와 같다.

 

 

  Theorem 5.3.  $\mathbb{R}^n$ 의 일차독립인 벡터 $a_1,\ldots,a_n$ 에 대해 $A=(a_1\;\cdots\;a_n)$ 이라고 하면 다음이 성립한다.$$v(\mathcal{P}(a_1,\ldots,a_n))=|\text{det }A|$$

 

 

  Proof.  선형변환 $L_A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 를 생각하자. 각 $i$ 에 대해 $L_A(e_i)=Ae_i=a_i$ 이므로 unit cube $I^n=[0,1]^n$ 에 대해 다음과 같다.

$$L_A(I^n)=\mathcal{P}(a_1,\ldots,a_n)$$

  Thm 5.2 에 따라 다음이 성립하므로 원하는 결과를 얻는다.

$$\begin{align}v(\mathcal{P}(a_1,\ldots,a_n))&=v(L_A(I^n))\\&=|\text{det }A|v(I_n)\\&=|\text{det }A|\tag*{$\square$}\end{align}$$

 

 

 

좌표축의 향(orientation)

 

 

  다음의 정의는 기저에 순서를 부여하는 방법이며, 이는 사실 순서기저와 본질적으로 같다.

 

 

  Definition.  n차원 벡터공간 $V$ 의 일차독립인 벡터로 이루어진 n-순서쌍을 $V$ 의 프레임(frame)이라고 한다.

 

 

  다음의 정의는 기저에 부여된 순서를 두 가지로 분류하는 방법에 대해 말하고있다.

 

 

  Definition.  $\mathbb{R}^n$ 의 프레임 $(a_1,\ldots,a_n)$ 에 대해 $\text{det }(a_1\;\cdots\;a_n)>0$ 이면 프레임이 양으로 향한다(right-handed)고 하고, $\text{det }(a_1\;\cdots\;a_n)<0$ 이면 프레임이 음으로 향한다(left-handed)고 한다. 이때 양으로 향하는 프레임들의 집합과 음으로 향하는 프레임들의 집합을 각각 $\mathbb{R}^n$ 의 향(orientation)이라고 한다. 따라서 $\mathbb{R}^n$ 은 두 개의 향을 가지며, 서로를 서로의 반대(reverse)이라고 한다.

 

 

  행렬식의 교대성(alternativity)에 따르면 프레임의 두 성분을 교환하는 것으로 프레임의 향을 반전시킬 수 있다. 다음의 정리는 선형변환이 향을 변화시키는 규칙에 대해 말하고 있다.

 

 

  Theorem 5.4.  선형동형사상 $L_C:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 와 $\mathbb{R}^n$ 의 프레임 $(a_1,\ldots,a_n)$ 을 생각하자. 다음의 두 프레임은 $\text{det }C>0$ 이면 향이 같으며, $\text{det }C<0$ 이면 향이 다르다.$$(a_1,\ldots,a_n)\quad(L_C(a_1),\ldots,L_C(a_n))$$

 

 

  Proof.  우선 $L_C$ 는 전단사이므로 랭크가 n이며, 따라서 $C$ 의 랭크는 n이므로 non-singular 이다. 따라서 정리의 서술에는 문제가 없다. 각 $i$ 에 대해 $L_C(a_i)=Ca_i$ 이므로 다음이 성립한다.

$$C(a_1\;\cdots\;a_n)=(L_C(a_1)\;\cdots\;L_C(a_n))$$

   따라서 다음을 얻는다.

$$\begin{align}&\;\text{det }C\cdot\;\text{det }(a_1\;\cdots\;a_n)\\=&\;\text{det }(L_C(a_1),\ldots,L_C(a_n))\end{align}$$

  $\text{det }(a_1\;\cdots\;a_n)$ 과 $\text{det }(L_C(a_1),\ldots,L_C(a_n))$ 의 부호는 $\text{det }C>0$ 이면 같고 $\text{det }C<0$ 이면 다르므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

 

  이때 일반적인 유한차원 벡터공간에도 향을 잘 정의할 수 있다. 하지만 이 경우 양의 방향을 정의하는 것은 일반적으로 불가능하며, 단지 서로 다른 두 방향이 존재하는 것이다.

 

 

  Definition.  n차원 벡터공간 $V$ 와 선형동형사상 $T:\mathbb{R}^n\to V$ 을 생각하자. $V$ 의 모든 프레임은 $\mathbb{R}^n$ 의 프레임 $(a_1,\ldots,a_n)$ 에 대해 $(T(a_1),\ldots,T(a_n))$ 으로 표현된다. 이때 $(a_1,\ldots,a_n)$ 이 양으로 향하는 경우에 대한 $V$ 의 프레임의 집합과 $(a_1,\ldots,a_n)$ 이 음으로 향하는 경우에 대한 $V$ 의 프레임의 집합을 각각 $V$ 의 향이라고 한다. 따라서 $V$ 는 두 개의 향을 가지며, 서로를 서로의 반대라고 한다.

 

 

  다음의 정리에 따르면 유한차원 벡터공간의 향은 선형동형사상의 선택과는 독립적으로 잘 정의된다.

 

 

  Theorem 5.5.  n차원 벡터공간 $V$ 의 두 프레임 $(v_1,\ldots,v_n)$ , $(u_1,\ldots,u_n)$ 을 생각하자. 선형동형사상 $T_1,T_2:\mathbb{R}^n\to V$ 에 대해 다음과 같다고 하자.$$(T_1(a_1),\ldots,T_1(a_n))=(v_1,\ldots,v_n)$$$$(T_2(b_1),\ldots,T_2(b_n))=(v_1,\ldots,v_n)$$$$(T_1(p_1),\ldots,T_1(p_n))=(u_1,\ldots,u_n)$$$$(T_2(q_1),\ldots,T_2(q_n))=(u_1,\ldots,u_n)$$  이때 $(a_1,\ldots,a_n)$ 과 $(p_1,\ldots,p_n)$ 의 향이 같을 필요충분조건은 $(b_1,\ldots,b_n)$ 과 $(q_1,\ldots,q_n)$ 의 향이 같은 것이다.

 

 

  Proof.  각 $i$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$a_i=T_1^{-1}(v_i)=T_1^{-1}T_2(b_i)$$

$$p_i=T_1^{-1}(u_i)=T_1^{-1}T_2(q_i)$$

  이때 $T_1^{-1}T_2$ 는 $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 인 선형동형사상이므로 어떤 non-singular $C\in\mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$ 에 대해 $T_1^{-1}T_2=L_C$ 이다. (링크의 정리 9-2 참고) 따라서 $a_i=Cb_i$ 및 $p_i=Cq_i$ 이므로 다음이 성립한다.

$$(a_1\;\cdots\;a_n)=C(b_1\;\cdots\;b_n)$$

$$(p_1\;\cdots\;p_n)=C(q_1\;\cdots\;q_n)$$

  이때 다음과 같다.

$$\begin{align}&\;\text{det }(a_1\;\cdots\;a_n)\cdot\text{det }(p_1\;\cdots\;p_n)\\=&\;(\text{det }C)^2\cdot\text{det }(b_1\;\cdots\;b_n)\cdot\text{det }(q_1\;\cdots\;q_n)\end{align}$$

  $\text{det }(a_1\;\cdots\;a_n)$ 와 $\text{det }(p_1\;\cdots\;p_n)$ 의 부호가 같을 필요충분조건은 $\text{det }(b_1\;\cdots\;b_n)$ 와 $\text{det }(q_1\;\cdots\;q_n)$ 의 부호가 같은 것이므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

 

등장사상의 부피보존

 

 

  $\mathbb{R}^n$ 의 dot product $\left<\cdot,\cdot\right>:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 란 다음과 같이 정의된 연산이다.

$$\left<x,y\right>=x^ty=\begin{pmatrix}x_1&\cdots&x_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}$$

  이때 $\mathbb{R}^n$ 의 euclidean norm $||\cdot||:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 은 다음과 같이 자연스럽게 정의된다.

$$||x||=\sqrt{\left<x,x\right>}=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}$$

 

 

  Definition.  $\mathbb{R}^n$ 의 벡터 $a_1,\ldots,a_k$ 를 생각하자. 각 $i\neq j$ 에 대해 $\left<a_i,a_j\right>=0$ 이면 $\{a_1,\ldots,a_k\}$ 가 직교집합(orthogonal set)이라고 하며, 추가로 각 $i$ 에 대해 $\left<a_i,a_i\right>=0$ 이면 $\{a_1,\ldots,a_k\}$ 가 정규직교집합(orthonormal set)이라고 한다.

 

 

  만약 직교집합 $\{a_1,\ldots,a_k\}$ 가 0을 포함하지 않는다면 다음과 같이 자연스럽게 정규직교집합을 찾을 수 있다.

$$\left\{\frac{a_1}{||a_1||},\ldots,\frac{a_n}{||a_n||}\right\}$$

 

  0을 포함하지 않는 직교집합 $\{a_1,\ldots,a_k\}$ 은 항상 일차독립임은 쉽게 보일 수 있다. 다음의 일차결합을 생각하자.

$$c_1a_1+\cdots+c_na_n=0$$

  이때 식의 양 변에 임의의 $a_i$ 와의 dot product 을 취하면 다음과 같다. (링크의 inner product 의 정의 참고)

$$\begin{align}0&=\left<a_i,0\right>\\&=\left<a_i,c_1a_1+\cdots+c_na_n\right>\\&=c_1\left<a_i,a_1\right>+\cdots+c_n\left<a_i,a_n\right>\\&=c_i\left<a_i,a_i\right>\end{align}$$

  이때 $a_i\neq 0$ 이므로 $\left<a_i,a_i\right>\neq 0$ 이며, 따라서 $c_i=0$ 을 얻는다. 그러므로 위의 일차결합은 영벡터의 자명한 표현이므로 주어진 직교집합은 일차독립이다. 이로부터 n개의 벡터로 이루어진 $\mathbb{R}^n$ 의 직교집합은 $\mathbb{R}^n$ 의 기저임을 알 수 있다.

 

 

  Definition.  $A\in\mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$ 의 각 열이 정규직교집합을 형성하면 $A$ 를 직교행렬(orthogonal matrix)이라고 한다.

 

 

  어떤 행렬 $A\in\mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$ 가 직교행렬일 필요충분조건은 다음의 식이 성립하는 것이다.

$$A^tA=I_n$$

  이는 $A=(a_1\;\cdots\;a_n)$ 이라고 할때 다음의 식으로부터 쉽게 알 수 있다.

$$\begin{align}&\;A^tA\\=&\;\begin{pmatrix}a_1^t\\\vdots\\a_n^t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1&\cdots&a_n\end{pmatrix}\\=&\;\begin{pmatrix}a_1^ta_1&a_1^ta_2&\cdots&a_1^ta_n\\a_2^ta_1&a_2^ta_2&\cdots&a_2^ta_n\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_n^ta_1&a_n^ta_2&\cdots&a_n^ta_n\end{pmatrix}\\=&\;\begin{pmatrix}\left<a_1,a_1\right>&\left<a_1,a_2\right>&\cdots&\left<a_1,a_n\right>\\\left<a_2,a_1\right>&\left<a_2,a_2\right>&\cdots&\left<a_2,a_n\right>\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\left<a_n,a_1\right>&\left<a_n,a_2\right>&\cdots&\left<a_n,a_n\right>\end{pmatrix}\end{align}$$

  이로부터 $A$ 가 직교행렬일 필요충분조건은 $A$ 가 가역이고 $A^t=A^{-1}$ 인 것임을 알 수 있다. (링크의 정리 10.1-4 참고)

 

  다음의 정리에 따르면 크기가 같은 직교행렬의 집합은 현대대수적 관점에서 군을 형성한다고 볼 수 있다.

 

 

  Theorem 5.6.  $n\times n$ 직교행렬 $A,B,C$ 에 대해 다음이 성립한다.
  (1) $AB$ 는 직교행렬이다.
  (2) $A(BC)=(AB)C$
  (3) $I_n$ 은 직교행렬이며 모든 직교행렬 $A$ 에 대해 다음이 성립한다.$$AI_n=I_nA=A$$  (4) 각 $A$ 에 대해 $A^{-1}$ 은 직교행렬이며 다음이 성립한다.$$AA^{-1}=A^{-1}A=I_n$$

 

 

  Proof.  trivial.   $\square$

 

 

 

  다음의 정의는 직교행렬에 대응하는 선형변환에 대해 말하고 있으며, 이는 전단사임이 자명하다.

 

 

  Definition.  $n\times n$ 직교행렬 $A$ 에 대해 $L_A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 를 직교변환(orthogonal transformation)이라고 한다.

 

 

  위 정의로부터 어떤 선형변환 $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 가 직교변환일 필요충분조건은 $\{T(e_1),\ldots,T(e_1)\}$ 가 정규직교집합인 것임을 쉽게 알 수 있다.

 

  다음의 정의는 거리를 보존하는 사상에 대해 말하고 있다.

 

 

  Definition.  $h:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 가 임의의 $x,y\in\mathbb{R}^n$ 에 대해 다음을 만족하면 등장사상(isometry)이라고 한다.$$||h(x)-h(y)||=||x-y||$$

 

 

  다음의 정의에 따르면 원점을 보존하는 등장사상은 다른 좋은 성질과 동치이다.

 

 

  Theorem 5.7.  $h:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 에 대해 $h(0)=0$ 이면 다음이 성립한다.
  (1) $h$ 가 등장사상일 필요충분조건은 dot product 를 보존하는 것이다.
  (2) $h$ 가 등장사상일 필요충분조건은 직교변환인 것이다.

 

※ $h$ 가 dot product 를 보존한다는 것은 임의의 $x,y\in\mathbb{R}^n$ 에 대해 다음이 성립함을 의미한다.

$$\left<h(x),h(y)\right>=\left<x,y\right>$$

 

  Proof.

  (1) 각 $x,y\in\mathbb{R}^n$ 에 대해 다음과 같다.

$$\begin{align}&\;||x-y||^2\\=&\;\left<x-y,x-y\right>\\=&\;\left<x,x-y\right>-\left<y,x-y\right>\\=&\;\left<x,x\right>-\left<x,y\right>-\left<y,x\right>+\left<y,y\right>\\=&\;\left<x,x\right>-2\left<x,y\right>+\left<y,y\right>\end{align}$$

  비슷하게 다음을 얻는다.

$$\begin{align}&\;||h(x)-h(y)||^2\\=&\;\left<h(x),h(x)\right>-2\left<h(x),h(y)\right>+\left<h(y),h(y)\right>\end{align}$$

 

  ($\Leftarrow$) $h$ 가 dot product 를 보존한다고 하자. 가정에 따라 다음이 성립한다.

$$\left<h(x),h(x)\right>=\left<x,x\right>$$

$$\left<h(y),h(y)\right>=\left<y,y\right>$$

$$\left<h(x),h(y)\right>=\left<x,y\right>$$

  따라서 위 식에 따라 원하는 결과를 얻는다.

 

  ($\Rightarrow$) $h$ 가 등장사상이라고 하자. 임의의 $x\in\mathbb{R}^n$ 에 대해 $||h(x)-h(0)||=||x-0||$ 이므로 $||h(x)||=||x||$ 이며, 따라서 다음이 성립한다.

$$\left<h(x),h(x)\right>=\left<x,x\right>$$

$$\left<h(y),h(y)\right>=\left<y,y\right>$$

  가정에 따라 $||x-y||^2=||h(x)-h(y)||^2$ 가 성립하므로 위 식에 따라 원하는 결과를 얻는다.

 

  (2)

  ($\Leftarrow$) $n\times n$ 직교행렬 $A$ 에 대해 $h=L_A$ 가 등장사상임을 보이자. (1) 에 따라 $h$ 가 dot product 를 보존함을 보이는 것으로 충분하다. 임의의 $x,y\in\mathbb{R}^n$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\begin{align}\left<h(x),h(y)\right>&=h(x)^th(y)\\&=(Ax)^t(Ay)\\&=x^tA^tAy\\&=x^tI_ny\\&=x^ty\\&=\left<x,y\right>\end{align}$$

  따라서 $h$ 는 dot product 를 보존하므로 원하는 결과를 얻는다.

 

  ($\Rightarrow$) $h$ 가 등장사상이라고 하자. 각 $i$ 에 대해 $a_i=h(e_i)$ 라고 하고 $A=(a_1\;\cdots\;a_n)$ 이라고 하자. $h$ 는 (1)에 따라 $h$ 는 dot product 를 보존하므로 각 $i\neq j$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\left<a_i,a_j\right>=\left<h(e_i),h(e_j)\right>=\left<e_i,e_j\right>=0$$

$$\left<a_i,a_i\right>=\left<h(e_i),h(e_i)\right>=\left<e_i,e_i\right>=1$$

  따라서 $\{a_1,\ldots,a_n\}$ 은 정규직교집합이므로 $A$ 는 직교행렬이다. 이제 $h=L_A$ 임을 보이고 증명을 마무리하자. $\{a_1,\ldots,a_n\}$ 은 $\mathbb{R}^n$ 의 기저이므로, 각 $x\in\mathbb{R}^n$ 에 대해 $h(x)$ 는 스칼라 $\alpha_i(x)$ 에 대해 다음의 유일한 표현으로 나타낼 수 있다.

$$h(x)=\alpha_1(x)a_1+\cdots+\alpha_n(x)a_n$$

  이때 $\{a_1,\ldots,a_n\}$ 는 정직교집합이므로 각 $i$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\;\left<h(x),a_i\right>\\=&\;\left<\alpha_1(x)a_1+\cdots+\alpha_n(x)a_n,a_i\right>\\=&\;\alpha_1(x)\left<a_1,a_i\right>+\cdots+\alpha_n(x)\left<a_n,a_i\right>\\=&\;\alpha_i(x)\left<a_i,a_i\right>\\=&\;\alpha_i(x)\end{align}$$

  한편 $h$ 는 dot product 를 보존하므로 다음이 성립한다.

$$\left<h(x),a_i\right>=\left<h(x),h(e_i)\right>=\left<x,e_i\right>=x_i$$

  따라서 $\alpha_i(x)=x_i$ 이므로 다음이 성립하여 원하는 결과를 얻는다.

$$\begin{align}h(x)&=x_1a_1+\cdots+x_na_n\\&=(a_1\;\cdots\;a_n)\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\\&=Ax\tag*{$\square$}\end{align}$$

 

 

 

  위 정리로부터 등장사상의 일반적인 필요충분조건을 얻는다.

 

 

  Corollary 5.8.  $h:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 에 대해 $h$ 가 등장사상일 필요충분조건은 $h$ 가 직교변환의 평행이동과 같은것이다.

 

※ $h$ 가 직교변환의 평행이동과 같다는 것은 어떤 직교행렬 $A$ 와 어떤 $p\in\mathbb{R}^n$ 에 대해, 임의의 $x\in\mathbb{R}^n$ 에 대하여 다음이 성립함을 의미한다.

$$h(x)=Ax+p$$

 

  Proof.  $p=h(0)$ 이라고 하고 함수 $k:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 를 $k(x)=h(x)-p$ 라고 정의하자. 이때 임의의 $x,y\in\mathbb{R}^n$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$||k(x)-k(y)||=||h(x)-h(y)||$$

  따라서 $k$ 가 등장사상일 필요충분조건은 $h$ 가 등장사상인 것이다. 이때 $k(0)=0$ 이므로 Thm 5.7 에 따라 $k$ 가 등장사상일 필요충분조건은 직교행렬 $A$ 에 대해 $k(x)=Ax$ 인 것이며, 이는 $h(x)=Ax+p$ 와 동치이므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

 

  다음의 정리에 따르면 등장사상은 부피를 보존한다.

 

 

  Corollary 5.9.  등장사상 $h:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 과 부피를 갖는 집합 $S\subset\mathbb{R}^n$ 에 대해 $h(S)$ 는 부피를 가지며 다음과 같다.$$v(h(S))=v(S)$$

 

 

  Proof.  Cor 5.8 에 따라 직교행렬 $A$ 와 어떤 $p\in\mathbb{R}^n$ 에 대해 $h(x)=Ax+p$ 이다. 따라서 $h$ 는 자명하게 전단사이며 $\text{det }Dh(x)=\text{det }A\neq 0$ 이므로 $h$ 는 미분동형사상이다. Thm 3.2 에 따라 다음의 두 결론을 얻는다.

 

  1. 부피를 갖는 집합 $S$ 에 대해 $h(S)$ 도 부피를 가지므로 $v(h(S))$ 가 잘 정의된다.

  2. $h(\text{Int }S)=\text{Int }h(S)$ 이며, 따라서 $h:\text{Int }S\to\text{Int }h(S)$ 는 미분동형사상이다.

 

  링크의 Thm 5.3 에 따르면 다음이 성립한다.

$$v(h(S))=v(\text{Int }h(S))$$

$$v(S)=v(\text{Int }S)$$

  이때 부피의 정의와 링크의 Thm 6.6 에 따라 다음과 같다.

$$v(\text{Int }h(S))=\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{\text{Int }h(S)}}1=\int_{\text{Int }h(S)}1$$

$$v(\text{Int }S)=\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{\text{Int }S}}1=\int_{\text{Int }S}1$$

  한편 변수변환정리에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{align}\int_{\text{Int }h(S)}1&=\int_{\text{Int }S}|\text{det }Dh|\\&=\int_{\text{Int }S}|\text{det } A|\\&=|\text{det } A|\int_{\text{Int }S}1\end{align}$$

$$\therefore v(h(S))=|\text{det }A|v(S)$$

  한편 $A^t=A^{-1}$ 이므로 다음이 성립한다. (링크의 Lem 6.4 참고)

$$\begin{align}(\text{det }A)^2&=\text{det }A^t\cdot\text{det }A\\&=\text{det }A^tA\\&=\text{det }I_n\\&=1\end{align}$$

  따라서 $|\text{det }A|=1$ 이므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

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