[변수변환정리] ch4. 변수변환정리

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변수변환정리

 

 

  본 포스팅에서 표기하는 적분은 별다른 설명이 없으면 모두 확장된 의미의 적분을 의미함에 유의하자.

 

 

  변수변환정리 (change of variables theorem)
  $\mathbb{R}^n$ 의 미분동형사상 $g:A\to B$ 를 생각하자. 연속함수 $f:B\to\mathbb{R}$ 가 $B$ 에서 적분가능할 필요충분조건은 $(f\circ g)|\text{det }Dg|$ 가 $A$ 에서 적분가능한 것이며 다음이 성립한다.$$\int_Bf=\int_A(f\circ g)|\text{det }Dg|$$

 

 

  변수변환정리의 증명은 분량이 상당하므로, 양방향의 정리를 나누어 증명하자.

 

 

  Lemma 4.1.  $\mathbb{R}^n$ 의 미분동형사상 $g:A\to B$ 를 생각하자. $B$ 에서 적분가능한 연속함수 $f:B\to\mathbb{R}$ 에 대해 $(f\circ g)|\text{det }Dg|$ 는 $A$ 에서 적분가능하며 다음이 성립한다.$$\int_Bf=\int_A(f\circ g)|\text{det }Dg|$$

 

 

  Proof.

  Step 1. $\mathbb{R}^n$ 의 어떤 두 미분동형사상 $g:U\to V$ , $h:V\to W$ 에 대해 본 정리가 성립하면 미분동형사상 $h\circ g$ 에 대해서도 본 정리가 성립함을 보이자. $W$ 에서 적분가능한 연속함수 $f:W\to\mathbb{R}$ 을 생각하자. 가정에 따라 $(f\circ h)|\text{det }Dh|$ 는 $V$ 에서 적분가능하며 다음이 성립한다.

$$\int_Wf=\int_V(f\circ h)|\text{det }Dh|$$

  $(f\circ h)|\text{det }Dh|=\alpha$ 라고 하자. $\alpha$ 는 $V$ 에서 적분가능한 연속함수이므로 다시 가정에 따라 $(\alpha\circ g)|\text{det }Dg|$ 는 $U$ 에서 적분가능하며 다음이 성립한다.

$$\int_V\alpha=\int_U(\alpha\circ g)|\text{det }Dg|$$

  이때 다음과 같다.

$$\begin{align}&\;\big((\alpha\circ g)|\text{det }Dg|\big)(x)\\=&\;\alpha(g(x))|\text{det }Dg(x)|\\=&\;\big((f\circ h)\big)|\text{det }Dh|\big)(g(x))|\text{det }Dg(x)|\\=&\;f\big(h(g(x))\big)|\text{det }Dh(g(x))||\text{det }Dg(x)|\end{align}$$

  한편 행렬식의 성질(링크의 Thm 6.8)과 연쇄법칙에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{align}\text{det }D(h\circ g)(x)&=\text{det}\big(Dh(g(x))Dg(x)\big)\\&=\text{det }Dh(g(x))\;\text{det }Dg(x)\end{align}$$

  정리하면 다음을 얻는다.

$$(\alpha\circ g)|\text{det }Dg|=(f\circ(h\circ g))|\text{det }D(h\circ g)|$$

  따라서 다음이 성립하므로 원하는 결과를 얻는다.

$$\begin{align}\int_Wf&=\int_V\alpha\\&=\int_U(f\circ(h\circ g))|\text{det }D(h\circ g)|\end{align}$$

 

  Step 2. $\mathbb{R}^n$ 의 어떤 미분동형사상 $g:A\to B$ 에 대해, 만약 각 $x\in A$ 에 대해 어떤 $U\in\mathcal{N}_A(x)$ 가 존재하여 미분동형사상 $g:U\to V$ 와 "정의역에 포함되는 콤팩트 지지를 갖는" 모든 연속함수 $f:V\to\mathbb{R}$ 에 대해 본 정리가 성립한다면 미분동형사상 $g:A\to B$ 에 대해 본 정리가 성립함을 보이자.

  각 $a\in A$ 에 대해 위 가정이 성립하도록 하는 $a$ 의 근방을 $U_a$ 라고 하자. 가정에 따라 미분동형사상 $g:U_a\to V_a$ 와 정의역에 포함되는 콤팩트 지지를 갖는 모든 연속함수 $f:V_a\to\mathbb{R}$ 에 대해 본 정리가 성립한다. 이때 $\{U_a:a\in A\}$ 의 합집합은 $A$ 이며 $\{V_a:a\in A\}$ 의 합집합은 $B$ 임이 자명하다. 단위분할의 존재성 정리에 따라 $\{V_a:a\in A\}$ 에 종속되고 콤팩트 지지를 갖는 $B$ 의 단위분할 $\{\phi_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ 이 존재한다. 이때 $\{\phi_i\circ g\}_{i\in\mathbb{N}}$ 이 콤팩트 지지를 갖는 $A$ 의 단위분할임을 보이자. 우선 다음이 자명하다.

$$\forall x\in A,\;(\phi_i\circ g)(x)\ge 0$$

  다음으로 $\{\phi_i\circ g\}_{i\in\mathbb{N}}$ 가 콤팩트 지지를 가짐을 보이자. $\phi_i$ 는 콤팩트 지지함수이므로 $\text{supp }\phi_i\subset B$ 는 콤팩트하며, $g^{-1}$ 는 연속이므로 $g^{-1}(\text{supp }\phi_i)$ 도 콤팩트하다. 이때 $g^{-1}(\text{supp }\phi_i)$ 밖의 임의의 점 $x\in A$ 에 대해 $x\notin g^{-1}(\text{supp }\phi_i)$ 이므로 $g(x)\notin\text{supp }\phi_i$ 이다. 따라서 $(\phi_i\circ g)(x)=0$ 이므로 정리하면 다음과 같다.

$$x\in A\setminus g^{-1}(\text{supp }\phi_i)\Rightarrow(\phi_i\circ g)(x)=0$$

$$\therefore(\phi_i\circ g)(x)\neq0\Rightarrow x\notin A\setminus g^{-1}(\text{supp }\phi_i)$$

  다시말해 $S_i=\{x\in A:(\phi_i\circ g)(x)\neq 0\}$ 이라고 하면 $S_i\subset g^{-1}(\text{supp }\phi_i)$ 인 것이다. 이때 $\text{cl }S_i=\text{supp}(\phi_i\circ g)$ 는 $S_i$ 를 포함하는 가장 작은 닫힌집합이며 (링크의 Cor 3.8 참고) $g^{-1}(\text{supp }\phi_i)$ 는 $S_i$ 를 포함하는 닫힌집합이므로 다음이 성립한다.

$$\text{supp}(\phi_i\circ g)\subset g^{-1}(\text{supp }\phi_i)\tag{1}$$

  이때 $g^{-1}(\text{supp }\phi_i)\subset A$ 이므로 $\text{supp}(\phi_i\circ g)\subset A$ 를 얻는다. 한편 $g^{-1}(\text{supp }\phi_i)$ 는 유계이므로 $\text{supp}(\phi_i\circ g)$ 도 유계이며, 따라서 $\text{supp}(\phi_i\circ g)$ 는 콤팩트하므로 $\{\phi_i\circ g\}_{i\in\mathbb{N}}$ 은 콤팩트 지지를 갖는다.

  이어서 국소유한조건을 확인하자. 임의의 $x\in A$ 를 생각하자. $\{\phi_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ 은 $B$ 의 단위분할이므로 $g(x)\in B$ 는 $\{\text{supp }\phi_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ 중 오직 유한개와 겹치는 근방 $W\subset B$ 를 갖는다. $\{\text{supp }\phi_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ 중 $W$ 와 겹치는 원소들의 모임을 $\{\text{supp }\phi_i\}_{i\in I}$ 라고 하자. $x$ 의 근방인 $g^{-1}(W)$ 는 $\{g^{-1}(\text{supp }\phi_i)\}_{i\in I}$ 와 겹치며, 그 외의 $\{g^{-1}(\text{supp }\phi_i)\}_{i\in\mathbb{N}}$ 과는 겹치지 않는다. 각 $i\in\mathbb{N}$ 에 대해 식 (1)에 따라 $g^{-1}(W)$ 는 $\{\text{supp}(\phi\circ g)\}_{i\in\mathbb{N}}$ 중에서 $\{\text{supp}(\phi\circ g)\}_{i\in I}$ 중 일부와만 겹치므로 원하는 결과를 얻는다. 이어서 다음이 자명하다.

$$\forall x\in A,\;\sum_{i=1}^\infty\phi_i(g(x))=1$$

  따라서 $\{\phi_i\circ g\}_{i\in\mathbb{N}}$ 는 콤팩트 지지를 갖는 $A$ 의 단위분할이다. 이제 step 2 를 이어서 증명하자. $B$ 에서 적분가능한 연속함수 $f:B\to\mathbb{R}$ 에 대해 Thm 1.8 에 따라 다음이 성립한다.

$$\int_Bf=\sum_{i=1}^\infty\int_B\phi_if$$

  각 $i\in\mathbb{N}$ 을 고정하자. $\{\phi_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ 은 $\{V_a:a\in A\}$ 에 종속되므로 어떤 $a\in A$ 에 대해 $\text{supp }\phi_i\subset V_a$ 가 성립한다. $\phi_if$ 는 $B$ 와 $V_a$ 에서 연속이며 $\text{supp }\phi_i$ 밖에서 0이므로 Lem 1.7 에 따라 다음이 성립한다.

$$\int_B\phi_if=\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{\text{supp }\phi}}f=\int_{V_a}\phi_if$$

  가정에 따라 미분동형사상 $g:U_a\to V_a$ 와 정의역에 포함되는 콤팩트 지지를 갖는 연속함수 $\phi_if:V_a\to\mathbb{R}^n$ 에 대해 본 정리가 성립하므로 다음을 얻는다.

$$\int_{V_a}\phi_if=\int_{U_a}(\phi_i\circ g)(f\circ g)|\text{det }Dg|$$

  오른쪽 적분식의 함수는 $U_a$ 와 $A$ 에서 연속이며 $\text{supp }(\phi_i\circ g)$ 밖에서 0이므로 Lem 1.7 에 따라 다음을 얻는다.

$$\begin{align}&\;\int_{U_a}(\phi_i\circ g)(f\circ g)|\text{det }Dg|\\=&\;\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{\text{supp }(\phi_i\circ g)}}(\phi_i\circ g)(f\circ g)|\text{det }Dg|\\=&\;\int_A(\phi_i\circ g)(f\circ g)|\text{det }Dg|\end{align}$$

  따라서 다음이 성립한다.

$$\int_B\phi_if=\int_A(\phi_i\circ g)(f\circ g)|\text{det }Dg|$$

$$\therefore\int_Bf=\sum_{j=1}^\infty\int_A(\phi_i\circ g)(f\circ g)|\text{det }Dg|$$

  $|f|$ 도 $B$ 에서 적분가능하므로 위 식의 $f$ 를 모두 $|f|$ 로 바꾸어도 등식이 성립하며, 이를 정확히하면 다음과 같다.

$$\begin{align}&\;\big((\phi_i\circ g)(|f|\circ g)|\text{det }Dg|\big)(x)\\=&\;(\phi_i\circ g)(x)(|f|)(g(x))|\text{det }Dg(x)|\\=&\;(\phi_i\circ g)(x)|f(g(x))||\text{det }Dg(x)|\\=&\;(\phi_i\circ g)(x)\big|(f\circ g)(x)|\text{det }Dg(x)|\big|\\=&\;\big((\phi_i\circ g)\big|(f\circ g)|\text{det }Dg|\big|\big)(x)\end{align}$$

$$\therefore\int_B|f|=\sum_{j=1}^\infty\int_A(\phi_i\circ g)\big|(f\circ g)|\text{det }Dg|\big|$$

  따라서 수열 $\sum_{j=1}^\infty\int_A(\phi_i\circ g)\big|(f\circ g)|\text{det }Dg|\big|$ 가 수렴하고 $\{\phi_i\circ g\}_{i\in\mathbb{N}}$ 은 $A$ 의 단위분할이므로 Thm 1.8 에 따라 $(f\circ g)|\text{det }Dg|$ 는 $A$ 에서 적분가능하며 다음과 같다.

$$\begin{align}&\;\sum_{i=1}^\infty\int_A(\phi_i\circ g)(f\circ g)|\text{det }Dg|\\=&\;\int_A(f\circ g)|\text{det }Dg|\end{align}$$

  따라서 다음이 성립하므로 step 2 의 원하는 결과를 모두 얻는다.

$$\int_Bf=\int_A(f\circ g)|\text{det }Dg|$$

 

  Step 3.  본 정리가 $n=1$ 에서 성립함을 보이자. $\mathbb{R}^n$ 의 임의의 미분동형사상 $g:A\to B$ 를 고정하고 임의의 $x\in A$ 를 고정하자. $x$ 를 interior 에 포함하는 닫힌구간 $I\subset A$ 가 존재한다. $J=g(I)$ 라고 하면 Lem 2.1 에 따라 $J$ 는 $B$ 의 닫힌구간이며 Thm 3.2 에 따라 다음이 성립한다.

$$\text{Int }J=g(\text{Int }I)$$

  따라서 $g:\int_I\to\int_J$ 는 미분동형사상이다. $x$ 를 임의로 선택하였으므로, step 3 을 증명하는 것은 step 2 에 따라 미분동형사상 $g:\int_I\to\int_J$ 와 정의역에 포함되는 콤팩트 지지를 갖는 모든 연속함수 $f:\int_J\to\mathbb{R}$ 에 대해 본 정리가 성립하는 것을 보이는 것으로 충분하다. 우선 $f$ 를 $\text{Bd }J$ 에서 0이도록 정의역을 $J$ 로 확장하자. 이때 $f$ 는 $\text{Int }J$ 에 포함되는 콤팩트 지지를 가지므로, 이러한 확장에도 불구하고 $f:J\to\mathbb{R}$ 은 여전히 연속함수이다. 이때 치환적분법에 따라 다음이 성립한다.

$$\sideset{^\text{ord}}{}{\int_J}f=\sideset{^\text{ord}}{}{\int_I}(f\circ g)|Dg|$$

  이때 링크의 Cor 6.7 에 따라 다음이 성립한다.

$$\sideset{^\text{ord}}{}{\int_J}f=\int_{\text{Int }J}f$$

$$\sideset{^\text{ord}}{}{\int_I}(f\circ g)|Dg|=\int_{\text{Int }I}(f\circ g)|Dg|$$

  따라서 다음이 성립하므로 원하는 결과를 얻는다.

$$\int_{\text{Int }J}f=\int_{\text{Int }I}(f\circ g)|Dg|$$

 

  Step 4.  $n\ge2$ 라고 하자. $\mathbb{R}^n$ 의 임의의 원시미분동형사상에 대해 본 정리가 성립하면 $\mathbb{R}^n$ 의 임의의 미분동형사상에 대해 본 정리가 성립함을 보이자. $\mathbb{R}^n$ 의 임의의 미분동형사상 $g:A\to B$ 를 생각하자. Thm 3.3 에 따르면 임의의 $x\in A$ 에 대해 $x$ 의 어떤 근방 $U_0\subset A$ 가 존재하여 다음과 같은 원시미분동형사상 $h_1,\ldots,h_k$ 의 합성이 $g|_{U_0}$ 과 같다.

$$\begin{CD}U_0@>h_1>>U_1@>h_2>>\cdots@>h_k>>U_k\end{CD}$$

  각 원시미분동형사상 $h_i:U_{i-1}\to U_i$ 에 대해 본 정리가 성립한다고 가정하였으므로, step 1 에 따라 본 정리가 미분동형사상 $g|_{U_0}$ 에 대해서도 성립한다. 다시말해 미분동형사상 $g:U_0\to V_0$ 과 임의의 연속함수에 대해 본 정리가 성립하므로, 조건을 축소하여 미분동형사상 $g:U_0\to V_0$ 과 정의역에 포함되는 콤팩트 지지를 갖는 임의의 연속함수에 대해 본 정리가 성립한다고 할 수 있다. 이때 $x$ 를 $A$ 에서 임의로 선택하였으므로 step 2 에 따라 미분동형사상 $g:A\to B$ 에 대해 본 정리가 성립한다.

 

  Step 5. 본 정리를 증명하자. 귀납법을 이용하여 증명할 것이며 $n=1$ 에 대해서는 step 3 에서 증명하였으므로, 남은것은 $n-1$ 에서 본 정리가 성립한다고 가정하고 $n$ 에서 본 정리가 성립함을 보이는 것이다.

  Step 4 에 따르면 $\mathbb{R}^n$ 의 원시미분동형사상 $h:U\to V$ 에 대해 증명하는 것으로 충분하다. 편의를 위해 $h$ 가 마지막 성분을 보존한다고 하자. 임의의 $p\in U$ 를 고정하고 $q=h(p)$ 라고 하자. Interior 에 $q$ 를 포함하는 $V$ 의 부분집합인 $Q\in\mathcal{Q}(\mathbb{R}^n)$ 을 생각하자. $S=h^{-1}(Q)$ 라고 하면 Thm 3.2 에 따라 $h:\text{Int }S\to\text{Int }Q$ 는 미분동형사상이다. $p$ 를 $U$ 에서 임의로 선택하였으므로, step 2 에 따라 미분동형사상 $h:\text{Int }S\to\text{Int }Q$ 와 정의역에 포함되는 콤팩트 지지를 갖는 임의의 연속함수 $f:\text{Int }Q\to\mathbb{R}$ 에 대해 본 정리가 성립함을 보이면 된다. 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\;h(x)\notin\{y:f(y)\neq0\}\\\Rightarrow&\;h(x)\in\{y:f(y)=0\}\\\Rightarrow&\;\big((f\circ h)|\text{det }Dh|\big)(x)=0\\\Rightarrow&\;x\in\{x:\big((f\circ h)|\text{det }Dh|\big)(x)=0\}\\\Rightarrow&\;x\notin\{x:\big((f\circ h)|\text{det }Dh|\big)(x)\neq0\}\end{align}$$

  따라서 다음을 얻는다.

$$\begin{align}&\;x\in\{x:\big((f\circ h)|\text{det }Dh|\big)(x)\neq0\}\\\Rightarrow&\;h(x)\in\{y:f(y)\neq0\}\end{align}$$

$$\begin{align}\therefore&\;\{x:\big((f\circ h)|\text{det }Dh|\big)(x)\neq0\}\\\subset&\;h^{-1}(\{y:f(y)\neq0\})\end{align}$$

  한편 Thm 3.2 에 따라 다음을 얻는다.

$$\begin{align}&\;\text{cl}\{x:\big((f\circ h)|\text{det }Dh|\big)(x)=0\}\\=&\;\text{supp}\big((f\circ h)|\text{det }Dh|\big)\\\subset&\;\text{cl }h^{-1}(\{h:f(y)\neq 0\})\\=&\;\text{Int }h^{-1}(\{y:f(y)\neq 0\})\cup\text{Bd }h^{-1}(\{y:f(y)\neq 0\})\\=&\;h^{-1}(\text{Int}\{y:f(y)\neq 0\})\cup h^{-1}(\text{Bd}\{y:f(y)\neq 0\})\\=&\;h^{-1}(\text{Int}\{y:f(y)\neq 0\}\cup \text{Bd}\{y:f(y)\neq 0\})\\=&\;h^{-1}(\text{cl}\{y:f(y)\neq 0\})\\=&\;h^{-1}(\text{supp }f)\end{align}$$

$$\therefore\text{supp}\big((f\circ h)|\text{det }Dh|\big)\subset h^{-1}(\text{supp }f)$$

  이때 $\text{supp }f\subset\text{Int }Q$ 이므로 $h^{-1}(\text{supp }f)\subset\text{Int }S$ 이며, 따라서 연속함수 $(f\circ h)|\text{det }Dh|$ 는 정의역 $\text{Int }S$ 에 포함되는 콤팩트집합 $\text{supp}\big((f\circ h)|\text{det }Dh|\big)$ 밖에서 0이므로 Lem 1.7 에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\;\int_{\text{Int }S}(f\circ h)|\text{det }Dh|\\=&\;\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{\text{supp}\big((f\circ h)|\text{det }Dh|\big)}}(f\circ h)|\text{det }Dh|\end{align}$$

  이때 $(f\circ h)|\text{det }Dh|$ 를를 정의역인 $\text{Int }S$ 의 밖에서도 0의 값을 갖도록 확장하면 자명하게 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\;\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{\text{supp}\big((f\circ h)|\text{det }Dh|\big)}}(f\circ h)|\text{det }Dh|\\=&\;\sideset{^\text{ord}}{}{\int_S}(f\circ h)|\text{det }Dh|\end{align}$$

$$\therefore\int_{\text{Int }S}(f\circ h)|\text{det }Dh|=\sideset{^\text{ord}}{}{\int_S}(f\circ h)|\text{det }Dh|$$

  비슷하게 $f$ 는 정의역에 포함되는 집합인 $\text{supp }f$ 밖에서 0이므로, 정의역인 $\text{Int }Q$ 의 밖에서도 0의 값을 갖도록 확장하면 위와 비슷하게 다음이 성립함을 알 수 있다.

$$\int_{\text{Int }Q}f=\sideset{^\text{ord}}{}{\int_Q}f$$

  이제 step 5 를 증명하기 위해 다음의 식이 성립함을 보이자.

$$\int_{\text{Int }Q}f=\int_{\text{Int }S}(f\circ h)|\text{det }Dh|$$

  위의 논의에 따라 보여야 하는 식은 다음과 같다.

$$\sideset{^\text{ord}}{}{\int_Q}f=\sideset{^\text{ord}}{}{\int_S}(f\circ h)|\text{det }Dh|$$

  편의를 위해 $\text{Int }S$ 밖에서 0이도록 확장한 함수 $(f\circ h)|\text{det }Dh|$ 를 $F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 이라고 하자. $Q$ 는 $\mathbb{R}^n$ 의 rectangle 이므로 어떤 $D\in\mathcal{Q}(\mathbb{R}^{n-1})$ 과 $\mathbb{R}$ 의 어떤 닫힌구간 $I$ 에 대해 $Q=D\times I$ 이다. $S$ 의 경우는 조금 다르다. $S$ 는 콤팩트하므로 어떤 $Q'\in\mathbb{Q}(\mathbb{R}^n)$ 에 포함된다. 이때 어떤 $E\in\mathcal{Q}(\mathbb{R}^{n-1})$ 와 $\mathbb{R}$ 의 어떤 닫힌구간 $J$ 에 대해 $Q'=E\times J$ 라고 표현할 수 있다. 한편 정의에 따라 $S=h^{-1}(Q)$ 이며, 일대일대응 $h^{-1}$ 는 마지막 좌표를 보존하므로 $S$ 의 원소들의 마지막 성분은 $Q$ 의 원소들의 마지막 성분, 즉 $I$ 의 원소이다. 따라서 $S\subset E\times I$ 를 얻는다.

 

  $F$ 는 $S$ 밖에서 0이므로, 우리가 보여야 하는 식은 다음과 같게 된다.

$$\sideset{^\text{ord}}{}{\int_Q}f=\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{E\times I}}F$$

  푸비니 정리에 따라 위 식은 다음과 같다.

$$\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{t\in I}}\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{y\in D}}f(y,t)=\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{t\in I}}\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{x\in E}}F(x,t)$$

  따라서 각 $t\in I$ 에 대해 다음이 성립함을 보이는 것으로 충분하다.

$$\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{y\in D}}f(y,t)=\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{x\in E}}F(x,t)$$

  임의의 $t\in I$ 를 고정하자. $U,V$ 의 $\mathbb{R}^{n-1}\times\{t\}$ 와의 교집합은 각각 $\mathbb{R}^{n-1}$ 에서 열린 어떤 열린집합 $U_t,V_t$ 에 대해 $U_t\times\{t\},V_t\times\{t\}$ 와 같다. 비슷하게, $S$ 의 $\mathbb{R}^{n-1}\times\{t\}$ 와의 교집합은 $\mathbb{R}^{n-1}$ 의 어떤 콤팩트집합 $S_t$ 에 대해 $S_t\times\{t\}$ 와 같다. 한편 $Q$ 의 $\mathbb{R}^{n-1}\times\{t\}$ 와의 교집합은 그냥 $D\times\{t\}$ 이다.

  이때 $S$ 밖에서 $F$ 는 0이므로, 보여야 하는 적분식을 다시 쓰면 다음과 같다.

$$\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{y\in D}}f(y,t)=\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{x\in S_t}}F(x,t)$$

  한편 Lem 1.7 에 따라 다음을 얻는다.

$$\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{y\in D}}f(y,t)=\int_{U_t}f(y,t)$$

$$\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{x\in S_t}}F(x,t)=\int_{V_t}F(x,t)$$

  따라서 보여야 하는 적분식은 다음과 같다.

$$\int_{U_t}f(y,t)=\int_{V_t}F(x,t)$$

  이는 $\mathbb{R}^{n-1}$ 에서의 적분이며, 귀납법 가정에 따라 본 정리가 $\mathbb{R}^{n-1}$ 에서 성립함을 기억하자. 다음과 같이 함수 $k:U\to\mathbb{R}^{n-1}$ 를 정의하자.

$$k(x,t)=(h_1(x,t),\ldots,h_{n-1}(x,t))$$

  이때 $k$ 는 $C^1$ 급임이 자명하며 $h(x,t)=(k(x,t),t)$ 의 꼴이 성립한다. 이때 다음이 성립한다.

$$Dh(x)=\begin{pmatrix}\displaystyle\frac{\partial k}{\partial x}&\begin{matrix}\\\displaystyle\frac{\partial k}{\partial t}\\{}\end{matrix}\\0\;\cdots\;0&1\end{pmatrix}$$

  따라서 $\text{det }Dh=\text{det }\frac{\partial k}{\partial x}$ 이다. 고정된 각 $t$ 에 대해 사상 $x\mapsto k(x,t)$ 는 일대일대응 $U_t\to V_t$ 이다. 그리고 $\text{det }\frac{\partial k}{\partial x}=\text{det }Dh\neq 0$ 이므로, 이 사상은 $\mathbb{R}^{n-1}$ 의 미분동형사상이다. 따라서 귀납법 가정을 적용하면 다음 식이 성립한다.

$$\int_{y\in V_t}f(y,t)=\int_{x\in U_t}f(k(x,t),t)\left|\text{det }\frac{\partial k}{\partial x}\right|$$

  이때 오른쪽 적분식의 함수는 $f(h(x,t))|\text{det }Dh|$ 와 같으며 이는 $F(x,t)$ 와 같으므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

 

  이어서 남은 나머지 방향도 증명하자. 이것으로 변수변환정리의 증명은 마무리된다.

 

 

  Lemma 4.2.  $\mathbb{R}^n$ 의 미분동형사상 $g:A\to B$ 를 생각하자. 연속함수 $f:B\to\mathbb{R}$ 에 대해 $(f\circ g)|\text{det }Dg|$ 가 $A$ 에서 적분가능하면 $f$ 가 $B$ 에서 적분가능하다.

 

 

  Proof.  $F=(f\circ g)|\text{det }Dg|$ 라고 하면 $F$ 는 $A$ 에서 적분가능하고 $A$ 에서 연속이다. Lem 4.1 에 따라 $(F\circ g^{-1})|\text{det }Dg^{-1}|$ 는 $B$ 에서 적분가능하다. 이때 다음과 같다.

$$\begin{align}&\;\big((F\circ g^{-1})|\text{det }Dg^{-1}|\big)(x)\\=&\;F(g^{-1}(x))|\text{det }Dg^{-1}(x)|\\=&\;(f\circ g)(g^{-1}(x))|\text{det }Dg(g^{-1}(x))||\text{det }Dg^{-1}(x)|\\=&\;f(x)|\text{det }D(g^{-1}\circ g)(x)|\\=&\;f(x)\end{align}$$

  따라서 $f$ 는 $B$ 에서 적분가능하다.   $\square$

 

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

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