[변수변환정리] ch4. 변수변환정리

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변수변환정리

 

 

  본 포스팅에서 표기하는 적분은 별다른 설명이 없으면 모두 확장된 의미의 적분을 의미함에 유의하자.

 

 

  변수변환정리 (change of variables theorem)
  ${\mathbb{R}}^n$ 의 미분동형사상 $g:A\to B$ 를 생각하자. 연속함수 $f:B\to \mathbb{R}$ 가 $B$ 에서 적분가능할 필요충분조건은 $(f\circ g)|\text{det }Dg|$ 가 $A$ 에서 적분가능한 것이며 다음이 성립한다.$${\int }_{B}f={\int }_A(f\circ g)|\text{det }Dg|$$

 

 

  변수변환정리의 증명은 분량이 상당하므로, 양방향의 정리를 나누어 증명하자.

 

 

  Lemma 4.1.  ${\mathbb{R}}^n$ 의 미분동형사상 $g:A\to B$ 를 생각하자. $B$ 에서 적분가능한 연속함수 $f:B\to \mathbb{R}$ 에 대해 $(f\circ g)|\text{det }Dg|$ 는 $A$ 에서 적분가능하며 다음이 성립한다.$${\int }_{B}f={\int }_A(f\circ g)|\text{det }Dg|$$

 

 

  Proof.

  Step 1. ${\mathbb{R}}^n$ 의 어떤 두 미분동형사상 $g:U\to V$ , $h:V\to W$ 에 대해 본 정리가 성립하면 미분동형사상 $h\circ g$ 에 대해서도 본 정리가 성립함을 보이자. $W$ 에서 적분가능한 연속함수 $f:W\to \mathbb{R}$ 을 생각하자. 가정에 따라 $(f\circ h)|\text{det }Dh|$ 는 $V$ 에서 적분가능하며 다음이 성립한다.

$${\int }_{W}f={\int }_V(f\circ h)|\text{det }Dh|$$

  $(f\circ h)|\text{det }Dh|=\alpha$ 라고 하자. $\alpha$ 는 $V$ 에서 적분가능한 연속함수이므로 다시 가정에 따라 $(\alpha \circ g)|\text{det }Dg|$ 는 $U$ 에서 적분가능하며 다음이 성립한다.

$${\int }_V\alpha ={\int }_U(\alpha \circ g)|\text{det }Dg|$$

  이때 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}& ((\alpha \circ g)|\text{det }Dg|)(x)\\ =& \alpha (g(x))|\text{det }Dg(x)|\\ =& ((f\circ h))|\text{det }Dh|)(g(x))|\text{det }Dg(x)|\\ =& f(h(g(x)))|\text{det }Dh(g(x))||\text{det }Dg(x)|\end{array}$$

  한편 행렬식의 성질(링크의 Thm 6.8)과 연쇄법칙에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}\text{det }D(h\circ g)(x)& =\text{det}(Dh(g(x))Dg(x))\\ & =\text{det }Dh(g(x))\text{det }Dg(x)\end{array}$$

  정리하면 다음을 얻는다.

$$(\alpha \circ g)|\text{det }Dg|=(f\circ (h\circ g))|\text{det }D(h\circ g)|$$

  따라서 다음이 성립하므로 원하는 결과를 얻는다.

$$\begin{array}{rl}{\int }_{W}f& ={\int }_V\alpha \\ & ={\int }_U(f\circ (h\circ g))|\text{det }D(h\circ g)|\end{array}$$

 

  Step 2. ${\mathbb{R}}^n$ 의 어떤 미분동형사상 $g:A\to B$ 에 대해, 만약 각 $x\in A$ 에 대해 어떤 $U\in {\mathcal{N}}_A(x)$ 가 존재하여 미분동형사상 $g:U\to V$ 와 "정의역에 포함되는 콤팩트 지지를 갖는" 모든 연속함수 $f:V\to \mathbb{R}$ 에 대해 본 정리가 성립한다면 미분동형사상 $g:A\to B$ 에 대해 본 정리가 성립함을 보이자.

  각 $a\in A$ 에 대해 위 가정이 성립하도록 하는 $a$ 의 근방을 $U_a$ 라고 하자. 가정에 따라 미분동형사상 $g:U_a\to V_a$ 와 정의역에 포함되는 콤팩트 지지를 갖는 모든 연속함수 $f:V_a\to \mathbb{R}$ 에 대해 본 정리가 성립한다. 이때 $\{U_a:a\in A\}$ 의 합집합은 $A$ 이며 $\{V_a:a\in A\}$ 의 합집합은 $B$ 임이 자명하다. 단위분할의 존재성 정리에 따라 $\{V_a:a\in A\}$ 에 종속되고 콤팩트 지지를 갖는 $B$ 의 단위분할 $\{{\varphi }_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ 이 존재한다. 이때 $\{{\varphi }_i\circ g{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ 이 콤팩트 지지를 갖는 $A$ 의 단위분할임을 보이자. 우선 다음이 자명하다.

$$\mathrm{\forall }x\in A,({\varphi }_i\circ g)(x)\ge 0$$

  다음으로 $\{{\varphi }_i\circ g{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ 가 콤팩트 지지를 가짐을 보이자. ${\varphi }_i$ 는 콤팩트 지지함수이므로 $\text{supp }{\varphi }_i\subset B$ 는 콤팩트하며, $g^{-1}$ 는 연속이므로 $g^{-1}(\text{supp }{\varphi }_i)$ 도 콤팩트하다. 이때 $g^{-1}(\text{supp }{\varphi }_i)$ 밖의 임의의 점 $x\in A$ 에 대해 $x\notin g^{-1}(\text{supp }{\varphi }_i)$ 이므로 $g(x)\notin \text{supp }{\varphi }_i$ 이다. 따라서 $({\varphi }_i\circ g)(x)=0$ 이므로 정리하면 다음과 같다.

$$x\in A\setminus g^{-1}(\text{supp }{\varphi }_i)\Rightarrow ({\varphi }_i\circ g)(x)=0$$

$$\therefore ({\varphi }_i\circ g)(x)\ne 0\Rightarrow x\notin A\setminus g^{-1}(\text{supp }{\varphi }_i)$$

  다시말해 $S_i=\{x\in A:({\varphi }_i\circ g)(x)\ne 0\}$ 이라고 하면 $S_i\subset g^{-1}(\text{supp }{\varphi }_i)$ 인 것이다. 이때 $\text{cl }{S}_i=\text{supp}({\varphi }_i\circ g)$ 는 $S_i$ 를 포함하는 가장 작은 닫힌집합이며 (링크의 Cor 3.8 참고) $g^{-1}(\text{supp }{\varphi }_i)$ 는 $S_i$ 를 포함하는 닫힌집합이므로 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \text{supp}({\varphi }_i\circ g)\subset g^{-1}(\text{supp }{\varphi }_i)\end{array}$$

  이때 $g^{-1}(\text{supp }{\varphi }_i)\subset A$ 이므로 $\text{supp}({\varphi }_i\circ g)\subset A$ 를 얻는다. 한편 $g^{-1}(\text{supp }{\varphi }_i)$ 는 유계이므로 $\text{supp}({\varphi }_i\circ g)$ 도 유계이며, 따라서 $\text{supp}({\varphi }_i\circ g)$ 는 콤팩트하므로 $\{{\varphi }_i\circ g{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ 은 콤팩트 지지를 갖는다.

  이어서 국소유한조건을 확인하자. 임의의 $x\in A$ 를 생각하자. $\{{\varphi }_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ 은 $B$ 의 단위분할이므로 $g(x)\in B$ 는 $\{\text{supp }{\varphi }_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ 중 오직 유한개와 겹치는 근방 $W\subset B$ 를 갖는다. $\{\text{supp }{\varphi }_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ 중 $W$ 와 겹치는 원소들의 모임을 $\{\text{supp }{\varphi }_i{\}}_{i\in I}$ 라고 하자. $x$ 의 근방인 $g^{-1}(W)$ 는 $\{g^{-1}(\text{supp }{\varphi }_i){\}}_{i\in I}$ 와 겹치며, 그 외의 $\{g^{-1}(\text{supp }{\varphi }_i){\}}_{i\in \mathbb{N}}$ 과는 겹치지 않는다. 각 $i\in \mathbb{N}$ 에 대해 식 (1)에 따라 $g^{-1}(W)$ 는 $\{\text{supp}(\varphi \circ g){\}}_{i\in \mathbb{N}}$ 중에서 $\{\text{supp}(\varphi \circ g){\}}_{i\in I}$ 중 일부와만 겹치므로 원하는 결과를 얻는다. 이어서 다음이 자명하다.

$$\mathrm{\forall }x\in A,\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\varphi }_i(g(x))=1$$

  따라서 $\{{\varphi }_i\circ g{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ 는 콤팩트 지지를 갖는 $A$ 의 단위분할이다. 이제 step 2 를 이어서 증명하자. $B$ 에서 적분가능한 연속함수 $f:B\to \mathbb{R}$ 에 대해 Thm 1.8 에 따라 다음이 성립한다.

$${\int }_{B}f=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_B{\varphi }_{i}f$$

  각 $i\in \mathbb{N}$ 을 고정하자. $\{{\varphi }_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ 은 $\{V_a:a\in A\}$ 에 종속되므로 어떤 $a\in A$ 에 대해 $\text{supp }{\varphi }_i\subset V_a$ 가 성립한다. ${\varphi }_{i}f$ 는 $B$ 와 $V_a$ 에서 연속이며 $\text{supp }{\varphi }_i$ 밖에서 0이므로 Lem 1.7 에 따라 다음이 성립한다.

$${\int }_B{\varphi }_{i}f={}^{\text{ord}}{\int }_{\text{supp }\varphi }f={\int }_{V_a}{\varphi }_{i}f$$

  가정에 따라 미분동형사상 $g:U_a\to V_a$ 와 정의역에 포함되는 콤팩트 지지를 갖는 연속함수 ${\varphi }_{i}f:V_a\to {\mathbb{R}}^n$ 에 대해 본 정리가 성립하므로 다음을 얻는다.

$${\int }_{V_a}{\varphi }_{i}f={\int }_{U_a}({\varphi }_i\circ g)(f\circ g)|\text{det }Dg|$$

  오른쪽 적분식의 함수는 $U_a$ 와 $A$ 에서 연속이며 $\text{supp }({\varphi }_i\circ g)$ 밖에서 0이므로 Lem 1.7 에 따라 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{U_a}({\varphi }_i\circ g)(f\circ g)|\text{det }Dg|\\ =& {}^{\text{ord}}{\int }_{\text{supp }({\varphi }_i\circ g)}({\varphi }_i\circ g)(f\circ g)|\text{det }Dg|\\ =& {\int }_A({\varphi }_i\circ g)(f\circ g)|\text{det }Dg|\end{array}$$

  따라서 다음이 성립한다.

$${\int }_B{\varphi }_{i}f={\int }_A({\varphi }_i\circ g)(f\circ g)|\text{det }Dg|$$

$$\therefore {\int }_{B}f=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_A({\varphi }_i\circ g)(f\circ g)|\text{det }Dg|$$

  $|f|$ 도 $B$ 에서 적분가능하므로 위 식의 $f$ 를 모두 $|f|$ 로 바꾸어도 등식이 성립하며, 이를 정확히하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}& (({\varphi }_i\circ g)(|f|\circ g)|\text{det }Dg|)(x)\\ =& ({\varphi }_i\circ g)(x)(|f|)(g(x))|\text{det }Dg(x)|\\ =& ({\varphi }_i\circ g)(x)|f(g(x))||\text{det }Dg(x)|\\ =& ({\varphi }_i\circ g)(x)|(f\circ g)(x)|\text{det }Dg(x)||\\ =& (({\varphi }_i\circ g)|(f\circ g)|\text{det }Dg||)(x)\end{array}$$

$$\therefore {\int }_B|f|=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_A({\varphi }_i\circ g)|(f\circ g)|\text{det }Dg||$$

  따라서 수열 $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_A({\varphi }_i\circ g)|(f\circ g)|\text{det }Dg||$ 가 수렴하고 $\{{\varphi }_i\circ g{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ 은 $A$ 의 단위분할이므로 Thm 1.8 에 따라 $(f\circ g)|\text{det }Dg|$ 는 $A$ 에서 적분가능하며 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_A({\varphi }_i\circ g)(f\circ g)|\text{det }Dg|\\ =& {\int }_A(f\circ g)|\text{det }Dg|\end{array}$$

  따라서 다음이 성립하므로 step 2 의 원하는 결과를 모두 얻는다.

$${\int }_{B}f={\int }_A(f\circ g)|\text{det }Dg|$$

 

  Step 3.  본 정리가 $n=1$ 에서 성립함을 보이자. ${\mathbb{R}}^n$ 의 임의의 미분동형사상 $g:A\to B$ 를 고정하고 임의의 $x\in A$ 를 고정하자. $x$ 를 interior 에 포함하는 닫힌구간 $I\subset A$ 가 존재한다. $J=g(I)$ 라고 하면 Lem 2.1 에 따라 $J$ 는 $B$ 의 닫힌구간이며 Thm 3.2 에 따라 다음이 성립한다.

$$\text{Int }J=g(\text{Int }I)$$

  따라서 $g:{\int }_I\to {\int }_J$ 는 미분동형사상이다. $x$ 를 임의로 선택하였으므로, step 3 을 증명하는 것은 step 2 에 따라 미분동형사상 $g:{\int }_I\to {\int }_J$ 와 정의역에 포함되는 콤팩트 지지를 갖는 모든 연속함수 $f:{\int }_J\to \mathbb{R}$ 에 대해 본 정리가 성립하는 것을 보이는 것으로 충분하다. 우선 $f$ 를 $\text{Bd }J$ 에서 0이도록 정의역을 $J$ 로 확장하자. 이때 $f$ 는 $\text{Int }J$ 에 포함되는 콤팩트 지지를 가지므로, 이러한 확장에도 불구하고 $f:J\to \mathbb{R}$ 은 여전히 연속함수이다. 이때 치환적분법에 따라 다음이 성립한다.

$${}^{\text{ord}}{\int }_{J}f={}^{\text{ord}}{\int }_I(f\circ g)|Dg|$$

  이때 링크의 Cor 6.7 에 따라 다음이 성립한다.

$${}^{\text{ord}}{\int }_{J}f={\int }_{\text{Int }J}f$$

$${}^{\text{ord}}{\int }_I(f\circ g)|Dg|={\int }_{\text{Int }I}(f\circ g)|Dg|$$

  따라서 다음이 성립하므로 원하는 결과를 얻는다.

$${\int }_{\text{Int }J}f={\int }_{\text{Int }I}(f\circ g)|Dg|$$

 

  Step 4.  $n\ge 2$ 라고 하자. ${\mathbb{R}}^n$ 의 임의의 원시미분동형사상에 대해 본 정리가 성립하면 ${\mathbb{R}}^n$ 의 임의의 미분동형사상에 대해 본 정리가 성립함을 보이자. ${\mathbb{R}}^n$ 의 임의의 미분동형사상 $g:A\to B$ 를 생각하자. Thm 3.3 에 따르면 임의의 $x\in A$ 에 대해 $x$ 의 어떤 근방 $U_0\subset A$ 가 존재하여 다음과 같은 원시미분동형사상 $h_1,\dots ,h_k$ 의 합성이 $g{|}_{U_0}$ 과 같다.

$$\begin{array}{ccccccc}{U}_0& \stackrel{h_1}{\to }& U_1& \stackrel{h_2}{\to }& \cdots & \stackrel{h_k}{\to }& U_k\end{array}$$

  각 원시미분동형사상 $h_i:U_{i-1}\to U_i$ 에 대해 본 정리가 성립한다고 가정하였으므로, step 1 에 따라 본 정리가 미분동형사상 $g{|}_{U_0}$ 에 대해서도 성립한다. 다시말해 미분동형사상 $g:U_0\to V_0$ 과 임의의 연속함수에 대해 본 정리가 성립하므로, 조건을 축소하여 미분동형사상 $g:U_0\to V_0$ 과 정의역에 포함되는 콤팩트 지지를 갖는 임의의 연속함수에 대해 본 정리가 성립한다고 할 수 있다. 이때 $x$ 를 $A$ 에서 임의로 선택하였으므로 step 2 에 따라 미분동형사상 $g:A\to B$ 에 대해 본 정리가 성립한다.

 

  Step 5. 본 정리를 증명하자. 귀납법을 이용하여 증명할 것이며 $n=1$ 에 대해서는 step 3 에서 증명하였으므로, 남은것은 $n-1$ 에서 본 정리가 성립한다고 가정하고 $n$ 에서 본 정리가 성립함을 보이는 것이다.

  Step 4 에 따르면 ${\mathbb{R}}^n$ 의 원시미분동형사상 $h:U\to V$ 에 대해 증명하는 것으로 충분하다. 편의를 위해 $h$ 가 마지막 성분을 보존한다고 하자. 임의의 $p\in U$ 를 고정하고 $q=h(p)$ 라고 하자. Interior 에 $q$ 를 포함하는 $V$ 의 부분집합인 $Q\in \mathcal{Q}({\mathbb{R}}^n)$ 을 생각하자. $S=h^{-1}(Q)$ 라고 하면 Thm 3.2 에 따라 $h:\text{Int }S\to \text{Int }Q$ 는 미분동형사상이다. $p$ 를 $U$ 에서 임의로 선택하였으므로, step 2 에 따라 미분동형사상 $h:\text{Int }S\to \text{Int }Q$ 와 정의역에 포함되는 콤팩트 지지를 갖는 임의의 연속함수 $f:\text{Int }Q\to \mathbb{R}$ 에 대해 본 정리가 성립함을 보이면 된다. 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}& h(x)\notin \{y:f(y)\ne 0\}\\ \Rightarrow & h(x)\in \{y:f(y)=0\}\\ \Rightarrow & ((f\circ h)|\text{det }Dh|)(x)=0\\ \Rightarrow & x\in \{x:((f\circ h)|\text{det }Dh|)(x)=0\}\\ \Rightarrow & x\notin \{x:((f\circ h)|\text{det }Dh|)(x)\ne 0\}\end{array}$$

  따라서 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}& x\in \{x:((f\circ h)|\text{det }Dh|)(x)\ne 0\}\\ \Rightarrow & h(x)\in \{y:f(y)\ne 0\}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\therefore & \{x:((f\circ h)|\text{det }Dh|)(x)\ne 0\}\\ \subset & h^{-1}(\{y:f(y)\ne 0\})\end{array}$$

  한편 Thm 3.2 에 따라 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rl}& \text{cl}\{x:((f\circ h)|\text{det }Dh|)(x)=0\}\\ =& \text{supp}((f\circ h)|\text{det }Dh|)\\ \subset & \text{cl }{h}^{-1}(\{h:f(y)\ne 0\})\\ =& \text{Int }{h}^{-1}(\{y:f(y)\ne 0\})\cup \text{Bd }{h}^{-1}(\{y:f(y)\ne 0\})\\ =& h^{-1}(\text{Int}\{y:f(y)\ne 0\})\cup h^{-1}(\text{Bd}\{y:f(y)\ne 0\})\\ =& h^{-1}(\text{Int}\{y:f(y)\ne 0\}\cup \text{Bd}\{y:f(y)\ne 0\})\\ =& h^{-1}(\text{cl}\{y:f(y)\ne 0\})\\ =& h^{-1}(\text{supp }f)\end{array}$$

$$\therefore \text{supp}((f\circ h)|\text{det }Dh|)\subset h^{-1}(\text{supp }f)$$

  이때 $\text{supp }f\subset \text{Int }Q$ 이므로 $h^{-1}(\text{supp }f)\subset \text{Int }S$ 이며, 따라서 연속함수 $(f\circ h)|\text{det }Dh|$ 는 정의역 $\text{Int }S$ 에 포함되는 콤팩트집합 $\text{supp}((f\circ h)|\text{det }Dh|)$ 밖에서 0이므로 Lem 1.7 에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{\text{Int }S}(f\circ h)|\text{det }Dh|\\ =& {}^{\text{ord}}{\int }_{\text{supp}((f\circ h)|\text{det }Dh|)}(f\circ h)|\text{det }Dh|\end{array}$$

  이때 $(f\circ h)|\text{det }Dh|$ 를를 정의역인 $\text{Int }S$ 의 밖에서도 0의 값을 갖도록 확장하면 자명하게 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}& {}^{\text{ord}}{\int }_{\text{supp}((f\circ h)|\text{det }Dh|)}(f\circ h)|\text{det }Dh|\\ =& {}^{\text{ord}}{\int }_S(f\circ h)|\text{det }Dh|\end{array}$$

$$\therefore {\int }_{\text{Int }S}(f\circ h)|\text{det }Dh|={}^{\text{ord}}{\int }_S(f\circ h)|\text{det }Dh|$$

  비슷하게 $f$ 는 정의역에 포함되는 집합인 $\text{supp }f$ 밖에서 0이므로, 정의역인 $\text{Int }Q$ 의 밖에서도 0의 값을 갖도록 확장하면 위와 비슷하게 다음이 성립함을 알 수 있다.

$${\int }_{\text{Int }Q}f={}^{\text{ord}}{\int }_{Q}f$$

  이제 step 5 를 증명하기 위해 다음의 식이 성립함을 보이자.

$${\int }_{\text{Int }Q}f={\int }_{\text{Int }S}(f\circ h)|\text{det }Dh|$$

  위의 논의에 따라 보여야 하는 식은 다음과 같다.

$${}^{\text{ord}}{\int }_{Q}f={}^{\text{ord}}{\int }_S(f\circ h)|\text{det }Dh|$$

  편의를 위해 $\text{Int }S$ 밖에서 0이도록 확장한 함수 $(f\circ h)|\text{det }Dh|$ 를 $F:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 이라고 하자. $Q$ 는 ${\mathbb{R}}^n$ 의 rectangle 이므로 어떤 $D\in \mathcal{Q}({\mathbb{R}}^{n-1})$ 과 $\mathbb{R}$ 의 어떤 닫힌구간 $I$ 에 대해 $Q=D\times I$ 이다. $S$ 의 경우는 조금 다르다. $S$ 는 콤팩트하므로 어떤 $Q^{\prime }\in \mathbb{Q}({\mathbb{R}}^n)$ 에 포함된다. 이때 어떤 $E\in \mathcal{Q}({\mathbb{R}}^{n-1})$ 와 $\mathbb{R}$ 의 어떤 닫힌구간 $J$ 에 대해 $Q^{\prime }=E\times J$ 라고 표현할 수 있다. 한편 정의에 따라 $S=h^{-1}(Q)$ 이며, 일대일대응 $h^{-1}$ 는 마지막 좌표를 보존하므로 $S$ 의 원소들의 마지막 성분은 $Q$ 의 원소들의 마지막 성분, 즉 $I$ 의 원소이다. 따라서 $S\subset E\times I$ 를 얻는다.

 

  $F$ 는 $S$ 밖에서 0이므로, 우리가 보여야 하는 식은 다음과 같게 된다.

$${}^{\text{ord}}{\int }_{Q}f={}^{\text{ord}}{\int }_{E\times I}F$$

  푸비니 정리에 따라 위 식은 다음과 같다.

$${}^{\text{ord}}{\int }_{t\in I}{}^{\text{ord}}{\int }_{y\in D}f(y,t)={}^{\text{ord}}{\int }_{t\in I}{}^{\text{ord}}{\int }_{x\in E}F(x,t)$$

  따라서 각 $t\in I$ 에 대해 다음이 성립함을 보이는 것으로 충분하다.

$${}^{\text{ord}}{\int }_{y\in D}f(y,t)={}^{\text{ord}}{\int }_{x\in E}F(x,t)$$

  임의의 $t\in I$ 를 고정하자. $U,V$ 의 ${\mathbb{R}}^{n-1}\times \{t\}$ 와의 교집합은 각각 ${\mathbb{R}}^{n-1}$ 에서 열린 어떤 열린집합 $U_t,V_t$ 에 대해 $U_t\times \{t\},V_t\times \{t\}$ 와 같다. 비슷하게, $S$ 의 ${\mathbb{R}}^{n-1}\times \{t\}$ 와의 교집합은 ${\mathbb{R}}^{n-1}$ 의 어떤 콤팩트집합 $S_t$ 에 대해 $S_t\times \{t\}$ 와 같다. 한편 $Q$ 의 ${\mathbb{R}}^{n-1}\times \{t\}$ 와의 교집합은 그냥 $D\times \{t\}$ 이다.

  이때 $S$ 밖에서 $F$ 는 0이므로, 보여야 하는 적분식을 다시 쓰면 다음과 같다.

$${}^{\text{ord}}{\int }_{y\in D}f(y,t)={}^{\text{ord}}{\int }_{x\in S_t}F(x,t)$$

  한편 Lem 1.7 에 따라 다음을 얻는다.

$${}^{\text{ord}}{\int }_{y\in D}f(y,t)={\int }_{U_t}f(y,t)$$

$${}^{\text{ord}}{\int }_{x\in S_t}F(x,t)={\int }_{V_t}F(x,t)$$

  따라서 보여야 하는 적분식은 다음과 같다.

$${\int }_{U_t}f(y,t)={\int }_{V_t}F(x,t)$$

  이는 ${\mathbb{R}}^{n-1}$ 에서의 적분이며, 귀납법 가정에 따라 본 정리가 ${\mathbb{R}}^{n-1}$ 에서 성립함을 기억하자. 다음과 같이 함수 $k:U\to {\mathbb{R}}^{n-1}$ 를 정의하자.

$$k(x,t)=(h_1(x,t),\dots ,h_{n-1}(x,t))$$

  이때 $k$ 는 $C^1$ 급임이 자명하며 $h(x,t)=(k(x,t),t)$ 의 꼴이 성립한다. 이때 다음이 성립한다.

$$Dh(x)=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\partial k}{\partial x}}& \begin{array}{c}\\ {\displaystyle \frac{\partial k}{\partial t}}\\ \end{array}\\ 0\cdots 0& 1\end{array}\right)$$

  따라서 $\text{det }Dh=\text{det }\frac{\partial k}{\partial x}$ 이다. 고정된 각 $t$ 에 대해 사상 $x\mapsto k(x,t)$ 는 일대일대응 $U_t\to V_t$ 이다. 그리고 $\text{det }\frac{\partial k}{\partial x}=\text{det }Dh\ne 0$ 이므로, 이 사상은 ${\mathbb{R}}^{n-1}$ 의 미분동형사상이다. 따라서 귀납법 가정을 적용하면 다음 식이 성립한다.

$${\int }_{y\in V_t}f(y,t)={\int }_{x\in U_t}f(k(x,t),t)\left|\text{det }\frac{\partial k}{\partial x}\right|$$

  이때 오른쪽 적분식의 함수는 $f(h(x,t))|\text{det }Dh|$ 와 같으며 이는 $F(x,t)$ 와 같으므로 원하는 결과를 얻는다.   $◻$

 

 

 

  이어서 남은 나머지 방향도 증명하자. 이것으로 변수변환정리의 증명은 마무리된다.

 

 

  Lemma 4.2.  ${\mathbb{R}}^n$ 의 미분동형사상 $g:A\to B$ 를 생각하자. 연속함수 $f:B\to \mathbb{R}$ 에 대해 $(f\circ g)|\text{det }Dg|$ 가 $A$ 에서 적분가능하면 $f$ 가 $B$ 에서 적분가능하다.

 

 

  Proof.  $F=(f\circ g)|\text{det }Dg|$ 라고 하면 $F$ 는 $A$ 에서 적분가능하고 $A$ 에서 연속이다. Lem 4.1 에 따라 $(F\circ g^{-1})|\text{det }D{g}^{-1}|$ 는 $B$ 에서 적분가능하다. 이때 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}& ((F\circ g^{-1})|\text{det }D{g}^{-1}|)(x)\\ =& F(g^{-1}(x))|\text{det }D{g}^{-1}(x)|\\ =& (f\circ g)(g^{-1}(x))|\text{det }Dg(g^{-1}(x))||\text{det }D{g}^{-1}(x)|\\ =& f(x)|\text{det }D(g^{-1}\circ g)(x)|\\ =& f(x)\end{array}$$

  따라서 $f$ 는 $B$ 에서 적분가능하다.   $◻$

 

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

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