[다양체] ch2. 다양체의 정의

이전 읽을거리)

[실수공간의 위상] ch3. 위상적 성질

[변수변환정리] ch2. 미분동형사상

ch1. 매개화된 다양체

다음 읽을거리: ch3. 다양체에서 스칼라 함수의 적분

---

  Convention.
  ▷ $\mathcal{T}_X$ 란 $X$ 에서 열려있는 집합의 모임이다.
  ▷ $\mathcal{N}_X(x)$ 란 $X$ 에서 $x\in X$ 의 근방의 모임, 즉 $X$ 에서 열린 $x$ 를 포함하는 집합의 모임이다.

 

 

경계가 없는 다양체

 

 

  다양체는 수학에서 가장 중요한 대상 중 하나이다. 다양체는 미분기하학, 이론물리학, 대수위상수학 등 여러가지 분야에서 유용하게 사용된다. 일단 이 시리즈에서는 $\mathbb{R}^n$ 의 부분집합인 다양체만 다루기로 하자. 이 논의가 어느정도 마무리가 된 다음에는 더욱 추상적으로 정의되는 다양체를 다룰 수 있을 것이다.

 

  우선 특수한 다양체부터 정의하자. 이는 $\mathbb{R}^n$ 의 다양체를 이해하는데 도움을 준다.

 

 

  Definition.  $\mathbb{R}^n$ 의 부분공간 $M$ 을 생각하자. 만약 각 $p\in M$ 에 대해 다음을 만족하는 연속인 일대일대응$$\alpha:U\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^k}\to V\in\mathcal{N}_M(p)$$  가 존재하면 $M$ 을 $\mathbb{R}^n$ 의 $C^r$ 급 경계가 없는 k-다양체라고 한다.
  (1) $\alpha$ 는 $C^r$ 급이다.
  (2) $\alpha^{-1}:V\to U$ 는 연속이다.
  (3) 각 $x\in U$ 에 대해 $D\alpha(x)$ 의 랭크는 k이다.
  이때 $\alpha$ 또는 $V$ 를 $p$ 에 대한 $M$ 의 좌표조각이라고 한다.

 

※ "$\mathbb{R}^n$ 의 $C^r$ 급 경계가 없는 k-다양체" 의 원문은 "k-manifold without boundary in $\mathbb{R}^n$" 이다.

 

※ "$M$ 의 $p$ 에 대한 좌표계" 의 원문은 "coordinate patch on $M$ about $p$" 이다.

 

  좌표조각이 만족해야 하는 조건 중 (3)에 대한 이야기를 해보자. 예시를 단순화하기 위해 $k=2$ 인 경우를 생각하자. $D\alpha(x)$ 의 랭크가 2라는 것은 $x$ 에서 $D\alpha$ 의 두 열 $\frac{\partial\alpha}{\partial x_1}$ 과 $\frac{\partial\alpha}{\partial x_2}$ 가 일차독립이라는 것이다. 한편 $\frac{\partial\alpha}{\partial x_j}$ 는 곡선 $f(t)=\alpha(a+te_j)$ 의 $0$ 에서의 속도벡터이므로 $M$ 의 표면에 접하게 된다. 따라서 $\frac{\partial\alpha}{\partial x_1}$ 과 $\frac{\partial\alpha}{\partial x_2}$ 가 생성하는 집합은 $M$ 의 표면에 접하는 2차원 평면이라고 할 수 있다.

 

  추가로 경계가 없는 다양체와 지난 포스팅에서 다룬 매개화된 다양체의 관계를 생각해보자. $C^r$ 급사상 $\alpha:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^k}\to\mathbb{R}^n$ 에 대해 $Y=\alpha(A)$ 라고 하면 $Y_\alpha$ 는 k차원 매개화된 다양체이지만, 일반적으로 k-다양체가 아니다. 이는 $\alpha$ 가 조건 (2)와 (3)을 만족하지 않기 때문이다. 만약 $\alpha$ 가 조건 (2)와 (3)을 만족하게 된다면 $Y$ 는 단 하나의 좌표조각으로 덮이는, 경계가 없는 k-다양체라고 할 수 있다.

 

  지금까지 우리는 미분가능한 함수의 정의역을 열린집합으로 제한해왔다. 이는 어떤 함수의 미분가능성은 정의역의 interior 에서만 판단하기로 하였기에, 정의역 전체에서 미분가능한 함수라면 정의역이 열린집합일수밖에 없었기 때문이다. 이제 함수의 확장성을 빌려서 미분가능한 함수의 정의역에 대한 제한을 해제하자.

 

 

  Definition.  $f:S\subset\mathbb{R}^k\to\mathbb{R}^n$ 을 생각하자. 만약 $S$ 를 포함하는 어떤 집합 $U\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^k}$ 에 대해 $f$ 의 $C^r$ 급 확장 $g:U\to\mathbb{R}^n$ 이 존재하면 $f$ 가 $C^r$ 급이라고 한다.

 

※ $g$ 가 $f$ 의 $C^r$ 급 확장이라는 것은 $f$ 의 정의역에서 $f=g$ 이고 $g$ 가 $C^r$ 급이라는 것이다.

 

  위 정의에서 말하는 확장된 의미의 $C^r$ 급은 함수 그 자체의 미분가능성과는 직접적인 관계가 없다. 따라서 어떤 함수가 확장된 의미로 $C^1$ 급이라고 하더라도 그 함수는 그 자체로 모든 점에서 미분가능하지는 않다. 다시말해 함수 $f$ 의 정의역이 열린집합이 아닌 경우에는 $f$ 가 $C^1$ 급이더라도 모든 점에서 $Df$ 가 정의되지는 않는다.

 

  다음 정리에 따르면 함수의 합성은 class 를 보존한다.

 

 

  Lemma 2.1.  $C^r$ 급 함수 $f_1:S\subset\mathbb{R}^k\to\mathbb{R}^n$ , $f_2:T\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^p$ 에 대해 $f_2\circ f_1:f_1^{-1}(T)\to\mathbb{R}^p$ 는 $C^r$ 급이다.

 

 

  Proof.  $f_1$ 과 $f_2$ 는 $C^r$ 급이므로 정의에 따라 $S$ 를 포함하는 어떤 $U\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^k}$ 와 $T$ 를 포함하는 어떤 $V\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}$ 에 대해 $f_1$ 의 $C^r$ 급 확장 $g_1:U\to\mathbb{R}^n$ 과 $f_2$ 의 $C^r$ 급 확장 $g_2\to\mathbb{R}^p$ 가 존재한다. 이때 $g_2\circ g_1:g_1^{-1}(V)\to\mathbb{R}^p$ 는 $C^r$ 급이다. 한편 $(g_2\circ g_1)|_{f_1^{-1}(T)}=f_2\circ f_1$ 이므로 $g_2\circ g_1$ 는 $f_2\circ f_1$ 의 $C^r$ 급 확장이다. 따라서 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

  다음의 정리는 국소적으로 (원래의 의미로) $C^r$ 급 함수이면 (확장된 의미로) $C^r$ 급 함수임을 말하고 있다.

 

 

  Lemma 2.2.  함수 $f:S\subset\mathbb{R}^k\to\mathbb{R}^n$ 과 임의의 $x\in S$ 에 대해 어떤 $C^r$ 급 함수 $g:U\in\mathcal{N}_{\mathbb{R}^k}(x)\to\mathbb{R}^n$ 이 존재하여 $S\cap U$ 에서 $f=g$ 이면 $f$ 는 $C^r$ 급이다.

 

 

  Proof.  임의의 $x\in S$ 를 고정하면, 가정에 따라 어떤 $U_x\in\mathcal{N}_{\mathbb{R}^k}(x)$ 가 존재하여 어떤 $C^r$ 급 함수 $g_x:U_x\to\mathbb{R}^n$ 에 대해 $S\cap U_x$ 에서 $f=g_x$ 이다. 이때 $\{U_x\}_{x\in S}$ 는 $S$ 를 덮는 $\mathbb{R}^k$ 에서 열린집합의 모임이며 이것의 합집합을 $A$ 라고 하자. 단위분할의 존재성 정리에 따르면 $\{U_x\}_{x\in S}$ 에 종속되는 $A$ 의 $C^r$ 급 단위분할 $\{\phi_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ 이 존재한다. 각 $i$ 에 대해 $\text{supp }\phi_i$ 를 포함하는 $U_x$ 가 존재하며 이때 $C^r$ 급함수인 $g_x:U_x\to\mathbb{R}^n$ 을 $g_i$ 라고 하자. 이때 $C^r$ 급함수 $\phi_ig_i$ 는 $\text{supp }\phi_i$ 밖에서 0이며, 이는 $\phi_ig_i$ 가 "열린집합인 정의역" 의 콤팩트한 부분집합 밖에서 0이라는 것이므로 $\phi_ig_i$ 를 정의역 밖에서 0이도록 확장한 함수 $h_i$ 는 $C^r$ 급이다. (링크의 Lem 1.7 의 증명 중 step 1 참고) 이제 함수 $g:A\to\mathbb{R}^n$ 을 다음과 같이 정의하자.

$$g(x)=\sum_{i=1}^\infty h_i(x)$$

  단위분할의 국소유한조건에 따라 $A$ 의 각 점은 유한개의 $h_i$ 의 합과 $g$ 가 같도록하는 근방을 가지므로 위 함수는 잘 정의되며, 이 근방에서 각 $h_i$ 는 $C_r$ 급이므로 $g$ 도 이 근방에서 $C^r$ 급임을 알 수 있다. 따라서 $A$ 전체에서 $g$ 는 $C^r$ 급이다. 한편 임의의 $x\in S$ 와 $\phi_i(x)\neq 0$ 이도록 하는 각 $i$ 에 대해 다음과 같다.

$$h_i(x)=\phi_i(x)g_i(x)=\phi_i(x)f(x)$$

  따라서 각 $x\in S$ 에 대해 다음을 얻는다.

$$g(x)=\sum_{i=1}^\infty\phi_i(x)f(x)=f(x)$$

  즉 $g$ 는 열린집합에서 정의된 $f$ 의 $C^r$ 급 확장이므로 $f$ 는 $C^r$ 급이다.   $\square$

 

 

 

다양체

 

 

  이제 좀 더 일반적인 다양체의 정의를 알아보자. 다음의 정의는 유용하게 쓰인다.

 

 

  Definition.  다음과 같이 $\mathbb{R}^k$ 의 두 부분공간을 정의하자.
  ▷ $\mathbb{H}^k=\mathbb{R}^{k-1}\times[0,\infty)$ 를 $\mathbb{R}^k$ 의 상반공간(upper half-space)이라고 한다.
  ▷ $\mathbb{H}^k_+=\mathbb{R}^{k-1}\times(0,\infty)$ 를 $\mathbb{R}^k$ 의 열린상반공간(open upper half-space)이라고 한다.

 

 

  $\mathbb{H}^k$ 는 $\mathbb{R}^k$ 에서 닫힌집합이고 $\mathbb{H}^k_+$ 는 $\mathbb{R}^k$ 에서 열린집합이다. 그러므로 어떤 집합 $A$ 가 $\mathbb{H}^k_+$ 에서 열려있으면 $\mathbb{R}^k$ 에서도 열려있지만, $\mathbb{H}^k$ 에서 열려있다면 $\mathbb{R}^k$ 에서 열려있음이 보장되지 않는다. 특히 $A$ 가 $R^{k-1}\times\{0\}$ 의 점을 포함하는 경우가 그러하다. 한가지 다행인 것은, 우리는 이미 열려있지 않은 집합에 대해서도 함수의 class 를 정의하였으므로 어떤 함수의 정의역이 $\mathbb{H}^k$ 에서 열려있어도 class 가 잘 정의된다.

 

  한편 확장된 class 의 정의에는 원래의 class 의 정의에 포함되어있는 "모든 점에서 미분이 정의된다" 라는 성질이 빠져있다. 하지만 $\mathbb{H}^k$ 에서 열려있는 정의역을 갖는 특수한 경우에 한하여, 다음의 정리에 따르면 모든 점에서 미분을 잘 정의할 수 있다.

 

 

  Lemma 2.3.  $\mathbb{H}^k$ 에서 열리고 $\mathbb{R}^k$ 에서 열리지 않은 집합 $U$ 와 $C^r$ 급함수 $\alpha:U\to\mathbb{R}^n$ 을 생각하자. $\alpha$ 의 $C^r$ 인 임의의 확장 $\beta:U_1\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^k}\to\mathbb{R}^n$ , $\gamma:U_2\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^k}\to\mathbb{R}^n$ 에 대하여 각 $x\in U$ 에 대해 $D\beta(x)=D\gamma(x)$ 이다.

 

 

  Proof.  각 $i$ 에 대해 정의에 따라 다음과 같다.

$$D_i\beta(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\beta(x+he_i)-\beta(x)}{h}$$

$$D_i\gamma(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\gamma(x+he_i)-\gamma(x)}{h}$$

  이 극한값은 존재하므로, $h$ 가 양수인 경우만 생각하여도 그 극한값은 동일하다. (링크의 Thm 5.2 참고) 이때 $x\in\mathbb{H}^k$ 이므로 $x+h_ie_i\in\mathbb{H}^k$ 이다. $\mathbb{H}^k$ 에선 $\alpha=\beta=\gamma$ 이므로 위의 두 극한식은 동일하며 따라서 $D\beta(x)=D\gamma(x)$ 를 얻는다.   $\square$

 

 

 

  따라서 다음은 잘 정의된다.

 

  Definition.  $\mathbb{H}^k$ 에서 열리고 $\mathbb{R}^k$ 에서 열리지 않은 집합 $U$ 와 $C^r$ 급함수 $\alpha:U\to\mathbb{R}^n$ , $f$ 의 $C^r$ 인 임의의 확장 $\beta:U'\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^k}\to\mathbb{R}^n$ 을 생각하자. $\alpha$ 가 미분가능하지 않은 점 $x\in U$ 에 대해 $D\alpha(x)=D\beta(x)$ 라고 정의한다.

 

 

  이제 다양체의 일반적인 정의를 확인하자.

 

 

  Definition. $\mathbb{R}^n$ 의 부분공간 $M$ 을 생각하자. 만약 각 $p\in M$ 에 대해 다음을 만족하는 연속인 일대일대응$$\alpha:U\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^k}\cup\mathcal{T}_{\mathbb{H}^k}\to V\in\mathcal{N}_{\mathbb{R}^n}(p)$$  가 존재하면 $M$ 을 $\mathbb{R}^n$ 의 $C^r$ 급 k-다양체라고 한다.
  (1) $\alpha$ 는 $C^r$ 급이다.
  (2) $\alpha^{-1}:V\to U$ 는 연속이다.
  (3) 각 $x\in U$ 에 대해 $D\alpha(x)$ 의 랭크는 k이다.
  이때 $\alpha$ 또는 $V$ 를 $p$ 에 대한 $M$ 의 좌표조각이라고 한다.

 

 

  $\mathbb{R}^n$ 또는 $\mathbb{H}^n$ 에서 열린 임의의 집합은 항등사상이 전체를 덮는 좌표조각과 같으며 따라서 $\mathbb{R}^n$ 의 $C^\infty$ 급 n-다양체이다.

 

  다양체의 일반화된 정의로부터, 경계가 없는 다양체란 단지 모든 좌표조각의 정의역이 $\mathbb{R}^k$ 에서 열려있는 다양체를 의미함을 알 수 있다. 이러한 논의는 다양체의 경계와 정의역이 $\mathbb{H}^k$ 에서 열려있는 좌표조각이 어떠한 연관성을 가짐을 암시한다.

 

  좌표조각의 역함수가 연속이라는 점으로부터 다음의 정리가 얻어진다.

 

 

  Lemma 2.4.  $\mathbb{R}^n$ 의 k-다양체 $M$ 과 $M$ 의 좌표조각 $\alpha:U\to V$ 를 생각하자. $U$ 에서 열린집합 $U_0$ 에 대해 $\alpha|_{U_0}$ 도 $M$ 의 좌표조각이다.

 

 

  Proof.  $U_0$ 는 $U$ 에 대해 열려있고 $\alpha^{-1}$ 는 연속이므로 $V_0=\alpha(U_0)$ 은 $V$ 에서 열려있다. 한편 $U$ 는 $\mathbb{R}^k$ 또는 $\mathbb{H}^k$ 에서 열려있으므로 $U_0$ 도 $\mathbb{R}^k$ 또는 $\mathbb{H}^k$ 에서 열려있다. (링크의 Cor 3.4 참고) 또한 $V$ 는 $M$ 에서 열려있으므로 $V_0$ 는 $M$ 에서 열려있다. 사상 $\alpha|_{U_0}:U_0\to V_0$ 은 일대일대응이며 $\alpha$ 가 $C^r$ 급이므로 $\alpha|_{U_0}$ 도 $C^r$ 급이고, $(\alpha|_{U_0})^{-1}$ 은 $(\alpha^{-1})|_{V_0}$ 과 같으므로 연속이며, $D\alpha$ 의 랭크가 k이므로 $D(\alpha|_{U_0})$ 도 그러하다. 따라서 $\alpha|_{U_0}$ 은 $M$ 의 좌표조각이다.   $\square$

 

 

 

  다음의 정리는 좌표조각에 대해 하나의 대칭성을 부여한다.

 

 

  Lemma 2.5.  $C^r$ 급 다양체의 좌표조각의 역함수는 $C^r$ 급이다.

 

 

  Proof.  $\mathbb{R}^n$ 의 $C^r$ 급 k-다양체 $M$ 과 $M$ 의 좌표조각 $\alpha:U\to V$ 를 생각하자. $V$ 의 임의의 점 $p_0$ 을 고정하고 $\alpha^{-1}(p_0)=x_0$ 이라고 하자. Lem 2.2 에 따르면 어떤 $C^r$ 급 함수 $h:W\in\mathcal{N}_{\mathbb{R}^n}(p_0)\to\mathbb{R}^n$ 이 존재하여 $V\cap W$ 에서 $h=\alpha^{-1}$ 이면 $\alpha^{-1}$ 는 $C^r$ 급이다.

 

  Step 1. $U$ 가 $\mathbb{H}^k$ 에서 열려있고 $\mathbb{R}^k$ 에서 열려있지 않을때 본 정리가 성립함을 보이자. $\alpha$ 의 $C^r$ 급 확장 $\beta:U'\in\mathcal{T}_{\mathbb{R^k}}\to\mathbb{R}^n$ 을 생각하자. $D\alpha(x_0)$ 의 랭크는 k이므로 $D\alpha(x_0)$ 에는 k개의 일차독립인 행이 존재한다. 편의를 위해 첫 k개의 행이 일차독립이라고 하자. 다음의 $C^\infty$ 급함수를 생각하자.

$$\pi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^k,\;\pi(x_1,\ldots,x_n)=(x_1,\ldots,x_k)$$

  이때 다음과 같다.

$$\begin{align}D\pi&=\left(\textstyle\frac{\partial\pi}{\partial x_1}\;\cdots\;\frac{\partial\pi}{\partial x_n}\right)\\&=\left(I_k\;O\right)\end{align}$$

  따라서 $g=\pi\circ\beta$ 라고 하면 $g:U'\to\mathbb{R}^k$ 는 $C^r$ 급이며 다음과 같다. (편의상 $D\alpha(x_0)$ 의 i번째 행을 $a_i$ 라고 하자.)

$$\begin{align}Dg(x_0)&=D\pi(\beta(x_0))D\beta(x_0)\\&=D\pi(\beta(x_0))D\alpha(x_0)\end{align}$$

$$\begin{align}Dg(x_0)^t&=D\alpha(x_0)^tD\pi(\beta(x_0))^t\\&=(a_1^t\;\cdots\;a_n^t)\begin{pmatrix}I_k\\O\end{pmatrix}\\&=(a_1^t\;\cdots\;a_n^t)(e_1\;\cdots\;e_k)\\&=(a_1^t\;\cdots\;a_k^t)\end{align}$$

  따라서 $Dg(x_0)$ 의 모든 열은 일차독립이므로 $\text{det }Dg(x_0)\neq 0$ 이다. 역함수 정리에 따르면 어떤 $U_0\in\mathcal{N}_{U'}(x_0)$ 과 $V_0\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^k}$ 가 존재하여 $g:U_0\to V_0$ 이 일대일대응이며 그 역함수가 $C^r$ 급이다.

  이제 $h=g^{-1}\circ\pi$ 라고 할때 $h:\pi^{-1}(V_0)\to U_0$ 는 $p_0$ 을 포함하는 $\mathbb{R}^n$ 의 열린집합에서 정의된 $C^r$ 급함수이다. 임의의 $p\in V\cap\pi^{-1}(V_0)$ 을 생각하자. $\alpha(x)=p$ 인 $x\in U$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\begin{align}h(p)&=h(\alpha(x))=(g^{-1}\circ\pi)(\alpha(x))\\&=(g^{-1}\circ\pi)(\beta(x))=g^{-1}((\pi\circ\beta)(x))\\&=g^{-1}(g(x))=x=\alpha^{-1}(p)\end{align}$$

  따라서 $V\cap\pi^{-1}(V_0)$ 에서 $h=\alpha^{-1}$ 이며, $p_0$ 을 $V$ 에서 임의로 선택하였으므로 원하는 결과를 얻는다.

 

  Step 2. $U$ 가 $\mathbb{R}^k$ 에서 열려있을 때 본 정리가 성립함을 보이자. 이는 step 1 에서 $U'=U$ 및 $\beta=\alpha$ 라고 하고 동일한 과정을 반복하면 된다.   $\square$

 

 

 

  Theorem 2.6.  $\mathbb{R}^n$ 의 $C^r$ 급 k-다양체 $M$ 과 $M$ 의 서로소가 아닌 두 좌표조각 $\alpha_1:U_1\to V_1$ , $\alpha_2:U_2\to V_2$ 를 생각하자. 이때 다음의 일대일대응은 $C_r$ 급이며 미분이 non-singular 이다.$$\alpha_2^{-1}\circ\alpha_1:\alpha_1^{-1}(V_1\cap V_2)\to\alpha_2^{-1}(V_1\cap V_2)$$

 

 

  Proof.  Lem 2.4 에 따라 다음의 두 사상은 $M$ 의 $C^r$ 급 좌표조각이다.

$$\alpha_1:\alpha_1^{-1}(V_1\cap V_2)\to V_1\cap V_2$$

$$\alpha_2:\alpha_2^{-1}(V_1\cap V_2)\to V_1\cap V_2$$

  특히 Lem 2.5 에 따라 사상 $\alpha_2^{-1}:V_1\cap V_2\to\alpha_2^{-1}(V_1\cap V_2)$는 $C^r$ 급이다. 따라서 Lem 2.1 에 따라 다음의 사상이 $C^r$ 급임을 안다.

$$\alpha_2^{-1}\circ\alpha_1:\alpha_1^{-1}(V_1\cap V_2)\to\alpha_2^{-1}(V_1\cap V_2)$$

  비슷하게 다음의 사상도 $C^r$ 급임을 알 수 있다.

$$\alpha_1^{-1}\circ\alpha_2:\alpha_2^{-1}(V_1\cap V_2)\to\alpha_1^{-1}(V_1\cap V_2)$$

  편의를 위해 $\psi_1=\alpha_2^{-1}\circ\alpha_1$ , $\psi_2=\alpha_1^{-1}\circ\alpha_2$ 라고 하자. 이때 $\psi_2\circ\psi_1$ 는 항등함수이므로 임의의 $x\in:\alpha_1^{-1}(V_1\cap V_2)$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$I_n=D(\psi_2\circ\psi_1)(x)=D\psi_2(\psi_1(x))D\psi_1(x)$$

  따라서 $D\psi_1(x)\neq 0$ 이므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

 

  Definition.  다양체 $M$ 의 서로소가 아닌 두 좌표조각 $\alpha_1,\alpha_2$ 에 대해 $\alpha_2^{-1}\circ\alpha_1$ 을 $\alpha_1$ 과 $\alpha_2$ 사이의 전이함수(transition function)라고 한다.

 

 

 

다양체의 경계

 

 

  이제 다양체의 경계가 무엇인지에 대한 논의를 명확하게 하자. 일단 다양체의 경계를 다음과 같이 정의하면, 이로부터 경계에 대한 더욱 명료한 성질을 얻어낼 수 있다.

 

 

  Definition.  $\mathbb{R}^n$ 의 k-다양체 $M$ 과 각 $p\in M$ 에 대해 다음과 같이 정의한다.
  (1) $p$ 에 대한 $M$ 의 어떤 좌표조각 $\alpha:U\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^k}\to V$ 가 존재하면 $p$ 를 $M$ 의 interior point 라고 한다.
  (2) $p$ 가 $M$ 의 interior point 가 아니면 boundary point 라고 한다.
  $M$ 의 boundary points 의 집합을 $M$ 의 boundary 라고 하며 $\partial M$ 이라고 쓴다.

 

 

  여기서 정의한 interior 와 boundary 의 개념은 동일한 이름을 가진 위상에서의 용어와 서로 다른 개념임에 주의하자.

 

  위 정의에서 유의해아 할 것은, $p$ 에 대한 어떤 좌표조각 $\alpha:U\in\mathcal{T}_{\mathbb{H}^k}\to V$ 가 존재한다고 해서 $p$ 가 $M$ 의 boundary point 인 것은 아니라는 것이다. $p$ 가 $M$ 의 boundary point 가 되기 위해서는, $p$ 에 대한 모든 좌표조각이 반드시 $\mathbb{H}^k$ 에서만 열려있고 $\mathbb{R}^k$ 에서는 열려있지 않아야 한다. 그러나 어떤 점이 boundary point 임을 확인하기 위해 모든 좌표조각을 전부 검토하는 것은 현실적이지 않다. 다음의 정리로 이러한 논의를 마무리하자.

 

 

  Theorem 2.7.  $\mathbb{R}^n$ 의 k-다양체 $M$ 과 $p\in\mathbb{R}^n$ 에 대한 좌표조각 $\alpha:U\to V$ 에 대해 다음이 성립한다.
  (1) $U\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^k}$ 이면 $p$ 는 $M$ 의 interior point 이다.
  (2) $U\in\mathcal{T}_{\mathbb{H}^k}$ 이고 $p=\alpha(x_0)$ 에 대해 $x_0\in\mathbb{H}^k_+$ 이면 $p$ 는 $M$ 의 interior point 이다.
  (3) $U\in\mathcal{T}_{\mathbb{H}^k}$ 이고 $p=\alpha(x_0)$ 에 대해 $x_0\in\mathbb{R}^{k-1}\times\{0\}$ 이면 $p$ 는 $M$ 의 boundary point 이다.

 

 

  Proof.  (1) 은 interior point 의 정의로부터 자명하다.

 

  (2) 다음이 성립한다. (링크의 Thm 3.3, Cor 3.4 참고)

 

  a) $U\subset\mathbb{R}^k$ 이고 $\mathbb{H}^k_+$ 는 $\mathbb{R}^k$ 에서 열려있으므로 $U\cap\mathbb{H}^k_+$ 는 $U$ 에서 열려있다.

  b) $\mathbb{H}^k_+\subset\mathbb{H}^k$ 이고 $U$ 는 $\mathbb{H}^k$ 에서 열려있으므로 $U\cap\mathbb{H}^k_+$ 는 $\mathbb{H}^k_+$ 에서 열려있다. 한편 $\mathbb{H}^k_+$ 는 $\mathbb{R}^k$ 에서 열려있으므로 $U\cap\mathbb{H}^k_+$ 도 $\mathbb{R}^k$ 에서 열려있다.

 

  a)와 Lem 2.4 에 따라 $\alpha|_{U\cap\mathbb{H}^k_+}$ 는 여전히 $p$ 에 대한 $M$ 의 좌표조각이다. 이때 b)에 따라 $U\cap\mathbb{H}^k_+$ 는 $\mathbb{R}^k$ 에서 열려있으므로 정의에 따라 $p$ 는 $M$ 의 interior point 이다.

 

  (3) 모순을 보이기 위해 $p$ 에 대한 $M$ 의 어떤 좌표조각 $\alpha_0:U_0\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^k}\to V_0$ 이 존재한다고 하자. 이때 $V\cap V_0$ 은 $M$ 에서 열려있으므로, $\alpha^{-1}(V\cap V_0)$ 은 $\mathbb{H}^k$ 에서 열려있고 $\alpha_0^{-1}(V\cap V_0)$ 은 $\mathbb{R}^k$ 에서 열려있다. 다음의 사상을 생각하자.

$$\alpha^{-1}\circ\alpha_0:\alpha_0^{-1}(V\cap V_0)\to\alpha^{-1}(V\cap V_0)$$

  Thm 2.6 에 따라 이는 $C^r$ 급이며 미분이 non-singular 이므로,  링크의 Lem 5.3 에 따르면 $\alpha^{-1}(V\cap V_0)$ 는 $\mathbb{R}^k$ 에서 열려있다. 그러나 $\alpha^{-1}(V\cap V_0)$ 는 $\mathbb{H}^k$ 밖의 점을 포함하지 않으며 $\mathbb{R}^{k-1}\times\{0\}$ 의 점을 포함하므로 $\mathbb{R}^k$ 에서 열려있을 수 없다. 이는 모순이므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

 

  Corollary 2.8.  다음이 성립한다.
  (1) $\mathbb{H}^k$ 는 $\mathbb{R}^k$ 의 $C^\infty$ 급 k-다양체이며 $\mathbb{R}^{k-1}\times\{0\}=\partial\,\mathbb{H}^k$ 이다.
  (2) $\mathbb{R}^n$ 의 k-다양체 $M$ 과 $p\in\mathbb{R}^n$ 에 대해 $p\in\partial M$ 일 필요충분조건은 $p$ 에 대한 임의의 좌표조각 $\alpha:U\to V$ 에 대해 $U\in\mathcal{T}_{\mathbb{H}^k}$ 이고 $p=\alpha(x_0)$ 에 대해 $x_0\in\partial\,\mathbb{H}^k$ 인 것이다.

 

 

  Proof.  (2)에서 $\partial\,\mathbb{H}^k$ 대신 $\mathbb{R}^{k-1}\times\{0\}$ 라고 하여 정리를 증명하고 (1)을 증명하여 두 명제의 증명을 마무리하자.

 

  (2) $p\in\partial M$ 라고 하자. $p$ 에 대한 $M$ 의 임의의 좌표조각 $\alpha:U\to V$ 를 고정하자. $p=\alpha(x_0)$ 라고 하고, 모순을 보이기 위해 $x_0\notin\mathbb{R}^{k-1}\times\{0\}$ 라고 가정하자. 이때 $x_0\in U$ 이며, $U$ 는 $\mathbb{R}^k$ 또는 $\mathbb{H}^k$ 에서 열려있다. 만약 $U\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^k}$ 라면 정의에 따라 $p$ 는 $M$ 의 interior point 이므로, 적어도 $U\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^k}$ 가 아니다. $U\in\mathcal{T}_{\mathbb{H}^k}$ 라고 하자. 이때 $x_0\notin\mathbb{R}^{k-1}\times\{0\}$ 라고 가정하였으므로 $x_0\in\mathbb{H}^k_+$ 이며, 이 경우에도 Thm 2.7 에 따라 $p$ 는 $M$ 의 interior point 이다. 따라서 이는 모순이므로, 정리하면 $x_0\in\mathbb{R}^{k-1}\times\{0\}$ 을 얻는다. Thm 2.7 에 따라 역방향 명제도 증명되므로 원하는 결과를 얻는다.

 

  (1) $\mathbb{H}^k$ 는 항등사상 $\alpha:\mathbb{H}^k\to\mathbb{H}^k$ 를 자기 자신을 덮는 좌표조각으로 볼 수 있으므로 $\mathbb{R}^k$ 의 $C^\infty$ 급 k-다양체이다. 임의의 $p\in\mathbb{H}^k$ 를 고정하자. $p=\alpha(p)$ 이므로, 본 정리의 (2)에 따라 $p\in\partial\,\mathbb{H}^k$ 일 필요충분조건은 $p\in\mathbb{R}^{k-1}\times\{0\}$ 인 것이므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

 

  Corollary 2.9.  $\mathbb{R}^n$ 의 k-다양체 $M$ 을 생각하자. $\partial M$ 과 겹치는 좌표조각 $\alpha:U\to V$ 에 대해 다음이 성립한다.$$\alpha(U\cap\partial\,\mathbb{H}^k)=V\cap\partial M$$

 

 

  Proof.  $\alpha$ 는 $V$ 에 속하는 각 점들에 대한 좌표조각이므로, Cor 2.8 에 따라 $p\in V\cap\partial M$ 일 필요충분조건은 $p=\alpha(x)$ 에 대해 $x\in U\cap\partial\,\mathbb{H}^k$ 인 것이므로 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

 

  Theorem 2.10.  $\mathbb{R}^n$ 의 $C^r$ 급 k-다양체 $M$ 을 생각하자. 만약 $\partial M$ 이 공집합이 아니면 이는 $\mathbb{R}^n$ 의 $C^r$ 급 경계가 없는 k-1 다양체이다.

 

 

  Proof.  임의의 $p\in\partial M$ 을 고정하자. $p$ 에 대한 $M$ 의 좌표조각 $\alpha:U\to V$ 를 생각하자. 이때 Cor 2.8 에 따라 $U\in\mathcal{T}_{\mathbb{H}^k}$ 이고 $p=\alpha(x_0)$ 에 대해 $x_0\in\partial\,\mathbb{H}^k$ 이다. 이때 $\alpha$ 는 $V$ 에 속하는 각 점들에 대한 $M$ 의 좌표조각이기도 하므로, Thm 2.7 에 따라 $U\cap\mathbb{H}^k_+$ 의 각 점들은 $\alpha$ 에 의해 $M$ 의 interior points 에 대응되고, $U\cap\partial\,\mathbb{H}^k$ 의 각 점들은 $\alpha$ 에 의해 $M$ 의 boundary points 에 대응된다. 따라서 $V_0=V\cap\partial M$ 이라고 하면 $\alpha|_{U\cap\partial\,\mathbb{H}^k}$ 는 $V_0$ 으로의 일대일 대응이다. $U_0\times\{0\}=U\cap\partial\,\mathbb{H}^k$ 이도록 하는 $U_0\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^{k-1}}$ 에 대해 다음의 함수를 생각하자.

$$\alpha_0:U_0\to V_0,\;\alpha_0(x)=\alpha(x,0)$$

  $\alpha$ 가 $C^r$ 급이므로 $\alpha_0$ 도 $C^r$ 급이다. 한편 다음이 성립한다.

$$\begin{align}D_i\alpha_0(x)&=\lim_{h\to 0}\frac{\alpha_0(x+he_i)-\alpha_0(x)}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{\alpha(x+he_i,0)-\alpha(x,0)}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{\alpha((x,0)+he_i)-\alpha(x,0)}{h}\\&=D_i\alpha(x,0)\end{align}$$

  따라서 $D\alpha_0(x)$ 은 $D\alpha(x)$ 의 1~(k-1) 번째 열과 같으며 $D\alpha(x)$ 의 각 열은 일차독립이므로 $D\alpha_0(x)$ 의 열도 일차독립이다. 따라서 $D\alpha_0(x)$ 의 랭크는 k-1 이다. 또한 $\alpha_0^{-1}$ 은 $\alpha^{-1}|_{V_0}$ 과 같으므로 연속이다. 정리하면 $\alpha_0$ 은 $p$ 의 $\partial M$ 에 대한 좌표조각이며 $p$ 를 $\partial M$ 에서 임의로 선택하였으므로 $\partial M$ 은 $\mathbb{R}^n$ 의 $C^r$ 급 k-1 다양체이다.   $\square$

 

 

 

  위 정리로부터 다양체를 구성하는 실용적인 방법을 얻는다.

 

 

  Theorem 2.11.  $C^r$ 급함수 $f:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}\to\mathbb{R}$ 과 다음의 두 집합을 생각하자.$$A_{=0}=\{x\in A:f(x)=0\}$$$$A_{\ge 0}=\{x\in A:f(x)\ge 0\}$$  만약 $A_{=0}$ 이 공집합이 아니고 $A_{=0}$ 에서 $Df$ 의 랭크가 1이면 $A_{\ge 0}$ 은 $\mathbb{R}^n$ 의 n-다양체이며 $\partial A_{\ge 0}=A_{=0}$ 이다.

 

 

  Proof. 

  Step 1. 다음의 집합을 생각하자.

$$A_{>0}=\{x\in A:f(x)>0\}$$

  $A_{>0}$ 가 $A_{\ge 0}$ 에서 열려있음을 보이자. 임의의 $a\in A_{>0}$ 에 대해 $f$ 는 $a$ 에서 연속이므로 다음을 만족하는 $\delta>0$ 이 존재한다.

$$\begin{align}x\in C_\delta^A&(a)\Rightarrow|f(x)-f(a)|<f(a)\\&\Rightarrow-f(a)<f(x)-f(a)\\&\Rightarrow f(x)>0\end{align}$$

  즉 $C_\delta^A(a)\subset A_{>0}$ 이 성립하며, $a$ 를 $A_{>0}$ 에서 임의로 선택하였으므로 $A_{>0}$ 는 $A$ 에서 열려있다. 이때 $A_{>0}\subset A_{\ge 0}\subset A$ 이므로 $A_{>0}$ 는 $A_{\ge 0}$ 에서도 열려있으며, 따라서 원하는 결과를 얻는다. 한편 $A$ 는 $\mathbb{R}^n$ 에서 열려있으므로 $A_{>0}$ 는 $\mathbb{R}^n$ 에서도 열려있다.

 

  Step 2. $f(p)>0$ 을 만족하는 임의의 $p\in A_{\ge 0}$ 을 생각하자. 이때 $A_{>0}$ 는 $A_{\ge 0}$ 에서 열린 $p$ 의 근방이므로 항등사상 $\alpha:A_{>0}\to A_{>0}$ 는 자명하게 $p$ 에 대한 $A_{\ge 0}$ 의 $C^\infty$ 급 좌표조각이다.

 

  Step 3. $f(p)=0$ 을 만족하는 임의의 $p\in A_{\ge 0}$ 을 생각하자. $Df(p)$ 는 랭크가 1이므로 0이 아니며, 따라서 적어도 하나의 편미분 $D_if(p)$ 는 0이 아니다. 편의를 위해 $D_nf(p)\neq 0$ 이라고 가정하자. 다음의 $C^r$ 함수를 정의하자.

$$F:A\to\mathbb{R}^n,\;F(x)=(x_1,\ldots,x_{n-1},f(x))$$

  이때 다음이 성립한다.

$$\begin{align}DF&=(D_1F\;\cdots\;D_{n-1}F\;D_nF)\\&=\begin{pmatrix}I_n&\begin{matrix}0\\\vdots\\0\end{matrix}\\D_1f\;\cdots\;D_{n-1}f&D_nf\end{pmatrix}\end{align}$$

  따라서 $Df(p)$ 의 각 열은 일차독립이므로 $\text{det }Df(p)\neq 0$ 이다. 역함수 정리에 따르면 어떤 $U\in\mathcal{N}_A(x)$ 와 $V\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}$ 이 존재하여 $F:U\to V$ 가 $\mathbb{R}^n$ 의 $C^r$ 급 미분동형사상이다. 이때 다음이 성립한다.

 

  a) $A_{\ge 0}\subset A$ 이고 $U$ 는 $A$ 에서 열려있으므로 $U\cap A_{\ge 0}$ 은 $A_{\ge 0}$ 에서 열려있다.

  b) $\mathbb{H}^n\subset\mathbb{R}^n$ 이고 $V$ 는 $\mathbb{R}^n$ 에서 열려있으므로 $V\cap\mathbb{H}^n$ 은 $\mathbb{H}^n$ 에서 열려있다.

 

  정의에 따라 $F:U\cap A_{\ge 0}\to V\cap\mathbb{H}^n$ 은 전단사이므로, a)와 b)에 따라 다음은 $p$ 에 대한 $A_{\ge 0}$ 의 $C^r$ 급 좌표조각이다.

$$F^{-1}:V\cap\mathbb{H}^n\to U\cap A_{\ge 0}$$

  한편 정의에 따라 $F:U\cap A_{=0}\to V\cap\partial\,\mathbb{H}^n$ 은 전단사이므로 $F^{-1}:V\cap\partial\,\mathbb{H}^n\to U\cap A_{=0}$ 도 전단사이다.

 

  Step 4. 본 정리를 증명하자. step 2 와 step 3 에 따라 임의의 $p\in A_{\ge 0}$ 에 대한 $A_{\ge 0}$ 의 $C^r$ 급 좌표조각이 잘 정의되므로 $A_{\ge 0}$ 은 $\mathbb{R}^n$ 의 $C^r$ 급 n-다양체이다. 한편 step 2 에 따르면 $A_{>0}$ 의 점들은 정의역이 $\mathbb{R}^n$ 에서 열린 좌표조각을 가지므로 Thm 2.7 에 따라 $A_{\ge 0}$ 의 inerior point 이다. Step 3 에 따르면 $A_{=0}$ 의 점들은 정의역이 $\mathbb{H}^n$ 에서 열린 좌표조각을 가지며 각 점들의 좌표조각에 대한 상은 $\partial\,\mathbb{H}^n$ 에 속하므로 Thm 2.7 에 따라 $A_{\ge 0}$ 의 boundary point 임을 알 수 있다. 즉 $A_{=0}\subset\partial A_{\ge 0}$ 이며, $A_{=0}$ 에 속하지 않는 $A_{\ge 0}$ 의 모든 점은 $A_{>0}$ 에 속하므로 $A_{=0}=\partial A_{\ge 0}$ 를 얻는다.   $\square$

 

 

 

  Definition.  다음의 집합을 각각 반경이 $a$ 인 n-ball, n-sphere 라고 한다.$$\mathbb{B}^n(a)=\{x\in\mathbb{R}^n:||x||\le a\}$$$$\mathbb{S}^{n-1}(a)=\{x\in\mathbb{R}^n:||x||=a\}$$

 

 

  Corollary 2.11.  $\mathbb{B}^n(a)$ 는 $\mathbb{R}^n$ 의 $C^\infty$ 급 n-다양체이며 $\partial\,\mathbb{B}^n(a)=\mathbb{S}^{n-1}(a)$ 이다.

 

 

  Proof.  $C^\infty$ 급함수 $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},\;f(x)=a^2-||x||^2$ 를 생각하자. $f(x)\ge 0$ 인 $x\in\mathbb{R}^n$ 의 집합은 $\mathbb{B}^n(a)$ 이고 $f(x)=0$ 인 $x\in\mathbb{R}^n$ 의 집합은 $\mathbb{S}^{n-1}(a)$ 이다. 한편 다음과 같다.

$$Df(x)=(-2x_1\;\cdots\;-2x_n)$$

  이때 $\mathbb{S}^{n-1}(a)$ 는 0을 포함하지 않으므로 $\mathbb{S}^{n-1}(a)$ 에서 $Df$ 의 랭크는 1이며, Thm 2.11 에 따라 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

---

이전 읽을거리)

[실수공간의 위상] ch3. 위상적 성질

[변수변환정리] ch2. 미분동형사상

ch1. 매개화된 다양체

다음 읽을거리: ch3. 다양체에서 스칼라 함수의 적분