[다양체] ch3. 다양체에서 스칼라 함수의 적분

이전 읽을거리: ch2. 다양체의 정의

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스칼라 함수의 적분

 

 

  다양체에서 정의된 실함수의 적분을 정의하자. 논의의 단순화를 위해, 본 시리즈에서는 콤팩트 다양체로 한정한다.

 

  다음의 정리는 좌표조각이 어떤 콤팩트집합을 덮을 수 있다면, 그 콤팩트집합을 덮을 수 있는 유계집합에서 정의된 좌표조각을 반드시 찾을 수 있음을 말한다.

 

 

  Lemma 3.1.  $\mathbb{R}^n$ 의 k-다양체 $M$ 에 대해 콤팩트집합 $C\subset M$ 과 $C$ 를 덮는 좌표조각 $\alpha:U\to V$ 이 존재한다고 하자. 만약 $U$ 가 유계가 아니라면 어떤 유계집합 $U'\subset U$ 가 존재하여 $\alpha|_{U'}$ 가 $C$ 를 덮는 $M$ 의 좌표조각이다.

 

 

  Proof.  $\alpha^{-1}$ 은 연속이므로 $\alpha^{-1}(C)$ 도 콤팩트하다.

 

  Step 1. $U\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^k}$ 일때 본 정리가 성립함을 보이자. $\alpha^{-1}(C)\subset U$ 이므로 $\epsilon$-근방 정리에 따라 적절한 유계집합 $C_\epsilon^{\mathbb{R}^k}(\alpha^{-1}(C))$ 가 존재하여 $U$ 에 포함된다. 한편 $C_\epsilon^{\mathbb{R}^k}(\alpha^{-1}(C))$ 는 $\mathbb{R}^k$ 에서 열려있으므로 $\alpha|_{C_\epsilon^{\mathbb{R}^k}(\alpha^{-1}(C))}$ 는 $C$ 를 덮는 $M$ 의 좌표조각이다.

 

  Step 2. $U\in\mathcal{T}_{\mathbb{H}^k}$ 일때 본 정리가 성립함을 보이자. $\mathbb{H}^k\subset\mathbb{R}^k$ 이고 $U\in\mathcal{T}_{\mathbb{H}^k}$ 이므로 어떤 $W\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^k}$ 가 존재하여 $U=W\cap\mathbb{H}^k$ 가 성립한다. $\alpha^{-1}(C)\subset W$ 이므로 $\epsilon$-근방 정리에 따라 적절한 유계집합 $C_\epsilon^{\mathbb{R}^k}(\alpha^{-1}(C))$ 가 존재하여 $W$ 에 포함된다. 한편 $C_\epsilon^{\mathbb{R}^k}(\alpha^{-1}(C))$ 는 $\mathbb{R}^k$ 에서 열려있으므로 $C_\epsilon^{\mathbb{R}^k}(\alpha^{-1}(C))\cap\mathbb{H}^k$ 는 $\mathbb{H}^k$ 에서 열려있으며, 따라서 $\alpha|_{C_\epsilon^{\mathbb{R}^k}(\alpha^{-1}(C))\cap\mathbb{H}^k}$ 는 $C$ 를 덮는 $M$ 의 좌표조각이다.   $\square$

 

 

 

  스칼라 함수의 적분을 한 번에 정의하는 것은 어렵다. 먼저 다음의 특수한 경우를 생각하자.

 

 

  Definition.  $\mathbb{R}^n$ 의 콤팩트 k-다양체 $M$ 과 연속함수 $f:M\to\mathbb{R}$ 을 생각하자. 만약 $\text{supp }f$ 를 덮는 $M$ 의 좌표조각 $\alpha:U\to V$ 가 존재한다면, $U$ 가 유계라고 하고 $M$ 에서 $f$ 의 적분을 다음과 같이 정의한다.$$\int_Mf\;\text{dV}=\int_{\text{Int }U}(f\circ\alpha)V(D\alpha)$$

 

※ 위 정의에서 $U\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^k}$ 인 경우 $\text{Int }U=U$ 이고, $U\in\mathcal{T}_{\mathbb{H}^k}$ 인 경우 $\text{Int }U=U\cap\mathbb{H}^k_+$ 임에 유의하자.

 

  위 정의의 우변의 적분은 원래의 의미와 확장된 의미로 모두 적분가능함을 간단히 보이자. $F=(f\circ\alpha)V(D\alpha)$ 라고 하면 $F:\text{Int }U\to\mathbb{R}$ 은 연속함수이다. 한편 콤팩트집합 $\alpha^{-1}(\text{supp }f)$ 밖에서 $F=0$ 이므로 링크의 Lem 1.7 에 따라 $F$ 는 $\text{Int }U$ 에서 확장된 의미로 적분가능하고 $\alpha^{-1}(\text{supp }f)$ 에서 원래의 의미로 적분가능하며 다음이 성립한다.

$$\int_{\text{Int }U}F=\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{\alpha^{-1}(\text{supp }f)}}F$$

  한편 다음이 자명하므로 원하는 결과를 얻는다.

$$\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{\alpha^{-1}(\text{supp }f)}}F=\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{\text{Int }U}}F$$

 

  다음의 정리에 따르면 위와 같이 정의된 적분이 존재한다면 좌표조각의 선택과 독립적이다.

 

 

  Lemma 3.2.  $\mathbb{R}^n$ 의 콤팩트 k-다양체 $M$ 과 연속함수 $f:M\to\mathbb{R}$ 을 생각하자. 만약 $\text{supp }f$ 를 덮는 $M$ 의 좌표조각 $\alpha_1:U_1\to V_1$ , $\alpha_2:U_2\to V_2$ 가 존재한다면, $U_1,U_2$ 가 유계라고 할때 다음이 성립한다.$$\int_{\text{Int }U_1}(f\circ\alpha_1)V(D\alpha_1)=\int_{\text{Int }U_2}(f\circ\alpha_2)V(D\alpha_2)$$

 

 

  Proof.

  Step 1. $\text{supp }f$ 를 덮는 $M$ 의 좌표조각 $\alpha:U\to V$ 에 대해 $U$ 가 유계라고 하고, 어떤 $W\in\mathcal{T}_U$ 가 존재하여 좌표조각 $\alpha|_W$ 가 $\text{supp }f$ 를 덮는다고 가정하자. $(f\circ\alpha)V(D\alpha)$ 는 연속함수이며 콤팩트집합 $\alpha^{-1}(\text{supp }f)$ 밖에서 0이므로 링크의 Lem 1.7 에 따라 $\text{Int }U$ 에서 확장된 의미로 적분가능하고 $\alpha^{-1}(\text{supp }f)$ 에서 원래의 의미로 적분가능하며 다음이 성립한다.

$$\int_{\text{Int }U}(f\circ\alpha)V(D\alpha)=\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{\alpha^{-1}(\text{supp }f)}}(f\circ\alpha)V(D\alpha)$$

  비슷하게 다음을 얻는다.

$$\int_{\text{Int }W}(f\circ\alpha)V(D\alpha)=\sideset{^\text{ord}}{}{\int_{\alpha^{-1}(\text{supp }f)}}(f\circ\alpha)V(D\alpha)$$

  .따라서 다음이 성립한다.

$$\int_{\text{Int }U}(f\circ\alpha)V(D\alpha)=\int_{\text{Int }W}(f\circ\alpha)V(D\alpha)$$

 

  Step 2. 편의를 위해 $V=V_1\cap V_2$ 라고 하자. 다음의 사상이 미분동형사상임을 보이자.

$$\alpha_2^{-1}\circ\alpha_1:\text{Int }\alpha_1^{-1}(V)\to\text{Int }\alpha_2^{-1}(V)$$

  먼저 $V$ 가 $\partial M$ 의 점을 포함하지 않는다고 가정하자. 이 경우 $\alpha_1^{-1}(V)$ 는 $\mathbb{R}^k$ 에서 열려있으므로 다음을 얻는다.

$$\text{Int }\alpha_1^{-1}(V)=\alpha_1^{-1}(V)$$

  비슷하게 다음이 성립한다.

$$\text{Int }\alpha_2^{-1}(V)=\alpha_2^{-1}(V)$$

  그러므로 Thm 2.6 에 따라 원하는 결과를 얻는다.

  다음으로 $V$ 가 $\partial M$ 의 점을 포함한다고 가정하자. Cor 2.8 에 따라 $\alpha_1^{-1}(V),\alpha_1^{-1}(V)\subset\mathbb{H}^k$ 이며 Cor 2.9 에 따라 다음을 얻는다.

$$\begin{align}\alpha_1(\alpha_1^{-1}(V)\cap\partial\,\mathbb{H}^k)&=V\cap\partial M\\&=\alpha_2(\alpha_2^{-1}(V)\cap\partial\,\mathbb{H}^k)\end{align}$$

  따라서 다음이 전단사임을 알 수 있다.

$$\alpha_2^{-1}\circ\alpha_1:\alpha_1^{-1}(V)\cap\partial\,\mathbb{H}^k\to\alpha_2^{-1}(V)\cap\partial\,\mathbb{H}^k$$

  한편 다음과 같다.

$$\begin{align}&\;\text{Int }\alpha_1^{-1}(V)\\=&\;\alpha_1^{-1}(V)\cap\mathbb{H}^k_+\\=&\;\alpha_1^{-1}(V)\cap(\mathbb{H}^k\setminus\partial\,\mathbb{H}^k)\\=&\;\big(\alpha_1^{-1}(V)\cap\mathbb{H}^k\big)\setminus\big(\alpha_1^{-1}(V)\cap\partial\,\mathbb{H}^k\big)\end{align}$$

  비슷하게 다음을 얻는다.

$$\begin{align}&\;\text{Int }\alpha_1^{-1}(V)\\=&\;\big(\alpha_1^{-1}(V)\cap\mathbb{H}^k\big)\setminus\big(\alpha_1^{-1}(V)\cap\partial\,\mathbb{H}^k\big)\end{align}$$

  그러므로 Thm 2.6 에 따라 원하는 결과를 얻는다.

 

  Step 3. 본 정리를 증명하자. $\alpha_1|_{\text{Int }\alpha_1^{-1}(V)}$ 과 $\alpha_2|_{\text{Int }\alpha_2^{-1}(V)}$ 는 $\text{supp }f$ 를 덮으므로 step 1 에 따라 다음이 성립한다.

$$\int_{\text{Int }U_1}(f\circ\alpha_1)V(D\alpha_1)=\int_{\text{Int }\alpha_1^{-1}(V)}(f\circ\alpha_1)V(D\alpha_1)$$

$$\int_{\text{Int }U_2}(f\circ\alpha_2)V(D\alpha_2)=\int_{\text{Int }\alpha_2^{-1}(V)}(f\circ\alpha_2)V(D\alpha_2)$$

  편의를 위해 step 2 의 미분동형사상을 $g$ 라고 하고 $\beta_1=\alpha_1|_{\text{Int }\alpha_1^{-1}(V)}$ , $\beta_2=\alpha_2|_{\text{Int }\alpha_2^{-1}(V)}$ 라고 하자. $\beta_1=\beta_2\circ g$ 이므로 $Y=\beta_1(\text{Int }\alpha_1^{-1}(V))$ 라고 하면 $Y=\beta_2(\text{Int }\alpha_2^{-1}(V))$ 도 성립한다. 이때 매개화된 다양체 $Y_{\beta_1}$ 과 $Y_{\beta_2}$ 에 대해 Thm 1.5 에 따라 다음이 성립하므로 원하는 결과를 얻는다.

$$\begin{align}&\;\int_{\text{Int }\alpha_1^{-1}(V)}(f\circ\alpha_1)V(D\alpha_1)\\=&\;\int_{\text{Int }\alpha_1^{-1}(V)}(f\circ\beta_1)V(D\beta_1)\\=&\;\int_{Y_{\beta_1}}f\;\text{dV}\\=&\;\int_{Y_{\beta_2}}f\;\text{dV}\\=&\;\int_{\text{Int }\alpha_2^{-1}(V)}(f\circ\beta_2)V(D\beta_2)\\=&\;\int_{\text{Int }\alpha_2^{-1}(V)}(f\circ\alpha_2)V(D\alpha_2)\tag*{$\square$}\end{align}$$

 

 

 

  이제 스칼라 함수의 적분을 일반화하여 정의하자. 여기에서는 단위분할의 도움이 필요하다. 다음의 정리는 콤팩트 다양체에 대한 단위분할의 존재성을 말한다.

 

 

  Lemma 3.3.  $\mathbb{R}^n$ 의 콤팩트 k-다양체 $M$ 과 $M$ 의 모든 좌표조각의 모임 $\mathcal{V}$ 에 대해 다음을 만족하는 $M\to\mathbb{R}$ 함수의 유한집합 $\{\phi_1,\ldots,\phi_l\}$ 이 존재한다.
  (1) 모든 $x\in M$ 에 대해 $\phi_i(x)\ge 0$ 이다.
  (2) 모든 $x\in M$ 에 대해 $\sum_{i=1}^l\phi_i(x)=1$ 이다.
  (3) 각 $\phi_i$ 는 $C^\infty$ 급이다.
  (4) 각 $\text{supp }\phi_i$ 는 $\mathcal{V}$ 의 어떤 원소의 부분집합이다.

 

 

  Proof.  각 $V\in\mathcal{V}$ 에 대해 $V\in\mathcal{T}_M$ 이므로 어떤 $A_V\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}$ 이 존재하여 $V=A_V\cap M$ 을 만족한다. 모임 $\mathcal{A}=\{A_V:V\in\mathcal{V}\}$ 의 합집합을 $A$ 라고 하자. 단위분할의 존재성 정리에 따라 $\mathcal{A}$ 에 종속되는 $A$ 의 단위분할 $\{\psi_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ 이 존재한다. 링크의 Cor 1.6 에 따르면 $M$ 을 포함하는 집합 $B\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^n}$ 이 존재하여 $\{\psi_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ 중 오직 유한개를 제외한 모든 함수가 $B$ 에서 0이다. 이 유한개의 함수를 $\{\psi_{i_1},\ldots,\psi_{i_l}\}$ 이라고 하면, 이를 제외한 $\{\psi_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ 의 모든 함수는 $M$ 에서 0이다. $\psi_{i_j}|_M=\phi_j$ 라고 하면 $\{\phi_1,\ldots,\phi_l\}$ 은 주어진 조건을 모두 만족한다.   $\square$

 

 

 

  Definition.  $\mathbb{R}^n$ 의 콤팩트 k-다양체 $M$ 과 연속함수 $f:M\to\mathbb{R}$ 을 생각하자. $M$ 의 모든 좌표조각의 모임에 종속되는 $M$ 의 $C^\infty$ 급 단위분할 $\{\phi_1,\ldots,\phi_l\}$ 에 대하여 $M$ 에서 $f$ 의 적분을 다음과 같이 정의한다.$$\int_Mf\;\text{dV}=\sum_{i=1}^l\int_M\phi_if\;\text{dV}$$  이때 $M$ 의 k차원 부피를 다음과 같이 정의한다.$$v(M)=\int_M1\;\text{dV}$$

 

 

  이 정의에서는 확인해야 할 것이 두 가지 있다. 잠시 편의를 위해 하나의 좌표조각에 의해 덮이는 콤팩트 지지를 갖는 함수의 적분을 $\int_M^{(1)}f\;\text{dV}$ 라고 하고 일반화된 적분을 $\int_M^{(2)}f\;\text{dV}$ 라고 하자. 이때 위 정의는 다음과 같다.

$$\int_M^{(2)}f\;\text{dV}=\sum_{i=1}^l\int_M^{(1)}\phi_if\;\text{dV}$$

 

  함수의 지지집합이 하나의 좌표조각에 의해 덮이는 경우 적분의 정의는 두 개가 되는데, 다음에 따르면 두 적분값은 동일하다. 

 

 

  Lemma 3.4.  $\mathbb{R}^n$ 의 콤팩트 k-다양체 $M$ 과 연속함수 $f:M\to\mathbb{R}$ , $M$ 의 모든 좌표조각의 모임에 종속되는 $M$ 의 $C^\infty$ 급 단위분할 $\{\phi_1,\ldots,\phi_l\}$ 을 생각하자. 만약 $\text{supp }f$ 를 덮는 $M$ 의 좌표조각이 존재한다면 다음과 같다.$$\int_M^{(1)}f\;\text{dV}=\int_M^{(2)}f\;\text{dV}$$  즉 다음이 성립한다.$$\int_M^{(1)}f\;\text{dV}=\sum_{i=1}^l\int_M^{(1)}\phi_if\;\text{dV}$$

 

 

  Proof.  $\text{supp }f$ 를 덮는 $M$ 의 좌표조각 $\alpha:U\to V$ 에 대해 $U$ 가 유계라고 하자. 주어진 적분을 풀어쓰면 다음과 같다.

$$\int_M^{(1)}f=\int_{\text{Int }U}(f\circ\alpha)V(D\alpha)$$

$$\int_M^{(1)}\phi_if\;\text{dV}=\int_{\text{Int }U}(\phi_i\circ\alpha)(f\circ\alpha)V(D\alpha)$$

  한편 적분의 선형성에 따라 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\;\sum_{i=1}^l\int_{\text{Int }U}(\phi_i\circ\alpha)(f\circ\alpha)V(D\alpha)\\=&\;\int_{\text{Int }U}\sum_{i=1}^l(\phi_i\circ\alpha)(f\circ\alpha)V(D\alpha)\end{align}$$

  따라서 본 정리는 $\text{Int }U$ 에서 다음이 성립함을 보이는 것으로 충분하다.

$$(f\circ\alpha)V(D\alpha)=\sum_{i=1}^l(\phi_i\circ\alpha)(f\circ\alpha)V(D\alpha)$$

  임의의 $x\in\text{Int }U$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\;\left(\sum_{i=1}^l(\phi_i\circ\alpha)(f\circ\alpha)V(D\alpha)\right)(x)\\=&\;\left(\sum_{i=1}^l(\phi_i\circ\alpha)(x)\right)(f\circ\alpha)(x)V(D\alpha(x))\\=&\;1\cdot(f\circ\alpha)(x)V(D\alpha(x))\\=&\;\big((f\circ\alpha)V(D\alpha)\big)(x)\end{align}$$

  따라서 원하는 결과를 얻는다.   $\square$

 

 

 

  다음의 정리에 따르면 위 적분의 정의는 단위분할의 선택과는 독립적으로 잘 정의된다.

 

 

  Lemma 3.5.  $\mathbb{R}^n$ 의 콤팩트 k-다양체 $M$ 과 연속함수 $f:M\to\mathbb{R}$ 을 생각하자. $M$ 의 모든 좌표조각의 모임에 종속되는 $M$ 의 $C^\infty$ 급 단위분할 $\{\phi_1,\ldots,\phi_l\}$ , $\{\psi_1,\ldots,\psi_m\}$ 에 대하여 다음이 성립한다.$$\sum_{i=1}^l\int_M^{(1)}\phi_if\;\text{dV}=\sum_{j=1}^m\int_M^{(1)}\psi_jf\;\text{dV}$$

 

 

  Proof.  단위분할 $\{\psi_1,\ldots,\psi_m\}$ 는 $M$ 의 모든 좌표조각의 모임에 종속되므로 각 $\psi_jf$ 는 단 하나의 좌표조각에 의해 덮인다. Lem 3.4 에 따르면 다음이 성립한다.

$$\int_M^{(1)}\psi_jf\;\text{dV}=\sum_{i=1}^l\int_M^{(1)}\phi_i(\psi_jf)\;\text{dV}$$

  비슷하게 각 $\phi_if$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$\int_M^{(1)}\phi_if\;\text{dV}=\sum_{j=1}^m\int_M^{(1)}\psi_j(\phi_if)\;\text{dV}$$

  이때 함수의 곱은 결합법칙과 교환법칙이 성립하므로, 다음이 성립하여 원하는 결과를 얻는다.

$$\begin{align}&\;\sum_{j=1}^m\int_M^{(1)}\psi_jf\;\text{dV}\\=&\;\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^l\int_M^{(1)}\phi_i\psi_jf\;\text{dV}\\=&\;\sum_{i=1}^l\sum_{j=1}^m\int_M^{(1)}\psi_j\phi_if\;\text{dV}\\=&\;\sum_{i=1}^l\int_M^{(1)}\phi_if\;\text{dV}\tag*{$\square$}\end{align}$$

 

 

 

  이제 콤팩트 다양체 위에서 스칼라 함수의 적분이 잘 정의되었다. 다음의 간단한 성질이 만족함을 보이고 논의를 마무리하자.

 

 

  Theorem 3.6.  $\mathbb{R}^n$ 의 콤팩트 k-다양체 $M$ 과 연속함수 $f,g:M\to\mathbb{R}$ 에 대해 다음이 성립한다.$$\int_M(af+bg)\;\text{dV}=a\int_Mf\;\text{dV}+b\int_Mg\;\text{dV}$$

 

 

  Proof.  $M$ 의 모든 좌표조각의 모임에 종속되는 $M$ 의 $C^\infty$ 급 단위분할 $\{\phi_1,\ldots,\phi_l\}$ 에 대해 다음과 같다.

$$\int_M(af+bg)\;\text{dV}=\sum_{i=1}^l\int_M\phi_i(af+bg)\;\text{dV}$$

  이때 임의의 $\phi_i(af+bg)$ 를 고정하자. 이는 하나의 좌표조각 $\alpha:U\to V$ 에 의해 덮이므로, $U$ 가 유계라고 하면 정의에 따라 다음과 같다.

$$\begin{align}&\;\int_M\phi_i(af+bg)\;\text{dV}\\=&\;\int_M(a\phi_if+b\phi_ig)\;\text{dV}\\=&\;\int_{\text{Int }U}\big((a\phi_if+b\phi_ig)\circ\alpha\big)V(D\alpha)\end{align}$$

  한편 다음이 성립한다.

$$\begin{align}&\;\big((a\phi_if+b\phi_ig)\circ\alpha\big)V(D\alpha)\\=&\;\big(a(\phi_i\circ\alpha)(f\circ\alpha)+b(\phi_i\circ\alpha)(g\circ\alpha)\big)V(D\alpha)\\=&\;a(\phi_i\circ\alpha)(f\circ\alpha)V(D\alpha)\\&+b(\phi_i\circ\alpha)(g\circ\alpha)V(D\alpha)\end{align}$$

  따라서 다음과 같다.

$$\begin{align}&\;\int_M\phi_i(af+bg)\;\text{dV}\\=&\;a\int_{\text{Int }U}(\phi_i\circ\alpha)(f\circ\alpha)V(D\alpha)\\&+b\int_{\text{Int }U}(\phi_i\circ\alpha)(g\circ\alpha)V(D\alpha)\\=&\;a\int_M\phi_if\;\text{dV}+b\int_M\phi_ig\;\text{dV}\end{align}$$

  정리하면 다음과 같으므로 원하는 결과를 얻는다.

$$\begin{align}&\;\int_M(af+bg)\;\text{dV}\\=&\;\sum_{i=1}^l\int_M\phi_i(af+bg)\;\text{dV}\\=&\;\sum_{i=1}^l\left(a\int_M\phi_if\;\text{dV}+b\int_M\phi_ig\;\text{dV}\right)\\=&\;a\sum_{i=1}^l\int_M\phi_if\;\text{dV}+b\sum_{i=1}^l\int_M\phi_ig\;\text{dV}\\=&\;a\int_Mf\;\text{dV}+b\int_Mg\;\text{dV}\tag*{$\square$}\end{align}$$

 

 

 

읽어주셔서 감사합니다.

 

 

References)

[1] James R. Munkres. (1991). Analysis on manifolds. CRC press.

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