2차원 발산정리(divergence theorem)의 증명 ch.1

  김홍종 미적분학으로 발산 정리를 공부하던 중 이에 대한 증명이 부족하여 인터넷을 찾아보았으나, 제대로 된 증명을 찾기 힘들었기에 스스로 증명하고 그 증명을 본 포스팅에 기록하였다.

 

 

2차원 발산정리) 좌표평면의 영역 $D$ 에서 정의된 벡터장 $\vec{F}(x,y)$ 에 대하여 다음이 성립한다. $$\oint_{\partial D}\vec{F}\cdot\vec{n}\;ds=\iint_{D}\nabla\cdot\vec{F}\;dV_2$$

 

  위의 식에서 나오는 표기를 다음과 같이 정리한다.

  (ⅰ)  $\partial D$  : 영역 $D$ 의 경계를 의미한다. 여기서 영역이란 넓이가 하나의 값으로 잘 정의되는, 공간의 부분집합을 의미한다. 2차원 공간의 영역은 그 경계가 폐곡선(시작과 끝이 같은 점인 곡선)으로 주어지고, 이 폐곡선이 조각적 정규곡선(piecewise differentiable curve)이어야 발산정리를 말할 수 있다. 조각적 정규곡선이란 쉽게 말해 유한 개의 점을 제외한 모든 부분에서(즉, 대부분) 미분 가능한 곡선을 의미한다.

 

  (ⅱ)  $\oint$  : 폐곡선 적분, 즉 적분의 시작점과 끝점이 같은 점인 선적분을 강조하기 위해 사용하는 기호이다. 이 대신 기호 $\int$ 를 사용하여도 선적분이라는 본질은 같다.

 

  (ⅲ)  $\vec{n}$  : $\partial D$ 곡선의 단위 법벡터이다. 일반적으로 곡선의 단위 법벡터는 정할 수 있는 방향이 두 곳이지만, 발산정리에서 사용하는 $\vec{n}$ 은 이 중에서 영역 $D$ 의 외부를 향하는 단위벡터를 의미한다. 곡선 $\partial D$ 의 각 위치마다 $\vec{n}$ 의 방향은 다르다는 것이 자명하다.

 

  (ⅳ)  $\nabla\cdot\vec{F}$  : 벡터장 $\vec{F}(x,y)=\Big(f_1(x,y),f_2(x,y)\Big)$ 일때, 다음을 의미한다.

$$\nabla\cdot\vec{F}(x,y):=\frac{\partial f_1}{\partial x}(x,y)+\frac{\partial f_2}{\partial y}(x,y)$$

 

  (ⅴ)  $\iint\quad dV_2$  : 2차원 공간에서 적분한다는 것을 의미한다.

 

 

  널리 알려진 쉬운 증명부터 소개한다.

 

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정리) 좌표평면의 직사각형 영역 $[x_1,x_2]\times[y_1,y_2]$ 에서 발산정리가 성립한다.

proof)

 

  좌표평면에서 정의된 영역 $D:[x_1,x_2]\times[y_1,y_2]$ 에 대하여 발산정리의 좌변을 계산하면 다음과 같다.

 

$$\begin{align}\oint_{\partial D}\vec{F}\cdot\vec{n}\;ds=&\int_{x_1}^{x_2}\Big(f_1(x,y_1),f_2(x,y_1)\Big)\cdot(0,-1)\;dx\\&+\int_{x_1}^{x_2}\Big(f_1(x,y_2),f_2(x,y_2)\Big)\cdot(0,1)\;dx\\&+\int_{y_1}^{y_2}\Big(f_1(x_1,y),f_2(x_1,y)\Big)\cdot(-1,0)\;dy\\&+\int_{y_1}^{y_2}\Big(f_1(x_2,y),f_2(x_2,y)\Big)\cdot(1,0)\;dy\\=&\int_{x_1}^{x_2}\Big\{f_2(x,y_2)-f_2(x,y_1)\Big\}\;dx\\&+\int_{y_1}^{y_2}\Big\{f_1(x_2,y)-f_1(x_1,y)\Big\}\;dy\end{align}$$

 

  발산정리의 우변을 계산하면 다음과 같다.

 

$$\begin{align}\iint_{D}\nabla\cdot\vec{F}\;dV_2=&\iint_{D}\left\{\frac{\partial f_1}{\partial x}(x,y)+\frac{\partial f_2}{\partial y}(x,y)\right\}\;dV_2\\=&\int_{y_1}^{y_2}\!\!\int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial f_1}{\partial x}(x,y)\;dx\;dy\\&+\int_{x_1}^{x_2}\!\!\int_{y_1}^{y_2}\frac{\partial f_2}{\partial y}(x,y)\;dy\;dx\\=&\int_{y_1}^{y_2}\Big\{f_1(x_2,y)-f_1(x,y_1)\Big\}\;dy\\&+\int_{x_1}^{x_2}\Big\{f_2(x,y_2)-f_2(x,y_1)\Big\}\;dx\end{align}$$

 

  발산정리의 좌변과 우변이 같으므로, 직사각형 영역에서 발산정리가 성립한다.   $\square$

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  영역을 직사각형으로 제한하였을 때는 증명하기가 간단하지만, 직사각형 영역이 아닌 일반적인 영역에서 정리가 성립하는지를 알 수 없다. 직사각형 영역을 여러 개 이어붙여서 일반적인 영역으로 정리를 확장할 수 있다고 대충 넘어가는 곳도 많은데, 이는 틀린 설명이다. 직사각형을 여러 개 붙이면 영역의 경계가 어떻게든 각지게 되기 때문이다.

 

 

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