2차원 발산정리(divergence theorem)의 증명 부록. '보조정리 1'의 증명

  2차원 발산정리(divergence theorem)의 증명 ch.2 에서 이어짐.

 

 

보조정리 1)  좌표평면의 영역 $[a,b]\times [g(x),h(x)]$ 에서 정의된 미분가능한 함수 $f$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^b{\int }_{g(x)}^{h(x)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)dydx=& {\int }_{g(b)}^{h(b)}f(b,y)dy-{\int }_{g(a)}^{h(a)}f(a,y)dy\\ & -{\int }_a^b\{f(x,h(x))h^{\prime }(x)-f(x,g(x))g^{\prime }(x)\}dx\end{array}$$

 

proof)

 

  다음을 계산하자.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{d}{dx}{\int }_{g(x)}^{h(x)}f(x,y)dy\end{array}$$

 

  다음을 만족하는 함수 $\phi$ 를 고려하자.

 

$$\frac{\partial \phi }{\partial y}(x,y)=f(x,y)$$

 

  식 (1)은 다음과 같이 계산된다. (연쇄법칙은 링크 참조)

 

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}{\int }_{g(x)}^{h(x)}f(x,y)dy=& \frac{d}{dx}{\int }_{g(x)}^{h(x)}\frac{\partial \phi }{\partial y}(x,y)dy\\ =& \frac{d}{dx}\{\phi (x,h(x))-\phi (x,g(x))\}\\ =& \frac{\partial \phi }{\partial x}(x,h(x))+\frac{\partial \phi }{\partial y}(x,h(x))h^{\prime }(x)\\ & -\frac{\partial \phi }{\partial x}(x,g(x))-\frac{\partial \phi }{\partial y}(x,g(x))g^{\prime }(x)\\ =& \{\frac{\partial \phi }{\partial x}(x,h(x))-\frac{\partial \phi }{\partial x}(x,g(x))\}\\ \text{(2)}& & +\{\frac{\partial \phi }{\partial y}(x,h(x))h^{\prime }(x)-\frac{\partial \phi }{\partial y}(x,g(x))g^{\prime }(x)\}\end{array}$$

 

  미적분학의 기본정리와 오일러의 편미분 교환법칙에 따라 식 (2)의 일부는 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial \phi }{\partial x}(x,h(x))-\frac{\partial \phi }{\partial x}(x,g(x))=& {\int }_{g(x)}^{h(x)}\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial \phi }{\partial x}(x,y)dy\\ =& {\int }_{g(x)}^{h(x)}\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial \phi }{\partial y}(x,y)dy\\ =& {\int }_{g(x)}^{h(x)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)dy\end{array}$$

 

  정리하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{rl}\frac{d}{dx}{\int }_{g(x)}^{h(x)}f(x,y)dy=& {\int }_{g(x)}^{h(x)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)dy\\ & +\{f(x,h(x))h^{\prime }(x)-f(x,g(x))g^{\prime }(x)\}\end{array}\end{array}$$

 

  식 (3)의 좌변을 $x$ 에 대하여 구간 $[a,b]$ 에서 적분하면 미적분학의 기본정리에 의해 다음과 같다.

 

$${\int }_a^b\frac{d}{dx}\{{\int }_{g(x)}^{h(x)}f(x,y)dy\}dx={\int }_{g(b)}^{h(b)}f(b,y)dy-{\int }_{g(a)}^{h(a)}f(a,y)dy$$

 

  식 (3)의 우변도 $x$ 에 대하여 구간 $[a,b]$ 에서 적분하고 마지막 항을 이항하면 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.

 

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^b{\int }_{g(x)}^{h(x)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)dydx=& {\int }_{g(b)}^{h(b)}f(b,y)dy+{\int }_{g(a)}^{h(a)}f(a,y)dy\\ ◻& & -{\int }_a^b\{f(x,h(x))h^{\prime }(x)-f(x,g(x))g^{\prime }(x)\}dx\end{array}$$