2차원 발산정리(divergence theorem)의 증명 부록. '보조정리 1'의 증명

  2차원 발산정리(divergence theorem)의 증명 ch.2 에서 이어짐.

 

 

보조정리 1)  좌표평면의 영역 $[a,b]\times[g(x),h(x)]$ 에서 정의된 미분가능한 함수 $f$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align}\int_{a}^{b}\!\!\int_{g(x)}^{h(x)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\;dy\;dx=&\int_{g(b)}^{h(b)}f(b,y)\;dy-\int_{g(a)}^{h(a)}f(a,y)\;dy\\&-\int_{a}^{b}\Big\{f(x,h(x))h'(x)-f(x,g(x))g'(x)\Big\}\;dx\end{align}$$

 

proof)

 

  다음을 계산하자.

 

$$\frac{d}{dx}\int_{g(x)}^{h(x)}f(x,y)\;dy\tag{1}$$

 

  다음을 만족하는 함수 $\varphi$ 를 고려하자.

 

$$\frac{\partial\varphi}{\partial y}(x,y)=f(x,y)$$

 

  식 (1)은 다음과 같이 계산된다. (연쇄법칙은 링크 참조)

 

$$\begin{align}\frac{d}{dx}\int_{g(x)}^{h(x)}f(x,y)\;dy=&\frac{d}{dx}\int_{g(x)}^{h(x)}\frac{\partial\varphi}{\partial y}(x,y)\;dy\\=&\frac{d}{dx}\Big\{\varphi(x,h(x))-\varphi(x,g(x))\Big\}\\=&\frac{\partial\varphi}{\partial x}(x,h(x))+\frac{\partial\varphi}{\partial y}(x,h(x))h'(x)\\&-\frac{\partial\varphi}{\partial x}(x,g(x))-\frac{\partial\varphi}{\partial y}(x,g(x))g'(x)\\=&\big\{\frac{\partial\varphi}{\partial x}(x,h(x))-\frac{\partial\varphi}{\partial x}(x,g(x))\Big\}\\&+\Big\{\frac{\partial\varphi}{\partial y}(x,h(x))h'(x)-\frac{\partial\varphi}{\partial y}(x,g(x))g'(x)\Big\}\tag{2}\end{align}$$

 

  미적분학의 기본정리와 오일러의 편미분 교환법칙에 따라 식 (2)의 일부는 다음과 같다.

 

$$\begin{align}\frac{\partial\varphi}{\partial x}(x,h(x))-\frac{\partial\varphi}{\partial x}(x,g(x))=&\int_{g(x)}^{h(x)}\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial\varphi}{\partial x}(x,y)\;dy\\=&\int_{g(x)}^{h(x)}\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial\varphi}{\partial y}(x,y)\;dy\\=&\int_{g(x)}^{h(x)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\;dy\end{align}$$

 

  정리하면 다음과 같다.

 

$$\begin{align}\frac{d}{dx}\int_{g(x)}^{h(x)}f(x,y)\;dy=&\int_{g(x)}^{h(x)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\;dy\\&+\Big\{f(x,h(x))h'(x)-f(x,g(x))g'(x)\Big\}\end{align}\tag{3}$$

 

  식 (3)의 좌변을 $x$ 에 대하여 구간 $[a,b]$ 에서 적분하면 미적분학의 기본정리에 의해 다음과 같다.

 

$$\int_{a}^{b}\frac{d}{dx}\left\{\int_{g(x)}^{h(x)}f(x,y)\;dy\right\}\;dx=\int_{g(b)}^{h(b)}f(b,y)\;dy-\int_{g(a)}^{h(a)}f(a,y)\;dy$$

 

  식 (3)의 우변도 $x$ 에 대하여 구간 $[a,b]$ 에서 적분하고 마지막 항을 이항하면 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.

 

$$\begin{align}\int_{a}^{b}\!\!\int_{g(x)}^{h(x)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\;dy\;dx=&\int_{g(b)}^{h(b)}f(b,y)\;dy+\int_{g(a)}^{h(a)}f(a,y)\;dy\\&-\int_{a}^{b}\Big\{f(x,h(x))h'(x)-f(x,g(x))g'(x)\Big\}\;dx\tag*{$\square$}\end{align}$$