2차원 발산정리(divergence theorem)의 증명 ch.2

김한결 2021. 5. 11. 22:02

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김홍종 미적분학으로 발산 정리를 공부하던 중 이에 대한 증명이 부족하여 인터넷을 찾아보았으나, 제대로 된 증명을 찾기 힘들었기에 스스로 증명하고 그 증명을 본 포스팅에 기록하였다.

2차원 발산정리) 좌표평면의 영역 $D$ 에서 정의된 벡터장 $\vec{F} (x, y)$ 에 대하여 다음이 성립한다. $\oint_{\partial D} \vec{F} \cdot \vec{n} d s = \iint_{D} \nabla \cdot \vec{F} d V_{2}$

글쓴이는 다음의 증명을 추천한다. 그러나 절대 최초는 아니고, 그저 흔히 찾아보기 힘든 증명일 뿐이다. 미적분학 2+(김종홍)에서도 아래와 같은 증명을 하라는 여지를 남겨놓았다.

보조정리 1) 좌표평면의 영역 $[a, b] \times [g (x), h (x)]$ 에서 정의된 미분가능한 함수 $f$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$\begin{aligned} \int_{a}^{b} \int_{g (x)}^{h (x)} \frac{\partial f}{\partial x} (x, y) d y d x = & \int_{g (b)}^{h (b)} f (b, y) d y - \int_{g (a)}^{h (a)} f (a, y) d y \\ - \int_{a}^{b} {f (x, h (x)) h^{'} (x) - f (x, g (x)) g^{'} (x)} d x \end{aligned}$

proof)

증명 과정이 길어 아래의 링크에 따로 남겨놓는다.

2차원 발산정리(divergence theorem)의 증명 부록. '보조정리 1'의 증명

정리 1) 좌표평면의 영역 $[a, b] \times [g (x), h (x)]$ 에서 발산정리가 성립한다.

proof)

좌표평면에서 정의된 영역 $D : [x_{1}, x_{2}] \times [g_{l} (x), g_{u} (x)]$ 에 대하여, 영역의 아랫부분 곡선 $G_{l} (x)$ 와 윗부분 곡선 $G_{u} (x)$ 의 각 지점에 대응하는 법벡터 $\vec{n}$ 은 다음과 같이 계산할 수 있다.

곡선 $G_{l} (x) := (x, g_{l} (x))$ 의 법벡터는 속도곡선의 단위벡터를 $- 90^{\circ}$ 만큼 회전한 벡터이다.

$\begin{aligned} {\vec{n}}_{G_{l}} (x) & = R (- 90^{\circ}) \frac{(1, g_{l}^{'} (x))}{\sqrt{1 + g_{l}^{'} (x)^{2}}} \\ = \frac{1}{\sqrt{1 + g_{l}^{'} (x)^{2}}} (\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} 1 \\ g_{l}^{'} (x) \end{array}) \\ = \frac{(g_{l}^{'} (x), - 1)}{\sqrt{1 + g_{l}^{'} (x)^{2}}} \end{aligned}$

곡선 $G_{u} (x) := (x, g_{u} (x))$ 의 법벡터는 속도곡선의 단위벡터를 $+ 90^{\circ}$ 만큼 회전한 벡터이므로, 비슷하게 다음과 같은 결과를 얻는다.

${\vec{n}}_{G_{u}} (x) = \frac{(- g_{u}^{'} (x), 1)}{\sqrt{1 + g_{u}^{'} (x)^{2}}}$

발산정리의 좌변을 다음과 같이 계산한다.

$\begin{aligned} \oint_{\partial D} \vec{F} \cdot \vec{n} d s = & \int_{G_{l}} \vec{F} \cdot \vec{n} d s + \int_{G_{u}} \vec{F} \cdot \vec{n} d s \\ + \int_{g_{l} (x_{1})}^{g_{u} (x_{1})} \vec{F} (x_{1}, y) \cdot (- 1, 0) d y \\ + \int_{g_{l} (x_{2})}^{g_{u} (x_{2})} \vec{F} (x_{2}, y) \cdot (1, 0) d y \end{aligned}$

우변의 첫 두항은 벡터장의 선적분 정의에 따라 다음과 같이 계산한다.

선적분의 정의:

$\int_{X (t)} f d s = \int_{t_{0}}^{t_{1}} f (X (t)) | X^{'} (t) | d t$

$\begin{aligned} ∴ \int_{G_{l}} \vec{F} \cdot \vec{n} d s = & \int_{x_{1}}^{x_{2}} \vec{F} (x, g_{l} (x)) \cdot \frac{(g_{l}^{'} (x), - 1)}{\sqrt{1 + g_{l}^{'} (x)^{2}}} \sqrt{1 + g_{l}^{'} (x)^{2}} d x \\ = & \int_{x_{1}}^{x_{2}} (f_{1} (x, g_{l} (x)), f_{2} (x, g_{l} (x))) \cdot (g_{l}^{'} (x), - 1) d x \\ = & \int_{x_{1}}^{x_{2}} {f_{1} (x, g_{l} (x)) g_{l}^{'} (x) - f_{2} (x, g_{l} (x))} d x \end{aligned}$

$Similarily, \int_{G_{u}} \vec{F} \cdot \vec{n} d s = \int_{x_{1}}^{x_{2}} {- f_{1} (x, g_{u} (x)) g_{u}^{'} (x) + f_{2} (x, g_{u} (x))} d x$

정리하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} \oint_{\partial D} \vec{F} \cdot \vec{n} d s = & - \int_{x_{1}}^{x_{2}} {f_{1} (x, g_{u} (x)) g_{u}^{'} (x) - f_{1} (x, g_{l} (x)) g_{l}^{'} (x)} d x \\ + \int_{x_{1}}^{x_{2}} {f_{2} (x, g_{u} (x)) - f_{2} (x, g_{l} (x))} d x \\ + \int_{g_{l} (x_{2})}^{g_{u} (x_{2})} f_{1} (x_{2}, y) d y - \int_{g_{l} (x_{1})}^{g_{u} (x_{1})} f_{1} (x_{1}, y) d y \end{aligned}$

우변의 두 번째 항은 다음과 같다.

$\int_{x_{1}}^{x_{2}} {f_{2} (x, g_{u} (x)) - f_{2} (x, g_{l} (x))} d x = \int_{x_{1}}^{x_{2}} \int_{g_{l} (x)}^{g_{u} (x)} \frac{\partial f_{2}}{\partial y} (x, y) d y d x$

또한 나머지 항도 '보조정리 1'에 의하여 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int_{x_{1}}^{x_{2}} \int_{g_{l} (x)}^{g_{u} (x)} \frac{\partial f}{\partial x} (x, y) d y d x = & - \int_{x_{1}}^{x_{2}} {f_{1} (x, g_{u} (x)) g_{u}^{'} (x) - f_{1} (x, g_{l} (x)) g_{l}^{'} (x)} d x \\ + \int_{g_{l} (x_{2})}^{g_{u} (x_{2})} f_{1} (x_{2}, y) d y - \int_{g_{l} (x_{1})}^{g_{u} (x_{1})} f_{1} (x_{1}, y) d y \end{aligned}$

정리하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} \oint_{\partial D} \vec{F} \cdot \vec{n} d s = & \int_{x_{1}}^{x_{2}} \int_{g_{l} (x)}^{g_{u} (x)} {\frac{\partial f}{\partial x} (x, y) + \frac{\partial f}{\partial y} (x, y)} d y d x \\ = & \int_{x_{1}}^{x_{2}} \int_{g_{l} (x)}^{g_{u} (x)} \nabla \cdot \vec{F} (x, y) d y d x \\ = & \iint_{D} \nabla \cdot \vec{F} d V_{2} \end{aligned}$

따라서 좌우가 직선이고 위아래가 곡선인 경계에서 발산정리가 성립한다. $◻$

보조정리 2) 면적이 0인 영역에서 임의의 함수의 다중적분값은 0이다.

proof)

임의의 함수 $f$ 의 최대값을 $M$ , 최소값을 $m$ 이라고 하자. 적분의 성질에 따라 다음과 같다.

$\begin{array}{r} \iint_{D} m d V_{2} \leq \iint_{D} f d V_{2} \leq \iint_{D} M d V_{2} \\ ⟹ m \iint_{D} d V_{2} \leq \iint_{D} f d V_{2} \leq M \iint_{D} d V_{2} \end{array}$

영역 $D$ 의 면적이 0, 즉 $\iint_{D} d V_{2} = 0$ 이므로 원하는 결과를 얻는다. $◻$

정리 2) 좌표평면의 중첩되지 않는 두 영역 $D_{1}, D_{2}$ 에서 벡터장 $\vec{F}$ 의 발산정리가 성립하면 두 영역의 합집합에서도 발산정리가 성립한다.

위 정리를 수식으로 쓰면 다음과 같다.

${\begin{aligned} \iint_{D_{1}} \nabla \cdot \vec{F} d V_{2} = \oint_{\partial D_{1}} \vec{F} \cdot \vec{n} d s \\ \iint_{D_{2}} \nabla \cdot \vec{F} d V_{2} = \oint_{\partial D_{2}} \vec{F} \cdot \vec{n} d s \end{aligned}$

$⟹ \iint_{D_{1} \cup D_{2}} \nabla \cdot \vec{F} d V_{2} = \oint_{\partial (D_{1} \cup D_{2})} \vec{F} \cdot \vec{n} d s$

두 영역 $D_{1}, D_{2}$ 가 중첩되지 않는다는 것은 두 영역의 교집합의 면적이 0이라는 의미이다.

$\iint_{D_{1} \cap D_{2}} d V_{2} = 0$

'보조정리 2'에 따라 두 영역의 교집합에서 임의의 함수의 다중적분값은 모두 0이다.

두 영역이 중첩되지 않는다는 것은 두 영역의 교집합이 없거나, 경계의 일부를 공유(아래 그림 참조)한다는 것이다.

proof)

먼저, 적분의 기본적인 성질은 다음과 같다. (본 증명에 정말 많이 쓰인다)

$\int_{D_{1} \cup D_{2}} f + \int_{D_{1} \cap D_{2}} f = \int_{D_{1}} f + \int_{D_{2}} f$

따라서 다음의 연산은 항상 성립한다.

$\begin{aligned} \iint_{D_{1} \cup D_{2}} \nabla \cdot \vec{F} d V_{2} = & \iint_{D_{1}} \nabla \cdot \vec{F} d V_{2} + \iint_{D_{2}} \nabla \cdot \vec{F} d V_{2} \\ = & \oint_{\partial D_{1}} \vec{F} \cdot \vec{n} d s + \oint_{\partial D_{2}} \vec{F} \cdot \vec{n} d s \end{aligned}$

중첩되지 않는 두 영역의 합집합의 경계는 다음과 같다. ( $Δ$ 는 대칭차집합, $∖$ 는 차집합 기호이다)

$\begin{aligned} \partial (D_{1} \cup D_{2}) = & \partial D_{1} Δ \partial D_{2} \\ = & (\partial D_{1} \cup \partial D_{2}) ∖ (\partial D_{1} \cap \partial D_{2}) \\ = & {\partial D_{1} ∖ (\partial D_{1} \cap \partial D_{2})} \cup {\partial D_{2} ∖ (\partial D_{1} \cap \partial D_{2})} \end{aligned}$

두 영역이 경계를 공유하지 않을 때, 즉 $\partial D_{1} \cap \partial D_{2} = \emptyset$ 일때 다음과 같이 정리를 만족한다.

$\partial (D_{1} \cup D_{2}) = (\partial D_{1} \cup \partial D_{2}) ∖ \emptyset = \partial D_{1} \cup \partial D_{2}$

$\begin{aligned} ∴ \oint_{\partial D_{1}} \vec{F} \cdot \vec{n} d s + \oint_{\partial D_{2}} \vec{F} \cdot \vec{n} d s = & \oint_{\partial D_{1} \cup \partial D_{2}} \vec{F} \cdot \vec{n} d s \\ = & \oint_{\partial (D_{1} \cup D_{2})} \vec{F} \cdot \vec{n} d s \end{aligned}$

$⟹ \iint_{D_{1} \cup D_{2}} \nabla \cdot \vec{F} d V_{2} = \oint_{\partial (D_{1} \cup D_{2})} \vec{F} \cdot \vec{n} d s$

두 영역이 경계의 일부를 공유할 때, 즉 $\partial D_{1} \cap \partial D_{2} \neq \emptyset$ 일때를 고려하자. 편의상 다음과 같이 정의하자.

$\begin{aligned} \partial D_{1}^{p u r e} := & \partial D_{1} ∖ (\partial D_{1} \cap \partial D_{2}) \\ \partial D_{2}^{p u r e} := & \partial D_{2} ∖ (\partial D_{1} \cap \partial D_{2}) \\ \partial D_{1}^{i n t e r} := & \partial D_{1} \cap \partial D_{2} \\ \partial D_{2}^{i n t e r} := & \partial D_{1} \cap \partial D_{2} \end{aligned}$

따라서 두 영역 $D_{1}, D_{2}$ 의 합집합의 경계는 다음과 같다. (이 부분부터는 위의 그림을 참고하는 것이 좋다)

$\begin{aligned} \partial (D_{1} \cup D_{2}) = & {\partial D_{1} ∖ (\partial D_{1} \cap \partial D_{2})} \cup {\partial D_{2} ∖ (\partial D_{1} \cap \partial D_{2})} \\ = & \partial D_{1}^{p u r e} \cup \partial D_{2}^{p u r e} \end{aligned}$

여기서 $\partial D_{1}^{i n t e r}$ 와 $\partial D_{2}^{i n t e r}$ 가 똑같은 대상으로 정의된 것이 이상해 보이지만, 각각의 곡선이 어떤 영역의 경계임을 나타내는가에 따라 다음과 같이 명확히 구별된다.

$\begin{aligned} \partial D_{1} & = {\partial D_{1} ∖ (\partial D_{1} \cap \partial D_{2}), \partial D_{1} \cap \partial D_{2}} \\ = {\partial D_{1}^{p u r e}, \partial D_{1}^{i n t e r}} \\ \partial D_{2} & = {\partial D_{2} ∖ (\partial D_{1} \cap \partial D_{2}), \partial D_{1} \cap \partial D_{2}} \\ = {\partial D_{2}^{p u r e}, \partial D_{2}^{i n t e r}} \end{aligned}$

발산정리에서 선적분을 계산하면 다음과 같다

$\begin{aligned} \oint_{\partial D_{1}} \vec{F} \cdot \vec{n} d s + \oint_{\partial D_{2}} \vec{F} \cdot \vec{n} d s \\ = & \int_{\partial D_{1}^{p u r e}} \vec{F} \cdot \vec{n} (D_{1}) d s + \int_{\partial D_{1}^{i n t e r}} \vec{F} \cdot \vec{n} (D_{1}) d s \\ + & \int_{\partial D_{2}^{p u r e}} \vec{F} \cdot \vec{n} (D_{2}) d s + \int_{\partial D_{2}^{i n t e r}} \vec{F} \cdot \vec{n} (D_{2}) d s \end{aligned}$

곡선의 법벡터장 $\vec{n}$ 의 방향을 구분하기 위하여 경계에 대응되는 영역을 명시하였다. 위의 식에서 $\partial D_{i}^{i n t e r}$ 선적분 항을 따로 계산하자. $\partial D_{1}^{i n t e r}$ 와 $\partial D_{2}^{i n t e r}$ 는 정의로부터 그 대상이 같다. 그러나 그 과정에서 결정된 $\vec{n}$ 의 방향은 같지 않으므로 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int_{\partial D_{1}^{i n t e r}} \vec{F} \cdot \vec{n} (D_{1}) d s + \int_{\partial D_{2}^{i n t e r}} \vec{F} \cdot \vec{n} (D_{2}) d s \\ = & \int_{\partial D_{1} \cap \partial D_{2}} \vec{F} \cdot \vec{n} (D_{1}) d s + \int_{\partial D_{1} \cap \partial D_{2}} \vec{F} \cdot \vec{n} (D_{2}) d s \\ = & \int_{\partial D_{1} \cap \partial D_{2}} \vec{F} \cdot {\vec{n} (D_{1}) + \vec{n} (D_{2})} d s \end{aligned}$

좌표평면의 곡선 $\partial D_{1} \cap \partial D_{2}$ 의 단위법선벡터의 방향은 서로 반대방향인 두 가지로 정해질 수 있는데, 위의 식에서 $\vec{n} (D_{1})$ 과 $\vec{n} (D_{2})$ 는 그 두가지 각각의 방향이다. 즉, 서로 반대방향이다. 따라서 두 벡터를 서로 더하면 영벡터가 되므로, 다음과 같다.

$\int_{\partial D_{1}^{i n t e r}} \vec{F} \cdot \vec{n} (D_{1}) d s + \int_{\partial D_{2}^{i n t e r}} \vec{F} \cdot \vec{n} (D_{2}) d s = 0$

$\begin{aligned} ∴ & \oint_{\partial D_{1}} \vec{F} \cdot \vec{n} (D_{1}) d s + \oint_{\partial D_{2}} \vec{F} \cdot \vec{n} (D_{2}) d s \\ = & \int_{\partial D_{1}^{p u r e}} \vec{F} \cdot \vec{n} (D_{1}) d s + \int_{\partial D_{2}^{p u r e}} \vec{F} \cdot \vec{n} (D_{2}) d s \end{aligned}$

적분의 성질로부터, 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int_{\partial D_{1}^{p u r e}} \vec{F} \cdot \vec{n} d s + \int_{\partial D_{2}^{p u r e}} \vec{F} \cdot \vec{n} d s \\ = \oint_{\partial D_{1}^{p u r e} \cup \partial D_{2}^{p u r e}} \vec{F} \cdot \vec{n} d s + \oint_{\partial D_{1}^{p u r e} \cap \partial D_{2}^{p u r e}} \vec{F} \cdot \vec{n} d s \end{aligned}$

이때 $\partial D_{1}^{p u r e} \cap \partial D_{2}^{p u r e} = \emptyset$ 임이 자명하다. 그러므로 두 번째 항의 적분값은 0이다. 따라서 다음과 같이 발산정리가 성립한다.

$\begin{aligned} \oint_{\partial D_{1}} \vec{F} \cdot \vec{n} d s + \oint_{\partial D_{2}} \vec{F} \cdot \vec{n} d s = & \oint_{\partial D_{1}^{p u r e} \cup \partial D_{2}^{p u r e}} \vec{F} \cdot \vec{n} d s \\ = & \oint_{\partial (D_{1} \cup D_{2})} \vec{F} \cdot \vec{n} d s \end{aligned}$

$\begin{matrix} ◻ & ⟹ \iint_{D_{1} \cup D_{2}} \nabla \cdot \vec{F} d V_{2} = \oint_{\partial (D_{1} \cup D_{2})} \vec{F} \cdot \vec{n} d s \end{matrix}$

추측 1) 모든 2차원 영역은 어떤 두 함수의 그래프와 0~2개의 수직선분으로 둘러싸인 영역들의 합집합으로 구성될 수 있다.

음함수로 쓰여진 경계 $\partial D (x, y) = c$ 를 고려하자. 음함수 정리(implicit function theorem)에 따라, ' $\frac{\partial D}{\partial y} = 0$ 인 점'과 '미분불가능한 점(특이점)'을 제외한 모든 경계는 어떤 일급함수의 그래프로 나타난다. 이러한 점을 기준으로 경계 $\partial D$ 를 분할하고, 만약 그 점을 통과하는 근방의 수직선이 영역 내부에 포함된다면 그 점에서 양 끝이 경계에 도달할때까지 수직선을 그을 수 있다. 이렇게 그은 선으로 영역을 분할하고, 각 영역의 경계는 상기한 점으로 분할하면 본 추측에서 언급한 영역들로 구성할 수 있을 것이다.

'추측 1'이 참인지 본인이 증명은 할 수 없으나, 직관적으로 성립함을 파악할 수 있다.

만약 '추측 1'이 참이라면, 임의의 2차원 영역을 '정리 1'이 성립하는 부분영역으로 분할할 수 있고, 따라서 각 부분영역에서 발산정리가 성립한다. '정리 2'에 의해, 각 부분영역에서 발산정리가 성립하면 부분영역의 합집합에서 발산정리가 성립하므로 임의의 2차원 영역에서 발산정리가 성립한다.

이상으로 발산정리의 증명을 마친다.

읽어주셔서 감사합니다.

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