속도곡선은 곡선에 접한다.

  제목을 어떻게 할지 몰라서 단도직입적으로 작성하였다.

 

  먼저 곡선을 다음과 같이 정의한다.

 

정의)
1차원 공간을 n차원 공간에 대응시키는 함수 $X:\mathbb{R}⇢{\mathbb{R}}^{\mathbb{n}}$ 을 곡선으로 정의한다.

$$X(t)=(x_1(t),\dots ,x_n(t))$$
이때 $X$ 의 i번째 성분 $x_i(t)$ 를 i번째 성분함수라고 한다.

  곡선의 제일 유명한 예시로는, 일변수함수의 그래프가 있다. 일변수 함수 $f:\mathbb{R}⇢\mathbb{R}$의 그래프가 곡선 $X(t)=(t,f(t))$ 로 주어짐은 잘 알려진 사실이다. 일변수 함수의 그래프 이외에도, 단위원 곡선으로서 $X(t)=(\cos t,\sin t)$ 가 자주 보이는 곡선의 예시이다. 두 가지 예시를 2차원 공간에 놓여지는 곡선만 보였지만, 3차원이나 4차원, n차원 공간에서도 곡선을 정의할 수 있다.

 

  곡선의 미분을 '속도곡선'이라고 한다.

 

정의)
곡선 $X:\mathbb{R}⇢{\mathbb{R}}^{\mathbb{n}}$ 가 주어졌을 때, 곡선의 미분을 다음과 같이 정의하며 이를 속도곡선이라고 한다.

$$X^{\prime }(t):=(x_1^{\prime }(t),\dots ,x_n^{\prime }(t))$$

  곡선을 공간상에 놓인 점들의 집함으로 이해하였다면, 속도곡선은 공간상에 놓인 점들의 집합으로 이해하기보다는 곡선의 각 점에서 뻗어나가는 벡터로 이해해도 된다.

  위의 그림에서는 속도곡선이 곡선의 각 점에서 접하는 방향으로 뻗어나도록 그려져있는데, 이는 우연히 그려진 것이 아니라 사실 모든 곡선에서 성립하는 성질이다. 왜 다른 방향은 아니고 하필 접하는 방향인 것인가? 이번 포스팅에서는 속도곡선이 곡선에 접함을 증명할 것이다.

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  주어진 곡선 $X(t)$ 에 대하여, 이미 접하고 있는 직선 $L(t)$ 을 고려하자. 그리고 계산의 편의성을 위해 $X(t_0)$ 가 공간상의 어떤 점 $P$ 를 가리킬 때, $L(t_0)$ 도 동시에 점 $P$ 를 가리킨다고 하자. 즉, $X(t_0)=L(t_0)$ 이다.

 

  곡선 $X(t)$ 와 직선 $L(t)$ 가 $t=t_0$ 에서 접한다는 것은 다음의 식이 성립한다는 것을 의미한다.

 

$$\underset{t\to t_0}{lim}\frac{|X(t)-L(t)|}{t-t_0}=0$$

 

  위의 식에서 분자항은 시간 $t$ 에서 점 $X(t)$ 와 점 $L(t)$ 사이의 거리를 의미한다. 따라서 위의 식은 두 점 사이의 거리가 작아지는 속도가 시간간격($t-t_0$)이 작아지는 속도보다 더 빠르다는 것을 의미한다. 약간의 가정을 해놓은 덕분에, $-X(t_0)+L(t_0)=0$ 이므로 위의 식을 다음과 같이 변형할 수 있다.

 

$$\begin{array}{rl}0& =\underset{t\to t_0}{lim}\frac{|X(t)-L(t)|}{t-t_0}\\ & =\underset{t\to t_0}{lim}\frac{|X(t)-X(t_0)+L(t_0)-L(t)|}{t-t_0}\\ & =\underset{t\to t_0}{lim}|\frac{X(t)-X(t_0)}{t-t_0}-\frac{L(t)-L(t_0)}{t-t_0}|\end{array}$$

$$\therefore \underset{t\to t_0}{lim}\frac{X(t)-X(t_0)}{t-t_0}=\underset{t\to t_0}{lim}\frac{L(t)-L(t_0)}{t-t_0}$$

 

  마지막 식의 좌변은 속도곡선의 정의와 일치하므로 $X^{\prime }(t_0)$ 라고 쓸 수 있다. 마찬가지로 우변도 $L^{\prime }(t_0)$ 라고 적어버릴 수 있지만, 그 대신 직선의 정의를 이용하여 다른 방법으로 써보자. 직선이란 어떤 점에서 시간이 지날수록 일정한 방향으로 뻗어나가는 점의 이야기라고 볼 수 있다. 이를 수학적으로 쓰면, 다음과 같다.

 

$$L(t)=A+t\overrightarrow{v}$$

 

  위의 식에서 점 $A$ 는 직선 $L$ 이 $t=0$ 에서 지나는 점을 의미하고, $\overrightarrow{v}$ 는 시간이 지남에 따라 점 $L(t)$ 가 나아가는 방향을 의미한다. 즉, 직선 $L$ 의 방향이다. (수식 $L(t)=L(0)+t{L}^{\prime }(0)$ 과 같이 적을 수도 있으나, 너무 계산적인 의미를 부여하면 각 요소가 의미하는 본질을 가려 방해가 된다) 

 

  따라서 위의 식의 좌변을 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$\begin{array}{rl}\underset{t\to t_0}{lim}\frac{L(t)-L(t_0)}{t-t_0}& =\underset{t\to t_0}{lim}\frac{(A+t\overrightarrow{v})-(A+t_0\overrightarrow{v})}{t-t_0}\\ & =\underset{t\to t_0}{lim}\frac{(t-t_0)\overrightarrow{v}}{t-t_0}\\ & =\overrightarrow{v}\end{array}$$

 

  정리하면 다음과 같다.

 

$$X^{\prime }(t_0)=\overrightarrow{v}$$

 

  이때 $\overrightarrow{v}$ 가 $t=t_0$ 에서 곡선 $X$ 에 접하는 직선의 방향이므로, 벡터 $X^{\prime }(t_0)$ 는 점 $X(t_0)$ 에서 곡선 $X$ 에 접하는 방향과 나란하다. 즉, 벡터 $X^{\prime }$ 는 곡선 $X$ 에 항상 접한다.   $◻$

 

 

  읽어주셔서 감사합니다.