[벡터공간부터 기저까지] 부록. 공집합의 생성공간

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  본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 을 공부하며 작성하였습니다.

 

 

1. Empty Sum

 

  어떤 수열 $(a_i)$ 을 생각하자. 수열을 차례대로 m개의 항을 더한다는 것은 다음과 같다.

$$S_m:=\sum_{i=1}^m a_i=a_1+a_2+\cdots+a_m$$

  위의 정의와 같이 수열을 처음부터 차례로 m개를 더한 부분합 $S_m$ 을 정의할 수 있다. 부분합은 다음의 정리를 만족한다.

 

정리 1-1)  수열 $(a_i)$ 의 부분합 $S_j$ 를 생각하자. 자연수 $n$ 에 대하여 다음이 성립한다.
$$S_{n+1}=S_n+a_{n+1}$$

 

proof)

  위 정리를 풀어서 쓰면 다음과 같다.

$$\begin{align}S_{n+1}=&a_1+\cdots+a_n+a_{n+1}\\=&(a_1+\cdots+a_n)+a_{n+1}\\=&S_n+a_{n+1}\tag*{$\square$}\end{align}$$

 

 

  이때 정리 1-1의 $n$ 에 0을 대입하면 부분합을 수학적으로 확장할 수 있다. 일단 묻지 않고 $n=0$ 이라고 해보자.

$$S_1=\textcolor{red}{S_0}+a_1\tag{1}$$

  식 (1)에서 $S_1$ 과 $a_1$ 은 처음부터 잘 정의되어있는 수이지만, $S_0$ 은 다소 이상하게 보인다. 당연한 것이, $S_0$ 이 의미하는 바는 말 그대로 수열 $(a_i)$ 를 처음부터 0개 더한 값이라는 것이다. 도대체 0개를 더한다는 것이 무슨 말이가 싶지만, 정리 1-1의 단순명료한 형태로부터 자연스럽게 정의할 수 있다.

 

  식 (1)의 좌변 $S_1$ 은 수열 $(a_i)$ 를 차례로 하나 더한 것이다. 그말인 즉슨, $S_1=a_1$ 이라고 할 수 있다. 따라서 다음과 같다.

$$a_1=S_0+a_1\tag{2}$$

  식 (2)로부터 $S_0$ 이 지시하는 값이 0임을 알 수 있다.

 

  이로부터 알 수 있는 수학적 사실은, 무언가를 0개 더하면 0이라는 것이다. 이러한 개념을 empty sum^[각주:1]이라고 한다.

 

 

1.1. 벡터공간의 empty sum

 

  벡터공간에서도 마찬가지로 empty sum을 정의할 수 있다. 그리고 이는 공집합의 생성집합과 직접적으로 연관되어있다.

 

  벡터공간 $V$ 의 부분집합 $S=\{v_1,\ldots,v_n\}$ 을 생각하자. $S$ 의 어떤 일차결합을  다음과 같이 고정하자.

$$a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_nv_n$$

  이때 부분합을 다음과 같이 정의하자. (단, $0<m\le n$ )

$$S_m:=a_1v_1+\cdots+a_mv_m$$

  이렇게 정의된 부분합은 정리 1-1과 비슷하게 다음의 관계식이 성립한다. (단, $0<m<n$ )

$$S_{m+1}=S_m+a_{m+1}v_{m+1}$$

  마찬가지로 $m=0$ 을 대입하여 수학적 확장을 기대할 수 있다.

$$S_1=S_0+a_1v_1$$

  위의 식에서 $S_1=a_1v_1$ 이다. 따라서 다음과 같다.

$$a_1v_1=S_0+a_1v_1$$

  벡터공간의 정의에 따라, 위의 수식을 만족하는 $S_0$ 은 영벡터 $0$ 이다. $S_0$ 이 의미하는 바는 벡터를 하나도 더하지 않은 것이므로, 벡터를 하나도 더하지 않은 것은 영벡터라고 할 수 있다.

 

 

1.2. 공집합의 생성공간

 

  공집합의 생성공간은 편의를 위해 점공간 $\{0\}$ 으로 정의되었었다. 그러나 empty sum의 개념을 받아들이면 굳이 정의하지 않아도 수학적으로 도출할 수 있는 사실이다.

 

  공집합의 생성공간이란 공집합의 일차결합의 집합이다. 일차결합이란 집합에서 유한개의 원소를 가져와 스칼라 곱을 한 것을 모두 다 더한 것인데, 공집합에서는 가져올 원소가 없다. 따라서 공집합의 모든 일차결합은 empty sum, 즉 영벡터이다. 따라서 공집합의 생성공간은 점공간임을 자연스럽게 알 수 있다.

$$\mbox{span}(\varnothing)=\{0\}$$

1. 굳이 번역하면, '공허 합'이라고 할 수 있을 것이다. [본문으로]