[집합론 기초] ch1. 집합론의 표기법

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집합론의 언어

 

  수학에서 일반적으로 대문자 $A,B,\ldots$ 를 써서 집합(set)을 표기하고, 소문자 $a,b,\ldots$ 를 써서 이러한 집합에 속하는 대상(object) 또는 원소(element)를 표기한다. 만약 어떤 대상 $a$ 가 집합 $A$ 에 속한다면 이를

$$a\in A$$

와 같이 표기하고, $a$ 가 $A$ 에 속하지 않는다면 이를

$$a\notin A$$

와 같이 표기한다.

 

  등호 기호 $=$ 는 수학에서 논리적 동치(logical identity)를 의미한다. 이는 즉, $a=b$ 라고 쓴다면 $a$ 와 $b$ 가 동일한 대상을 지시하는 기호라는 것이다. 예를들면 산수에서 $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ 이라고 쓰는 것과 같다. 비슷하게 식 $A=B$ 는 $A$ 와 $B$ 가 동일한 집합을 나타내는 기호이며, 이는 $A$ 와 $B$ 를 이루는 원소가 동일하다는 것이다.

 

  만약 $a$ 와 $b$ 가 서로 다른 대상이면 $a\neq b$ 라고 쓰고, $A$ 와 $B$ 가 서로 다른 집합이면 $A\neq B$ 라고 쓴다. 예를들어 $A$ 가 음이 아닌 모든 실수의 집합, $B$ 가 양의 모든 실수의 집합이라고 한다면 $A\neq B$ 이며, 이는 $0$ 이 $A$ 에는 속하고 $B$ 에는 속하지 않기 때문이다.

 

  만약 $A$ 의 모든 원소가 $B$ 의 원소라면 $A$ 가 $B$ 의 부분집합(subset)이라고 하며

$$A\subset B$$

라고 표기한다. 이 정의에서 $A$ 와 $B$ 가 달라야 할 필요는 없다. 정확히는 만약 $A=B$ 라면 $A\subset B$ 와 $B\subset A$ 가 모두 성립한다. 반면 $A\subset B$ 이고 $A$ 와 $B$ 가 서로 다르다면 $A$ 가 $B$ 의 진부분집합(proper subset)이라고 하며

$$A\subsetneq B$$

라고 표기한다. $A\subset B$ 라면 $B\supset A$ 라고도 쓰며 $B$ 가 $A$ 를 포함한다(contain)고 한다.

 

  한 집합을 명시하는 방법은 무엇일까? 만약 집합이 오직 몇 개의 원소만 갖는다면, 단순히 대상을 나열함으로써 "집합 $A$ 는 원소 $a,b,c$ 로 구성된다" 라고 쓰면 된다. 이러한 표현은 기호로

$$A=\{a,b,c\}$$

와 같이 괄호가 원소를 감싸도록 쓰면 된다.

 

  집합을 명시하는 일반적인 방법은 집합 $A$ 와 $A$ 의 원소가 갖는 성질을 선택하고, $A$ 의 모든 원소가 갖는 성질을 이용하여 집합을 구성하는 것이다. 예를들어, 자연수 집합을 취하고 그 부분집합 $B$ 를 모든 짝수의 집합으로 구성하자. 이를 기호로

$$B=\{x:x\text{ is an even number}\}$$

라고 표현한다. 이를 읽는것은 "$B$ 는 $x$ 가 어떤 짝수이도록 하는 모든 $x$ 의 집합이다" 라고 하면 된다.

 

 

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References)

[1] James R. Munkres. (2000). Topology. Pearson College Div.

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