'수학' 카테고리의 글 목록 (6 Page) - Aerospace Kim

[직선과 실수] ch4. 직선에 새겨진 유리수

이전 읽을거리 : [직선과 실수] ch3. 전통적 직선 다음 읽을거리 : [직선과 실수] ch5. 직선과 실수는 같다 본 포스팅은 '계승혁 교수님, 2002년 1학기 - 집합과 수리논리 강의록 제2장'을 참고하여 작성하였습니다. 5. 유리수를 품은 직선 다음의 정리에 따르면 직선은 '순서체인 유리수'의 구조를 포함한다. 다시말해 임의의 유리수에 대응하는 점이 존재하며, 그 대응은 유리수의 덧셈과 곱셈을 그대로 따라한다. 게다가 더 큰 유리수에는 더 큰 점이 대응한다. 정리 5-1) 다음의 성질을 만족하는 함수 $\gamma:\mathbb{Q\to E}$ 는 단사함수이며 유일하게 존재한다. (ⅰ) 임의의 $p,q\in\mathbb{Q}$ 에 대하여 $\gamma(p+q)=\gamma(p)+\gamma(q)..

[직선과 실수] ch3. 전통적 직선

이전 읽을거리 : [직선과 실수] ch2. 연속성의 본질, 절단성 다음 읽을거리 : [직선과 실수] ch4. 직선에 새겨진 유리수 본 포스팅은 '김홍종, 미적분학 1+', '박예은, 역사발생적 원리에 따른 수직선 의미와 지도방안 고찰(석사학위논문)'을 참고하여 작성하였습니다. 3. 유클리드 직선 우리에게 '수직선'라는 개념은 상당히 익숙하다. 수직선이란 직선에 실수를 대응시켜놓은 것으로, 이것은 우리의 학창시절 교육과정에 자연스럽게 녹아들어있어 수직선을 모르는 사람은 거의 없을 것이다. 그러나 의외로 직선에 실수를 대응시킨다는 개념은 그렇게 오래되지 않았다. 직선을 말하기 이전에 평면에 대한 이야기를 조금 해야한다. 어렸을 때부터 몸이 약한 데카르트(Descartes, 1596-1650)는 침대에 누워 ..

[직선과 실수] ch2. 연속성의 본질, 절단성

이전 읽을거리 : [직선과 실수] ch1. 순서체의 엄밀한 정의 다음 읽을거리 : [직선과 실수] ch3. 전통적 직선 본 포스팅은 '박예은, 역사발생적 원리에 따른 수직선 의미와 지도방안 고찰(석사학위논문)'을 참고하여 작성하였습니다. 2. 실수의 절단성 실수가 엄밀하게 구성되기 이전에는, 유리수체가 길이를 표현하는 최선의 수 집합이었다. 그러나 유리수체와 직선을 비교하면 유리수체에 틈이 존재한다는 사실을 알게 된다. 반면에 직선은 아무런 틈이 없이 매끈하게 연결되어 있다. 직선과 수 집합의 일대일대응이 이루어지기 위해서는 수 또한 연속적인 성질을 가져야 한다. 그리하면 가장 중요한 질문에 도달하게 된다. 과연 연속성의 본질이란 무엇인가? 극미한 부분에서도 연결이 끊어지지 않고 이어져 있다.. 따위의 ..

[직선과 실수] ch1. 순서체의 엄밀한 정의

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch1. 실수의 정의 [FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리 다음 읽을거리 : [직선과 실수] ch2. 연속성의 본질, 절단성 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)' 및 '박예은, 역사발생적 원리에 따른 수직선 의미와 지도방안 고찰(석사학위논문)'을 참고하여 작성하였습니다. 본 시리즈에서는 실수와 직선이 모습만 다르고 서로 동일한 대상임을 보인다. 즉, 실수계에서 하는 모든 수학적 행위는 직선 위에서 동일하게 재현할 수 있다는 확실한 증거를 보일 것이다. 1. 순서체의 엄밀한 정의 실수란 완비성 공리를 만족하는 순서체이다. 일반적으로 완비성 공리에 대한 설명은 차고 넘치지만, 순서체에 대한 설명은 은근슬쩍 넘어가기 일쑤이다. 사..

[FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch1. 실수의 정의 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch3. 수열의 극한 [직선과 실수] ch1. 순서체의 엄밀한 정의 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. ※ 본 포스팅은 PC 환경에서 보기를 권장합니다. 2. 완비성 공리 완비성 공리를 대뜸 공개하자면 다음과 같다. 완비성 공리 (Axiom of Completeness) 공집합이 아니고 위로 유계인 (실수 집합의) 부분집합은 항상 상한을 갖는다. 이를 처음 본다면 '위로 유계', '상한'과 같이 낯선 단어때문에 알아볼 수가 없을 것이다. 차근차근 그 정의를 확인하자. 정의) 어떤 $b\in\mathbb{R}$ 이 존재하여 모든 $a\in A$..

[FTC의 엄밀한 증명] ch1. 실수의 정의

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch0. 수학 기초 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 1. 실수의 정의 인간은 본능적으로 기하학적 대상인 '길이'와 산술적 대상인 '수'를 연관짓기 시작했다. 이러한 행위는 고대 그리스의 피타고라스학파에서도 활발하게 이루어지고 있었다. 그리스인들은 길이와 수의 성질로 통약성을 굳게 믿고 있었다. 통약성(Commensurability)이란, 간단히 말해 두 길이의 비는 항상 두 정수의 비로 나타낼 수 있을 것이라는 성질을 말한다. 아무리 미묘한 두 길이를 가져와도, 한 길이의 유리수배가 다른 길이가 되도록 하는 유리수가 항상 존재한다는 것이다..

[FTC의 엄밀한 증명] ch0. 수학 기초

다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch1. 실수의 정의 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 0. 수학 기초 아름다운 해석학의 세계로 들어가기에 앞서 몇 가지 준비운동이 필요하다. 전혀 어려운 내용이 아니지만, 이들 없이는 한 발자국도 나아갈 수 없다. 익숙하지 않은 내용이 있다면 반드시 숙지하자. 0.1. 집합 정의) 집합(set)이란 원소(element)라고 불리는 대상의 모임이다. 위는 집합을 정의하는 가장 명료한 방법이다. "어떤 $x$ 가 집합 $A$ 에 속한다." 또는 "집합 $A$ 의 원소 $x$ "라고 말하고 싶을때는 다음과 같이 쓴다. $$x\in A$$ 정의) 두 집합 $A,\;B$ 에 대하여 다음과 같이 정의한다. ▶ 합..

쌍대공간 (Dual Space)

이전 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch1. 선형변환 [선형변환부터 동형사상까지] 5.1. 선형변환의 집합인 벡터공간 [선형변환부터 동형사상까지] ch8. 동형사상 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 및 'Kenneth Hoffman & Ray Kunze. Linear algebra'를 공부하며 작성하였습니다. 1. 선형범함수 선형변환의 정의를 다시 소개하자면 다음과 같다. 정의) 임의의 두 $F$-벡터공간 $V,\;W$ 를 생각하자. 어떤 함수 $T:V\to W$ 가 임의의 벡터 $x,\;y\in V$ 와 스칼라 $c\in F$ 에 대하여 다음의 두 조건을 만족하면 $T$ 를 선형변환이라고 한다. (ⅰ) $T(x+y)=T(x)+T(y)$ (ⅱ) $T(cx)=cT(x)$ 선형변환의 구..

추상대수로서의 벡터공간, 벡터공간으로서의 체

이전 읽을거리 : [벡터공간부터 기저까지] ch1. 벡터공간과 부분공간 [대수구조부터 체까지] ch5. 체(Field) 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 및 'Fraleigh. A first course in abstract algebra'을 공부하며 작성하였습니다. 1. 벡터공간 선형대수의 연구 대상인 벡터공간을 추상대수의 언어로 정의해보자. 정의) 임의의 체 $\left$ 와 가환군 $\left$ 을 생각하자. $F$-벡터공간 $V$ ($F$-vector space $V$) 란 다음의 5가지 조건을 만족하는, $F$ 의 원소를 $V$ 의 원소 왼쪽에 곱하는 연산인 스칼라 곱(scalar multiplication)을 갖는 대수구조이다.$$\cdot:F\times V\to V,\;(a,u)\..

[대수구조부터 체까지] ch5. 체(Field)

이전 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch4. 환(Ring) 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)', 'Fraleigh. A first course in abstract algebra', 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 6. 체 우리가 가장 익숙한 대수구조를 하나 꼽자면, 그것은 두말 할 필요도 없이 '체'이다. 정의) 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하는 나눗셈환을 체(field)라고 한다. 임의의 체를 일컬어 $F$ 라고 쓴다. 체를 정의하는 다른 방법은, 가환환이며 나눗셈환인 대수구조라고 정의하는 것이다. 의미는 바뀌지 않는다. ※ 군과 환을 잘 이해한 사람이라면, 체를 덧셈과 곱셈이 각각 가환군을 이루는 환이라고 정의하고 싶을 수도 있다. 하지만..

[대수구조부터 체까지] ch4. 환(Ring)

이전 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch3. 군(Group) 다음 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch5. 체(Field) 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 및 'Fraleigh. A first course in abstract algebra'을 공부하며 작성하였습니다. 4. 환 우리가 자주 접하게 되는 대수구조는 연산이 두개 이상 정의되곤 한다. 당장 실수에 어렵지 않게 정의되었던 연산만 해도 사칙연산, 총 네 개의 연산을 알고 있을 것이다. 본 포스팅에서는 기본적인 두 개의 연산이 정의되는 의미있는 대수구조를 살펴본다. 정의) 임의의 집합 $R$ 에 두 이항연산 $+$ , $\cdot$ 이 정의된 이항구조 $\left$ 가 다음을 만족하면 환(ring)이라고 한다. (ⅰ) $\le..

[대수구조부터 체까지] ch3. 군(Group)

이전 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch2. 기본 대수구조 다음 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch4. 환(Ring) 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 및 'Fraleigh. A first course in abstract algebra'을 공부하며 작성하였습니다. 3. 군 군은 다음과 같이 정의한다. 정의) 어떤 마그마가 반군이며 단위마그마이며 유사군인 경우, 이 마그마를 군(group)이라고 한다. 임의의 군을 일컬어 $G$ 라고 쓴다. 다시말해 군은 반군의 조건, 단위마그마의 조건, 유사군의 조건을 모두 만족하는 이항구조를 의미한다. 위 정의를 공리적으로 재구성하면 다음과 같다. 군이란 다음의 세 명제를 모두 만족하는 이항구조 $\left$ 를 의미한다. (ⅰ) 임의의 세 원소..

[대수구조부터 체까지] ch2. 기본 대수구조

이전 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch1. 이항대수구조 다음 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch3. 군(Group) 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 및 'Fraleigh. A first course in abstract algebra'을 공부하며 작성하였습니다. 2. 마그마의 파생 군(group)은 어떤 '세 가지 조건'을 만족하는 이항구조로 정의한다. 그 조건들을 하나씩만 만족하는 특별한 마그마를 살펴보자. 2.1. 단위마그마 항등원은 빈번하게 사용되는 개념이다. 항등원의 유일성에 대한 혼란을 없애기 위해 다음의 기초적인 정의부터 시작한다. 정의) 임의의 마그마 $\left$ 를 생각하자. $S$ 의 임의의 원소 $a\in S$ 에 대하여 $e_L*a=a$ 가 성립하는 $e_L..

[대수구조부터 체까지] ch1. 이항대수구조

다음 읽을거리 : [대수구조부터 체까지] ch2. 기본 대수구조 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)' 및 'Fraleigh. A first course in abstract algebra'을 공부하며 작성하였습니다. 1. 이항대수구조 체는 다양한 대수구조 중 하나이다. 대수구조가 무엇인지 알아보기 전에 아래의 정의를 확인하자. 정의) 주어진 두 집합 $A,\;B$ 를 생각하자. $A$ 와 $B$ 각각의 임의의 원소 $a,\;b$ 에 대하여, $a$ 와 $b$ 의 순서를 정하고 짝지어 나타내는 것을 순서쌍(tuple)이라고 하며 $(a,b)$ 로 표기한다. 순서쌍의 첫 번째, 두 번째 성분을 각각 집합 $A,\;B$ 에서 가져오는 모든 순서쌍의 집합을 $A,\;B$ 의 곱집합(product set)..

[선형변환부터 동형사상까지] ch8. 동형사상

이전 읽을거리 : [선형변환부터 동형사상까지] ch7. 가역인 선형변환 본 포스팅은 '프리드버그 선형대수학(5판)'을 공부하며 작성하였습니다. 11. 동형사상 ※ 본 포스팅의 도입부는 다소 엄밀하지 못하므로, 대수구조 및 동형에 대해 자세하게 공부하실 분은 'Fraleigh. A first course in abstract algebra' 또는 타 블로그 생새우초밥집을 참고하시길 바랍니다. 체스를 두자. 여러가지 선택지가 있을 수 있다. 상아로 된 말을 쑬 수도 있고, 나무로 된 말을 쓸 수도 있다. 아니면 운동장에 나가서 바닥에 줄을 긋고 친구들을 세워 체스를 할 수도 있다. 모두 다 다른 형식을 갖추었지만, 중요한건 체스의 룰은 그대로라는 것이다. 우리가 체스라고 부르는 것은 분명히 규칙 그 자체를 ..

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