'수학' 카테고리의 글 목록

[다양체] ch3. 다양체에서 스칼라 함수의 적분

이전 읽을거리: ch2. 다양체의 정의 스칼라 함수의 적분 다양체에서 정의된 실함수의 적분을 정의하자. 논의의 단순화를 위해, 본 시리즈에서는 콤팩트 다양체로 한정한다. 다음의 정리는 좌표조각이 어떤 콤팩트집합을 덮을 수 있다면, 그 콤팩트집합을 덮을 수 있는 유계집합에서 정의된 좌표조각을 반드시 찾을 수 있음을 말한다. Lemma 3.1.

R^{n}

의 k-다양체

M

에 대해 콤팩트집합

C \subset M

과

C

를 덮는 좌표조각

α : U \to V

이 존재한다고 하자. 만약

U

가 유계가 아니라면 어떤 유계집합

U^{'} \subset U

가 존재하여

α |_{U^{'}}

가

C

를 덮는

M

의 좌표조각이다. Proof.

α^{- 1}

은 연..

[다양체] ch2. 다양체의 정의

이전 읽을거리) [실수공간의 위상] ch3. 위상적 성질 [변수변환정리] ch2. 미분동형사상 ch1. 매개화된 다양체 다음 읽을거리: ch3. 다양체에서 스칼라 함수의 적분 Convention. ▷

T_{X}

란

X

에서 열려있는 집합의 모임이다. ▷

N_{X} (x)

란

X

에서

x \in X

의 근방의 모임, 즉

X

에서 열린

x

를 포함하는 집합의 모임이다. 경계가 없는 다양체 다양체는 수학에서 가장 중요한 대상 중 하나이다. 다양체는 미분기하학, 이론물리학, 대수위상수학 등 여러가지 분야에서 유용하게 사용된다. 일단 이 시리즈에서는

R^{n}

의 부분집합인 다양체만 다루기로 하자. 이 논의가 어느정도 마무리가 된 다음에는 더욱 추..

[다양체] ch1. 매개화된 다양체

이전 읽을거리) [다변수 미분] ch1. 미분의 정의 [다변수 적분] ch1. 적분의 정의 [변수변환정리] ch1. 단위분할 다음 읽을거리: ch2. 다양체의 정의 k차원 평행사변형의 k차원 부피 $k

[변수변환정리] ch5. 변수변환정리의 응용

이전 읽을거리: ch4. 변수변환정리 행렬식의 의미 행렬식의 기하적인 의미를 알아보자. Lemma 5.1.

R^{n}

의 선형부분공간은 닫혀있다. Proof. Step 1. 연속함수

f : X \to Y

와

Y

에서 닫힌집합

U

에 대해

f^{- 1} (U)

가

X

에서 닫혀있음을 보이자.

Y ∖ U

는

Y

에서 열려있으며, 연속함수의 정의에 따라

f^{- 1} (Y ∖ U)

는

X

에서 열려있다. 한편 다음이 성립한다. $$\begin{align}&\;x\in f^{-1}(Y\setminus U)\\Leftrightarrow&\;f(x)\in Y\setminus U\\Leftrightarrow&\;f(x)\in Y\land\lnot(f(x..

[변수변환정리] ch4. 변수변환정리

이전 읽을거리: ch3. 미분동형사상의 성질 다음 읽을거리: ch5. 변수변환정리의 응용 변수변환정리 본 포스팅에서 표기하는 적분은 별다른 설명이 없으면 모두 확장된 의미의 적분을 의미함에 유의하자. 변수변환정리 (change of variables theorem)

R^{n}

의 미분동형사상

g : A \to B

를 생각하자. 연속함수

f : B \to R

가

B

에서 적분가능할 필요충분조건은

(f \circ g) | det D g |

가

A

에서 적분가능한 것이며 다음이 성립한다.

\int_{B} f = \int_{A} (f \circ g) | det D g |

변수변환정리의 증명은 분량이 상당하므로, 양방향의 정리를 나누어 증명하자. Lemma 4.1. $\math..

[변수변환정리] ch3. 미분동형사상의 성질

이전 읽을거리: ch2. 미분동형사상 다음 읽을거리: ch4. 변수변환정리 미분동형사상의 성질 다음의 정리에 따르면 미분동형사상은 측도 0을 보존한다. Lemma 3.1.

C^{1}

급함수

g : A \in T_{R^{n}} \to R^{n}

과 측도가 0인

E \subset A

에 대해

g (E)

의 측도는 0이다. Proof. Step 1. 임의의

Q \in Q (R^{n})

과 임의의

δ > 0

을 생각하자. 이때

Q

는 각각의 width 가

δ

보다 작고 total volume 이

2 v (Q)

보다 작은 rectangles 의 유한모임으로 덮임을 보이자. 주어진

Q

가 다음과 같다고 하자. $$Q=[..

[변수변환정리] ch2. 미분동형사상

이전 읽을거리: ch1. 단위분할 다음 읽을거리: ch3. 미분동형사상의 성질 치환적분법 치환적분은 이번 시리즈에서 증명할 변수변환정리의 1변수 버전이다. (엄밀히 하면 변수변환정리는 열린집합에서의 적분을 다루므로 미세한 차이점이 있다) 1변수 적분에 대한 다음의 편리한 표기법을 이용하자. Definition. 적분가능함수

f : [a, b] \to R

에 대해 다음과 같이 표기하자.

\int_{a}^{b} f = \int_{[a, b]} f

특히 다음과 같이 표기하자. 이는 구간의 end points 의 순서가 주어지지 않았을 때에 유용하다.

\int_{b}^{a} f = - \int_{a}^{b} f

Lemma 2.1. 미분가능함수

g : [a, b] \to R

를 생각하자. 임의의

x \in (a, b)

에..

[변수변환정리] ch1. 단위분할

이전 읽을거리) [다변수 미분] ch1. 미분의 정의 [다변수 적분] ch1. 적분의 정의 다음 읽을거리: ch2. 미분동형사상 Convention. ▷

T_{R^{n}}

이란

R^{n}

에서 열린집합의 모임이다. ▷

N_{R^{n}} (x)

란

x \in R^{n}

의 근방의 모임, 즉

R^{n}

에서 열린

x

를 포함하는 집합의 모임이다. ▷

Q (R^{n})

이란

R^{n}

의 rectangles 의 모임이다. (비표준) 몇 가지 도움정리 이번 포스팅에서 알아볼 개념은 단위분할로, 조그만 부분을 다 더해서 전체로 확장시키는 개념을 갖는 도..

[다변수 적분] ch6. 특이적분

이전 읽을거리: ch5. 부피를 갖는 집합 특이적분의 정의 지금까지 사용해온 적분은, 이를테면

\int_{S} f

라고 할때

S

가 유계이고

f

가 유계인 경우에 대해서만 정의했었다. 이제

S

가 유계일 필요도,

f

가 유계일 필요도 없는 확장된 의미의 적분을 정의하자. 다만 소개할 적분은

S

가 열려있고

f

가 연속임을 요구한다. 다음의 보조정의부터 시작하자. 구분을 위해 기존의 적분을

{}^{ord}\int

, 이번에 정의할 적분을

{}^{ext}\int

라고 쓰자. Definition. 음의 값을 갖지않는 연속함수

f : A \in T_{R^{n}} \to R

과

A

의 부분집..

[다변수 적분] ch5. 부피를 갖는 집합

이전 읽을거리: ch4. 유계집합 위의 적분 다음 읽을거리: ch6. 특이적분 바나흐 측도 문제 잠시 편의를 위해

R^{n}

의 모든 유계집합의 모임을

B (R^{n})

이라고 하자. 폴란드 수학자 바나흐(Stefan Banach, 1892-1945)는 임의의 유계집합의 "부피" 를 정의하고자, 다음의 성질을 갖는 함수

μ : B (R^{n}) \to R

가 존재하는지 검토하였다. 1. 임의의

A \in B (R^{n})

에 대해

μ (A) \geq 0

이다. 2. 임의의

A, B \in B (R^{n})

에 대해

A \cap B = \emptyset

이..

[다변수 적분] ch4. 유계집합 위의 적분

이전 읽을거리: ch3. 푸비니 정리 다음 읽을거리: ch5. 부피를 갖는 집합 유계집합 위의 적분의 정의 종종 적분을 이용할때 rectangle 이 아닌 집합에서 적분을 해야 할 때가 있다. 이를테면 구의 질량중심을 구하는 문제를 풀기 위해 적분을 이용하는 경우가 그렇다. 이제 적분의 정의를 "약간" 확장해보자. 다음의 정의는 함수의 "자명한 확장" 에 대한 것이다. Definition. 함수

f : S \subset R^{n} \to R

에 대하여 함수

f_{S} : R^{n} \to R

을 다음과 같이 정의한다.

f_{S} (x) = {\begin{cases} f (x) & if x \in S \\ 0 & otherwise \end{cases}

이제 적분..

[다변수 적분] ch3. 푸비니 정리

이전 읽을거리: ch2. 측도 0과 적분가능성 다음 읽을거리: ch4. 유계집합 위의 적분 푸비니 정리 이번 포스팅의 목표는 다음의 수식이 성립함을 보이는 것이다.

\int_{[a, b] \times [c, d]} f (x, y) = \int_{x = a}^{x = b} \int_{y = c}^{y = d} f (x, y)

이는 적분의 계산을 고차원에서 저차원으로 끌어내려 실제로 적분값을 계산할 수 있도록 도와준다. 우리는 이미 1차원에 한하여 적분을 쉽게 계산하는 방법을 알고있으며, 이는 미적분학의 기본정리라고 불린다. 미적분학의 기본정리 (Tundamental theorem of calculus). (1) 연속함수

f : [a, b] \to R

과 다음의 함수

g : [a, b] \to R

에 대해 $Dg=f..

[행렬의 랭크] ch2. 행렬의 랭크

이전 읽을거리) [선형변환부터 동형사상까지] ch1. 선형변환 ch1. 기본행렬연산 행렬의 랭크 Definition.

A \in M_{m \times n} (F)

의 랭크(rank)란 선형변환

L_{A} : F^{n} \to F^{m}

의 랭크로 정의하고

rank (A)

라고 쓴다. 위 정리에 따르면 다음과 같다.

rank (A) = rank (L_{A}) = dim (L_{A} (F^{n}))

사실 이는 추상화된 정의이지만, 다음과 같이 중요한 정보를 빠르게 얻어낼 수 있다. Theorem 2.1.

n \times n

행렬이 가역일 필요충분조건은 행렬의 랭크가

n

인 것이다. Proof. 행렬

A \in M_{n \times n} (F)

가 가역임은 ..

[행렬의 랭크] ch1. 기본행렬연산

이전 읽을거리) [선형변환부터 동형사상까지] ch5. 행렬 연산 [선형변환부터 동형사상까지] ch7. 가역인 선형변환 다음 읽을거리: ch2. 행렬의 랭크 기본행렬연산 Definition.

m \times n

행렬

A

에 대하여 다음의 세 연산을 기본행연산(elementary row operation)이라고 한다. 1형 연산:

A

의 두 행을 교환하는 것. 2형 연산:

A

의 한 행에

0

이 아닌 스칼라를 곱하는 것. 3형 연산:

A

의 한 행에 다른 행의 스칼라배를 더하는 것. 다음의 세 연산을 기본열연산(elementary column operation)이라고 한다. 1형 연산:

A

의 두 열을 교환하는 것. 2형 연산:

A

의 한 열에

0

이 아닌 스칼라를 곱하는 것...

[다변수 적분] ch2. 측도 0과 적분가능성

이전 읽을거리) [집합의 크기] ch2. 가산집합과 비가산집합 ch1. 적분의 정의 다음 읽을거리: ch3. 푸비니 정리 측도 0 이제부터는 유난히 rectangle 을 많이 사용하게 된다. 필자의 편의상 다음의 표기법을 정의하자. Definition.

R^{n}

의 모든 rectangles 의 모임을

Q (R^{n})

이라고 하자. 다음의 정의는 기하적으로 무한히 협소한 집합, "부피" 가 0인 집합을 가리킨다. Definition. 임의의

ϵ > 0

에 대해 어떤 가산모임

{Q_{1}, Q_{2}, \dots} \subset Q (R^{n})

이 존재하여

A \subset R^{n}

을 덮으며 다음이 성립..

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