'수학' 카테고리의 글 목록 (2 Page) - Aerospace Kim

[다변수 적분] ch1. 적분의 정의

이전 읽을거리) [FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리 [FTC의 엄밀한 증명] ch23. 리만 적분 [실수공간의 위상] ch6. Interior, Exterior, Boundary 다음 읽을거리: ch2. 측도 0과 적분가능성 Partition 적분을 정의하기 위해선 먼저 rectangle 의 volume 을 정의하여야 한다. Definition. Rectangle $Q=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]$ 에 대해 각 $[a_j,b_j]$ 를 $Q$ 의 component interval 이라고 한다. (1) $Q$ 의 width 를 다음과 같이 정의하자.$$\text{width }Q=\text{max}\{b_1-a_1,\ldots,b_n-a_n\}$$ (2) $Q..

[다변수 미분] ch5. 역함수 정리

이전 읽을거리: ch4. 연쇄법칙 역함수 정리 역함수 정리란 대략 "꼬여있지 않은 공간에는 국소적으로 역함수가 존재한다" 를 의미한다. (정확한 설명이 아님에 주의) 차근차근 증명해보자. 페르마의 임계점 정리 (interior extremum theorem) 미분가능함수 $\phi:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^m}\to\mathbb{R}$ 가 $a\in A$ 에서 local minimum 을 가지면 $D\phi(a)=0$ 이다. ※ Local minimum 이란 어떤 근방 속에서 최소값을 갖는 점을 의미한다. Proof. 각 $j\in\{1,\ldots,m\}$ 에 대해 정의에 따라 다음과 같다. $$\lim_{t\to 0}\frac{\phi(a+te_j)-\phi(a)}{t}=D_..

[다변수 미분] ch4. 연쇄법칙

이전 읽을거리: ch3. 연속미분가능 다음 읽을거리: ch5. 역함수 정리 연쇄법칙 연쇄법칙 (chain rule) $f:A\subset\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ , $g:B\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^p$ 에 대해 $f(A)\subset B$ 가 성립한다고 가정하자. $f(a)=b$ 라고 할때 $f$ 가 $a$ 에서 미분가능하고 $g$ 가 $b$ 에서 미분가능하면 $g\circ f$ 는 $a$ 에서 미분가능하며 다음이 성립한다.$$D(g\circ f)(a)=Dg(b)Df(a)$$ 우리는 아직 미분가능성이 정의되는 점을 정의역의 interior 로 제한하고 있음을 기억하자. 따라서 위 정의의 증명은 $a$ 가 $g\circ f$ 의 정의역의 inte..

[다변수 미분] ch3. 연속미분가능

이전 읽을거리: ch2. 편미분 다음 읽을거리: ch4. 연쇄법칙 연속미분가능 이번 포스팅에는 다음의 정리가 필요하다. 평균값 정리 (mean-value theorem) 연속함수 $\phi:[a,b]\to\mathbb{R}$ 가 $(a,b)$ 의 각 점에서 미분가능하면 어떤 $c\in(a,b)$ 에 대해 다음이 성립한다.$$\phi(b)-\phi(a)=D\phi(c)(b-a)$$ 증명은 생략한다. (자세한 정보는 [FTC의 엄밀한 증명] ch22. 평균값 정리 참고) Definition. $f:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^m}\to\mathbb{R}^n$ 가 각 $a\in A$ 에서 미분가능하면 $f$ 가 미분가능하다고 한다. ※ $\mathcal{T}_{\mathbb{R}^m}$ ..

[다변수 미분] ch2. 편미분

이전 읽을거리: ch1. 미분의 정의 다음 읽을거리: ch3. 연속미분가능 편미분 Definition. $f:A\subset\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ 에 대해 $D_{e_j}f(a)$ 가 존재하면 이를 $a$ 에서 $f$ 의 j번째 편미분(j-th partial derivative)이라고 하고 $D_jf(a)$ 라고 쓴다. 다시말해 $f$ 의 j번째 편미분은 아래의 극한이 존재할 때 그 극한값을 말한다. $$\lim_{t\to 0}\frac{f(a+te_j)-f(a)}{t}$$ 편미분은 사실 계산하기에 상당히 편리하다. $a=(a_1,\ldots,a_m)$ 이라고 할때 다음의 함수를 생각하자. $$\phi(t)=f(a_1,\ldots,a_{j-1},t,a_{j+1},\ldots,a_..

[다변수 미분] ch1. 미분의 정의

이전 읽을거리: [실수공간의 위상] ch1. 거리공간 다음 읽을거리: ch2. 편미분 1공간에서 1공간으로의 미분 미분을 정의하기 이전에, 일단 지금은 미분은 항상 정의역의 interior 에서만 정의하자고 약속하자. Interior 가 아닌 점에서도 그 점이 극한점이라면 굳이 미분을 정의할 수는 있지만, 소탐대실이다. 나중에 다양체를 공부하며 interior 가 아닌 점에서의 미분을 다룰 계기가 다시 찾아올 것이다. Definition. $\phi:A\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $a\in\text{Int }A$ 에 대해 다음의 극한이 존재하면 $\phi$ 가 $a$ 에서 미분가능하다(differentiable)고 하며 이 극한값을 $a$ 에서 $\phi$ 의 미분(der..

[실수공간의 위상] ch7. 콤팩트 집합

이전 읽을거리: ch6. Interior, Exterior, Boundary 콤팩트 집합 Definition. $X\subset\mathbb{R}^n$ 에 대해 $\mathbb{R}^n$ 에서 열려있는 집합의 모임의 합집합이 $X$ 를 포함하면 이 모임을 $X$ 의 열린덮개(open cover)라고 하며 이 열린덮개가 $X$ 를 덮는다고 한다. Definition. $X\subset\mathbb{R}^n$ 의 임의의 열린덮개가 $X$ 를 덮는 어떤 유한부분모임을 가지면 $X$ 가 콤팩트하다(compact)고 한다. 다시말해 콤팩트집합이란 그 어떤 열린덮개를 가져와도 그 중 유한개만 택하여 다시 덮을 수 있음이 보장되는 집합이다. 다음의 정리에 따르면 콤팩트성은 그 집합이 어떤 전체집합에 포함되어있는지에 ..

[실수공간의 위상] ch6. Interior, Exterior, Boundary

이전 읽을거리: ch5. 함수의 극한 다음 읽을거리: ch7. 콤팩트 집합 Interior, Exterior, Boundary 일반적으로 interior 는 내부, exterior 는 외부, boundary 는 경계로 번역된다. 그러나 내부와 외부는 그저 집합과 여집합으로 오해되기 쉬우므로 본 블로그에서는 번역하지 않는다. Definition. 집합 $A\subset\mathbb{R}^n$ 을 생각하자. (1) $A$ 에 포함되는, $\mathbb{R}^n$ 에서 열려있는 모든 집합의 합집합을 $A$ 의 interior 라고 하고 $\text{Int }A$ 라고 쓴다. (2) $\mathbb{R}^n\setminus A$ 에 포함되는, $\mathbb{R}^n$ 에서 열려있는 모든 집합의 합집합을 $A$..

[실수공간의 위상] ch5. 함수의 극한

이전 읽을거리: ch4. 연속함수 다음 읽을거리: ch6. Interior, Exterior, Boundary 함수의 극한 함수에 대한 집합의 상을 표현할 때 함수의 정의역에 포함되지 않는 원소는 무시하도록 하자. Definition. 함수 $f:A\to Y$ 에 대해 $B$ 가 $A$ 의 부분집합이 아닌 경우 $f(B)=f(B\cap A)$ 라고 정의한다. 이러한 약속 하에 함수의 극한을 간결하게 정의할 수 있다. Definition. 거리공간 $X$ 와 $A\subset X$ , 함수 $f:A\to Y$ , $X$ 에서 $A$ 의 극한점 $x_0\in X$ 를 생각하자. 다음이 성립하면 $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=y_0$ 라고 한다.$$\forall V\in\math..

[실수공간의 위상] ch4. 연속함수

이전 읽을거리: ch3. 위상적 성질 다음 읽을거리: ch5. 함수의 극한 연속의 정의 먼저 함수의 연속성은 "어떤 점에서 연속" 으로 정의될 수 있다. Definition. 거리공간 $(X,d_X)$ , $(Y,d_Y)$ 와 함수 $f:X\to Y$ 에 대해 다음이 성립하면 $f$ 가 $x_0\in X$ 에서 연속(continuous)이라고 한다.$$\forall V\in\mathcal{N}_Y(f(x_0)),\;\;\exists U\in\mathcal{N}_X(x_0),\;\;f(U)\subset V$$ 이는 다시말해 $f(x_0)\in Y$ 의 아무런 근방을 가져와도 $x_0\in X$ 의 어떤 근방을 가져와 그 상을 $f(x_0)\in Y$ 의 근방 안에 집어넣을 수 있다는 것이다. 이는 거꾸로 ..

[실수공간의 위상] ch3. 위상적 성질

이전 읽을거리: ch2. 열린집합, 닫힌집합 다음 읽을거리: ch4. 연속함수 열린집합과 닫힌집합의 성질 다음의 정리에 따르면 열린집합은 아무리 합쳐도 열린집합이고, 닫힌집합은 아무리 겹쳐도 닫힌집합이다. 다시말해 열린집합은 쉽게 키울 수 있고, 닫힌집합은 쉽게 좁힐 수 있다. 다만 유한번의 합침 또는 겹침에 대해서는 열림성과 닫힘성이 보존된다. Theorem 3.1. 거리공간 $X$ 에 대해 다음이 성립한다. (1) $X$ 에서 열린집합의 임의의 합집합과 유한교집합은 $X$ 에서 열려있다. (2) $X$ 에서 닫힌집합의 임의의 교집합과 유한합집합은 $X$ 에서 닫혀있다. ※ 임의의 합집합/교집합은 합집합/교집합 연산을 임의의 횟수만큼 시행한 집합을 의미한다. 특히 그 횟수가 유한하지 않거나, 심지어 비..

[실수공간의 위상] ch2. 열린집합, 닫힌집합

이전 읽을거리: ch1. 거리공간 다음 읽을거리: ch3. 위상적 성질 열린집합 다음의 집합은 지난 포스팅의 마지막에서 말한 "경계가 없는" 원 또는 정사각형과 비슷한 집합이다. Definition. 거리공간 $(X,d)$ 에 대해 다음의 집합을 $X$ 에서 $x_0\in X$ 의 $\epsilon$-근방($\epsilon$-neighborhood of $x_0$ in $X$)이라고 한다.$$U_\epsilon^X(x_0)=\{x\in X:d(x,x_0)0,\;\;U_\epsilon^X(x_0)\subset U$$ 다시말해 $U$ 가 $X$ 에서 열려있으면 $U$ 의 어떤 점을 선택해도 그 점의 $U$ 에 포함되는 어떤 $\epsilon$-근방이 존재한다. 어떤 점의 $\epsilon$-근방이란 직관적으..

[실수공간의 위상] ch1. 거리공간

다음 읽을거리: ch2. 열린집합, 닫힌집합 Inner Product 두 집합 $A,B$ 에 대해, $A\times B$ 란 $a\in A$ 및 $b\in B$ 에 대하여 $(a,b)$ 꼴의 모든 순서쌍의 집합임을 상기하자. Definition. $\mathbb{R}$-벡터공간 $V$ 의 inner product 란 다음의 성질을 만족하는 함수 $\left:V\times V\to\mathbb{R}$ 을 의미한다. (1) $\left=\left$ (2) $\forall c\in\mathbb{R},\;\left=c\left=\left$ (3) $v\neq 0\Rightarrow \left>0$ (4) $\left=\left+\left$ 위에서 두 번째 조건에 따라 $V$ 의 영벡터 $0_V$ 와 $\math..

[집합의 크기] ch3. 유리수 집합과 실수 집합의 크기

이전 읽을거리) [집합론 기초] ch4. 논리 기호 [FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리 [FTC의 엄밀한 증명] ch4. 극한의 성질 1 ch2. 가산집합과 비가산집합 유리수 집합의 크기 ※ 앞서 증명한 많은 정리를 활용하므로 이전 포스팅을 보고 오길 추천한다. 정리 2.6.으로부터 모든 유리수의 집합 $\mathbb{Q}$ 가 셀 수 있음을 어렵지 않게 알 수 있다. 지난 포스팅의 초반에 언급하였듯이 모든 정수의 집합 $\mathbb{Z}$ 는 셀 수 있다. 여기서부터 시작하자. Theorem 3.1. $\mathbb{Q}$ 는 셀 수 있다. Proof. 가산집합인 $\mathbb{Z}$ 에 대해 따름정리 2.3.에 따르면 $\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ 도 셀 수 있으므로 ..

[집합의 크기] ch2. 가산집합과 비가산집합

이전 읽을거리) [집합론 기초] ch5. 집합의 모임 데카르트 곱의 일반화된 정의 ch1. 유한집합 다음 읽을거리: ch3. 유리수 집합과 실수 집합의 크기 무한의 정의 마치 자연수의 절편이 유한집합의 원형이듯이, 모든 자연수의 집합은 가산무한집합이라고 불리는 것들의 원형이다. 앞으로 유한하지도, 가산무한하지도 않은 집합을 구성하는 것에 대해 살펴볼 것이다. Definition. 집합 $A$ 가 유한하지 않으면 무한하다(infinite)고 한다. 일대일대응 $A\to\mathbb{N}$ 이 존재하면 $A$ 가 셀 수 있게 무한하다(countably infinite)고 하거나 가산무한이라고 한다. 예를들면, 모든 정수의 집합 $\mathbb{Z}$ 는 셀 수 있게 무한하다. 다음의 함수 $f:\mathbb..

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