'수학/해석학' 카테고리의 글 목록 (2 Page) - Aerospace Kim

[FTC의 엄밀한 증명] ch12. 극한의 성질 2

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch11. 함수의 극한 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch13. 연속성 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 13. 극한의 성질 2 수렴하는 수열의 극한값은 유일하다. 다음의 정리에 따르면 함수의 극한에서도 유사한 성질이 성립한다. 정리 13-1) 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 과 $A$ 의 극한점 $c$ 에 대해 다음이 성립하면 $L=M$ 이다.$$\lim_{x\to c}f(x)=L\qquad\lim_{x\to c}f(x)=M$$ proof) 임의의 $\epsilon>0$ 을 생각하자. 정의에 따라 어떤 $\delta_1>0$ 이 존재하여 다음이 성립한다. $$(\forall x\in..

[FTC의 엄밀한 증명] ch11. 함수의 극한

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch10. 콤팩트 집합 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch12. 극한의 성질 2 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 12. 함수의 극한 수열의 극한에 이어 함수의 극한을 정의할 때가 왔다. 두 극한의 정의는 비슷하지만, 함수의 극한은 조금 더 어렵다. 수열의 극한을 다시 보며 극한의 구조를 되새겨보자. 필자가 아는 한 최대한 다양하게 표현해보겠다. $(a_n)\to a$ 라는 것은 다음을 의미한다. 1. 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 $n\ge N$ 이면 $|a_n-a|0$ 에 대해 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 다음 명제가 참이다 : $n\ge N$ 이면 $|a_n..

[FTC의 엄밀한 증명] ch10. 콤팩트 집합

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch9. 연결집합 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch11. 함수의 극한 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 11. 콤팩트 집합 아직 연속함수를 정의하지 않았지만, 일단 대략 끊어지지 않고 이어져있는 함수라고 하자. 다음은 분명히 참이다. 닫힌 구간 $[a,b]$ 에서 정의된 연속함수 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 은 최댓값과 최솟값을 가진다. 이 성질은 최대-최소 정리라고 불리는데, 이는 너무나 당연해서 증명할 필요도 없어보인다. 한번 의심을 해보자. 꼭 닫힌 구간에서만 최대-최소 정리가 성립하는건가? 어쩌면 닫힌 구간이라는 조건은 너무 강한 조건이 아닐까? 만약 어떠한 분류의 집합..

[FTC의 엄밀한 증명] ch9. 연결집합

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch8. 열린 집합과 닫힌 집합 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch10. 콤팩트 집합 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 10. 연결집합 지난 포스팅에서 열린 집합과 닫힌 집합에 대해 알아보았다. 이 두 집합으로도 할 수 있는 작업이 충분히 많지만, 아직 우리에게 필요한 집합이 더 남아있다. 함수를 공부하기에 앞서, 임의의 두 점 사이가 끊기지 않고 쭉 연결되어있는 성질을 가진 집합이 필요하다. 이는 열린 집합이나 닫힌 집합으로는 불충분하다. 지난 포스팅에서 언급한 다음의 집합을 보자.$$\{0\}\cup\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\right\}$$..

[FTC의 엄밀한 증명] ch8. 열린 집합과 닫힌 집합

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch7. 무한급수 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch9. 연결집합 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 9. 열린 집합과 닫힌 집합 열린 집합과 닫힌 집합의 개념은 함수에 대한 성질을 탐구할 때 매우 중요한 성질이다. 미리 밝히자면, 열린 구간은 열린 집합의 한 종류이며 닫힌 구간은 닫힌 집합의 한 종류이다. 이러한 사실을 기준으로 열린 집합과 닫힌 집합의 정의를 잘 이해해보자. 9.1. 열린 집합 근방의 정의를 다시 확인하자. 정의) $a\in\mathbb{R}$ 와 $\epsilon>0$ 에 대해, 다음과 같이 정의된 집합 $B_\epsilon(a)$ 를 $a$ 의 $\epsilon$-근방(..

[FTC의 엄밀한 증명] ch7. 무한급수

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch6. 코시 수열 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch8. 열린 집합과 닫힌 집합 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 8. 무한급수 지난 포스팅에서 조화급수로서 살짝 맛 보았던 개념을 본격적으로 소개한다. 정의) 다음의 수열을 수열 $(b_n)$ 의 무한급수(infinite series)라고 하며, 간단히 $(\sum b_n)$ 이라고 쓴다. $$\left(\sum_{k=1}^nb_k\right)=\left(b_1\,,\,b_1\!+\!b_2\,,\,b_1\!+\!b_2\!+\!b_3\,,\,\ldots\right)$$ 무한급수의 각 항은 특별히 부분합(partial sum)이라고 부른다. 무..

[FTC의 엄밀한 증명] ch6. 코시 수열

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch5. 부분수열 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch7. 무한급수 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 7. 코시 수열 수열 $(a_n)$ 이 수렴한다는 것은 정의에 따르면 다음과 같다. 주어진 $a\in\mathbb{R}$ 에 대해, 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n\ge N$ 이면 $|a_n-a|M$$ 따라서 조화급수는 유계가 아니다. 수렴하는 수열은 유계이므로, 유계가 아닌 수열은 수렴하지 않는다. 따라서 조화급수는 수렴하지 않는다. $\square$ 조화급수의 예시에서, 수열의 변화가..

[FTC의 엄밀한 증명] ch5. 부분수열

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch4. 극한의 성질 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch6. 코시 수열 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 6. 부분수열 어떤 수열 위를 껑충껑충 건너뛰어다니는 수열을 정의해두면 재밌는 작업을 할 수 있다. 정의) 수열 $(a_n)$ 과 다음의 증가하는 자연수 수열을 생각하자. $$k_1

[FTC의 엄밀한 증명] 부록

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch3. 수열의 극한 [FTC의 엄밀한 증명] ch6. 코시 수열 1. 명제논리 1.1. 동치와 부정 정의) 두 명제 $P$ , $Q$ 를 생각하자. 다음의 두 성질이 모두 성립하면 $Q$ 는 $P$ 의 동치(logical equivalence) 라고 하며 $P\equiv Q$ 라고 쓴다. (ⅰ) $P$ 가 참이면 $Q$ 도 참이다. (ⅱ) $P$ 가 거짓이면 $Q$ 도 거짓이다. 예시로, $x-2=0$ 은 $x=2$ 의 동치이다. 다음의 성질에 따르면 $Q$ 가 $P$ 의 논리적 동치라고 하든, $P$ 가 $Q$ 의 논리적 동치라고 하든 상관없다. 그저 $P$ 와 $Q$ 는 논리적 동치인 것이다. 정리 1.1-1) 임의의 세 명제 $P$ , $Q$ , $R$ ..

[FTC의 엄밀한 증명] ch4. 극한의 성질 1

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch3. 수열의 극한 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch5. 부분수열 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 5. 극한의 성질 1 다음의 정리에 따르면 (다행히도) 당연히 성립해야 할 성질이 성립한다. 정리 5-1) 수렴하는 수열의 극한값은 유일하다. proof) $(a_n)\to a$ , $(a_n)\to b$ 라고 가정하자. 임의의 $\epsilon>0$ 을 생각하자. 정의에 따라 어떤 $N_1\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 모든 자연수 $n\ge N_1$ 에서 다음이 성립한다. $$|a_n-a|

[FTC의 엄밀한 증명] ch3. 수열의 극한

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch4. 극한의 성질 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 3. 해석학의 논리 3.1. 무한과 자연수 해석학은 무한의 개념을 명료하고 간결하게 이용한다. 해석학이 무한을 다루는 비법은 자연수에 숨어있다. 어떤 원소 $x$ 와 집합 $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ , ... 에 대하여 다음이 의미하는 바를 상기해보자. $$x\in\bigcap_{n=1}^\infty A_n$$ 위의 수식에는 무한을 나타내는 기호 $\infty$ 가 사용되었다. 그러나 그 의미를 해석할때는 '무한'이라는 말이 사용되지 않는다. 위 수식의 의미는 다음과 같다...

[직선과 실수] ch5. 직선과 실수는 같다

이전 읽을거리 : [직선과 실수] ch4. 직선에 새겨진 유리수 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)', '계승혁 교수님, 2002년 1학기 - 집합과 수리논리 강의록 제2장'을 참고하여 작성하였습니다. 6. 몇가지 도움정리 이전의 논의에서 우리는 직선 위에 유리수의 구조를 '그대로' 재현할 수 있음을 확인하였다. (심지어 유일한 방법으로!) 이를 이용하면 직선에 실수의 구조가 '그대로' 담겨있고, 실수에도 직선의 구조가 '그대로' 담겨있다는 사실을 보일 수 있다. 먼저 다음의 정리들을 해결해놓으면 도움이 된다. 정리 6-1) 완비순서체 $F$ 와 공집합이 아니고 위로 유계인 집합 $S\subset F$ 에 대해 $\alpha$ 가 $S$ 의 상한이기 위한 필요충분조건은 다음의..

[직선과 실수] ch4. 직선에 새겨진 유리수

이전 읽을거리 : [직선과 실수] ch3. 전통적 직선 다음 읽을거리 : [직선과 실수] ch5. 직선과 실수는 같다 본 포스팅은 '계승혁 교수님, 2002년 1학기 - 집합과 수리논리 강의록 제2장'을 참고하여 작성하였습니다. 5. 유리수를 품은 직선 다음의 정리에 따르면 직선은 '순서체인 유리수'의 구조를 포함한다. 다시말해 임의의 유리수에 대응하는 점이 존재하며, 그 대응은 유리수의 덧셈과 곱셈을 그대로 따라한다. 게다가 더 큰 유리수에는 더 큰 점이 대응한다. 정리 5-1) 다음의 성질을 만족하는 함수 $\gamma:\mathbb{Q\to E}$ 는 단사함수이며 유일하게 존재한다. (ⅰ) 임의의 $p,q\in\mathbb{Q}$ 에 대하여 $\gamma(p+q)=\gamma(p)+\gamma(q)..

[직선과 실수] ch3. 전통적 직선

이전 읽을거리 : [직선과 실수] ch2. 연속성의 본질, 절단성 다음 읽을거리 : [직선과 실수] ch4. 직선에 새겨진 유리수 본 포스팅은 '김홍종, 미적분학 1+', '박예은, 역사발생적 원리에 따른 수직선 의미와 지도방안 고찰(석사학위논문)'을 참고하여 작성하였습니다. 3. 유클리드 직선 우리에게 '수직선'라는 개념은 상당히 익숙하다. 수직선이란 직선에 실수를 대응시켜놓은 것으로, 이것은 우리의 학창시절 교육과정에 자연스럽게 녹아들어있어 수직선을 모르는 사람은 거의 없을 것이다. 그러나 의외로 직선에 실수를 대응시킨다는 개념은 그렇게 오래되지 않았다. 직선을 말하기 이전에 평면에 대한 이야기를 조금 해야한다. 어렸을 때부터 몸이 약한 데카르트(Descartes, 1596-1650)는 침대에 누워 ..

[직선과 실수] ch2. 연속성의 본질, 절단성

이전 읽을거리 : [직선과 실수] ch1. 순서체의 엄밀한 정의 다음 읽을거리 : [직선과 실수] ch3. 전통적 직선 본 포스팅은 '박예은, 역사발생적 원리에 따른 수직선 의미와 지도방안 고찰(석사학위논문)'을 참고하여 작성하였습니다. 2. 실수의 절단성 실수가 엄밀하게 구성되기 이전에는, 유리수체가 길이를 표현하는 최선의 수 집합이었다. 그러나 유리수체와 직선을 비교하면 유리수체에 틈이 존재한다는 사실을 알게 된다. 반면에 직선은 아무런 틈이 없이 매끈하게 연결되어 있다. 직선과 수 집합의 일대일대응이 이루어지기 위해서는 수 또한 연속적인 성질을 가져야 한다. 그리하면 가장 중요한 질문에 도달하게 된다. 과연 연속성의 본질이란 무엇인가? 극미한 부분에서도 연결이 끊어지지 않고 이어져 있다.. 따위의 ..

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