'수학/해석학' 카테고리의 글 목록 (3 Page) - Aerospace Kim

[직선과 실수] ch1. 순서체의 엄밀한 정의

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch1. 실수의 정의 [FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리 다음 읽을거리 : [직선과 실수] ch2. 연속성의 본질, 절단성 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)' 및 '박예은, 역사발생적 원리에 따른 수직선 의미와 지도방안 고찰(석사학위논문)'을 참고하여 작성하였습니다. 본 시리즈에서는 실수와 직선이 모습만 다르고 서로 동일한 대상임을 보인다. 즉, 실수계에서 하는 모든 수학적 행위는 직선 위에서 동일하게 재현할 수 있다는 확실한 증거를 보일 것이다. 1. 순서체의 엄밀한 정의 실수란 완비성 공리를 만족하는 순서체이다. 일반적으로 완비성 공리에 대한 설명은 차고 넘치지만, 순서체에 대한 설명은 은근슬쩍 넘어가기 일쑤이다. 사..

[FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch1. 실수의 정의 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch3. 수열의 극한 [직선과 실수] ch1. 순서체의 엄밀한 정의 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. ※ 본 포스팅은 PC 환경에서 보기를 권장합니다. 2. 완비성 공리 완비성 공리를 대뜸 공개하자면 다음과 같다. 완비성 공리 (Axiom of Completeness) 공집합이 아니고 위로 유계인 (실수 집합의) 부분집합은 항상 상한을 갖는다. 이를 처음 본다면 '위로 유계', '상한'과 같이 낯선 단어때문에 알아볼 수가 없을 것이다. 차근차근 그 정의를 확인하자. 정의) 어떤 $b\in\mathbb{R}$ 이 존재하여 모든 $a\in A$..

[FTC의 엄밀한 증명] ch1. 실수의 정의

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch0. 수학 기초 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 1. 실수의 정의 인간은 본능적으로 기하학적 대상인 '길이'와 산술적 대상인 '수'를 연관짓기 시작했다. 이러한 행위는 고대 그리스의 피타고라스학파에서도 활발하게 이루어지고 있었다. 그리스인들은 길이와 수의 성질로 통약성을 굳게 믿고 있었다. 통약성(Commensurability)이란, 간단히 말해 두 길이의 비는 항상 두 정수의 비로 나타낼 수 있을 것이라는 성질을 말한다. 아무리 미묘한 두 길이를 가져와도, 한 길이의 유리수배가 다른 길이가 되도록 하는 유리수가 항상 존재한다는 것이다..

[FTC의 엄밀한 증명] ch0. 수학 기초

다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch1. 실수의 정의 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 0. 수학 기초 아름다운 해석학의 세계로 들어가기에 앞서 몇 가지 준비운동이 필요하다. 전혀 어려운 내용이 아니지만, 이들 없이는 한 발자국도 나아갈 수 없다. 익숙하지 않은 내용이 있다면 반드시 숙지하자. 0.1. 집합 정의) 집합(set)이란 원소(element)라고 불리는 대상의 모임이다. 위는 집합을 정의하는 가장 명료한 방법이다. "어떤 $x$ 가 집합 $A$ 에 속한다." 또는 "집합 $A$ 의 원소 $x$ "라고 말하고 싶을때는 다음과 같이 쓴다. $$x\in A$$ 정의) 두 집합 $A,\;B$ 에 대하여 다음과 같이 정의한다. ▶ 합..

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