[미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.4 곡선

이전 읽을거리:

[미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.0 미분이란?

[미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.1 일변수 미분

[미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.2 다변수 미분

[미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.3 벡터장

 

---

  본 포스팅은 PC chrome 환경에 최적화되어있습니다.

 

  본 포스팅에서는 미분의 의미부터 연쇄법칙의 유도까지 아주 상세하게 설명한다. 연쇄법칙의 원리를 아는 것의 가치는 태평양을 표류할 때의 나침반의 가치와 같다. 천천히, 꼼꼼하게 내용을 공부한다면, 연쇄법칙의 겉모양만 보고 기계적으로 연산하는 당신에게 커다란 통찰을 안겨줄 것이다. 이해가 안되거나 설명이 잘못되었다고 생각이 드는 부분이 있다면 얼마든지 댓글로 질문을 남겨주시기를 부탁드린다.

 

 

4. 곡선

 

  주의: 3장에서 말하는 '일변수함수'란 정의역이 1차원이고 공역도 1차원인 함수만을 지칭한다. 곡선도 정의역이 1차원이므로, 사실은 곡선도 일변수함수이다. 하지만 서로 구분하기 위해 공역이 1차원인 함수를 일변수함수라고 하고, 공역이 다차원인 함수를 곡선이라고 할 것이다.

 

  곡선은 일변수를 받아서 다변수를 뱉는 함수를 의미한다. 곡선의 미분에 대한 이론은 일변수함수의 미분을 각 성분함수에 적용한 것에 불과하므로, 길게 설명하지 않는다. 관용적으로 곡선함수는 $F$보다는 $X$로 많이 쓴다. 곡선은 공역이 벡터인 함수이긴 하지만, 공간상의 점의 집합의 매개에 불과하다고 보는 것이 옳기 때문이다. 예를들어 단위원은 다음과 같이 매개화된다.

$$X(t)=(\cos t,\sin t)$$

 

  곡선의 미분은 다음과 같다.

 

정의)  열린 집합 $U\subset \mathbb{R}$에서 정의된 곡선 $X:U\to {\mathbb{R}}^{\mathbb{n}}$의 점 $p$에서의 미분계수는 다음과 같이 정의된다.$$X^{\prime }(p):=\underset{t\to p}{lim}\frac{X(t)-f(p)}{t-p}⟺\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{X(p+\mathrm{\Delta }t)-X(p)}{\mathrm{\Delta }t}$$

 

  $X(t)=(x_1(t),\dots ,x_n(t))$ 일 때, 점 $p$에서 $X$의 미분계수를 성분으로 쓰면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}{X}^{\prime }(p)& =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{X(p+\mathrm{\Delta }t)-X(p)}{\mathrm{\Delta }t}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{(x_1(p+\mathrm{\Delta }t),\dots ,x_n(p+\mathrm{\Delta }t))-(x_1(p),\dots ,x_n(p))}{\mathrm{\Delta }t}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{(x_1(p+\mathrm{\Delta }t)-x_1(p),\dots ,x_n(p+\mathrm{\Delta }t)-x_n(p))}{\mathrm{\Delta }t}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}(\frac{x_1(p+\mathrm{\Delta }t)-x_1(p)}{\mathrm{\Delta }t},\dots ,\frac{x_n(p+\mathrm{\Delta }t)-x_n(p)}{\mathrm{\Delta }t})\\ & =(x_1^{\prime }(p),\dots ,x_n^{\prime }(p))\end{array}$$

 

  일변수함수와 마찬가지로, 다음의 표기법은 다 같은 것을 의미한다.

$$X^{\prime }(p)DX(p)\frac{dX}{dt}(p)$$

 

정의)  곡선 $X$가 정의역 $U$의 모든 점에서 미분계수를 가지면 곡선$$X^{\prime }:U\to {\mathbb{R}}^{\mathbb{n}},p\mapsto DX(p)$$  를 $X$의 속도곡선이라고 한다.

---

다음 읽을거리: [미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.5 미분 연산자의 성질