[미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.5 미분 연산자의 성질

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[미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.0 미분이란?

[미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.1 일변수 미분

[미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.2 다변수 미분

[미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.3 벡터장

[미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.4 곡선

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  본 포스팅에서는 미분의 의미부터 연쇄법칙의 유도까지 아주 상세하게 설명한다. 연쇄법칙의 원리를 아는 것의 가치는 태평양을 표류할 때의 나침반의 가치와 같다. 천천히, 꼼꼼하게 내용을 공부한다면, 연쇄법칙의 겉모양만 보고 기계적으로 연산하는 당신에게 커다란 통찰을 안겨줄 것이다. 이해가 안되거나 설명이 잘못되었다고 생각이 드는 부분이 있다면 얼마든지 댓글로 질문을 남겨주시기를 부탁드린다.

 

 

5. 미분 연산자의 성질

 

 

5.1. 일변수함수의 미분연산자

 

  일변수함수의 미분 연산자 $D$(미분계수)의 연산 특성은 다음과 같다.

 

정리 5.1-1)  정의역의 점 $p$에서 미분 가능한 함수 $f,g:\mathbb{R}⇢\mathbb{R}$에 대하여 다음이 성립한다.
(ⅰ) $\mathrm{\forall }c\in \mathbb{R},D(cf)(p)=cDf(p)$
(ⅱ) $D(f+g)(p)=Df(p)+Dg(p)$
(ⅲ) $D(fg)(p)=f(p)Dg(p)+Df(p)g(p)$

 

proof ⅰ)

$$\begin{array}{rl}D(cf)(p)& =\underset{t\to 0}{lim}\frac{cf(p+t)-cf(p)}{t}\\ & =c\left(\underset{t\to 0}{lim}\frac{f(p+t)-f(p)}{t}\right)\\ ◻& & =cDf(p)\end{array}$$

 

proof ⅱ)

$$\begin{array}{rl}D(f+g)(p)& =\underset{t\to 0}{lim}\frac{\{f(p+t)+g(p+t)\}-\{f(p)+g(p)\}}{t}\\ & =\underset{t\to 0}{lim}(\frac{f(p+t)-f(p)}{t}+\frac{g(p+t)-g(p)}{t})\\ ◻& & =Df(p)+Dg(p)\end{array}$$

 

proof ⅲ)

$$\begin{array}{rl}D(fg)(p)& =\underset{t\to 0}{lim}\frac{f(p+t)g(p+t)-f(p)g(p)}{t}\\ & =\underset{t\to 0}{lim}\frac{f(p+t)g(p+t)-f(p)g(p+t)+f(p)g(p+t)-f(p)g(p)}{t}\\ & =\underset{t\to 0}{lim}(\frac{f(p+t)-f(p)}{t}g(p+t)+f(p)\frac{g(p+t)-g(p)}{t})\\ ◻& & =Df(p)g(p)+f(p)Dg(p)\end{array}$$

 

 

5.2. 다변수함수의 미분연산자

 

  다변수함수의 미분 연산자 $D_{\overrightarrow{v}}$(방향 미분계수)의 연산 특성은 다음과 같다.

 

정리 5.2-1)  정의역의 점 $P$에서 미분 가능한 함수 $f,g:{\mathbb{R}}^{\mathbb{n}}⇢\mathbb{R}$에 대하여 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $\mathrm{\forall }c\in \mathbb{R},D_{c\overrightarrow{v}}f(P)=c{D}_{\overrightarrow{v}}f(P)=D_{\overrightarrow{v}}(cf)(P)$
  (ⅱ) $D_{\overrightarrow{v}}(f+g)(P)=D_{\overrightarrow{v}}f(P)+D_{\overrightarrow{v}}g(P)$
  (ⅲ) $D_{\overrightarrow{v}}(fg)(P)=D_{\overrightarrow{v}}f(P)g(P)+f(P)D_{\overrightarrow{v}}g(P)$

 

proof ⅰ)

$$\begin{array}{rl}{D}_{c\overrightarrow{v}}f(P)& =\underset{t\to 0}{lim}\frac{f(P+tc\overrightarrow{v})-f(P)}{t}=c\left(\underset{t\to 0}{lim}\frac{f(P+tc\overrightarrow{v})-f(P)}{ct}\right)\\ & =c\left(\underset{\tau \to 0}{lim}\frac{f(P+\tau \overrightarrow{v})-f(P)}{\tau }\right)\\ & =c{D}_{\overrightarrow{v}}f(P)\\ & =\underset{t\to 0}{lim}\frac{cf(P+t\overrightarrow{v})-cf(P)}{t}\\ ◻& & =D_{\overrightarrow{v}}(cf)(P)\end{array}$$

 

proof ⅱ)

$$\begin{array}{rl}{D}_{\overrightarrow{v}}(f+g)(P)& =\underset{t\to 0}{lim}\frac{\{f(P+t\overrightarrow{v})+g(P+t\overrightarrow{v})\}-\{f(P)+g(P)\}}{t}\\ & =\underset{t\to 0}{lim}(\frac{f(P+t\overrightarrow{v})-f(P)}{t}+\frac{g(P+t\overrightarrow{v})-g(P)}{t})\\ ◻& & =D_{\overrightarrow{v}}f(P)+D_{\overrightarrow{v}}g(p)\end{array}$$

 

proof ⅲ)
$$\begin{array}{rl}{D}_{\overrightarrow{v}}(fg)(P)& =\underset{t\to 0}{lim}\frac{f(P+t\overrightarrow{v})g(P+t\overrightarrow{v})-f(P)g(P)}{t}\\ & =\underset{t\to 0}{lim}\frac{f(P+t\overrightarrow{v})g(P+t\overrightarrow{v})-f(P)g(P+t\overrightarrow{v})+f(P)g(P+t\overrightarrow{v})-f(P)g(P)}{t}\\ & =\underset{t\to 0}{lim}(\frac{f(P+t\overrightarrow{v})-f(P)}{t}g(P+t\overrightarrow{v})+f(P)\frac{g(P+t\overrightarrow{v})-g(P)}{t})\\ ◻& & =Df(P)g(P)+f(P)Dg(P)\end{array}$$

 

  다변수함수의 미분 연산자 $D_k$(k번째 편미분계수)는 미분 연산자 $D_{\overrightarrow{v}}$의 특별한 경우이므로, 정리 5.2-1의 연산 특성을 그대로 따른다.

 

  다변수함수의 미분 연산자 $\mathrm{\nabla }$(기울기벡터)의 연산 특성은 다음과 같다.

 

정리 5.2-2)  정의역의 점 $P$에서 미분 가능한 함수 $f,g:{\mathbb{R}}^{\mathbb{n}}⇢\mathbb{R}$에 대하여 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $\mathrm{\forall }c\in \mathbb{R},\mathrm{\nabla }(cf)(P)=c\mathrm{\nabla }f(P)$
  (ⅱ) $\mathrm{\nabla }(f+g)(P)=\mathrm{\nabla }f(P)+\mathrm{\nabla }g(P)$
  (ⅲ) $\mathrm{\nabla }(fg)(P)=\mathrm{\nabla }f(P)g(P)+f(P)\mathrm{\nabla }g(P)$

 

proof ⅰ)

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\nabla }(cf)(P)& =(c{D}_{1}f(P),\dots ,c{D}_{n}f(P))\\ & =c(D_{1}f(P),\dots ,D_{n}f(P))\\ ◻& & =c\mathrm{\nabla }f(P)\end{array}$$

 

proof ⅱ)

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\nabla }(f+g)(P)& =(D_1(f+g)(P),\dots ,D_n(f+g)(P))\\ & =(D_{1}f(P)+D_{1}g(P),\dots ,D_{n}f(P)+D_{n}g(P))\\ & =(D_{1}f(P),\dots ,D_{n}f(P))+(D_{1}g(P),\dots ,D_{n}g(P))\\ ◻& & =\mathrm{\nabla }f(P)+\mathrm{\nabla }g(P)\end{array}$$

 

proof ⅲ)

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\nabla }(fg)(P)& =(D_1(fg)(P),\dots ,D_n(fg)(P))\\ & =(D_{1}f(P)g(P)+f(P)D_{1}g(P),\dots ,D_{n}f(P)g(P)+f(P)D_{n}g(P))\\ & =(D_{1}f(P),\dots ,D_{n}f(P))g(P)+f(P)(D_{1}g(P),\dots ,D_{n}g(P))\\ ◻& & =\mathrm{\nabla }f(P)g(P)+f(P)\mathrm{\nabla }g(P)\end{array}$$

 

  다변수함수의 미분 연산자 $D$(미분계수)는 미분 연산자 $\mathrm{\nabla }$의 전치(transpose)에 불과하므로, 정리 5.2-2의 연산 특성을 그대로 따른다.

 

 

5.3. 벡터장의 미분연산자

 

  벡터장의 미분 연산자 $D_{\overrightarrow{v}}$(방향 미분계수)의 연산 특성은 다음과 같다.

 

정리 5.3-1)  정의역의 점 $P$에서 미분 가능한 함수 $F,G:{\mathbb{R}}^{\mathbb{m}}⇢{\mathbb{R}}^{\mathbb{n}}$에 대하여 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $\mathrm{\forall }c\in \mathbb{R},D_{c\overrightarrow{v}}F(P)=c{D}_{\overrightarrow{v}}F(P)=D_{\overrightarrow{v}}(cF)(P)$
  (ⅱ) $D_{\overrightarrow{v}}(F+G)(P)=D_{\overrightarrow{v}}F(P)+D_{\overrightarrow{v}}G(P)$
  (ⅲ) $D_{\overrightarrow{v}}(F\cdot G)(P)=D_{\overrightarrow{v}}F(P)\cdot G(P)+F(P)\cdot D_{\overrightarrow{v}}G(P)$
  (ⅳ) $n=3$ 일 때, $D_{\overrightarrow{v}}(F\times G)(P)=D_{\overrightarrow{v}}F(P)\times G(P)+F(P)\times D_{\overrightarrow{v}}G(P)$

 

  정리 5.3-1의 (ⅲ)과 (ⅳ)는 각각 내적과 외적에 대한 정리이다. 벡터장은 결국 벡터이고, 벡터끼리의 '그냥 곱'은 일반적으로 정의되지 않으므로 '그냥 곱'에 대한 미분 연산도 없다. 그 대신 벡터끼리의 내적과 외적은 잘 정의되므로 이에 대한 미분 연산자의 연산 특성을 소개한다.

 

  증명에 앞서, 각 벡터장의 성분함수를 다음과 같이 쓰기로 하자.

$$F(P)=(f_1(P),\dots ,f_n(P)),G(P)=(g_1(P),\dots ,g_n(P))$$

  각 성분함수는 벡터장의 정의역에서 정의되고 공역이 1차원인 다변수함수이다.

 

proof ⅰ)

$$\begin{array}{rl}{D}_{c\overrightarrow{v}}F(P)& =(D_{c\overrightarrow{v}}{f}_1(P),\dots ,D_{c\overrightarrow{v}}{f}_n(P))\\ & =(D_{\overrightarrow{v}}(c{f}_1)(P),\dots ,D_{\overrightarrow{v}}(c{f}_n)(P))=D_{\overrightarrow{v}}(cF)(P)\\ & =(c{D}_{\overrightarrow{v}}{f}_1(P),\dots ,c{D}_{\overrightarrow{v}}{f}_n(P))\\ ◻& & =c(D_{\overrightarrow{v}}{f}_1(P),\dots ,D_{\overrightarrow{v}}{f}_n(P))=c{D}_{\overrightarrow{v}}F(P)\end{array}$$

 

proof ⅱ)

$$\begin{array}{rl}{D}_{\overrightarrow{v}}(F+G)(P)& =(D_{\overrightarrow{v}}(f_1+g_1)(P),\dots ,D_{\overrightarrow{v}}(f_n+g_n)(P))\\ & =(D_{\overrightarrow{v}}{f}_1(P)+D_{\overrightarrow{v}}{g}_1(P),\dots ,D_{\overrightarrow{v}}{f}_n(P)+D_{\overrightarrow{v}}{g}_n(P))\\ & =(D_{\overrightarrow{v}}{f}_1(P),\dots ,D_{\overrightarrow{v}}{f}_n(P))+(D_{\overrightarrow{v}}{g}_1(P),\dots ,D_{\overrightarrow{v}}{g}_n(P))\\ ◻& & =D_{\overrightarrow{v}}F(P)+D_{\overrightarrow{v}}G(P)\end{array}$$

 

proof ⅲ)

$$\begin{array}{rl}(F\cdot G)(P)& =\{(f_1,\dots ,f_n)\cdot (g_1,\dots ,g_n)\}(P)\\ & =(f_1{g}_1+\cdots +f_n{g}_n)(P)\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{D}_{\overrightarrow{v}}(F\cdot G)(P)& =D_{\overrightarrow{v}}(f_1{g}_1+\cdots +f_n{g}_n)(P)\\ & =D_{\overrightarrow{v}}(f_1{g}_1)(P)+\cdots +D_{\overrightarrow{v}}(f_n{g}_n)(P)\\ & =(D_{\overrightarrow{v}}{f}_1(P)g_1(P)+f_1(P)D_{\overrightarrow{v}}{g}_1(P))+\cdots +(D_{\overrightarrow{v}}{f}_n(P)g_n(P)+f_n(P)D_{\overrightarrow{v}}{g}_n(P))\\ & =(D_{\overrightarrow{v}}{f}_1(P)g_1(P)+D_{\overrightarrow{v}}{f}_2(P)g_2(P)+\cdots +D_{\overrightarrow{v}}{f}_n(P)g_n(P))\\ & +(f_1(P)D_{\overrightarrow{v}}{g}_1(P)+f_2(P)D_{\overrightarrow{v}}{g}_2(P)+\cdots +f_n(P)D_{\overrightarrow{v}}{g}_n(P))\\ & =(D_{\overrightarrow{v}}{f}_1(P),\dots ,D_{\overrightarrow{v}}{f}_n(P))\cdot (g_1(P),\dots ,g_n(P))\\ & +(f_1(P),\dots ,f_n(P))\cdot (D_{\overrightarrow{v}}{g}_1(P),\dots ,D_{\overrightarrow{v}}{g}_n(P))\\ ◻& & =D_{\overrightarrow{v}}F(P)\cdot G(P)+F(P)\cdot D_{\overrightarrow{v}}G(P)\end{array}$$

 

  알아차린 사람이 있겠지만, 사실 정리 5.3-1 (ⅲ)의 미분연산자 $D_{\overrightarrow{v}}$는 벡터장이 아닌 다변수함수의 것이다. 서로 다른 대상이어도 공통된 특징을 찾아 일반화하여 연산자의 형태를 통일 하는 것이 유용함을 알 수 있는 예시이다.

 

proof ⅳ)

  주의: 이 증명은 본 포스팅 외의 행렬식에 대한 지식을 요구한다. 행렬식을 모르는 경우 넘어가도 좋다

 

  먼저, 다음과 같이 공역이 3차원 벡터의 내적을 정의한다.

$$\begin{array}{}\text{(5.3-1)}& (x_1,x_2,x_3)\times (y_1,y_2,y_3):=det\left(\begin{array}{ccc}\overrightarrow{e_1}& \overrightarrow{e_2}& \overrightarrow{e_3}\\ x_1& x_2& x_3\\ y_1& y_2& y_3\end{array}\right)\end{array}$$

  식 (5.3-1)의 $det()$는 행렬식(determinant)를 의미한다. 행렬식의 미분은 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}det\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right)& =det\left(\begin{array}{ccc}\frac{d{a}_1}{dt}& \frac{d{a}_2}{dt}& \frac{d{a}_3}{dt}\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right)\\ & +det\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ \frac{d{b}_1}{dt}& \frac{d{b}_2}{dt}& \frac{d{b}_3}{dt}\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right)\\ \text{(5.3-2)}& & +det\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ \frac{d{c}_1}{dt}& \frac{d{c}_2}{dt}& \frac{d{c}_3}{dt}\end{array}\right)\end{array}$$

 

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  행렬식의 미분이 식 (5.3-2)와 같음을 알기 위해서는 치환(permutation)을 이용하는 행렬식의 정의를 이용하여야 한다.(일반적으로 잘 알려진 라플라스 전개로 표현된 행렬식으로는 행렬식의 미분을 유도하기 어렵다) $3\times 3$ 행렬에 대한 행렬식의 정의는 다음과 같다.

$$det\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right):=\sum _{\sigma \in S_3}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)1}{a}_{\sigma (2)2}{a}_{\sigma (3)3}$$

  행렬의 원소가 모두 일변수함수일 경우, 행렬식의 미분은 다음과 같음을 알 수 있다.

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}det\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)& =\sum _{\sigma \in S_3}\mathrm{sgn}(\sigma )\frac{d{a}_{\sigma (1)1}}{dx}{a}_{\sigma (2)2}{a}_{\sigma (3)3}\\ & +\sum _{\sigma \in S_3}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)1}\frac{d{a}_{\sigma (2)2}}{dx}{a}_{\sigma (3)3}\\ & +\sum _{\sigma \in S_3}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)1}{a}_{\sigma (2)2}\frac{d{a}_{\sigma (3)3}}{dx}\\ & =det\left(\begin{array}{ccc}\frac{d{a}_{11}}{dx}& \frac{d{a}_{12}}{dx}& \frac{d{a}_{13}}{dx}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)\\ & +det\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ \frac{d{a}_{21}}{dx}& \frac{d{a}_{22}}{dx}& \frac{d{a}_{23}}{dx}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)\\ & +det\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ \frac{d{a}_{31}}{dx}& \frac{d{a}_{32}}{dx}& \frac{d{a}_{33}}{dx}\end{array}\right)\end{array}$$

  따라서 식 (5.3-2)가 성립한다.

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$$\begin{array}{rl}{D}_{\overrightarrow{v}}(F\times G)(P)& ={\frac{d}{dt}|}_0(F\times G)(P+t\overrightarrow{v})\\ & ={\frac{d}{dt}|}_{0}det\left(\begin{array}{ccc}\overrightarrow{e_1}& \overrightarrow{e_2}& \overrightarrow{e_3}\\ f_1(P+t\overrightarrow{v})& f_2(P+t\overrightarrow{v})& f_3(P+t\overrightarrow{v})\\ g_1(P+t\overrightarrow{v})& g_2(P+t\overrightarrow{v})& g_3(P+t\overrightarrow{v})\end{array}\right)\\ & =det\left(\begin{array}{ccc}\overrightarrow{e_1}& \overrightarrow{e_2}& \overrightarrow{e_3}\\ {\frac{d}{dt}|}_0{f}_1(P+t\overrightarrow{v})& {\frac{d}{dt}|}_0{f}_2(P+t\overrightarrow{v})& {\frac{d}{dt}|}_0{f}_3(P+t\overrightarrow{v})\\ g_1(P)& g_2(P)& g_3(P)\end{array}\right)\\ & +det\left(\begin{array}{ccc}\overrightarrow{e_1}& \overrightarrow{e_2}& \overrightarrow{e_3}\\ f_1(P)& f_2(P)& f_3(P)\\ {\frac{d}{dt}|}_0{g}_1(P+t\overrightarrow{v})& {\frac{d}{dt}|}_0{g}_2(P+t\overrightarrow{v})& {\frac{d}{dt}|}_0{g}_3(P+t\overrightarrow{v})\end{array}\right)\\ & =det\left(\begin{array}{ccc}\overrightarrow{e_1}& \overrightarrow{e_2}& \overrightarrow{e_3}\\ D_{\overrightarrow{v}}{f}_1(P)& D_{\overrightarrow{v}}{f}_2(P)& D_{\overrightarrow{v}}{f}_3(P)\\ g_1(P)& g_2(P)& g_3(P)\end{array}\right)\\ & +det\left(\begin{array}{ccc}\overrightarrow{e_1}& \overrightarrow{e_2}& \overrightarrow{e_3}\\ f_1(P)& f_2(P)& f_3(P)\\ D_{\overrightarrow{v}}{g}_1(P)& D_{\overrightarrow{v}}{g}_2(P)& D_{\overrightarrow{v}}{g}_3(P)\end{array}\right)\\ & =(D_{\overrightarrow{v}}{f}_1(P),D_{\overrightarrow{v}}{f}_2(P),D_{\overrightarrow{v}}{f}_3(P))\times (g_1(P),g_2(P),g_3(P))\\ & +(f_1(P),f_2(P),f_3(P))\times (D_{\overrightarrow{v}}{g}_1(P),D_{\overrightarrow{v}}{g}_2(P),D_{\overrightarrow{v}}{g}_3(P))\\ ◻& & =D_{\overrightarrow{v}}F(P)\times G(P)+F(P)\times D_{\overrightarrow{v}}G(P)\end{array}$$

 

  벡터장의 미분 연산자 $D_k$(k번째 편미분계수)는 미분 연산자 $D_{\overrightarrow{v}}$의 특별한 경우이므로, 정리 5-2의 연산 특성을 그대로 따른다.

 

  벡터장의 미분 연산자 $D$(미분계수)의 연산 특성은 다음과 같다.

 

정리 5.3-2)  정의역의 점 $P$에서 미분 가능한 함수 $F,G:{\mathbb{R}}^{\mathbb{m}}⇢{\mathbb{R}}^{\mathbb{n}}$에 대하여 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $\mathrm{\forall }c\in \mathbb{R},D(cF)(P)=cDF(P)$
  (ⅱ) $D(F+G)(P)=DF(P)+DG(P)$
  (ⅲ) $D(F\cdot G)(P)=DF(P)\cdot G(P)+F(P)\cdot DG(P)$

 

  증명의 편의를 위해, 식 (3.1-9)와 같이 편미분계수 벡터를 이용하여 서술한다. 행렬을 모두 다 쓰는 것은 굉장히 오래걸리는 일이다.

 

proof ⅰ)

$$\begin{array}{rl}D(cF)(P)& =\left(\begin{array}{ccc}{D}_1(cF)(P)& \cdots & D_m(cF)(P)\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}c{D}_{1}F(P)& \cdots & c{D}_{m}F(P)\end{array}\right)\\ & =c\left(\begin{array}{ccc}{D}_{1}F(P)& \cdots & D_{m}F(P)\end{array}\right)\\ ◻& & =cDF(P)\end{array}$$

 

proof ⅱ)

$$\begin{array}{rl}D(F+G)(P)& =\left(\begin{array}{ccc}{D}_1(F+G)(P)& \cdots & D_m(F+G)(P)\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}(D_{1}F(P)+D_{1}G(P))& \cdots & (D_{m}F(P)+D_{m}G(P))\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}{D}_{1}F(P)& \cdots & D_{m}F(P)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}{D}_{1}G(P)& \cdots & D_{m}G(P)\end{array}\right)\\ ◻& & =DF(P)+DG(P)\end{array}$$

 

proof ⅲ)

$$\begin{array}{rl}D(F\cdot G)(P)& =D(f_1{g}_1+\cdots +f_n{g}_n)(P)\\ & =D(f_1{g}_1)(P)+\cdots +D(f_n{g}_n)(P)\\ & =(D{f}_1(P)g_1(P)+f_1(P)D{g}_1(P))+\cdots +(D{f}_n(P)g_n(P)+f_n(P)D{g}_n(P))\\ & =(D{f}_1(P)g_1(P)+D{f}_2(P)g_2(P)+\cdots +D{f}_n(P)g_n(P))\\ & +(f_1(P)D{g}_1(P)+f_2(P)D{g}_2(P)+\cdots +f_n(P)D{g}_n(P))\\ & =(D{f}_1(P),\dots ,D{f}_n(P))\cdot (g_1(P),\dots ,g_n(P))\\ & +(f_1(P),\dots ,f_n(P))\cdot (D{g}_1(P),\dots ,D{g}_n(P))\\ ◻& & =DF(P)\cdot G(P)+F(P)\cdot DG(P)\end{array}$$

 

  마찬가지로, 정리 5.3-2 (ⅲ)도 다변수함수의 미분연산자 $D$에 대한 내용이다. 참고로 다음의 연산은 성립하지 않는다.

$$D(F\times G)(P)=DF(P)\times G(P)+F(P)\times DG(P)$$

  그 이유는, 당연하게도 행렬과 벡터간의 외적 연산이 정의되지 않기 때문이다.

 

 

5.4. 곡선의 미분연산자

 

  곡선의 미분 연산자 $D$(미분계수)의 연산 특성은 다음과 같다.

정리 5.4-1)  정의역의 점 $p$에서 미분 가능한 함수 $X,Y:\mathbb{R}⇢{\mathbb{R}}^{\mathbb{n}}$에 대하여 다음이 성립한다.
  (ⅰ) $\mathrm{\forall }c\in \mathbb{R},D(cX)(p)=cDX(p)$
  (ⅱ) $D(X+Y)(p)=DX(p)+DG(p)$
  (ⅲ) $D(X\cdot Y)(p)=DX(p)\cdot Y(p)+X(p)\cdot Y(p)$
  (ⅳ) $D(X\times Y)(p)=DX(p)\times Y(p)+X(p)\times DY(p)$

 

  증명에 앞서, 각 곡선의 성분함수를 다음과 같이 쓰기로 하자.
$$X(p)=(x_1(p),\dots ,x_n(p)),Y(p)=(y_1(p),\dots ,y_n(p))$$

 

proof ⅰ)

$$\begin{array}{rl}D(cX)(P)& =(D(c{x}_1)(p),\dots ,D(c{x}_n)(p))\\ & =(cD{x}_1(p),\dots ,cD{x}_n(p))\\ & =c(D{x}_1(p),\dots ,D{x}_n(p))\\ ◻& & =cDX(p)\end{array}$$

 

proof ⅱ)
$$\begin{array}{rl}D(X+Y)(p)& =(D(x_1+y_1)(p),\dots ,D(x_n+y_n)(p))\\ & =(D{x}_1(p)+D{y}_1(p),\dots ,D{x}_n(p)+D{y}_n(p))\\ & =(D{x}_1(p),\dots ,D{x}_n(p))+(D{y}_1(p),\dots ,D{y}_n(p))\\ ◻& & =DX(p)+DG(p)\end{array}$$

 

proof ⅲ)
$$\begin{array}{rl}D(X\cdot Y)(P)& =D(x_1{y}_1+\cdots +x_n{y}_n)(P)\\ & =D(x_1{y}_1)(P)+\cdots +D(x_n{y}_n)(P)\\ & =(D{x}_1(P)y_1(P)+x_1(P)D{y}_1(P))+\cdots +(D{x}_n(P)y_n(P)+x_n(P)D{y}_n(P))\\ & =(D{x}_1(P)y_1(P)+D{x}_2(P)y_2(P)+\cdots +D{x}_n(P)y_n(P))\\ & +(x_1(P)D{y}_1(P)+x_2(P)D{y}_2(P)+\cdots +x_n(P)y{g}_n(P))\\ & =(D{x}_1(P),\dots ,D{x}_n(P))\cdot (y_1(P),\dots ,y_n(P))\\ & +(x_1(P),\dots ,x_n(P))\cdot (D{y}_1(P),\dots ,D{y}_n(P))\\ ◻& & =DX(P)\cdot Y(P)+X(P)\cdot DY(P)\end{array}$$

 

  마찬가지로, 정리 5.4-1 (ⅲ)도 일변수함수의 미분연산자 $D$에 대한 내용이다.

 

proof ⅳ)

$$\begin{array}{rl}D(X\times Y)(p)& ={\frac{d}{dt}|}_p(X\times Y)(t)\\ & ={\frac{d}{dt}|}_{p}det\left(\begin{array}{ccc}\overrightarrow{e_1}& \overrightarrow{e_2}& \overrightarrow{e_3}\\ x_1(t)& x_2(t)& x_3(t)\\ y_1(t)& y_2(t)& y_3(t)\end{array}\right)\\ & =det\left(\begin{array}{ccc}\overrightarrow{e_1}& \overrightarrow{e_2}& \overrightarrow{e_3}\\ {\frac{d}{dt}|}_p{x}_1(t)& {\frac{d}{dt}|}_p{x}_2(t)& {\frac{d}{dt}|}_p{x}_3(t)\\ y_1(p)& y_2(p)& y_3(p)\end{array}\right)\\ & +det\left(\begin{array}{ccc}\overrightarrow{e_1}& \overrightarrow{e_2}& \overrightarrow{e_3}\\ x_1(p)& x_2(p)& x_3(p)\\ {\frac{d}{dt}|}_p{y}_1(t)& {\frac{d}{dt}|}_p{y}_2(t)& {\frac{d}{dt}|}_p{y}_3(t)\end{array}\right)\\ & =det\left(\begin{array}{ccc}\overrightarrow{e_1}& \overrightarrow{e_2}& \overrightarrow{e_3}\\ D{x}_1(p)& D{x}_2(p)& D{x}_3(p)\\ y_1(p)& y_2(p)& y_3(p)\end{array}\right)\\ & +det\left(\begin{array}{ccc}\overrightarrow{e_1}& \overrightarrow{e_2}& \overrightarrow{e_3}\\ x_1(p)& x_2(p)& x_3(p)\\ D{y}_1(p)& D{y}_2(p)& D{y}_3(p)\end{array}\right)\\ & =(D{x}_1(p),D{x}_2(p),D{x}_3(p))\times (y_1(p),y_2(p),y_3(p))\\ & +(x_1(p),x_2(p),x_3(p))\times (D{y}_1(p),D{y}_2(p),D{y}_3(p))\\ ◻& & =DX(p)\times Y(p)+X(p)\times DY(p)\end{array}$$

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다음 읽을거리: [미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.6 연쇄법칙