[미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.0 미분이란?

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  본 포스팅에서는 미분의 의미부터 연쇄법칙의 유도까지 아주 상세하게 설명한다. 연쇄법칙의 원리를 아는 것의 가치는 태평양을 표류할 때의 나침반의 가치와 같다. 천천히, 꼼꼼하게 내용을 공부한다면, 연쇄법칙의 겉모양만 보고 기계적으로 연산하는 당신에게 커다란 통찰을 안겨줄 것이다. 이해가 안되거나 설명이 잘못되었다고 생각이 드는 부분이 있다면 얼마든지 댓글로 질문을 남겨주시기를 부탁드린다.

 

 

0. 미분이란?

 

  배양접시에 놓인 박테리아의 증식 속도를 관찰한다고 하자. 정각 12시에 박테리아 수를 측정하고, 12시 10분에 박테리아 수를 측정한다면 그동안 박테리아의 증가속도는 다음과 같을 것이다.

 

  시간 $t$에서 박테리아의 수를 $f(t)$라고 할 때,

$$\mathrm{rate\;of}\;f:=\frac{\Delta f}{\Delta t}=\frac{f(12:10)-f(12:00)}{12:10-12:00}$$

 

  10분 동안 측정했다는 것은 '12시 1분의 증가속도'와 '12시 2분의 증가속도', ... , '12시 9분의 증가속도' 데이터가 한데 뭉쳐져 있는 것을 측정한 것이나 다름없다. 만약 10분의 시간 간격이 너무 길다고 판단되면, 시간 간격을 더 줄여볼 수도 있다. 또한 시간 간격을 줄이면 줄일수록, 특정 시간의 박테리아 증가속도를 더 정밀하게 측정할 수 있다. 만약 시간 간격을 무한히 작게 할 수 있다면, 특정 시간의 순간적인 박테리아 증가속도를 100% 정확하게 측정할 수 있을 것이다. 이러한 아이디어는 미분의 개념을 이해하는데 도움이 된다.

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