'수학/미적분학' 카테고리의 글 목록

2차원 발산정리(divergence theorem)의 증명 부록. '보조정리 1'의 증명

2차원 발산정리(divergence theorem)의 증명 ch.2 에서 이어짐. 보조정리 1) 좌표평면의 영역

[a, b] \times [g (x), h (x)]

에서 정의된 미분가능한 함수

f

에 대하여 다음이 성립한다.

\begin{aligned} \int_{a}^{b} \int_{g (x)}^{h (x)} \frac{\partial f}{\partial x} (x, y) d y d x = & \int_{g (b)}^{h (b)} f (b, y) d y - \int_{g (a)}^{h (a)} f (a, y) d y \\ - \int_{a}^{b} {f (x, h (x)) h^{'} (x) - f (x, g (x)) g^{'} (x)} d x \end{aligned}

proof) 다음을 계산하자. $$\frac{d}{dx}\int_{g(x)}^{h(x)}..

2차원 발산정리(divergence theorem)의 증명 ch.2

이전 글: 2차원 발산정리(divergence theorem)의 증명 ch.1 김홍종 미적분학으로 발산 정리를 공부하던 중 이에 대한 증명이 부족하여 인터넷을 찾아보았으나, 제대로 된 증명을 찾기 힘들었기에 스스로 증명하고 그 증명을 본 포스팅에 기록하였다. 2차원 발산정리) 좌표평면의 영역

D

에서 정의된 벡터장

\vec{F} (x, y)

에 대하여 다음이 성립한다.

\oint_{\partial D} \vec{F} \cdot \vec{n} d s = \iint_{D} \nabla \cdot \vec{F} d V_{2}

2차원 발산정리(divergence theorem)의 증명 ch.1

김홍종 미적분학으로 발산 정리를 공부하던 중 이에 대한 증명이 부족하여 인터넷을 찾아보았으나, 제대로 된 증명을 찾기 힘들었기에 스스로 증명하고 그 증명을 본 포스팅에 기록하였다. 2차원 발산정리) 좌표평면의 영역

D

에서 정의된 벡터장

\vec{F} (x, y)

에 대하여 다음이 성립한다.

\oint_{\partial D} \vec{F} \cdot \vec{n} d s = \iint_{D} \nabla \cdot \vec{F} d V_{2}

위의 식에서 나오는 표기를 다음과 같이 정리한다. (ⅰ)

\partial D

: 영역

D

의 경계를 의미한다. 여기서 영역이란 넓이가 하나의 값으로 잘 정의되는, 공간의 부분집합을 의미한다. 2차원 공간의 영역은 그 경계가 폐곡선(시작과 끝이 같은 점인 곡선)으로 ..

좌표 변환에서 gradient vector 의 기술 (미적분학, 선형대수학)

본 포스팅은 미적분학을 공부하며 직접 발견한 (아마 최초는 아닌) 유도과정으로 작성하였기에 reference가 없음을 양해부탁드립니다. n차원의 부분집합

U

에서 정의된 다변수 함수

f : U \to R, X = (x_{1}, \dots, x_{n}) \mapsto f (X)

의 gradient vector는 다음과 같이 정의된다.

\begin{matrix} (1) & \nabla f (X) = (\frac{\partial f}{\partial x_{1}} (X), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_{n}} (X)) = \sum_{i = 1}^{n} D_{i} f (X) {\vec{e}}_{i} \end{matrix}

위의 식에서

{\vec{e}}_{i}

는 i번째 표준단위기저를 의미한다. 나머지 표기방법에 대한 정보는 ch.2 다변수 미분 ..

속도곡선은 곡선에 접한다.

제목을 어떻게 할지 몰라서 단도직입적으로 작성하였다. 먼저 곡선을 다음과 같이 정의한다. 정의) 1차원 공간을 n차원 공간에 대응시키는 함수

X : R ⇢ R^{n}

을 곡선으로 정의한다.

X (t) = (x_{1} (t), \dots, x_{n} (t))

이때

X

의 i번째 성분

x_{i} (t)

를 i번째 성분함수라고 한다. 곡선의 제일 유명한 예시로는, 일변수함수의 그래프가 있다. 일변수 함수

f : R ⇢ R

의 그래프가 곡선

X (t) = (t, f (t))

로 주어짐은 잘 알려진 사실이다. 일변수 함수의 그래프 이외에도, 단위원 곡선으로서

X (t) = (\cos t, \sin t)

라그랑주 승수법(Lagrange Multiplier Method)

어떤 함수의 최대점과 최소점을 찾기 위해서는 일반적으로 어떤 점에서 함수의 일계미분이 0인가 아닌가로 판단한다. 그러나 함수의 가장자리에서 최대점과 최소점을 판단하는 것은 단순하지 않다. 이를테면 다음 문제와 같은 경우 단순히 함수의 일계미분만으로 최대값을 찾을 수 없다. 문제 : 타원

g (x, y) = \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1

의 내부와 경계에서 함수

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

의 최대값을 구하시오. 수식을 늘어놓기에 앞서, 그래프를 통해 본 문제의 답을 추정해볼 수 있다. 위의 그래프에서 보다시피 타원영역(경계와 내부를 모두 포함하는) 에서 함수

f

가 가장 높은 값을 가지는 점은 타원의 긴 방향의 양 끝 두 곳이 될 것임을 기대할 수 있다. 따라서 본 문제를 풀면,..

[미분의 정의부터 연쇄법칙까지] 부록

[미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.0 미분이란? [미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.1 일변수 미분 [미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.2 다변수 미분 [미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.3 벡터장 [미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.4 곡선 [미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.5 미분 연산자의 성질 [미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.6 연쇄법칙 1. 벡터장의 도함수는 단순히 벡터장을 미분할 때 외에도 자주 사용한다. 따라서 일반적인 호칭으로서 야코비안 행렬(jacobian matrix)이라고도 부른다. 야코비안은 기호

J

로 표기한다. 야코비안은 행렬의 형태이므로, 표기가 상당히 불편하다. 따라서 다음과 같이 줄여쓰기도 한다. $$J:=\begin{pmatrix}D_1f_1(P)&D_..

U \subset R

에서 정의된 함수

f : U \to R

(즉, 1차원 값을 받아 1차원 값을 뱉는 함수

f

) 에 대해 점

p

에서의..

[미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.0 미분이란?

본 포스팅은 PC chrome 환경에 최적화되어있습니다. 본 포스팅에서는 미분의 의미부터 연쇄법칙의 유도까지 아주 상세하게 설명한다. 연쇄법칙의 원리를 아는 것의 가치는 태평양을 표류할 때의 나침반의 가치와 같다. 천천히, 꼼꼼하게 내용을 공부한다면, 연쇄법칙의 겉모양만 보고 기계적으로 연산하는 당신에게 커다란 통찰을 안겨줄 것이다. 이해가 안되거나 설명이 잘못되었다고 생각이 드는 부분이 있다면 얼마든지 댓글로 질문을 남겨주시기를 부탁드린다. 0. 미분이란? 배양접시에 놓인 박테리아의 증식 속도를 관찰한다고 하자. 정각 12시에 박테리아 수를 측정하고, 12시 10분에 박테리아 수를 측정한다면 그동안 박테리아의 증가속도는 다음과 같을 것이다. 시간

t

에서 박테리아의 수를

f (t)

라고 할 때, $$..

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2차원 발산정리(divergence theorem)의 증명 부록. '보조정리 1'의 증명

2차원 발산정리(divergence theorem)의 증명 ch.2

2차원 발산정리(divergence theorem)의 증명 ch.1

좌표 변환에서 gradient vector 의 기술 (미적분학, 선형대수학)

속도곡선은 곡선에 접한다.

라그랑주 승수법(Lagrange Multiplier Method)

[미분의 정의부터 연쇄법칙까지] 부록

[미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.6 연쇄법칙

[미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.5 미분 연산자의 성질

[미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.4 곡선

[미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.3 벡터장

[미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.2 다변수 미분

[미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.1 일변수 미분

[미분의 정의부터 연쇄법칙까지] ch.0 미분이란?

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