'분류 전체보기' 카테고리의 글 목록 (2 Page) - Aerospace Kim

[다변수 적분] ch2. 측도 0과 적분가능성

이전 읽을거리) [집합의 크기] ch2. 가산집합과 비가산집합 ch1. 적분의 정의 다음 읽을거리: ch3. 푸비니 정리 측도 0 이제부터는 유난히 rectangle 을 많이 사용하게 된다. 필자의 편의상 다음의 표기법을 정의하자. Definition. $\mathbb{R}^n$ 의 모든 rectangles 의 모임을 $\mathcal{Q}(\mathbb{R}^n)$ 이라고 하자. 다음의 정의는 기하적으로 무한히 협소한 집합, "부피" 가 0인 집합을 가리킨다. Definition. 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 가산모임 $\{Q_1,Q_2,\ldots\}\subset\mathcal{Q}(\mathbb{R}^n)$ 이 존재하여 $A\subset\mathbb{R}^n$ 을 덮으며 다음이 성립..

[다변수 적분] ch1. 적분의 정의

이전 읽을거리) [FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리 [FTC의 엄밀한 증명] ch23. 리만 적분 [실수공간의 위상] ch6. Interior, Exterior, Boundary 다음 읽을거리: ch2. 측도 0과 적분가능성 Partition 적분을 정의하기 위해선 먼저 rectangle 의 volume 을 정의하여야 한다. Definition. Rectangle $Q=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]$ 에 대해 각 $[a_j,b_j]$ 를 $Q$ 의 component interval 이라고 한다. (1) $Q$ 의 width 를 다음과 같이 정의하자.$$\text{width }Q=\text{max}\{b_1-a_1,\ldots,b_n-a_n\}$$ (2) $Q..

[다변수 미분] ch5. 역함수 정리

이전 읽을거리: ch4. 연쇄법칙 역함수 정리 역함수 정리란 대략 "꼬여있지 않은 공간에는 국소적으로 역함수가 존재한다" 를 의미한다. (정확한 설명이 아님에 주의) 차근차근 증명해보자. 페르마의 임계점 정리 (interior extremum theorem) 미분가능함수 $\phi:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^m}\to\mathbb{R}$ 가 $a\in A$ 에서 local minimum 을 가지면 $D\phi(a)=0$ 이다. ※ Local minimum 이란 어떤 근방 속에서 최소값을 갖는 점을 의미한다. Proof. 각 $j\in\{1,\ldots,m\}$ 에 대해 정의에 따라 다음과 같다. $$\lim_{t\to 0}\frac{\phi(a+te_j)-\phi(a)}{t}=D_..

[다변수 미분] ch4. 연쇄법칙

이전 읽을거리: ch3. 연속미분가능 다음 읽을거리: ch5. 역함수 정리 연쇄법칙 연쇄법칙 (chain rule) $f:A\subset\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ , $g:B\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^p$ 에 대해 $f(A)\subset B$ 가 성립한다고 가정하자. $f(a)=b$ 라고 할때 $f$ 가 $a$ 에서 미분가능하고 $g$ 가 $b$ 에서 미분가능하면 $g\circ f$ 는 $a$ 에서 미분가능하며 다음이 성립한다.$$D(g\circ f)(a)=Dg(b)Df(a)$$ 우리는 아직 미분가능성이 정의되는 점을 정의역의 interior 로 제한하고 있음을 기억하자. 따라서 위 정의의 증명은 $a$ 가 $g\circ f$ 의 정의역의 inte..

[다변수 미분] ch3. 연속미분가능

이전 읽을거리: ch2. 편미분 다음 읽을거리: ch4. 연쇄법칙 연속미분가능 이번 포스팅에는 다음의 정리가 필요하다. 평균값 정리 (mean-value theorem) 연속함수 $\phi:[a,b]\to\mathbb{R}$ 가 $(a,b)$ 의 각 점에서 미분가능하면 어떤 $c\in(a,b)$ 에 대해 다음이 성립한다.$$\phi(b)-\phi(a)=D\phi(c)(b-a)$$ 증명은 생략한다. (자세한 정보는 [FTC의 엄밀한 증명] ch22. 평균값 정리 참고) Definition. $f:A\in\mathcal{T}_{\mathbb{R}^m}\to\mathbb{R}^n$ 가 각 $a\in A$ 에서 미분가능하면 $f$ 가 미분가능하다고 한다. ※ $\mathcal{T}_{\mathbb{R}^m}$ ..

[다변수 미분] ch2. 편미분

이전 읽을거리: ch1. 미분의 정의 다음 읽을거리: ch3. 연속미분가능 편미분 Definition. $f:A\subset\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ 에 대해 $D_{e_j}f(a)$ 가 존재하면 이를 $a$ 에서 $f$ 의 j번째 편미분(j-th partial derivative)이라고 하고 $D_jf(a)$ 라고 쓴다. 다시말해 $f$ 의 j번째 편미분은 아래의 극한이 존재할 때 그 극한값을 말한다. $$\lim_{t\to 0}\frac{f(a+te_j)-f(a)}{t}$$ 편미분은 사실 계산하기에 상당히 편리하다. $a=(a_1,\ldots,a_m)$ 이라고 할때 다음의 함수를 생각하자. $$\phi(t)=f(a_1,\ldots,a_{j-1},t,a_{j+1},\ldots,a_..

[다변수 미분] ch1. 미분의 정의

이전 읽을거리: [실수공간의 위상] ch1. 거리공간 다음 읽을거리: ch2. 편미분 1공간에서 1공간으로의 미분 미분을 정의하기 이전에, 일단 지금은 미분은 항상 정의역의 interior 에서만 정의하자고 약속하자. Interior 가 아닌 점에서도 그 점이 극한점이라면 굳이 미분을 정의할 수는 있지만, 소탐대실이다. 나중에 다양체를 공부하며 interior 가 아닌 점에서의 미분을 다룰 계기가 다시 찾아올 것이다. Definition. $\phi:A\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $a\in\text{Int }A$ 에 대해 다음의 극한이 존재하면 $\phi$ 가 $a$ 에서 미분가능하다(differentiable)고 하며 이 극한값을 $a$ 에서 $\phi$ 의 미분(der..

[실수공간의 위상] ch7. 콤팩트 집합

이전 읽을거리: ch6. Interior, Exterior, Boundary 콤팩트 집합 Definition. $X\subset\mathbb{R}^n$ 에 대해 $\mathbb{R}^n$ 에서 열려있는 집합의 모임의 합집합이 $X$ 를 포함하면 이 모임을 $X$ 의 열린덮개(open cover)라고 하며 이 열린덮개가 $X$ 를 덮는다고 한다. Definition. $X\subset\mathbb{R}^n$ 의 임의의 열린덮개가 $X$ 를 덮는 어떤 유한부분모임을 가지면 $X$ 가 콤팩트하다(compact)고 한다. 다시말해 콤팩트집합이란 그 어떤 열린덮개를 가져와도 그 중 유한개만 택하여 다시 덮을 수 있음이 보장되는 집합이다. 다음의 정리에 따르면 콤팩트성은 그 집합이 어떤 전체집합에 포함되어있는지에 ..

[실수공간의 위상] ch6. Interior, Exterior, Boundary

이전 읽을거리: ch5. 함수의 극한 다음 읽을거리: ch7. 콤팩트 집합 Interior, Exterior, Boundary 일반적으로 interior 는 내부, exterior 는 외부, boundary 는 경계로 번역된다. 그러나 내부와 외부는 그저 집합과 여집합으로 오해되기 쉬우므로 본 블로그에서는 번역하지 않는다. Definition. 집합 $A\subset\mathbb{R}^n$ 을 생각하자. (1) $A$ 에 포함되는, $\mathbb{R}^n$ 에서 열려있는 모든 집합의 합집합을 $A$ 의 interior 라고 하고 $\text{Int }A$ 라고 쓴다. (2) $\mathbb{R}^n\setminus A$ 에 포함되는, $\mathbb{R}^n$ 에서 열려있는 모든 집합의 합집합을 $A$..

[실수공간의 위상] ch5. 함수의 극한

이전 읽을거리: ch4. 연속함수 다음 읽을거리: ch6. Interior, Exterior, Boundary 함수의 극한 함수에 대한 집합의 상을 표현할 때 함수의 정의역에 포함되지 않는 원소는 무시하도록 하자. Definition. 함수 $f:A\to Y$ 에 대해 $B$ 가 $A$ 의 부분집합이 아닌 경우 $f(B)=f(B\cap A)$ 라고 정의한다. 이러한 약속 하에 함수의 극한을 간결하게 정의할 수 있다. Definition. 거리공간 $X$ 와 $A\subset X$ , 함수 $f:A\to Y$ , $X$ 에서 $A$ 의 극한점 $x_0\in X$ 를 생각하자. 다음이 성립하면 $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=y_0$ 라고 한다.$$\forall V\in\math..

[실수공간의 위상] ch4. 연속함수

이전 읽을거리: ch3. 위상적 성질 다음 읽을거리: ch5. 함수의 극한 연속의 정의 먼저 함수의 연속성은 "어떤 점에서 연속" 으로 정의될 수 있다. Definition. 거리공간 $(X,d_X)$ , $(Y,d_Y)$ 와 함수 $f:X\to Y$ 에 대해 다음이 성립하면 $f$ 가 $x_0\in X$ 에서 연속(continuous)이라고 한다.$$\forall V\in\mathcal{N}_Y(f(x_0)),\;\;\exists U\in\mathcal{N}_X(x_0),\;\;f(U)\subset V$$ 이는 다시말해 $f(x_0)\in Y$ 의 아무런 근방을 가져와도 $x_0\in X$ 의 어떤 근방을 가져와 그 상을 $f(x_0)\in Y$ 의 근방 안에 집어넣을 수 있다는 것이다. 이는 거꾸로 ..

[실수공간의 위상] ch3. 위상적 성질

이전 읽을거리: ch2. 열린집합, 닫힌집합 다음 읽을거리: ch4. 연속함수 열린집합과 닫힌집합의 성질 다음의 정리에 따르면 열린집합은 아무리 합쳐도 열린집합이고, 닫힌집합은 아무리 겹쳐도 닫힌집합이다. 다시말해 열린집합은 쉽게 키울 수 있고, 닫힌집합은 쉽게 좁힐 수 있다. 다만 유한번의 합침 또는 겹침에 대해서는 열림성과 닫힘성이 보존된다. Theorem 3.1. 거리공간 $X$ 에 대해 다음이 성립한다. (1) $X$ 에서 열린집합의 임의의 합집합과 유한교집합은 $X$ 에서 열려있다. (2) $X$ 에서 닫힌집합의 임의의 교집합과 유한합집합은 $X$ 에서 닫혀있다. ※ 임의의 합집합/교집합은 합집합/교집합 연산을 임의의 횟수만큼 시행한 집합을 의미한다. 특히 그 횟수가 유한하지 않거나, 심지어 비..

[실수공간의 위상] ch2. 열린집합, 닫힌집합

이전 읽을거리: ch1. 거리공간 다음 읽을거리: ch3. 위상적 성질 열린집합 다음의 집합은 지난 포스팅의 마지막에서 말한 "경계가 없는" 원 또는 정사각형과 비슷한 집합이다. Definition. 거리공간 $(X,d)$ 에 대해 다음의 집합을 $X$ 에서 $x_0\in X$ 의 $\epsilon$-근방($\epsilon$-neighborhood of $x_0$ in $X$)이라고 한다.$$U_\epsilon^X(x_0)=\{x\in X:d(x,x_0)0,\;\;U_\epsilon^X(x_0)\subset U$$ 다시말해 $U$ 가 $X$ 에서 열려있으면 $U$ 의 어떤 점을 선택해도 그 점의 $U$ 에 포함되는 어떤 $\epsilon$-근방이 존재한다. 어떤 점의 $\epsilon$-근방이란 직관적으..

[실수공간의 위상] ch1. 거리공간

다음 읽을거리: ch2. 열린집합, 닫힌집합 Inner Product 두 집합 $A,B$ 에 대해, $A\times B$ 란 $a\in A$ 및 $b\in B$ 에 대하여 $(a,b)$ 꼴의 모든 순서쌍의 집합임을 상기하자. Definition. $\mathbb{R}$-벡터공간 $V$ 의 inner product 란 다음의 성질을 만족하는 함수 $\left:V\times V\to\mathbb{R}$ 을 의미한다. (1) $\left=\left$ (2) $\forall c\in\mathbb{R},\;\left=c\left=\left$ (3) $v\neq 0\Rightarrow \left>0$ (4) $\left=\left+\left$ 위에서 두 번째 조건에 따라 $V$ 의 영벡터 $0_V$ 와 $\math..

[집합의 크기] ch3. 유리수 집합과 실수 집합의 크기

이전 읽을거리) [집합론 기초] ch4. 논리 기호 [FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리 [FTC의 엄밀한 증명] ch4. 극한의 성질 1 ch2. 가산집합과 비가산집합 유리수 집합의 크기 ※ 앞서 증명한 많은 정리를 활용하므로 이전 포스팅을 보고 오길 추천한다. 정리 2.6.으로부터 모든 유리수의 집합 $\mathbb{Q}$ 가 셀 수 있음을 어렵지 않게 알 수 있다. 지난 포스팅의 초반에 언급하였듯이 모든 정수의 집합 $\mathbb{Z}$ 는 셀 수 있다. 여기서부터 시작하자. Theorem 3.1. $\mathbb{Q}$ 는 셀 수 있다. Proof. 가산집합인 $\mathbb{Z}$ 에 대해 따름정리 2.3.에 따르면 $\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ 도 셀 수 있으므로 ..

< 이전 1 2 3 4 5 ··· 8 다음 >

최신 글

인기 글

방문자 수
전체 :
오늘 :
어제 :

Design by hi098123 kimhan217@naver.com

티스토리툴바