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[다변수 적분] ch2. 측도 0과 적분가능성

이전 읽을거리) [집합의 크기] ch2. 가산집합과 비가산집합 ch1. 적분의 정의 다음 읽을거리: ch3. 푸비니 정리 측도 0 이제부터는 유난히 rectangle 을 많이 사용하게 된다. 필자의 편의상 다음의 표기법을 정의하자. Definition.

R^{n}

의 모든 rectangles 의 모임을

Q (R^{n})

이라고 하자. 다음의 정의는 기하적으로 무한히 협소한 집합, "부피" 가 0인 집합을 가리킨다. Definition. 임의의

ϵ > 0

에 대해 어떤 가산모임

{Q_{1}, Q_{2}, \dots} \subset Q (R^{n})

이 존재하여

A \subset R^{n}

을 덮으며 다음이 성립..

[다변수 적분] ch1. 적분의 정의

이전 읽을거리) [FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리 [FTC의 엄밀한 증명] ch23. 리만 적분 [실수공간의 위상] ch6. Interior, Exterior, Boundary 다음 읽을거리: ch2. 측도 0과 적분가능성 Partition 적분을 정의하기 위해선 먼저 rectangle 의 volume 을 정의하여야 한다. Definition. Rectangle

Q = [a_{1}, b_{1}] \times \dots \times [a_{n}, b_{n}]

에 대해 각

[a_{j}, b_{j}]

를

Q

의 component interval 이라고 한다. (1)

Q

의 width 를 다음과 같이 정의하자.

width Q = max {b_{1} - a_{1}, \dots, b_{n} - a_{n}}

(2) $Q..

[다변수 미분] ch5. 역함수 정리

이전 읽을거리: ch4. 연쇄법칙 역함수 정리 역함수 정리란 대략 "꼬여있지 않은 공간에는 국소적으로 역함수가 존재한다" 를 의미한다. (정확한 설명이 아님에 주의) 차근차근 증명해보자. 페르마의 임계점 정리 (interior extremum theorem) 미분가능함수

ϕ : A \in T_{R^{m}} \to R

가

a \in A

에서 local minimum 을 가지면

D ϕ (a) = 0

이다. ※ Local minimum 이란 어떤 근방 속에서 최소값을 갖는 점을 의미한다. Proof. 각

j \in {1, \dots, m}

에 대해 정의에 따라 다음과 같다. $$\lim_{t\to 0}\frac{\phi(a+te_j)-\phi(a)}{t}=D_..

[다변수 미분] ch4. 연쇄법칙

이전 읽을거리: ch3. 연속미분가능 다음 읽을거리: ch5. 역함수 정리 연쇄법칙 연쇄법칙 (chain rule)

f : A \subset R^{m} \to R^{n}

g : B \subset R^{n} \to R^{p}

에 대해

f (A) \subset B

가 성립한다고 가정하자.

f (a) = b

라고 할때

f

가

a

에서 미분가능하고

g

가

b

에서 미분가능하면

g \circ f

는

a

에서 미분가능하며 다음이 성립한다.

D (g \circ f) (a) = D g (b) D f (a)

우리는 아직 미분가능성이 정의되는 점을 정의역의 interior 로 제한하고 있음을 기억하자. 따라서 위 정의의 증명은

a

가

g \circ f

의 정의역의 inte..

[다변수 미분] ch3. 연속미분가능

이전 읽을거리: ch2. 편미분 다음 읽을거리: ch4. 연쇄법칙 연속미분가능 이번 포스팅에는 다음의 정리가 필요하다. 평균값 정리 (mean-value theorem) 연속함수

ϕ : [a, b] \to R

가

(a, b)

의 각 점에서 미분가능하면 어떤

c \in (a, b)

에 대해 다음이 성립한다.

ϕ (b) - ϕ (a) = D ϕ (c) (b - a)

증명은 생략한다. (자세한 정보는 [FTC의 엄밀한 증명] ch22. 평균값 정리 참고) Definition.

f : A \in T_{R^{m}} \to R^{n}

가 각

a \in A

에서 미분가능하면

f

가 미분가능하다고 한다. ※

T_{R^{m}}

[다변수 미분] ch2. 편미분

이전 읽을거리: ch1. 미분의 정의 다음 읽을거리: ch3. 연속미분가능 편미분 Definition.

f : A \subset R^{m} \to R

에 대해

D_{e_{j}} f (a)

가 존재하면 이를

a

에서

f

의 j번째 편미분(j-th partial derivative)이라고 하고

D_{j} f (a)

라고 쓴다. 다시말해

f

의 j번째 편미분은 아래의 극한이 존재할 때 그 극한값을 말한다.

lim_{t \to 0} \frac{f (a + t e_{j}) - f (a)}{t}

편미분은 사실 계산하기에 상당히 편리하다.

a = (a_{1}, \dots, a_{m})

이라고 할때 다음의 함수를 생각하자. $$\phi(t)=f(a_1,\ldots,a_{j-1},t,a_{j+1},\ldots,a_..

[다변수 미분] ch1. 미분의 정의

이전 읽을거리: [실수공간의 위상] ch1. 거리공간 다음 읽을거리: ch2. 편미분 1공간에서 1공간으로의 미분 미분을 정의하기 이전에, 일단 지금은 미분은 항상 정의역의 interior 에서만 정의하자고 약속하자. Interior 가 아닌 점에서도 그 점이 극한점이라면 굳이 미분을 정의할 수는 있지만, 소탐대실이다. 나중에 다양체를 공부하며 interior 가 아닌 점에서의 미분을 다룰 계기가 다시 찾아올 것이다. Definition.

ϕ : A \subset R \to R

a \in Int A

에 대해 다음의 극한이 존재하면

ϕ

가

a

에서 미분가능하다(differentiable)고 하며 이 극한값을

a

에서

ϕ

의 미분(der..

[실수공간의 위상] ch7. 콤팩트 집합

이전 읽을거리: ch6. Interior, Exterior, Boundary 콤팩트 집합 Definition.

X \subset R^{n}

에 대해

R^{n}

에서 열려있는 집합의 모임의 합집합이

X

를 포함하면 이 모임을

X

의 열린덮개(open cover)라고 하며 이 열린덮개가

X

를 덮는다고 한다. Definition.

X \subset R^{n}

의 임의의 열린덮개가

X

를 덮는 어떤 유한부분모임을 가지면

X

가 콤팩트하다(compact)고 한다. 다시말해 콤팩트집합이란 그 어떤 열린덮개를 가져와도 그 중 유한개만 택하여 다시 덮을 수 있음이 보장되는 집합이다. 다음의 정리에 따르면 콤팩트성은 그 집합이 어떤 전체집합에 포함되어있는지에 ..

[실수공간의 위상] ch6. Interior, Exterior, Boundary

이전 읽을거리: ch5. 함수의 극한 다음 읽을거리: ch7. 콤팩트 집합 Interior, Exterior, Boundary 일반적으로 interior 는 내부, exterior 는 외부, boundary 는 경계로 번역된다. 그러나 내부와 외부는 그저 집합과 여집합으로 오해되기 쉬우므로 본 블로그에서는 번역하지 않는다. Definition. 집합

A \subset R^{n}

을 생각하자. (1)

A

에 포함되는,

R^{n}

에서 열려있는 모든 집합의 합집합을

A

의 interior 라고 하고

Int A

라고 쓴다. (2)

R^{n} ∖ A

에 포함되는,

R^{n}

에서 열려있는 모든 집합의 합집합을

A

[실수공간의 위상] ch5. 함수의 극한

이전 읽을거리: ch4. 연속함수 다음 읽을거리: ch6. Interior, Exterior, Boundary 함수의 극한 함수에 대한 집합의 상을 표현할 때 함수의 정의역에 포함되지 않는 원소는 무시하도록 하자. Definition. 함수

f : A \to Y

에 대해

B

가

A

의 부분집합이 아닌 경우

f (B) = f (B \cap A)

라고 정의한다. 이러한 약속 하에 함수의 극한을 간결하게 정의할 수 있다. Definition. 거리공간

X

와

A \subset X

, 함수

f : A \to Y

X

에서

A

의 극한점

x_{0} \in X

를 생각하자. 다음이 성립하면

lim_{x \to x_{0}} f (x) = y_{0}

라고 한다.$$\forall V\in\math..

[실수공간의 위상] ch4. 연속함수

이전 읽을거리: ch3. 위상적 성질 다음 읽을거리: ch5. 함수의 극한 연속의 정의 먼저 함수의 연속성은 "어떤 점에서 연속" 으로 정의될 수 있다. Definition. 거리공간

(X, d_{X})

(Y, d_{Y})

와 함수

f : X \to Y

에 대해 다음이 성립하면

f

가

x_{0} \in X

에서 연속(continuous)이라고 한다.

\forall V \in N_{Y} (f (x_{0})), \exists U \in N_{X} (x_{0}), f (U) \subset V

이는 다시말해

f (x_{0}) \in Y

의 아무런 근방을 가져와도

x_{0} \in X

의 어떤 근방을 가져와 그 상을

f (x_{0}) \in Y

의 근방 안에 집어넣을 수 있다는 것이다. 이는 거꾸로 ..

[실수공간의 위상] ch3. 위상적 성질

이전 읽을거리: ch2. 열린집합, 닫힌집합 다음 읽을거리: ch4. 연속함수 열린집합과 닫힌집합의 성질 다음의 정리에 따르면 열린집합은 아무리 합쳐도 열린집합이고, 닫힌집합은 아무리 겹쳐도 닫힌집합이다. 다시말해 열린집합은 쉽게 키울 수 있고, 닫힌집합은 쉽게 좁힐 수 있다. 다만 유한번의 합침 또는 겹침에 대해서는 열림성과 닫힘성이 보존된다. Theorem 3.1. 거리공간

X

에 대해 다음이 성립한다. (1)

X

에서 열린집합의 임의의 합집합과 유한교집합은

X

에서 열려있다. (2)

X

에서 닫힌집합의 임의의 교집합과 유한합집합은

X

에서 닫혀있다. ※ 임의의 합집합/교집합은 합집합/교집합 연산을 임의의 횟수만큼 시행한 집합을 의미한다. 특히 그 횟수가 유한하지 않거나, 심지어 비..

[실수공간의 위상] ch2. 열린집합, 닫힌집합

이전 읽을거리: ch1. 거리공간 다음 읽을거리: ch3. 위상적 성질 열린집합 다음의 집합은 지난 포스팅의 마지막에서 말한 "경계가 없는" 원 또는 정사각형과 비슷한 집합이다. Definition. 거리공간

(X, d)

에 대해 다음의 집합을

X

에서

x_{0} \in X

의

ϵ

-근방(

ϵ

-neighborhood of

x_{0}

X

)이라고 한다.

U_{ϵ}^{X} (x_{0}) = {x \in X : d (x, x_{0}) 0, U_{ϵ}^{X} (x_{0}) \subset U

다시말해

U

가

X

에서 열려있으면

U

의 어떤 점을 선택해도 그 점의

U

에 포함되는 어떤

ϵ

-근방이 존재한다. 어떤 점의

ϵ

-근방이란 직관적으..

[실수공간의 위상] ch1. 거리공간

다음 읽을거리: ch2. 열린집합, 닫힌집합 Inner Product 두 집합

A, B

에 대해,

A \times B

란

a \in A

및

b \in B

에 대하여

(a, b)

꼴의 모든 순서쌍의 집합임을 상기하자. Definition.

R

-벡터공간

V

의 inner product 란 다음의 성질을 만족하는 함수

Missing or unrecognized delimiter for \left

을 의미한다. (1)

Missing or unrecognized delimiter for \left

(2)

Missing or unrecognized delimiter for \left

(3)

Extra \left or missing \right

(4)

Missing or unrecognized delimiter for \left

위에서 두 번째 조건에 따라

V

의 영벡터

0_{V}

와 $\math..

[집합의 크기] ch3. 유리수 집합과 실수 집합의 크기

이전 읽을거리) [집합론 기초] ch4. 논리 기호 [FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리 [FTC의 엄밀한 증명] ch4. 극한의 성질 1 ch2. 가산집합과 비가산집합 유리수 집합의 크기 ※ 앞서 증명한 많은 정리를 활용하므로 이전 포스팅을 보고 오길 추천한다. 정리 2.6.으로부터 모든 유리수의 집합

Q

가 셀 수 있음을 어렵지 않게 알 수 있다. 지난 포스팅의 초반에 언급하였듯이 모든 정수의 집합

Z

는 셀 수 있다. 여기서부터 시작하자. Theorem 3.1.

Q

는 셀 수 있다. Proof. 가산집합인

Z

에 대해 따름정리 2.3.에 따르면

Z ∖ {0}

도 셀 수 있으므로 ..

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