'분류 전체보기' 카테고리의 글 목록 (5 Page) - Aerospace Kim

[FTC의 엄밀한 증명] ch16. 균등연속

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch15. 최대-최소 정리 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch17. 사잇값 정리 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 17. 균등연속 우리는 연속함수에 대해 공부하였다. $f:A\to\mathbb{R}$ 이 $c$ 에서 연속이라는 것은 치역의 점 $f(c)$ 의 아무리 좁은 근방 $B_\epsilon\big(f(c)\big)$ 을 선택해도 적절한 $c$ 의 근방 $B_\delta(c)$ 가 존재하여 $f\big(B_\delta(c)\big)$ 가 $B_\epsilon\big(f(c)\big)$ 에 포함되도록 할 수 있다는 것을 의미한다. 정의역의 부분집합 $E\subset A$ 의 모든 점에서 ..

[FTC의 엄밀한 증명] ch15. 최대-최소 정리

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch14. 연속의 성질 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch16. 균등연속 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 16. 최대-최소 정리 이제부터 콤팩트 집합의 존재 의의가 슬슬 나타나기 시작한다. 닫힌 구간은 콤팩트 집합의 한 종류라는걸 생각하면 본 포스팅에서 소개하는 정리들의 의미가 직관적으로 와닿을 것이다. 콤팩트성의 보존 (preservation of compactness) 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 와 콤팩트 집합 $K\subset A$ 에 대해 $f$ 가 $K$ 에서 연속이면 $f(K)$ 는 콤팩트 집합이다. proof) 콤팩트 집합은 그 안에 포함되는 수열이 집합 안으로 수..

[FTC의 엄밀한 증명] ch14. 연속의 성질

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch13. 연속성 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch15. 최대-최소 정리 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 15. 연속의 성질 다음의 정리는 연속성이 함수의 극한과 유사한 좋은 성질을 가지고 있음을 알려준다. 대수연속정리 (algebraic continuity theorem) 두 함수 $f,g:A\to\mathbb{R}$ 이 $c\in A$ 에서 연속이라고 가정하자. 다음이 성립한다. (ⅰ) 모든 $k\in\mathbb{R}$ 에 대해 $kf$ 는 $c$ 에서 연속이다. (ⅱ) $f+g$ 는 $c$ 에서 연속이다. (ⅲ) $fg$ 는 $c$ 에서 연속이다. (ⅳ) $g(c)\neq 0$ 이..

[FTC의 엄밀한 증명] ch13. 연속성

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch12. 극한의 성질 2 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch14. 연속의 성질 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 14. 연속성 연속의 엄밀한 정의는 해석학에서 매우 중요한 지점이다. 끊어지지 않은, 비약이 없는, 구멍이 없는 등의 모호한 표현에서 벗어나 수학적으로 엄밀하게 연속을 정의해보자. 연속성은 함수의 극한과 관련이 있다. 함수의 극한에 대한 정의를 다시 말하자면 다음과 같다. 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 과 $A$ 의 극한점 $c$ 에 대해 다음이 성립하면 $f$ 는 $c$ 에서 극한 $L$ 을 갖는다.$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists\delta>0..

[FTC의 엄밀한 증명] ch12. 극한의 성질 2

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch11. 함수의 극한 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch13. 연속성 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 13. 극한의 성질 2 수렴하는 수열의 극한값은 유일하다. 다음의 정리에 따르면 함수의 극한에서도 유사한 성질이 성립한다. 정리 13-1) 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 과 $A$ 의 극한점 $c$ 에 대해 다음이 성립하면 $L=M$ 이다.$$\lim_{x\to c}f(x)=L\qquad\lim_{x\to c}f(x)=M$$ proof) 임의의 $\epsilon>0$ 을 생각하자. 정의에 따라 어떤 $\delta_1>0$ 이 존재하여 다음이 성립한다. $$(\forall x\in..

[FTC의 엄밀한 증명] ch11. 함수의 극한

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch10. 콤팩트 집합 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch12. 극한의 성질 2 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 12. 함수의 극한 수열의 극한에 이어 함수의 극한을 정의할 때가 왔다. 두 극한의 정의는 비슷하지만, 함수의 극한은 조금 더 어렵다. 수열의 극한을 다시 보며 극한의 구조를 되새겨보자. 필자가 아는 한 최대한 다양하게 표현해보겠다. $(a_n)\to a$ 라는 것은 다음을 의미한다. 1. 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 $n\ge N$ 이면 $|a_n-a|0$ 에 대해 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 다음 명제가 참이다 : $n\ge N$ 이면 $|a_n..

[FTC의 엄밀한 증명] ch10. 콤팩트 집합

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch9. 연결집합 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch11. 함수의 극한 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 11. 콤팩트 집합 아직 연속함수를 정의하지 않았지만, 일단 대략 끊어지지 않고 이어져있는 함수라고 하자. 다음은 분명히 참이다. 닫힌 구간 $[a,b]$ 에서 정의된 연속함수 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 은 최댓값과 최솟값을 가진다. 이 성질은 최대-최소 정리라고 불리는데, 이는 너무나 당연해서 증명할 필요도 없어보인다. 한번 의심을 해보자. 꼭 닫힌 구간에서만 최대-최소 정리가 성립하는건가? 어쩌면 닫힌 구간이라는 조건은 너무 강한 조건이 아닐까? 만약 어떠한 분류의 집합..

[FTC의 엄밀한 증명] ch9. 연결집합

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch8. 열린 집합과 닫힌 집합 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch10. 콤팩트 집합 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 10. 연결집합 지난 포스팅에서 열린 집합과 닫힌 집합에 대해 알아보았다. 이 두 집합으로도 할 수 있는 작업이 충분히 많지만, 아직 우리에게 필요한 집합이 더 남아있다. 함수를 공부하기에 앞서, 임의의 두 점 사이가 끊기지 않고 쭉 연결되어있는 성질을 가진 집합이 필요하다. 이는 열린 집합이나 닫힌 집합으로는 불충분하다. 지난 포스팅에서 언급한 다음의 집합을 보자.$$\{0\}\cup\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\right\}$$..

[FTC의 엄밀한 증명] ch8. 열린 집합과 닫힌 집합

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch7. 무한급수 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch9. 연결집합 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 9. 열린 집합과 닫힌 집합 열린 집합과 닫힌 집합의 개념은 함수에 대한 성질을 탐구할 때 매우 중요한 성질이다. 미리 밝히자면, 열린 구간은 열린 집합의 한 종류이며 닫힌 구간은 닫힌 집합의 한 종류이다. 이러한 사실을 기준으로 열린 집합과 닫힌 집합의 정의를 잘 이해해보자. 9.1. 열린 집합 근방의 정의를 다시 확인하자. 정의) $a\in\mathbb{R}$ 와 $\epsilon>0$ 에 대해, 다음과 같이 정의된 집합 $B_\epsilon(a)$ 를 $a$ 의 $\epsilon$-근방(..

[FTC의 엄밀한 증명] ch7. 무한급수

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch6. 코시 수열 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch8. 열린 집합과 닫힌 집합 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 8. 무한급수 지난 포스팅에서 조화급수로서 살짝 맛 보았던 개념을 본격적으로 소개한다. 정의) 다음의 수열을 수열 $(b_n)$ 의 무한급수(infinite series)라고 하며, 간단히 $(\sum b_n)$ 이라고 쓴다. $$\left(\sum_{k=1}^nb_k\right)=\left(b_1\,,\,b_1\!+\!b_2\,,\,b_1\!+\!b_2\!+\!b_3\,,\,\ldots\right)$$ 무한급수의 각 항은 특별히 부분합(partial sum)이라고 부른다. 무..

[FTC의 엄밀한 증명] ch6. 코시 수열

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch5. 부분수열 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch7. 무한급수 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 7. 코시 수열 수열 $(a_n)$ 이 수렴한다는 것은 정의에 따르면 다음과 같다. 주어진 $a\in\mathbb{R}$ 에 대해, 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 어떤 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 임의의 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $n\ge N$ 이면 $|a_n-a|M$$ 따라서 조화급수는 유계가 아니다. 수렴하는 수열은 유계이므로, 유계가 아닌 수열은 수렴하지 않는다. 따라서 조화급수는 수렴하지 않는다. $\square$ 조화급수의 예시에서, 수열의 변화가..

[FTC의 엄밀한 증명] ch5. 부분수열

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch4. 극한의 성질 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch6. 코시 수열 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 6. 부분수열 어떤 수열 위를 껑충껑충 건너뛰어다니는 수열을 정의해두면 재밌는 작업을 할 수 있다. 정의) 수열 $(a_n)$ 과 다음의 증가하는 자연수 수열을 생각하자. $$k_1

[FTC의 엄밀한 증명] 부록

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch3. 수열의 극한 [FTC의 엄밀한 증명] ch6. 코시 수열 1. 명제논리 1.1. 동치와 부정 정의) 두 명제 $P$ , $Q$ 를 생각하자. 다음의 두 성질이 모두 성립하면 $Q$ 는 $P$ 의 동치(logical equivalence) 라고 하며 $P\equiv Q$ 라고 쓴다. (ⅰ) $P$ 가 참이면 $Q$ 도 참이다. (ⅱ) $P$ 가 거짓이면 $Q$ 도 거짓이다. 예시로, $x-2=0$ 은 $x=2$ 의 동치이다. 다음의 성질에 따르면 $Q$ 가 $P$ 의 논리적 동치라고 하든, $P$ 가 $Q$ 의 논리적 동치라고 하든 상관없다. 그저 $P$ 와 $Q$ 는 논리적 동치인 것이다. 정리 1.1-1) 임의의 세 명제 $P$ , $Q$ , $R$ ..

[FTC의 엄밀한 증명] ch4. 극한의 성질 1

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch3. 수열의 극한 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch5. 부분수열 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 5. 극한의 성질 1 다음의 정리에 따르면 (다행히도) 당연히 성립해야 할 성질이 성립한다. 정리 5-1) 수렴하는 수열의 극한값은 유일하다. proof) $(a_n)\to a$ , $(a_n)\to b$ 라고 가정하자. 임의의 $\epsilon>0$ 을 생각하자. 정의에 따라 어떤 $N_1\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 모든 자연수 $n\ge N_1$ 에서 다음이 성립한다. $$|a_n-a|

[FTC의 엄밀한 증명] ch3. 수열의 극한

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch2. 완비성 공리 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch4. 극한의 성질 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 3. 해석학의 논리 3.1. 무한과 자연수 해석학은 무한의 개념을 명료하고 간결하게 이용한다. 해석학이 무한을 다루는 비법은 자연수에 숨어있다. 어떤 원소 $x$ 와 집합 $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ , ... 에 대하여 다음이 의미하는 바를 상기해보자. $$x\in\bigcap_{n=1}^\infty A_n$$ 위의 수식에는 무한을 나타내는 기호 $\infty$ 가 사용되었다. 그러나 그 의미를 해석할때는 '무한'이라는 말이 사용되지 않는다. 위 수식의 의미는 다음과 같다...

< 이전 1 2 3 4 5 6 7 8 다음 >

최신 글

인기 글

방문자 수
전체 :
오늘 :
어제 :

Design by hi098123 kimhan217@naver.com

티스토리툴바