'분류 전체보기' 카테고리의 글 목록 (4 Page) - Aerospace Kim

[행렬식의 엄밀한 정의] ch2. 텐서의 성질

이전 읽을거리) 쌍대공간 (Dual Space) ch1. 다중선형사상 다음 읽을거리: ch3. 순열 1. 텐서의 유일성 두 함수가 같다는 것은, 정의역의 모든 원소에 대한 상이 동일하다는 것이다. 따라서 일반적으로, 정의역의 몇 개의 원소만 가지고서는 두 함수가 같음을 알기 힘들다. 그러나 선형변환을 공부한 사람은 특수한 조건 하에서 몇 개의 원소만으로 두 함수가 같음을 보이는 것이 가능하다는 것을 기억할 것이다. ([선형변환부터 동형사상까지] ch2. 선형변환의 존재성 및 유일성 참고) 텐서의 경우에도 비슷한 모습을 볼 수 있다. 텐서 이론에서는 자연수의 순서쌍이 매우 빈번하게 등장한다. 필자의 편의상 다음의 표기법을 정의한다. Definition. 자연수 $n$ 에 대해 $\{1,\ldots,n\}$..

[행렬식의 엄밀한 정의] ch1. 다중선형사상

이전 읽을거리: ch0. 행렬식의 귀납적 정의 다음 읽을거리: ch2. 텐서의 성질1. 다중선형사상 흔히 순서쌍이라 하면, 실수 2~3개를 순서지어 $(1,2)$ 처럼 나타내는 것을 떠올릴 것이다. 다음은 일반화된 순서쌍의 정의이다. Definition. 공집합이 아닌 집합 $A_1,\ldots,A_k$ 를 생각하자. 각 $i$ 에 대해 $A_i$ 의 원소 $a_i$ , 총 k개의 원소를 다음과 같이 순서지어 나타내는 것을 k-순서쌍(k-tuple)이라고 한다.$$(a_1,a_2,\ldots,a_n)$$ 이러한 k-순서쌍의 집합을 $A_1,A_2,\ldots,A_n$ 의 곱집합(product)이라 하며 $A_1\times A_2\times\cdots\times A_k$ 라고 표기한다. 즉, ..

[행렬식의 엄밀한 정의] ch0. 행렬식의 귀납적 정의

이전 읽을거리) [벡터공간부터 기저까지] ch1. 벡터공간과 부분공간 [선형변환부터 동형사상까지] ch1. 선형변환 다음 읽을거리: ch1. 다중선형사상 ※ 본 시리즈는 행렬식을 이미 알고있는 사람들을 대상으로 하는 글 입니다. 초심자를 대상으로 하는 대부분의 책에서는 행렬식을 소개할 때 어떠한 귀납적인 계산 공식을 이용하여 정의하곤 한다. 예를들어 '프리드버그 선형대수학'에서는 행렬식을 다음과 같이 소개한다. 행렬 $A\in\mathbb{M}_{n\times n}$ 의 행렬식 $\text{det }A$ 를 다음과 같이 정의한다.$$\text{det }A=\begin{cases}A_{11}&\text{if}\quad n=1\\\displaystyle\sum_{j=1}^n(-1)^{1+j}A_{1j}\;\..

원하는 행렬의 존재성 증명

다음을 증명하자. 임의의 벡터 $x\in F^m$ , $y\in F^n$ 에 대해 $x\neq 0$ 이면 $y=Ax$ 이도록 하는 행렬 $A\in\mathbb{M}_{n\times m}(F)$ 가 존재한다. proof) $F^m$ 과 $F^n$ 각각의 표준순서기저 $\gamma_m$ , $\gamma_n$ 을 생각하자. $x$ 하나만을 원소로 갖는 집합 $\{x\}\subset F^m$ 는 일차독립이므로 ($\because$ 정리 5.1-2(ⅱ)) $x$ 를 포함하는 $F^m$ 의 순서기저 $\beta\subset F^m$ 를 구성할 수 있다. ($\because$ 대체정리의 따름정리 2(ⅱ)) 다음과 같다고 하자. $$\beta=\{x,v_1,v_2,\ldots,v_{m-1}\}$$ 선형변환의 존재성 ..

[FTC의 엄밀한 증명] ch27. 부분적분법, 치환적분법

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch26. 미적분학의 기본정리 (FTC) 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 29. 부분적분법 다음과 같은 적분 공식을 부분적분법이라고 한다. $$\int_a^bf(x)g'(x)dx=\Big(f(b)g(b)-f(a)g(a)\Big)-\int_a^bf'(x)g(x)dx$$ 이 공식이 정확히 언제, 어떻게 성립하는지 알아보자. 도움정리 29-1) $f:A\to\mathbb{R}$ 이 $[a,b]\subset A$ 에서 리만 적분가능하면 $f\cdot f$ 도 $[a,b]$ 에서 리만 적분가능하다. proof) $f$ 가 $[a,b]$ 에서 리만 적분가능하면 $[a,b]$ 에서 유계이므로 다음을 만족하는 $M>..

[FTC의 엄밀한 증명] ch26. 미적분학의 기본정리 (FTC)

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch25. 리만 적분의 성질 2 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch27. 부분적분법, 치환적분법 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 28. 미적분학의 기본정리 미분과 적분은 독립적으로 정의되었고, 각각 수학적으로 엄밀한 용어로 기술되었다. 미분의 정의는 접선의 기울기를 계산하기 위해, 적분의 정의는 그래프의 아래 넓이를 계산하기 위해 고안되었다. 미적분학의 기본정리는 놀랍게도 이 둘 사이에 역연산 관계가 있음을 설명한다. 미적분학의 기본정리는 두 부분으로 되어있다. 첫 번째는 모든 연속함수가 역도함수를 갖는다는 이론적인 명제이고, 두 번째는 역도함수가 존재할 때 적분값을 쉽게 계산하는 방법에 ..

[FTC의 엄밀한 증명] ch25. 리만 적분의 성질 2

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch24. 리만 적분의 성질 1 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch26. 미적분학의 기본정리 (FTC) 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 27. 리만 적분의 성질 2 리만 적분의 유용한 성질을 증명하기 전에 다음을 보이자. 도움정리 27-1a) 공집합이 아니고 위로 유계인 집합 $A$ 에 대해 $s$ 가 $A$ 의 상한일 필요충분조건은 다음의 두 조건이 성립하는 것이다. (ⅰ) $s$ 는 $A$ 의 상계이다. (ⅱ) 임의의 $b\in\mathbb{R}$ 에 대해 $b

[FTC의 엄밀한 증명] ch24. 리만 적분의 성질 1

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch23. 리만 적분 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch25. 리만 적분의 성질 2 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 26. 리만 적분의 성질 1 미적분학을 공부한 적이 있다면 다음의 성질은 매우 익숙할 것이다. 정리 26-1) $[a,b]\subset A$ 에서 유계인 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 과 임의의 $c\in(a,b)$ 에 대해 $f$ 가 $[a,b]$ 에서 리만 적분가능할 필요충분조건은 $f$ 가 $[a,c]$ 와 $[c,b]$ 에서 리만 적분가능한 것이다. 이때 다음이 성립한다.$$\int_{[a,b]}f=\int_{[a,c]}f+\int_{[c,b]}f$$ proo..

[FTC의 엄밀한 증명] ch23. 리만 적분

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch22. 평균값 정리 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch24. 리만 적분의 성질 1 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 25. 리만 적분 ※ 본 포스팅에 소개되는 내용은 사실 다르부 적분이다. 리만 적분 가능과 다르부 적분 가능이 동치라는 것을 명분삼아, 다르부 적분이 종종 리만 적분으로 소개된다. 다음의 정의는 주어진 닫힌 구간을 작은 구간으로 쪼개는 것을 가리킨다. 정의) 닫힌 구간 $[a,b]$ 에 대해 다음을 만족하는 점 $x_0,x_1,\ldots,x_n$ 으로 이루어진 유한집합 $P$ 를 $[a,b]$ 의 분할(partition)이라고 한다.$$a=x_0

[FTC의 엄밀한 증명] ch22. 평균값 정리

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch21. 페르마의 임계점 정리 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch23. 리만 적분 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 24. 평균값 정리 평균값 정리의 기하학적 의미는 다음과 같다. 구간 $[a,b]$ 에서 미분가능한 함수 $f$ 에 대해 그래프의 양 끝점 $(a,f(a))$ 와 $(b,f(b))$ 를 잇는 직선의 기울기와 같은 접선이 반드시 존재한다. 간단히 말하면 어떤 점 $c\in(a,b)$ 에 대해 다음이 성립한다. $$Df(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ 이러한 관찰은 얼핏보면 지극히 당연하게 느껴지기도 한다. 그러나 이는 사잇값 정리와 같이 해석학이 쌓아올린 거대한..

[FTC의 엄밀한 증명] ch21. 페르마의 임계점 정리

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch20. 미분의 성질 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch22. 평균값 정리 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 22. 페르마의 임계점 정리 영국의 과학자 뉴턴(Isaac Newton, 1643~1727)은 행성의 운동을 설명하기 위해 미적분학을 발명하였다. 이러한 역사에 선구자가 있으니, 바로 프랑스의 수학자 페르마(Pierre de Fermat, 1607~1665)이다. 페르마는 다음과 같이 말하며 미적분학이 탄생하기 휠씬 전에 임계점 정리를 발견하였다. (마치 산의 정상에서는 더 이상 가파르지 않듯이..) "함수의 극점에서는 함숫값의 변화가 거의 없다" 위의 표현을 해석학의 언어로 명료하..

[FTC의 엄밀한 증명] ch20. 미분의 성질

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch19. 연쇄법칙 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch21. 페르마의 임계점 정리 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 21. 미분의 성질 분수꼴 함수의 미분을 알기 위해 다음의 결과가 필요하다. 정리 21-1) 다음의 함수를 생각하자.$$\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R},\;x\mapsto\frac{1}{x}$$ 위 함수는 미분가능함수이며 도함수는 다음과 같다.$$\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R},\;x\mapsto-\frac{1}{x^2}$$ proof) 임의의 $c\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ 를 생각..

[FTC의 엄밀한 증명] ch19. 연쇄법칙

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch18. 미분가능성 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch20. 미분의 성질 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 20. 연쇄법칙 다음의 정리를 이해하면 미분의 다양한 성질을 매우 빠르게 증명할 수 있다. 정리 20-1) 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 이 $c\in A$ 에서 미분가능한 필요충분조건은 $c$ 에서 연속인 함수 $d_f:A\to\mathbb{R}$ 이 존재하여 다음이 성립하는 것이다.$$(\forall x\in A)\quad f(x)=f(c)+d_f(x)(x-c)$$ 여기서 $d_f(c)=Df(c)$ 이다. proof) ($\Rightarrow$) : $f$ 가 $c\in ..

[FTC의 엄밀한 증명] ch18. 미분가능성

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch17. 사잇값 정리 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch19. 연쇄법칙 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)' 및 'Munkres. Analysis on manifold'를 공부하며 작성하였습니다. 19. 미분가능성 미분은 극한으로 정의된다. 극한의 정의를 다시 보자. 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 과 $A$ 의 극한점 $c$ 에 대해 다음 명제가 성립하면 $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$ 이라고 쓴다.$$(\forall\epsilon>0)\;(\exists\delta>0)\;(\forall x\in A)$$$$0

[FTC의 엄밀한 증명] ch17. 사잇값 정리

이전 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch16. 균등연속 다음 읽을거리 : [FTC의 엄밀한 증명] ch18. 미분가능성 본 포스팅은 'Stephen Abbott, 해석학 첫걸음(2판)'을 공부하며 작성하였습니다. 18. 사잇값 정리 오일러와 가우스를 포함한 18세기 수학자들은 후술할 사잇값 정리를 증명하지 않고 사용했다. 이것은 증명을 할 필요가 없을 정도로 자명하다고 생각했기 때문이며, 해석학의 실수에 대한 이해는 이 자명한 정리를 증명할 수 있을 정도로 성숙해졌다. 먼저 다음의 정의를 확인하자. 정의) 함수 $f:A\to\mathbb{R}$ 과 집합 $E\subset A$ 를 생각하자. 임의의 연결집합 $I\subset E$ 에 대해 $f(I)$ 도 연결집합이면 $f$ 가 $E$ 에서 다르부 ..

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